106-數度衍卷二十
數度衍卷二十一
桐城 方中通 撰
方程
雜和較乘法
通曰數之不齊者以乘齊之數之不齊者以較齊之徧用者方程也
二色方程
式鼎三彞二共重一百四十五兩又鼎四彞五共重二百七十五兩問二色各重若干曰鼎二十五兩彞三十五兩術分三段徧乘之鼎四列左上彛五列左中共重
二百七十五列左下鼎三列右上彛二列右中共重一百四十五列右下以右上鼎三乘左上得十二乘左中得十五乘左下得八百二十五註左以左上鼎四乘右上得十二乘右中得八乘右下得五百八十註右又以乘數各相對減兩鼎減盡不用兩彛減餘七兩共重減餘二百四十五乃以少除多當以二百四十五為實以七為法除得三十五兩為一彛之重以右中彛二乘得七十以減右下共重一百四十五餘七十五以右上鼎三除得二十五兩為一鼎之重若以彞徧乘以七為法亦同所得減餘之實乃一百七十五以法除得每鼎二十五兩以左上鼎四乘得一百以減左下共重餘一百七十五兩為五彛重數蓋鼎乘反得彛彛乘反得鼎也通曰既得每彛或每鼎之後左右皆可求也
式二紗三疋絹四疋共價四兩八錢又紗七疋絹二疋共價六兩八錢問二色各價若干曰紗每疋價八錢絹每疋價六錢術與右同
式三七釧九釵共重九兩四錢釧重釵輕於中互換其一輕重適等問各重若干曰每釧重七錢每釵重五錢
術此依互換
者列位一係
六釧一釵一
係一釧八釵而中分其共重之數左右列下以右釧六徧乘左行釵得四十八重得二十八兩二錢以左釧一徧乘右行釵得一重得四兩七錢對減中段減餘四十七為法下段減餘二十三兩五錢為實【作二百三十五】以法除得五錢為一釵數以減右重餘四兩二錢為六釧共數以六除得每釧七錢若以釵徧乘者得減餘之實三十二兩九錢以法四十七除得七錢為一釧數
通曰上段互乘相減必盡可以不乘矣
式四錢一萬文買二馬一牛則不足半馬之價買一馬二牛則餘半牛之價牛馬價各若干曰牛價一千八百
一十八
文又十
一之二
馬價五千四百五十四文又十一之六術此當以不足半馬者損為一馬又二分馬之一及一牛也以餘半牛者益為一馬及二牛又二分牛之一也依法列段用整帶零乘除之【見奇零】以右馬徧乘左行左中得三頭四之三左下得一萬五千以左馬徧乘右行右中得一頭右下得一萬對減中段減餘二頭又四之三為法下段減餘五千文為實以法除得牛價以減右總價餘八千一百八十一文又十一之九以右上馬一匹又二之一除之得馬價
式五甲乙二窖積粟云取乙三之一與甲及取甲二之一與乙各滿二千石其各原窖幾何曰甲一千六百石
乙一千二百石術
此零法列位互乘
甲得六千乙得四千減餘二千為實兩母并五為法除得四百以乙母三乘得乙以減二千餘八百以甲母二乘得甲其各以母乘者蓋前所除為子數必歸母見整故也
式六每工種麥三畦菽四畦共種三百○一畦其菽麥畦及工各若干曰麥一百二十九畦菽一百七十二畦工四十三術此為雙頭單脚互乘取三四左右列之并七為法下列總畦若求麥數者左三乘總畦得九百○
三以法除得麥
畦又以四乘得
五百一十六以左三除得菽畦若求菽數者右四乘總畦得一千二百○四以法除得菽畦又以三乘得五百一十六以右四除得麥畦又術通曰以三四并七為法除總畦得四十三為工數以麥三乘工數得麥畦以菽四乘工數得菽畦
式七銀二百六十四兩買牛羊共百牽每牛三頭價二十兩每羊四羫價一兩五錢牛羊及價各若干曰牛三十六頭價二百四十兩羊六十四羫價二十四兩術左
右列定牛乘羊價羊乘牛價得數減餘七十五兩五錢為法總牽總價列下如求牛數者以羊四乘總價得一千○五十六以羊價一兩五錢乘總牽得一百五十相減餘九百○六為實以法除得十二為牛裒以牛三乘得三十六頭以二十兩乘牛裒得牛共價總内減牛餘羊如求羊數者以牛三乘總價得七百九十二以牛價二十兩乘總牽得二千相減餘一千二百○八為實以法除得十六為羊裒以羊四乘得六十四羫以一兩五錢乘羊裒得羊共價總内減羊餘牛
式八用匠五千名包磚板二隄共四千九百九十五方限每日匠九名包板隄十一方匠七名包磚隄四方問隄匠各若干曰板隄四千○一十五方匠三千二百八十五名磚隄九百八十方匠一千七百一十五名術通
