113-句股引蒙卷三
句股引蒙卷三
海寜 陳訏 撰
句股法
句股名義
直者為股
横者為句
斜者為弦
句股併減名義
句股和【句與股相併】 句弦和【句與弦相併】
股弦和【股與弦相併】
句股較【句與股相較】 句弦較【句與弦相較】
股弦較【股與弦相較】
弦和和【弦與句股和相併】 弦較和【弦與句股較相併】弦和較【弦與句股和相減】 弦較較【弦與句股較相減】右和較等名凡句股書多用此以從簡便故備列於前庶一覽瞭然
句股弦準數
句三股四弦五
句股弦無一定之數然必先有一定相差之數以參互之為千變萬化之準則不外乎句三股四弦五而變化由此起焉後俱依此立法
句股求弦
句自乘股自乘兩積實相併開方得弦
句股各自乘之實必合弦自乘之實故併積開方得弦
【按句股開方俱平方後同】
如句【三】自乘得九股【四】自乘得一十六併之共二十五平方開之得五即弦【五】
句弦求股
句自乘弦自乘兩積實相減開方得股
股弦求句
股自乘弦自乘兩積實相減開方得句
弦自乘之積實必合一句一股自乘之積實故於弦積内減句積開方得股於弦積内減股積開方得句
如弦【五】自乘得二十五為弦積内減句積九餘一十六為股【四】之積若弦積減股積一十六餘九為句【三】之積俱用開方得所求
較求股弦
句自乘股弦較自乘兩積實相減倍較為法除之得股股又加較得弦
句積中除股弦較之積則所餘必倍於股之長故以倍較為法除餘積得股之長
如句【三】自乘得九減弦長於股之較一【積亦一】則餘積八必倍於股長故倍較【一】為二除之得四即得股四
若不倍較為法但以較除相減之餘積則除較之外必尚存倍於股長之數故於減餘之積去較折半亦得股長
如句餘積八以較一除之仍是八必倍於股【四】故去較又折半亦得股【四】
以上二法於股之長加較即得弦於股之長減較即得句故不再立求句法
股弦和求股
句自乘以股弦和為法除之得數以減股弦和折半得股股弦和内減股即得弦
股弦和除句則所得數必弦長於股之較數故於股弦中去弦長於股之較則股弦等長而折半得股
如股【四】弦五共九除句積【九】得一即股【四】弦【五】之較【一】去較【一】存【八】則弦與股齊故折半得股【四】
句弦和求句
股自乘句弦和自乘兩積實相減折半以句弦和為法除之得句【句弦和内減句即得弦】
句弦和自乘之積必倍於句與句弦和相乘之積而尚多一股積故於和積内減股積則所餘者為句乘句弦和之倍積故折半使止存一句乘句弦和之積而以句股和為法除之得句如股【四】自乘得一十六句弦和自乘得六十四内減十六餘四十八折半餘二十四以句【三】弦【五】為法除之得三為句句既得即於句弦和除句得弦五
句弦和求弦
股自乘以句弦和為法除股積得數加句弦和折半得弦於弦之長減句弦較亦即得句
句弦和除股積則所得之數即弦長於句之較數句較既得則加句弦之長使句長與弦長等故折半得弦
如股四自乘得十六以句弦和八為法除之得二加句弦和之八為一十折半即弦五
句股和求句股
弦自乘句股和自乘兩積實相減再以餘積減弦積以平方開之加句股和半之得股股内減商數得句句股和之積幾倍於弦積止少一句股之較積故以句股和積與弦積相減再以減餘之積減弦積則所存者為弦長於股之較積於是開方得較而再加句股和則句股等長故折半得股如句【三】股【四】得和七自乘得四十九以弦自乘得二十五減之存二十四再以二十四減弦積之二十五存一為弦長於股之較積開方仍得一加句股和共八折半得股【四】股得亦可依法得句【按此所得之較乃句股較作股弦較者誤】
句股弦較求句股弦
