108-數度衍卷二十三
數度衍卷二十三
桐城 方中通 撰
九章外法
約分法
式四十二數在九十八數内得幾分之幾曰七分之三術約以分子也數多為母數少為子今以四十二為子九十八為母視母數内滿幾囘子數盡減去今減兩回四十二餘母十四又於子數内減餘母今減兩回十四餘子十四此謂之子母同餘如不同餘則不可約矣以同餘之十四為法除母得七除子得三乃知四十二在九十八内為七分中之三分也
通分法
式物四十五件每件價三分兩之二該銀若干曰三十兩術通以分母也以三之二命三為母二為子乃以子二乘四十五得九十兩為實以母三為法除之得三十兩
通曰此零算則無盡而總算則無零也
異乘同除法
式錢四貫得貨十二斤今錢二十貫該貨若干曰六十斤術此即三率準測法也又名三纍先定三率之位以四貫為一率以十二斤為二率以二十貫為三率乃以二率三率相乘得二百四十以一率除之得六十為第四率又術先㝷紐數如用四為紐數一率四有一回四二率十二有三回四則以一代四為一率三代十二為二率仍用二十為三率所求四率亦同更以五代二十為三率亦用一為一率二率仍用十二亦可又術以一率除二率乘三率亦合又術以一率除三率乘二率亦合
通曰後二術皆先除後乘恐有零不盡不如先乘後除也
若以二率三率相乘以四率除之即得第一率之數若移三率作一率移四率作二率移一率作三率即得第二率之數
定位諸式
通曰二率三率可以相換一率則不可易矣
式買絹五十二疋銀四十四兩今買二百六十疋該銀幾何曰二百二十兩術此所問在二百六十疋則以二百六十為第三率以原絹五十二為第一率相當而以四十四為第二率以當所測之第四率也
式二每石價一兩七錢五分米每石價二兩五錢今有穀三百九十六石照價折米該若干曰二百七十七石二斗術以穀價為二率米價為一率今有糓為三率若問米照價準糓則以米價為二率糓價為一率米數為三率
式三八成金五十兩價二百兩今有九成金四十兩該價若干曰一百八十兩術此有成色當折足色之後用本法推之以八成金折足四十兩為一率二百兩為二率九成金折足三十六兩為三率
式四蠟十斤零五分斤之二又七兩零二分兩之一共銀二兩六錢今有銀九錢買蠟若干曰三斤十二兩一錢九分又六十五之四術此為三不同類之率取原銀二兩六錢化為二十六錢為一率取原蠟二起共化為一千七百三十九錢為二率以今銀九錢為三率求得六百錢零一錢九分零歸得斤兩數
式五煉礦求銀初火每三兩得二兩再火每七兩得五兩三火每五兩得四兩凡三次共得足銀十六兩問原礦若干曰四十二兩術此當并子并母求之以三子相乘煉得二兩乘五兩得十兩又乘四兩得四十兩為首率以三母相乘每三兩乘七兩得二十一兩又乘五兩得一百○五兩為次率以足銀為三率
式六驛使先發三十七里别一騎追一百四十五里尚不及二十三里再追幾何里可及曰二百三十八里又十四分里之三術先推知一百四十五里只追上十四里即以十四里為首率一百四十五里為次率不及二十三里為三率
式七二人同步甲疾乙遲甲百步乙纔六十步假使乙先行百步甲該幾何步可及曰二百五十步術以甲百步與乙六十步相減得較四十步為首率以甲百步為次率以乙先行百步為三率
式八糴米三千五百石每石價六錢五分外用脚價五分就糴處以米準折問脚米存米各若干曰脚米二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五【約為十三之九】存米三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十【約為十三之四】術以每石糴價為首率總米為次率脚價為三率求得脚米以減總米得存米若已運至倉則并糴價脚價共七錢為首率依法求之只該脚米二百五十石