曰與右同總匠即總價共方即總牽磚板即牛羊也式九百餅飯大小百僧一大僧食三餅三小僧食一餅其大小僧各若干曰大僧二十五食餅七十五小僧七十五食餅二十五術通曰此兩總同數其裒必同也左右列定互乘相減餘八為法總僧總餅列下如求大僧
者以小三
乘總餅得
三百小食一乘總僧得一百相減餘二百為實以法除得二十五為裒大一乘裒得大僧數以食三乘裒得餅如求小僧者以小三乘裒得小僧數以食一乘裒得餅又術通曰兩總相同即以一百為實大小僧并大小食并又同即以四為法除得大僧數推知各數
三色方程
式四雀六燕七鷦共重八錢九分又三雀五燕九鷦共重八錢一分又五雀七燕八鷦共重一兩○六分三色各重若干曰每雀重八分每燕重六分每鷦重三分術
置左右中三行作四段列之以右五雀徧乘中行雀得十五燕得二十五鷦得四十五重得四兩○五分註中以中三雀徧乘右行雀得十五燕得二十一鷦得二十四重得三兩一錢八分註右中右對減雀無餘燕餘四鷦餘二十一重餘八錢七分另列後圖之右以右五雀徧乘左行雀得二十燕得三十鷦得三十五重得四兩四錢五分註左以左四雀徧乘右行雀得二十燕得二十八鷦得三十二重得四兩二錢四分註右左右對減雀無餘燕餘二鷦餘三重餘二錢一分另列後圖之左除雀無餘不用後圖止三段以右行燕四徧乘左行燕得八鷦得十二重得八錢四分註左以左行燕二徧乘
右行燕得八鷦得四十二重得一兩七錢四分註右對減燕無餘鷦餘三十為法重餘九錢為實以法除得二分為一鷦之重乘左三鷦得九分以減左重餘一錢二分為左二燕之重每燕六分乃於前圖左重八錢九分内去原鷦七重二錢一分原燕六重三錢六分尚存三錢二分為原四雀之重每雀八分或於前圖右行中行原數内推之皆得
式二犒夫二人共飯一分三人共酒一分四人共肉一分總用飯酒肉六十五分計夫若干曰夫六十飯三十分酒二十分肉十五分術以二人乘三人得六三人乘四人得十二四人乘二人得八并得二十六為法以二乘三得六乘四得二十四乘總分六十五得一千五百六十為實以法除得夫數推知各數
附式七人醵金甲乙共二十三兩七錢戊己庚共二十六兩一錢丙丁不知問各若干曰甲十二兩二錢乙十一兩五錢丙十兩○八錢丁十兩○一錢戊九兩四錢己八兩七錢庚八兩術先求隔母左列甲乙二右列戊己庚三取右三增一為四又乘三得十二減半得六又減三餘三為右中率取左二乘七人得十四減右三餘十一為左中率下列各共銀乃以左二徧乘右行中得
六下得五十二
兩二錢以右三
徧乘左行中得三十三下得七十一兩一錢對減中餘二十七為法下餘十八兩九錢為實以法除得隔母七錢再取甲乙共數并入七錢減半得甲十二兩二錢遞減七錢得各數
通曰隔母即遞減數也用帶分子母差分法亦可附式竹筩九節下三節共乘粟三升九合上四節共盛粟三升中二節不知問各節盛若干曰一節六合二節七合三節八合四節九合五節一升六節一升一合七節一升二合八節一升三合九節一升四合術左列下
三右列上四用右
法求得右中率六
左中率二十一下列各共盛乃以左三徧乘右行中得十八下得九分以右四徧乘左行中得八十四下得十五分六釐對減中餘六十六為法下餘六分六釐為隔母率却以法乘左三升九合得二百五十七分四釐以左三除得八十五分八釐為第八節數加母率得九節九十二分四釐若遞減母率七節得七十九分二釐六節得七十二分六釐五節得六十六分四節得五十九分四釐三節得五十二分八釐二節得四十六分二釐一節得三十九分六釐各以法六十六除得各粟數又術以中餘六十六為法下餘六十六為實以法除得一合為隔母率以左三除左三升九合得一升三合為八節
通曰前式甲乙二人共數故加隔母折半而得甲此式下三節共數故所求即第八節乃下三節之中節也
立正負法
立正負以别同異初以同名減其下同減而異并初以異名減其下異減而同并
二色方程
式筆三管換硯七方貼硯價四百八十文又硯三方換筆九管貼筆價一百八十文問各價幾何曰一筆價五十文一硯價九十文術硯為正筆為負左右三段列之
以右硯
七乘左