句弦較乘股弦較倍積實開方加股較得句句加句較得股股又加股較得弦
如句弦較【二】乘股弦較【一】仍得二倍之得四開方得二加股較【一】得句三於句三加股較一得股四於股四又加股較一得弦五
句股弦和求句股弦
句弦和乘股弦和得積實倍之開方減股弦和得句減句弦和得股減句股和得弦
如句【三】弦【五】為句弦和八乘股【四】弦【五】之股弦和九得七十二倍之為一百四十四開方得一十二合句股弦之長於一邊矣故於十二減句弦和八得股【四】於十二減股【四】弦【五】之股弦和九得句【三】於十二減句【三】股【四】之句股和七得弦【五】
句股求容方
句股相乘以句股併為法除之得容方徑若句股較為法除之亦得容方徑【按若勾股較二句有誤】
容方外餘句餘股相乘平方開之亦得容方徑
以容方徑自乘得實以餘句為法除之得餘股以餘股為法除之得餘句
句股相乘之實為容方者四斜弦内為容方者兩故容方之實必等於餘句餘股之實雖長短不齊極致而句伸則股縮股伸則句縮有參互之準此即測望之法所由起也
句股求容圓
句股相乘倍積實併句股弦為法除之得容圓徑句股相乘併句股弦減半為法除之亦得容圓徑圓周恒三倍於圓徑而句股弦之長恒兩倍於容圓之周故于句股相乘之稍或倍之而併句股弦為法或不倍之而以句股弦折半為法俱得容圓徑而容圓徑即弦和較也【按勾股之長兩倍於容圓周語誤】
句股論【李之藻】
句股弦三合成形錯綜立義句股相減其差曰較句股相併其名曰和股弦之差曰股弦較句弦之差曰句弦較併句股與弦較其差曰弦和較句股之差與弦相減其差曰弦較較股弦相併曰股弦和句弦相倂曰句弦和句股之差併弦曰弦較和句股弦併曰弦和和句股各自乘併之為弦實故開之得弦句弦自乘減餘為股實故開之得股股弦各自乘減餘為句實故開之得句句股和自乘倍弦實相減開其餘即句股較也句股較自乘以減倍弦實開其餘即句股和也併句弦以除股實得句弦較若以句弦較除股實即得句弦和矣併股弦以除句實得股弦較若以股弦較除句實即得股弦和矣句股和自乘減弦實除以弦較較得弦較和矣除以弦較和非即弦較較乎句股較自乘減弦實除以弦和和則得弦和較矣除以弦和較非即弦和和乎句乘股為實併句股為法除得容方徑句乘股倍之併句股弦除之得容圓徑而容圓之徑即弦和較也又錯綜論之句為主以加股弦較即弦較較以減股弦較即弦和較若加弦較和又即股弦和也股為主以加句弦較即弦較和以減句弦較即弦和較若加弦較較又即句弦和也句股較為主以加股弦較即句弦較若減股弦和亦即句弦和也句股和為主以加股弦較復得句弦和若減股弦和亦得句弦較也至若諸較諸和法相因配連綴減半恒得所求若取句股較以加句股和半之得股以減句股和半之得句若取股弦較以加股弦和半之得弦以減股弦和半之得股取句弦較者以加句弦和半之得弦以減句弦和半之得句取弦和較者以加弦和和半之得和以減弦和和半之得勾股弦取弦較較者以加弦較和半之得弦以減弦較和半之得較加減乘除圓變不滯神而明之存乎其人遠近高深方圓弧矢準此而推亦在乎熟之而已
解註【以句三股四弦五為準】
句股和自乘倍弦實相減開其餘即句股較
如句【三】股【四】和七自乘四十九如弦【五】實二十五倍之五十以四十九減五十餘一即句三股四之較一
句股較自乘以減倍弦實開其餘即句股和
如句股較一以減倍弦實之五十餘四十九開方得七即句三股四之和七
併句弦以除股實得句弦較
如句【三】弦【五】併之得八以除股【四】之實一六得二為句【三】弦【五】之較二
句弦較除股實即得句弦和
如句【三】弦【五】之較二以股【四】之實一六除之得八為句【三】弦【五】之和八
