83-數學鑰卷六
數學鑰卷六
柘城杜知耕撰
勾股
一則
勾股求弦
設勾六尺股八尺求弦法曰置勾股各自乘【勾得三十六尺股得六十四尺】兩數並【共一百尺】平方開之得十尺即所求解曰不論勾股相等與否勾上方形及股上方形並
必與弦上方形等如甲乙丙
勾股形甲乙勾與丙乙股等
試作乙丁等高同底方形其
邊與甲乙等必為勾上方又
與丙乙等亦必為股上方再
作戊巳外切方形其邊與甲丙等即為弦上方若于形内減去乙丁方形餘甲乙戊等四三角形並之復等一乙丁方形【一卷十一則】以乙丁為勾方以等乙丁之四三角形為股方並之不等于戊巳弦方乎又如庚
辛壬勾股形庚辛短辛壬長
勾與股不相等者於庚辛勾
辛壬股庚壬弦上各作方形
為庚癸辛子辛丑次作辛寅
辛癸辛辰壬丑庚子五線幾
何原本云庚辛壬與庚辛午既皆方角即午辛辛壬是一直線依顯庚辛辛巳亦一直線又壬庚辰與辛庚丑既皆方角而每加一辛庚壬角即辛庚辰與壬庚丑兩角亦等依顯辛壬癸庚壬子兩角亦等又庚
辛辰三角形之辛庚庚
辰兩邊與庚壬丑三角
形之丑庚庚壬兩邊等
辛庚辰與壬庚丑兩角
復等則對等角之辛辰
與壬丑兩邊亦等而此
兩三角形亦等矣夫辛
丑方形倍大于同庚丑底同在平行線内之庚壬丑三角形【一卷八則既謂直形等于平行線内同底之象目形則必能倍大于平行線内同底之三角形】而辰卯直形亦倍大于同庚辰底同在平行線内之庚辛辰三角形則辛丑方形不與辰卯直形等乎依顯辛子方形與癸卯直形等則癸庚一形與辛子辛丑兩形並等矣法以勾股各自乘求勾股上兩方形也兩形並則為弦上之方積故平方開之得弦也二則
勾弦求股
設勾六尺弦十尺求股法曰置勾弦各自乘【勾得三十六尺弦得一百尺】兩數相減【餘六十四尺】平方開之得八尺即所求解曰弦上方積當一勾一股上方積于弦積内減去勾積所餘非股積而何故平方開之得股
三則
股弦求勾
設股八尺弦十尺求勾法曰置股弦各自乘【股得六十四尺弦得一百尺】兩數相減【餘三十六尺】平方開之得六尺即所求解曰弦積内減去股積所餘必勾積故平方開之得勾
四則
勾股積及勾股較求弦
設勾股積二十四尺勾股較二尺求弦法曰置勾股積四因之【得九十六尺】另置勾股較自乘【得四尺】兩數並【共一百尺】平方開之得十尺即所求
解曰甲乙丙
勾股形與戊
巳甲丁庚戊
乙辛丁三勾
股形等甲丙
為甲乙丙形之股甲巳為戊巳甲形之勾于甲丙截甲巳餘己丙則勾股較也丙辛辛庚庚巳各與己丙等是己辛為勾股較上方形又甲乙為甲乙丙形之弦而丁乙戊丁甲戊各與甲乙等是甲丁為弦上方形今並五形成一甲丁方形則是一弦上方形與四
勾股積一勾股較上方積並等矣
故四因勾股積並入勾股較自乘
之積平方開之得弦也又如壬子
癸勾股形壬子勾與子癸股等四
形並即成一壬丑弦上方形而無餘凡遇勾股相等之勾股形四因積平方開之即得弦度
五則
弦及勾股較求勾股積
設弦十尺勾股較二尺求勾股積法曰置弦與勾股較各自乘【弦得一百尺勾股較得四尺】兩數相減【餘九十六尺】以四歸之得二十四尺即所求
解曰弦上方積減去勾股較上方積必餘四勾股積故四歸之得一勾股積
六則
弦及勾股積求勾股較
設弦十尺勾股積二十四尺求勾股較法曰置弦自乘【得一百尺】另置勾股積四因之【得九十六尺】兩數相減【餘四尺】平方開之得二尺即所求