行中得六十三下得一千二百六十註左以左硯三乘右行中得九下得一千四百四十註右兩筆負同名減餘五十四為法兩價正負異名并得二千七百為實以法除得五十文為一筆之價取右筆三乘得一百五十加入價正四百八十共六百三十即右七硯之價以七除得每硯九十文若取左筆九乘五十得四百五十内減價負一百八十餘二百七十即左三硯之價如以筆徧乘者得異并之實四千八百六十以法除得硯價通曰舊法上段亦乘今不用其下段分正負者硯為正故貼硯價亦正筆為負故貼筆價亦負
三色方程
式硃二斤黄三斤價二千○四十文又黄五斤碌六斤價六百四十文又碌七斤硃三斤價二千九百八十文問各價若干曰硃每斤九百文黄每斤八十文碌每斤四十文術分三色及價作四段于右中左列之以右硃
二乘左行碌得十四價得五千九百六十以左硃三乘右行黄得九價得六千一百二十左右黄碌兩段俱無減并止兩價作同減餘一百六十除硃一段乃於左○位照黄乘得之數為立負九另以中行黄五碌六價六百四十列右左行○負九碌乘十四價餘一百六十列左於後以右黄五乘左行碌得七十價得八百以左負
九乘右
行碌得
五十四價得五千七百六十碌係正負異名并得一百二十四為法兩價作同減餘四千九百六十為實以法除得四十文為碌一斤價乃於前圖中行原價減中碌六斤價二百四十餘四百為中黄五斤價每斤八十文又於右行原價減右黄三斤價二百四十餘一千八百為右硃二斤價每斤九百文
式二牛一頭馬二匹驢三匹皆載物七百斤不能行一牛借馬一匹二馬借驢一匹三驢借牛一頭方行三等力各若干曰一牛力四百一馬力三百一驢力一百術
列定以
右正牛
一乘左行各如故以左借牛一乘右行各如故左右不用減并左馬空倣右馬乘得數立負一乃除却牛段以中正馬乘左行負得二驢得六下得一千四百以左負一乘中行馬得二驢得一下得七百中左馬同名減盡正借驢異名并得七為法下物作同減餘七百為實以法除得驢力一百斤於中行七百内減中一驢力餘六百為中二馬力每馬力三百斤又於右行七百内減右
一馬力餘四百即右一牛力或用後圖求馬力以右借驢一乘左行牛得一下得七百以左正驢三乘右行馬得六下得二千一百左右馬牛無減并下減餘一千四百除却驢段又左馬空倣右馬乘數立負六以中借馬一乘左行牛得一下得七百以左負六乘中行牛得六下得四千二百中左正借牛異名并得七為法下物作同減餘三千五百又以右下餘一千四百減之餘二千一百為實以法除得三百斤為一馬力
通曰此以正借分同異不分正負也
式三鴈二雉三換穀五斗七升雉三兔二換五斗三升兔四鴈五換一石問各若干曰每鴈一斗二升每雉一斗一升每兔一斗術列定以右鴈二乘左行兔八二石以左鴈五乘右行雉十五糓二石八斗五升左
右雉兔無減并糓作同減餘八斗五升除却鴈段於雉左○照右乘立負十五以中雉三乘左行兔二十四糓二石五斗五升以左負十五乘中行兔三十糓七石九斗五升中左兔正負異名并得五十四為法糓作同減
餘五石四斗為實以法除得一斗為一兔價於中行糓内減二兔價餘三斗三升為中三雉價每雉一斗一升又於右行糓内減三雉價餘二斗四升為右二鴈價每鴈一斗二升
通曰左右互乘既不乘鴈一段則左中互乘亦可不乘雉一段不然則雉係正負異名安得減盡乎故皆省之式四賣二牛五羊買十三豕餘五兩賣一牛一豕買三羊適足賣六羊八豕買五牛不足三兩問各價若干曰牛六兩羊二兩五錢豕一兩五錢術此以賣為正買為負餘為正不足為負也正為主則同減異并負為主則同并異減列定以右牛二乘中行羊六豕二以中牛一
乘右行羊五豕十三價五中右以正為主羊異名并十一豕異名并十五價無減并以右牛二乘左行羊十二豕十六價六以左牛五乘右行羊二十五豕六十五價二十五左右以負為主羊同名并三十七豕異名減餘四十九價異名減餘十九除牛一段再列減并數於後以羊十一乘左行豕五百三十九價二十兩○九錢以
羊三十七乘右行豕五百五十五價十八兩五錢左右豕異名減餘十六為法價異名減餘二兩四錢作二十四為實以法除得一五即一豕價一兩五錢以右豕十五乘得二十二兩五錢加右價五兩共二十七兩五錢俱羊價以右羊十一除得每羊二兩五錢再以前圖右豕十三乘一豕價得十九兩五錢加入右價五兩共二十四兩五錢為牛羊總價内減右五羊價十二兩五錢餘十二兩為右二牛價每牛六兩