併股弦以除句實得股弦較
如股【四】弦【五】併得九以句三之實九除之得一為股【四】弦【五】之較一
以股弦較除句實即得股弦和
如股【四】弦【五】之較一以句三之實九除之為股【四】弦【五】之和九
句股和自乘減弦實除以弦較較得弦較和
如句【三】股【四】之和七自乘得四十九減弦【五】之實二十五餘二十四以句股差【一】與弦【五】相減之弦較較四除之得六為句股之差【一】與弦【五】併之弦較和六
除以弦較和即得弦較較
如二十四以弦較和之六除之得四為句股之差一減弦五之弦較較四
句股較自乘減弦實除以弦和和則得弦和較
如句【三】股【四】之較一自乘仍得一減弦【五】之實二十五為二十四以句三股四弦五之弦和和除之得二為併句【三】股【四】與弦【五】較之弦和較
除以弦和較即弦和和
如二十四除以弦和較之二得一十二為句三股四弦五相併之弦和和
句股測望論【唐荆川先生】
句股所謂矩也古人執數寸之矩而日月運行朓朒遲速之變山谿之高深廣遠凡目力所及無不可知蓋不能逃乎數也句股之法横為句縱為股斜為弦句股求弦句股自乘相併為實平方開之得弦句弦求股句弦自乘相減為實平方開之得股股弦求句同法蓋一弦實藏一句一股之實一句一股之實併得一弦實也數非兩不行因句股而得弦因股弦而得句因句弦而得股三者之中其兩者顯而可知其一者藏而不可知因兩以得三此句股法之可通者也至如遠近可知而高下不可知如卑則塔影高則日影之類塔影之在地者可量而人足可以至於戴日之下而日與塔高低之數不可知則是有句而無股弦三者缺其二數不可起而句股之法窮矣於是有立表之法蓋以小句股求大句股也小句股每一寸之句為股長幾何則大句股每一尺之句其長幾何可知矣此以人目與表與所望之高三相值而知之也人目至表小弦也人目至所望之高大弦也又法表為小股其高幾何與至塔下之數相乘以小句除之則得塔高蓋横之則小股至塔之積縱之則為小句至塔頂之積縱横之數恰同是變句以為股因横而得縱者也句股弦三者有一可知則立表之法可得而用若其高與遠之數皆不可知而但目力可及如隔海望山之類則句股弦三者無一可知而立表之法又窮矣於是有重表之法蓋兩表相去幾何為影差者幾何因其差以求句股亦可得矣立表者以通句股之窮也重表者以通一表之窮也其實重表一表也一表句股也無二法也
句股容方圓論
凡奇零不齊之數準之於齊圓準之於方不齊之圓準於齊之圓不齊之方準於齊之方句股容圓準於句股容方假令句五股五弦七有奇此為整方均齊無較之句股其容方徑該得句之半盖容方積得句股全積四分之一其取全積時句股分在兩亷則句五股五五五二十五内一半為句積一半為股積其求容方則併句股為縱一亷得十為長之數得闊二五與原句相半盖始初則一半句積一半股積横列之而為正方及取容方則股積在上句積在下而為長方矣其容方所以止得半句者則以句股之數均也若句短股長則容方以漸而闊不止於半句矣故大半為股積小半為句積其始横列時句積與股同長而不同闊其縱列時則股積之闊如故而句積截長以為闊則闊與股積同而長與股積異與横列正相反此變長為闊而取容方之法也其謂之句積股積者從容方徑與句股相乘之數而名之也若取容圓徑則用句股自之而倍其數以句股與弦併為法蓋容圓之徑多於容方方有四角與弦相礙故其數少圓弦宛轉故其數多若以求容方與求容圓相比則積中恰少一段圓徑與半弦和較相乘之數弦和較者句股併與弦相較之數也假令句五股五相乘亦倍之得五十如求容方則亦倍句股為法得二十亦恰得二寸五分之徑如求容