通曰數以四分用三故三率為數之樞也乘除亦三率而人不知者因其首率為除之法一次率為乘之法一法數遇一則不用三率耳前後諸式有各章己見者此則專以三率名也
同乘異除法
式借布長四丈濶二尺今還布止濶一尺八寸該長若干曰四丈四尺四寸零術此變測法也如一率多於三率而二率反少於四率或一率少於三率而二率反多於四率者當審其不相準之數而變法測之則以第一率乘第二率以第三率除之也今以原濶二尺為一率以原長四丈為二率以今濶一尺八寸為三率若用異乘同除法則移三率為一率移一率為二率移二率為三率亦可
定位諸式
式借九成金五十四兩今以八成金抵還該若干曰六十兩七錢五分術以九成為首率五十四兩為次率八成為三率
式二原母四千兩生息三年今母七千四百八十兩須幾年可當其三年之息曰一年七月十日六時四刻又三百七十四分刻之八十六術以原母為首率三年為次率今母為三率
式三原麥半石價六百文作餅每餅重十兩值十文今麥價每石八百文而每餅仍是十文該重若干曰十五兩術以原價為首率十兩為次率今價折半為三率式四二百四十步為一畝係濶八步長三十步今濶六步該長幾何曰四十步術八步為首率三十步為次率六步為三率
式五原倉貯米三百八十四石高八尺濶一丈二尺深一丈今倉照前米數亦高八尺深八尺該濶幾何曰一丈五尺術深一丈為首率濶一丈二尺為次率深八尺為三率
式六築臺每日用夫三十四年而成今每日用夫五十該幾時成曰八百六十四日術以三十為首率以四年化作一千四百四十日為次率以五十為三率
式七守兵八千五百其糧僅能支十一月若待運糧至尚須二十五月計當撤兵幾何留兵幾何而後足食二十五月曰留三千七百四十撤四千七百六十術以十一月為首率八千五百為次率二十五月為三率求出四率為留數減總得撤數
式八每日空車行七十里若重載只行五十里今載糧到倉五日三返路遠若干曰四十八里又三十六之二十二術以五日為首率以七十乘五十得三千五百里為次率并七十五十得一百二十里以乘三返得三百六十為三率
異乘同乘法
通曰定率之後仍用異乘同除法求之
式每人每月織絹六疋若八人四年該織幾何曰二千三百○四疋術以四年化作四十八月乘八人得三百八十四又以六疋乘之即得又術用并法以一人乘一月得一為首率以六疋為次率以八人乘四十八月得三百八十四為三率
通曰首率是一故前術為捷耳若非一者必用此術及後術也又術用重準測法又名夾三纍先以人數測絹數以一人為首率六疋為次率八人為三率求得四率四十八疋又以月數測絹數以一月為首率以前四率為次率四十八月為三率
用并諸式
式原買大布一疋長二丈五尺濶一尺六寸價二錢今買小布一疋長一丈八尺濶一尺三寸用價一錢二分其貴賤若何曰只該一錢一分七釐今貴三釐術以大長乘大濶得四丈為首率以二錢為次率以小長乘小濶得二丈三尺四寸為三率
式二三人用米五石值銀三兩計食五旬每人每日銀米各幾何曰銀二分米三升三合又三之一術以三人乘五十日得一百五十為首率以三兩化作三百分為求銀之次率五石化作五百升為求米之次率皆以一人乘一日得一為三率
式三母銀三百兩四年得子銀一百兩今母銀一千五百八十兩七年該子銀若干曰九百二十一兩又三之二術以三百乘四年得一千二百為首率以一百為次率以一千五百八十乘七年得一萬一千○六十為三率
式四兵每名每月給銀四兩今兵一萬三千名九月該給若干曰四十六萬八千兩術以一名乘一月得一為首率以四兩為次率以九月乘一萬三千得十一萬七千為三率
重測諸式