四色方程
式柰二梨四共錢四十文梨二桃七共錢四十文桃四
榴七共錢三十文榴八柰一共錢二十四文問各價若干曰每柰八文每梨六文每桃四文每榴二文術分甲乙丙丁四行作五段列之先甲丁互乘以甲柰二乘丁行梨空桃空榴得十六價得四十八以丁柰一乘甲行梨仍四無對桃榴俱空錢仍四十與四十八相減餘八丁梨空照甲立負四次乙丁互乘乙無柰取梨二乘丁行桃空榴巳乘出十六得三十二錢餘八得十六以丁負梨四乘乙行桃得二十八無對榴空錢得一百六十并十六得一百七十六丁桃空照乙立負二十八次丙丁互乘丙無柰梨取桃四乘丁行榴巳乘出三十二得一百二十八錢巳乘并一百七十六得七百○四以丁桃負二十八乘丙行榴得一百九十六與一百二十八相減餘六十八為法錢得八百四十減去七百○四餘一百三十六為實其甲丁乙丁互乘惟求應立負數以為乘母既得法實其諸數皆不用也以法除實得二文為一榴之價於丙價三十減丙七榴價十四餘十六為丙四桃價每桃四文又於乙價四十減乙七桃價二十八餘十二為乙二梨價每梨六文又於甲價四十減甲四梨價二十四餘十六為甲二柰價每柰八文
五色方程
式井不知深用甲繩二不及泉借乙繩一補之及泉用乙繩三則借丙一用丙繩四則借丁一用丁繩五則借戊一用戊繩六則借甲一始俱及泉其各繩及井深若干曰甲繩二丈六尺五寸乙繩一丈九尺一寸丙繩一丈四尺八寸丁繩一丈二尺九寸戊繩七尺六寸井深七丈二尺一寸術列作五行以五繩之率為母借繩一為子先取甲二乘乙三得六又乘丙四得二十四又乘丁五得一百二十又乘戊六得七百二十并入子一得七百二十一為井深七丈二尺一寸也乃取甲乙丙丁戊及井深列作六段而以第五行為主一二三四行俱
與五行互乘也先以一行甲二乘五行戊六得十二下
得一千四百四十二以五行甲一乘一行乙仍得一五行即立負一下仍得七百二十一與前所乘之一千四百四十二相減餘七百二十一次以二行乙三乘五行戊十二得三十六下之減餘七百二十一乘得二千一百六十三以五行乙負一乘二行丙仍得一五行即立負一下仍得七百二十一并前所乘之二千一百六十三得二千八百八十四再以三行丙四乘五行戊三十六得一百四十四下之所并二千八百八十四乘得一萬一千五百三十六以五行丙負一乘三行丁仍得一五行即立負一下仍得七百二十一與前所乘之一萬一千五百三十六相減餘一萬○八百一十五末以四行丁五乘五行戊一百四十四得七百二十下之減餘一萬○八百一十五乘得五萬四千○七十五以五行丁負一乘四行戊仍得一并五行所乘之七百二十得七百二十一為法下仍得七百二十一并前所乘之五萬四千○七十五得五萬四千七百九十六為實以法除實得戊繩七尺六寸以減四行之七百二十一餘六百四十五以丁五除得丁繩一丈二尺九寸【丈為百尺為十】以減三行之七百二十一餘五百九十二以丙四除得丙繩一丈四尺八寸以減二行之七百二十一餘五百七十三以乙三除得乙繩一丈九尺一寸以減一行之七百二十一餘五百三十以甲二除得甲繩二丈六尺五寸
通曰自四色以上凡下段互乘相對皆係一減一并而積之不分正負同異矣其四色之丙丁兩行互乘榴段皆正同名則用減五色之四五兩行互乘戊段正借異名則用并也
止推下二段法
通曰如右式推出井深列定之後先以五行甲一乘各行乘乙一立負一乘丙一立負一乘丁一立負一乃止求下法實二段如求實段以一行甲二乘五行下得一十四百四十二以五行甲一乘一行下仍得七百二十一相減餘七百二十一又以二行乙三乘之得二千一百六十三以五行乙負一乘二行下仍得七百二十一并得二千八百八十四又以三行丙四乘之得一萬一千五百三十六以五行丙負一乘三行下仍得七百二十一相減餘一萬○八百一十五又以四行丁五乘之得五萬四千○七十五以五行丁負一乘四行下仍得七百二十一并得五萬四千七百九十六為實也如求法段以一行甲二乘五行戊六得十二又以二行乙三乘之得三十六又以三行丙四乘之得一百四十四又以四行丁五乘之得七百二十乃以五行丁負一乘四行戊一仍得一并得七百二十一為法也
數度衍卷二十一