圓則不用倍句股為法而用一句股併與一弦是以一弦代一句股倂也以一弦代一句股併恰少一弦和較加一弦和較則亦兩句股矣假令一句股得十倍句股得二十是取容方之徑一句股得十一弦得七恰少弦和較三是取容圓之徑其所以少一弦和較者圓徑多於方徑也假令取容圓不用句股倍積而止用句股本積則宜句股併為亷而除去半弦和較亦得或約得圓徑之後與半弦和較相乘添積而以句股併為亷不除亦得或用句股倍積用兩句股相併為亷而以全弦和較與約得圓徑相乘添積亦得此改方為圓之妙其機括只寓之於弦和較間也至於句股積與弦積亦只於句股較中求之盖數起於參伍參伍起於畸零不齊也假令句五股五齊數之句股則句股冪倍之即得弦冪盖兩句股積而成弦積也至於句短股長相乘之積則成一長方倍之而弦側不當中徑亦不成弦冪維以一句股較積補之乃能使長方為一正方而得弦積盖句股之差愈遠則長方愈狹長方愈狹則句股之差積愈多故句股差者所以權長方不及正方之數以相補輳此補狹為方之法也右荆川先生論句股測望論句股求容方圓詳矣盡矣愚按句股測望即句股求容方法而變化用之但容方則以句股求容方而測望則以容方求句股非有二法也盖凡平方形若中間十字界之則為容方者四若斜弦界之則此一半平方之内其為完全容方者一而完全容方之外兩角凑成亦必與此完全之容方相等此就句股等長而言也至句股不必等長而同此一容方則句長者股必短股長者句必短亦千變萬化自有一定之盈縮也於是通之為測望之法以表代容方邊以表前積實代容方之積實若所容為長方則必句短股長若所容為匾方則必股短句長股為縱為高句為横為遠以或句或股為法除之即得所求之或高或遠故望高測遠即變化於句股求容方之一法也
測量法
句股之術可御高深廣遠法本周髀中法用表測西法用矩測
立表測高
設甲點為高自丙至乙遠二丈求甲乙高幾何
法依地平線立一丈之表為丁丙【遠乙二丈】與地平為直角【凡立表以線垂下試之三面附表即與地平為直角】依地平線退行【八尺】為辛巳【巳為人日望處人目以下六尺若立竿為準亦可】視己丁甲三點
令成斜弦以丁丙表【一丈】減己戊人目以下之六尺餘丁辛【四尺】與等戊乙之巳庚【二丈八尺】乘之得【一十一丈八尺】為實以等戊丙之巳辛【八尺】為法除之得甲庚【一丈四尺】加等己戊人目以下之庚乙【六尺】得甲乙高二丈按此以丁辛與已庚相乘得實以巳辛為法除之得甲庚之高即已以上之高若以丁辛乘壬庚得實以已辛為法除之得甲壬之高即丁以上之高
附西法三率算術【西法三角八線全用三率算術其法詳三角前此先附其略】
三率算術詳西法三角八線書中其法同類為比例列一二三四率而二率三率相乘得實一率為法除之四率為所求之數凡言以者為一率言比者為二率言若者為三率言與者為四率如前立表測高以己辛【小句】比丁辛【小股】若己庚【大句】與庚【甲大股】
一率 己辛八尺 為法
二率 丁辛四尺 與三率相乘得實三率 己庚二丈八尺
四率 庚甲一丈四尺【加庚乙人目以下得甲乙高】
按右法以己庚為三率故得己以上之高即甲庚之高若以丁壬為三率則得丁以上之高即甲壬之高變而通之若以之測遠以小股【辛丁】比小句【己辛】若大股【或甲庚或甲壬】與大句【大股甲庚即大句庚己大股甲壬即大句壬丁】總之同類比例以二率三率相乘得實以一率為法除之即得所求之四率也餘詳本法【後省文依西法以比若與不更列三率】
立表測深測遠
設甲乙為壁立深谷甲至丙廣二丈七尺求甲乙深幾何
法依甲丙線於地立【六尺】之表為戊丁距丙【五尺】人目從表端【戊】窺【乙】使戊丙乙三