式母銀十兩三月得子銀四兩母銀百兩欲得子銀二千兩須幾時曰一百五十月術此須先知百兩三月所得以十兩為首率四兩為次率一百兩為三率求出四十兩為四率後以四十兩為首率三月為次率二千兩為三率
式二夏布四十五疋換綿布夏布三疋共價二錢綿布七疋共價七錢五分該換若干曰二十八疋術先求夏布四十五疋之共價以三疋為首率二錢為次率四十五疋為三率求出三兩為四率後以七錢五分為首率七疋為次率以先四率為三率
式三銀二十三兩買布七十五疋每疋長四丈濶二尺今另買布濶一尺六寸長與前等該減前價若干曰四兩六錢術先求每尺之價以四丈乘七十五疋得三百丈又乘二尺得六千尺為首率以二十三兩為次率另立一尺為三率求出三釐八毫三絲又三之一為四率再求應減之價以先三率為後一率先四率為後二率以兩濶相減餘四寸乘三千尺【即四丈乘七十五所得之數】得一千二百尺為三率
式四重舟日行八十里輕舟日行百里重舟先去十五日輕舟幾日追及曰六十日術先求重舟十五日所行以一日為首率八十里為次率十五日為三率求出一千二百里為四率後以輕舟每日多行二十里為首率以先首率為後二率先四率為後三率
式五車輪半徑一尺九寸五分一日轉二萬周為里幾何曰一百三十里術倍半徑得三尺九寸為全徑推得周一百一十七寸以一周為首率一百一十七寸為次率二萬周為三率求得二十三萬四千尺為四率再以里法三百六十步化作一千八百尺為首率一里為次率前四率為後三率
式六十二人九日刈麥二十畝今三十人刈麥四十五畝該幾日曰八日又十之一術先以人較日以十二人為首率九日為次率三十人為三率此係一率小於三率而四率少於二率者當用變準測一二相乘以三率除求出三日又五之三為四率後以日較畝以二十畝為首率前四率為後次率四十五畝為三率仍用本法式七煉銅每次十斤得八斤三次得七十五斤十三兩四錢四分原生銅若干曰一百四十八斤二兩術化八斤作一萬二千八百分為首率化十斤作一萬六千分為次率化總銅作十二萬一千三百四十四分為三率求出十五萬一千六百分為二火銅數以此數為三率一率二率如故求出十八萬九千六百分為一火銅數又以此數為三率一率二率如故又求出二十三萬七千分用斤法十六除之即得又術以八斤自乘再乘得五百一十二為法除三火銅化分得二三七因有再乘當升二位作二千三百七十兩以斤法除之亦得通曰此用三回三率故又名大夾三纍
式八雇匠採石每六十丈價七兩七錢船價三錢總用鍜鐵炭火銀二百兩是六十分之二問總銀石數石價船價各若干曰總銀六千兩石四萬三千五百丈石價五千五百八十二兩五錢船價二百一十七兩五錢術二百兩為六十分之二即知總銀是六千兩矣内減二百兩只以五千八百起算為三率以六十丈為二率以兩價并得八兩為首率求出石四萬三千五百丈為四率又以四率為三率以六十丈為首率七兩七錢為次率求出石價減五千八百餘船價加二百兩合總銀式九母銀百兩貨每斤賣二錢已得息三十兩今若每斤賣至二錢四分其息幾何曰五十六兩術先求每斤二錢内母銀若干以母并原息得一百三十兩為首率以一百兩為次率以二錢作二十分為三率求出十五分又十三之五為四率後以四率為首率以二錢四分内減十五分又十三之五餘八分又十三之八為次率一百兩為三率
式十布每疋長四十尺内抽税二尺客布三百疋税司抽布十五疋半反貼客錢六百文其布價每疋幾何曰一千二百文術此已知税為二十取一也先求三百疋應抽之數以二十疋為首率一疋為次率三百為三率求出十五疋為四率以減十五疋半餘半疋係二十尺為首率六百文為次率四十尺為三率
通曰二尺乘三百疋得六百尺以四十尺除之亦得應抽之數
式十一販參每六斤價七兩七錢脚價三錢又用牙銀二百是原母三十之一其母銀參數兩價各若干曰原母六千兩參四千三百五十斤價五千五百八十二兩五錢脚價二百一十七兩五錢術與八式同
式十二飯僧初日每五十人米八斗次日每九十人米七斗共用米三十二石一斗米僧各若干曰僧一千三百五十初日用米二十一石六斗次日用米十石○五斗術先將兩子母互乘【五十九十】□【八七】左得三百五十右得七百二十并得一千○七十為首率兩母相乘得四千五百為次率以共米為三率求出一千三百五十為僧數又以五十人為首率八斗為次率僧數為三率求出初日米數再以九十人為首率七斗為次率僧數為三率求出次日米數
式十三銀六錢五分換大小錢錢數相等每銀一錢換大錢七十五文銀一錢換小錢一百二十文問各若干曰大錢三百文小錢三百文術以七十五文為首率換大銀一錢為次率一百二十文為三率求出一錢六分為大一百二十之銀再以一錢六分并換小銀一錢共二錢六分為首率并大一百二十小一百二十共二百四十文為次率以六錢五分為三率求得六百文平分大小各三百
式十四一百二十里物重八十斤工銀六分今一百八十里物重一百二十斤該工銀若干日一錢三分五釐術先以八十斤為首率六分為次率一百二十斤為三率求出銀九分後以一百二十里為首率九分為次率一百八十里為三率又術通曰視一百二十斤多八十斤二之一則將六分多二之一為九分又視一百八十里多一百二十里二之一則又將九分多二之一為一錢三分五釐亦合【以先里重乘為首率工為次率以後里重乘為三率亦可】
附式夫百名築城二百丈八月完工今夫百名築城二萬丈幾月完工曰八百月術此因前後皆是一百名不必重測以二百丈為首率八月為次率二萬丈為三率式二貨百斤賣銀六十四兩母每百兩得子六兩又三之二問各若干曰母六十兩子四兩術并母子共一百○六兩又三之二為首率母一百兩為次率賣銀為三率此除貨不用也
式三貨賣銀二百兩云每百兩折銀十兩其原買母銀若干曰二百二十二兩又九之二術此因百兩内折十兩當以九十兩為首率一百兩為次率二百兩為三率
異除同除法
式十五客十二日用米三石六斗一客一日用米若干日二升術以用米為實以十二日為法除之得每日米三斗又以十五客為法除三斗得每人二升
同乘同除法
式鵝八換雞二十雞三十換鴨九十鴨六十換羊二今有五羊換鵝若干日二十術以鵝八乘雞三十得二百四十又乘鴨六十得一萬四千四百又乘羊五得七萬二千為實以換雞二十乘換鴨九十得一千八百又乘換羊二得三千六百為法以法除實得換鵝數【已上諸法式中凡遇奇零者法詳三卷】
雜收
式一銀八百八十二兩分甲乙丙三等人共一百四十四名云甲每人七兩則乙每人五兩丙每人三兩問人銀各若干通曰以總人暫作三分每等四十八人以七兩乘甲四十八人得三百三十六以五兩乘乙四十八人得二百四十以三兩乘丙四十八人得一百四十四并得七百二十兩較總銀尚少一百六十二兩須益一甲損一丙則多四兩乃以四兩除一百六十二得四十人計多一百六十兩尚少二兩又須益一甲損一乙則多銀二兩也甲初四十八人加丙移四十人乙移一人共八十九人分銀六百二十三兩乙初四十八人減移甲一人止四十七人分銀二百三十五兩丙初四十八人減移甲四十人止八人分銀二十四兩又甲八十二人乙六十一人丙一人亦可
式二甲乙丙三物共百枚錢百文云甲一枚錢二文乙三枚錢一文丙五枚錢一文問各若干通曰暫以甲作三十二錢六十四乙作三十三錢十一丙作三十五錢七文并得錢八十二文較之百文尚少十八文須益十甲損十丙則多十八文也甲四十二錢八十四乙三十三錢十一丙二十五錢五文又甲四十四乙六丙五十亦可
通日右二式無準不可立通數差分不可盈朒亦不可姑存此
式三有積於此以三數之餘二以五數之餘三以七數之餘二為積幾何其法三數每餘一作七十今當作一百四十五數每餘一作二十一今當作六十三七數每餘一作十五今當作三十并得二百三十三滿百則減去并帶去五今於并數内減二百又帶去一十餘二十三為積也