點成斜弦直線以丁戊【六尺】與甲丙【二丈七尺】相乘【得一十六丈二尺】為實以丁丙【五尺】為法除之得甲乙深【三丈二尺四寸】是為以丙丁【小句】比丁戊【小股】若丙甲【大句】與甲乙【大股】
設井一口其徑甲乙五尺欲測深幾何
法立表於井口為戊甲高【五尺】從戊視
丙截甲乙徑於己【得四寸】減井徑【五尺】餘
己乙【四尺六寸】以乘戊甲【五尺】得【二千三百寸】為實以甲己【四寸】為法除之得乙丙井深【五丈七尺五寸】是為以己甲比甲戊若己乙與乙丙 又法以己甲比甲戊若甲乙之丙丁與丁戊
設地平有甲點不知其遠人目在乙高丙地六尺求丙甲遠幾何
法依地平立丁表於戊高【四尺五寸】距丙【九尺】人目從表端窺甲令乙丁甲成斜弦直線次以乙丙【六尺】減丁戊表【四尺五寸】餘乙己【一尺五寸】乃以乙丙【六尺】乘等丙戊之己丁【九尺】得【五十四尺】為實以乙巳【一尺五寸】為法除之得丙甲遠【三丈六尺】是為以乙己比己丁若乙丙與丙甲
重表測高測遠測深
設不知高之遠不知遠之高各得幾何
欲測甲乙之高而不知遠欲測丙乙之遠而不知高用重表法先求甲乙之高於丙地立丁丙表高【十尺】退
後【五尺】立竿於戊高四尺人目在
巳視表末令己丁甲成斜弦直
線次從丁丙前表退後【十五尺】立
癸壬表亦高【十尺】退後【八尺】立竿於
子亦高【四尺】人目在丑視表末令
丑癸甲成斜弦直線以癸壬表
減人目丑子【四尺】餘癸辛【四尺】與兩表相距【舊名表間】等丙壬之丁癸【十五尺】乘之得【九十尺】為高實以等丙戊之寅巳減等壬子之辛丑【八尺】餘卯丑較【三尺】為法【舊名影差】除高實得甲辰高【三十尺】是為以丑卯比辛癸若癸丁與甲辰加等癸壬表之【十尺】得甲乙總高【四十尺】
次求丙乙之遠以等寅巳之辛卯【五尺】與表間相距之丁癸【十五尺】乘之得【七十五尺】為遠實亦以寅巳與辛丑之較卯丑【三尺】為法除之得等丙乙之丁辰【二十五尺】是為以丑卯比卯辛若癸丁與丁辰
右測量法積實除實余昔刻句股述繪圖系說已詳其數兹不再贅錢唐毛宗旦扆再氏著九章蠡測於測望法論西法比例之理尤明晰詳盡今併錄於左
毛扆再氏曰測量之理知遠而不知高以遠測高知高而不知遠以高測遠若高遠兩不知所謂無遠之高無高之遠必用重表測之也既有等高之二表【皆十尺】又有等高之二人目竿【皆四尺】則甲庚丑大句股形内必函大小六句股形其甲辰丁形為甲庚巳之分形兩形之比例必等丁寅巳形亦甲庚巳之分形兩形之比例亦等甲辰丁及丁寅巳兩形之比例既皆等於甲庚巳是甲辰丁與丁寅巳兩形之比例亦等矣後表所得甲辰癸與癸辛丑形之比例皆等於甲庚丑亦同此論夫丁寅巳之比例既同於甲辰丁而癸辛丑之比例亦同於甲辰癸則辰丁與寅巳必若辰癸與辛丑反之則辰癸與辰丁必若辛丑與寅巳也今辰癸與辰丁之較為丁癸而辛丑與寅巳之較為卯丑則卯丑與丁癸兩較之比例則必俱等於各線相當之比例即可知辰丁與寅巳【皆句】及甲辰與丁寅【皆股】俱若兩較之丁癸與卯丑矣法置辛癸乘癸丁為高實而以丑卯除得辰甲者是借丑卯與癸丁之比例因寅丁以求辰甲也【寅丁與辛癸等】又置卯辛乘癸丁為遠實而以丑卯除得丁辰者亦借丑卯與癸丁之比例因巳寅以求丁辰也【巳寅與卯辛等】辰甲為表外之高丁辰亦表外之遠
設不知廣之深不知深之廣重表測之各得幾何如甲乙丙丁壁立之谷既不知深又不知廣先求乙甲之深自谷岸乙點退行【四尺】至戊地立人目表為巳戊高【二尺七寸】依乙岸窺谷底丙點令巳乙丙成斜弦直
線次於谷旁立表為壬乙高【五尺】復
依巳戊線立人目表為辛戊高【八尺