通曰五用二十一者三七相乘數也七用十五者三五相乘數也三用七十者五七相乘而倍之之數也減百零五者并七十與二十一及十五得一百零六減百零五而餘一也
式四四正四隅各置三枚截南三方共成九枚截西三方亦成九枚四面皆然今四正各加一枚四隅各移一枚入正截南三方仍是九枚四面皆然何也通曰四隅一枚當二枚用四正一枚止是一枚也
式五環二十子内有二黑子相連以九數之止處即除一子除畢二黑不動宜從何起通曰五為九之中左右各四離黑子四位起可也大凡以九數者不拘多寡中必有相連二子不動七亦如之惟起處當臨時測耳式六十位九子隔三而投務從空起可越而不可曲其投若何
通曰甲丙戊庚壬五陽位也乙丁己辛癸五隂位也陽起隂止隂起陽止一隂一陽而九子畢投矣
式七酒十斤貯甲器外有乙器可容七斤丙器可容三斤而無秤欲兩平分其術若何通曰有二術就甲器貯酒用丙盛三斤入乙又盛三斤入乙又盛三斤内以一斤足乙七斤丙餘二斤乃將乙七斤復入甲以丙餘二斤入乙又盛三斤入乙則甲乙各得五斤矣若將乙丙二器貯酒以丙三斤入甲又盛三斤入甲又盛三斤入甲甲受九斤乙餘一斤乃以丙盛此一斤以甲九斤内七斤入乙甲餘二斤以乙七斤内二斤足丙三斤入甲則甲乙亦平分也
附録
式一借銀二百六十兩每年加三息至十箇月二十四日共息若干通曰先用通日為月率之法以所零二十四日用三為法除得八于十月下空一位列之又用通月為年率之法以實零八為實用十二為法除得九乃以九乘借銀得二百三十四兩為實用加三息乘之得七十兩零二錢蓋三十日為一月故用三為法十二月為一年故用十二為法也
式二四商共販趙於甲子年正月初九日出本三十兩錢於乙丑年四月十五日出本五十兩孫於丙寅年八月十八日出本七十兩李於丁卯年十月二十七日出本九十兩至戊辰年終共得利銀一百二十兩各該利若干通曰先用月率年率之法趙計四年十一箇月二十一日以三除二十一日得七併月為十一七以十二除之得九七五併年為四九七五以原本三十乘之得一百四十九兩二錢五分為趙通本錢計三年八箇月十五日以三除十五日得五併月為八五以十二除之得七零八三三三併年為三七零八三三三以原本五十乘之得一百八十五兩四錢一分六釐六毫【不盡數去之】為錢通本孫計二年四箇月十二日如法得一百六十五兩六錢六分六釐六毫為孫通本李計一年二箇月零三日如法得一百零五兩七錢五分為李通本併四通本得六百零六兩零八分三釐二毫為法以除共利一百二十兩得一錢九分八釐【收零】此乃是每年每兩之利也然後以此為通法乘趙通本得利二十九兩五錢五分一釐【去五毫】以通法乘錢通本得利三十六兩七錢一分一釐【去一釐四毫零】以通法乘孫通本得利三十二兩八錢【去零數】以通法乘李通本得利二十兩零九錢三分八釐【去五毫】
式三借銀每年每兩加利二錢七分今有一年三箇月二十日收還本利和銀三百六十二兩四錢七分其本利各若干通曰先用月率年率之法用三除二十日得六六六六併月為三六六六六以十二除之得三零五五五併年為一三零五五五又以利二錢七分乘之得三錢五分二釐五毫【收零為五毫】此乃是每兩之利也加每本一兩得一兩三錢五分二釐五毫為法以除本利和得二百六十八兩為本再以每兩利三錢五分二釐五毫乘本得利九十四兩四錢七分
通曰右第二第三式應屬差分但前差分章内之式有整月而無零日此三式俱有零日用通日為月率通月為年率之法又有零尾或去或收故附於此
數度衍卷二十三
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>