二寸】人目依壬表末望丙令辛壬丙
成斜弦直線以辛戊【八尺二寸】減壬乙
表【五尺】餘辛庚【三尺二寸】再與巳戊【二尺七寸】
相減餘辛癸較【五尺】乃以等巳戊之癸庚【二尺七寸】與壬表【五尺】乘之得【一百三十五寸】為深實以辛癸較【五寸】為法除之得乙甲深【二丈七尺】是為以辛癸比癸庚若壬乙與乙甲次求甲丙之廣以等戊巳之庚壬【四尺】與壬乙表【五尺】相乘【得二十尺】為廣實亦以辛癸較【五寸】為法除之得甲丙廣【四丈】是為以辛癸比庚壬若壬乙與甲丙
設甲乙不知遠以矩尺【即木工曲尺】測之
欲知甲乙之遠先立丙表於甲與地平為直角次以矩尺内直角加於丙表之末以丙戊尺向遠視乙令丙戊乙成斜弦直線次從丙丁尺視巳以甲丙表自乘而以甲
巳相距之遠為法除之得甲乙之遠是為以巳甲比甲丙若甲丙與甲乙則丙甲為連比例之中率按矩尺為直角形若兩邊等平則甲丙表兩平地之句必等今矩尺一昂一俯則巳甲必小於丙甲而丙甲必小於甲乙故以巳甲比丙甲若丙甲與甲乙蓋皆以小比大以小大同類為比例而不執句股縱横為同類故三率法應二率三率相乘而此用二率自乘而以一率為法除之非另有連比例之中率也若變而通之以丙子比子戊若丙甲與甲乙
西法矩度測量
矩度代表度有直景倒景有一矩測重矩測積實與為法除悉如中法亦可三率法求之
造矩度用堅木或銅版為之依上圖從矩極均分十二度【陳䃤庵止用一十度省一乘法】或每度更細分之從通光耳視所測相參直以權線所切何度何分比例推算與立表測量等
變景法
景即直景倒景也變景者視權線所切直景不變而倒景必變爲直景也一矩測量即倒景可不必變而重矩測量則倒景必變其法以矩度自乘【如矩度十二自乘得一百四十四為矩冪】以景度【即權線所切之度如幾度幾分則矩度景度通照幾分度分之】為法除之【其變景之理詳句股述】
直景必高多遠少如一象限人望四十五度【半象限九十度】以上權線必切直景
倒景必高少遠多如一象限人望四十五度以下權線必切倒景
變景者變倒景之少度為直景之多度蓋測物愈遠則矩愈平其權線所切必在倒景故必變之如上丁戊變乙壬也
矩度測高
直景以矩度乘遠得積實以景度為法除之
設所測不知其高距所遠三十尺權線切直景八度法以矩度【十二】與遠【三十】相乘得三百六十為積實以直景八度為法除之【如籌算檢八號籌視某格與積實近少除之】得四十五尺為矩乙角以上之高即所測之高是為以小句【景度】比小股【矩度】若大句【遠】與大股【高】
倒景以景度乘遠得積實以矩度為法除之
設遠六十尺權線切倒景七度又五分度之一法以景度【七】通五分之得【三十六】分以乘遠【六十】得積實二千一百六十以矩度【十二】通五分之得【六十】為法除之得三十六尺為矩乙角以上之高【此倒景不必變但變其法以景度乘遠以矩度為法除之亦同】是為以小句比大句若小股與大股
重矩測高【測高先不知其遠則用重矩如重表測法】
前矩直景後矩直景以矩度乘表間得積實以兩景較為法除之【表間即懸矩之幹兩矩相距之間】
設前直景【五度】後直景【十度】兩矩相距【十尺】法以矩度【十二】乘表間【十尺】得【一百十尺】 為實以兩景較【五度】為法除之得二十四尺為矩乙角以上之高以小句比小股若大句與大股同前首條
前矩直景後矩倒景以矩度乘表間得積實以倒景變直景與前直景較以景較為法除之
設前直景【十一度】後倒景【九度】兩矩相距【二十二尺】法以矩度【十二】乘表間二十得【二百四十】為積實又以倒景【九度】為法除矩冪【一百四十四】得變景十六與前矩直景較餘【五】為法除積實得【四十八】為矩乙角以上之高是為以小句【景較】比小股【矩度】若大句【表間相距】與大股【所測之高】
前矩倒景後矩倒景將兩倒景俱變為直景仍以矩度乘表間得積以兩變景較為法除之得所測之高仝前按測望即容方求餘句餘股法其矩測之倒景必變者蓋立表測高人目退望使參相直若所測愈高則人目距表愈近所測愈低則人目距表愈遠表即容方之邊而人目退望之處即餘句也今矩之甲角愈高則倒景反多矩之甲角愈低則倒景反少故必變景而後合於人目退望之餘句余舊刻句股述論之詳矣但舊刻於前後俱倒景一條悞以景較乘遠以矩度為法於三率以小句比大股若大句與大股法不合若依前一表測高所切倒景之法亦以景度乘遠矩度為法則此兩倒景巳俱變直景矣豈可仍用倒景法乎特為改正
測遠
按測無高之遠先用重矩測得高【巳壬】次以矩度【甲】為一率以後矩所變之
景【乙戊】為二率以高【巳壬】為三率即得四
率之遠是為以小股【甲乙】比小句【乙戊】若大股【巳壬】與大句【壬乙】
右高【巳壬】得四八變景【乙戊】得一六矩度【甲乙】十二度依三率法得遠六十四蓋倒景既變直景則甲乙戊成直角小句股形與巳壬乙之直角大句股相等故用三率比例
以測高法還原
設遠【六十四尺】倒景【一六】矩度【一二】以矩度乘遠【六四】以變景度【一六】為法除之得高【四八】與前重矩測高第二條相合按重矩測無高之遠西法測量法義同文算指俱未論及錢唐毛扆再氏補論一則但干支字様與圖互異且比例之法辨晰各較相比似不若竟以甲乙戊之小句股比巳壬乙之大句股尤易曉然便於初學故創為此圖
測深
設井口或徑廣十二尺求至水面深幾何
用矩度視深【辛】使甲巳辛參相直
視權線在直景乙戊【三度】以矩度【十二】
乘等庚巳之辛壬水面【十二尺】得【一百四十四尺】為實以乙戊【三度】為法除之得【巳壬】深【四十八尺】是為以【乙戊】比【乙甲】若【壬辛】與【壬巳】
設池面不知廣就池岸設垂線至水得一丈三尺測廣幾何
權線切倒景丁戊【三度】依法變為直景【四十八度】以乘巳壬【十三尺】得【六百二十四尺】為實以甲乙矩度【十二】為法除之得庚巳廣【五十二尺】是為以甲乙比乙癸若巳壬與等【壬辛】之巳庚
又倒景不變以矩度乘【巳壬】得積以倒景丁戊【三度】為法除之亦得巳庚廣【五十二尺】
按倒景必變直景若止一矩測廣則倒景亦可不變然在直景則景度乘深而矩度為法除之若在倒景則矩度乘深而景度為法除之固兩不相混也至於測高則必矩度乘取積實而景度為法除之此兩矩測一定不易之法也
附三率算術
古名異乘同除西法變為三率
原有丁戊股十四尺
丙戊句十一尺二寸
今截丁乙股十尺
求乙甲截句幾何
西法三率
一率 【以】原有股十四尺 為法
二率 【比】原有句十一尺二寸 【相乘為實】三率 【若】今截股十尺
四率 【與】求得截句八尺 法除實所得術以原股比原句若截股與截句
凡言以者為一率言比者為二率言若者為三率言與者為四率
二率三率常相乘為實一率為法除實故名三率而求得之數為四率
按西法三率算術專為比例之用如右所求在截句則以原股比原句若截股與截句如所求在截股則以原句比原股若截句與截股又如所求在原句則以截股比截句若原股與原句再如所求在原股則以截句比截股若原句與原股隨所比例各視所求而以同類比之如前測望諸法或以小句比小股若大句與大股或以大句比大股若小句與小股之類其縱横大小不相紊亂後三角法悉依此術縱横大小相為比例而又線與線為類邊與邊為類法益加密矣
勾股引蒙卷三