解曰弦上方積減去四勾股積所餘必勾股較上方積故平方開之得勾股較
七則
弦及勾股和求勾股較
設弦十尺勾股和一十四尺求勾股較法曰置弦自乘
【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股和
自乘【得一百九十六尺】兩數相減【餘四尺】平方開之得二尺即所求
解曰甲巳方形内凡八勾股
形而皆等乙戊為戊丁乙形
之股甲乙為乙丙甲形之勾甲乙乙戊並得甲戊乃勾股和也餘三邊皆等于甲戊是甲己為勾股和上方形又丙丁為弦上方形辛壬為勾股較上方形【本卷
四則】夫弦上方形内得勾股形
四及勾股較上方形一勾股
和上方形内得勾股形八及
勾股較上方形一是一勾股
和上方形當弦上方形二而
少一勾股較上方形也故倍
弦羃減勾股和自乘之積平方開之得勾股較八則
勾股和及勾股積求弦
設勾股和一十四尺勾股積二十四尺求弦法曰置勾股和自乘【得一百九十六尺】另置勾股積四因之【得九十六尺】兩數相減【餘一百尺】平方開之得十尺即所求
解曰勾股和上方大于弦上方者四勾股積也故相減開方得弦
九則
勾股和及勾股積求勾股較
設勾股和一十四尺勾股積二十四尺求勾股較法曰置勾股和自乘【得一百九十六尺】另置勾股積八因之【得一百九十二尺】兩數相減【餘四尺】平方開之得二尺即所求解曰勾股和上方大于勾股較上方者八勾股積也故相減開方得勾股較
十則
弦及勾股較求勾股和
設弦十尺勾股較二尺求勾股和法曰置弦自乘【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股較自乘【得四尺】兩數相減【餘一百九十六尺】平方開之得一十四尺即所求
解曰倍弦上方積大于勾股和上方積者勾股較上方積也故相減開方得勾股和
十一則
勾股積及勾股較求勾股和
設勾股積二十四尺勾股較二尺求勾股和法曰置勾股積八因之【得一百九十二尺】另置勾股較自乘【得四尺】兩數並【共一百九十六尺】平方開之得一十四尺即所求解曰即九則法反用之
十二則
弦及勾股積求勾股和
設弦十尺勾股積二十四尺求勾股和法曰置弦自乘【得一百尺】另置勾股積四因之【得九十六尺】兩數並【共一百九十六尺】平方開之得一十四尺即所求
解曰即八則法反用之
十三則
勾弦和股弦和求勾股弦
設勾弦和一十六尺股弦和一十八尺求勾股弦法曰置勾弦和股弦和相乘【得二百八十八尺】倍之【得五百七十六尺】平方開之得二十四尺為勾股弦和與勾弦和相減
餘八尺即股與股弦和相減
餘六尺即勾與二勾一股相
減餘十尺即弦
解曰甲乙直形為勾弦和股
弦和矩内形乙丁乙丙皆與
弦等丁戊與勾等丙庚與股等則己乙必為弦方巳戊必弦勾矩内形己庚必弦股矩内形甲巳必勾股矩内形辛壬方形為勾股弦和上方形壬癸壬子皆與弦等癸丑子寅皆與股等丑卯寅辰皆與勾等則
巳壬必為弦
方午巳必為
股方辛午必
為勾方未癸
申子必皆股
弦矩内形酉
丑戌寅必皆勾弦矩内形午酉午戌必皆勾股矩内形今以辛壬方形與甲乙直形較則未癸申子並倍于己庚酉丑戌寅並倍于巳戊午酉午戌並倍于甲巳又午巳股方與辛午勾方並與己壬弦方等是己壬午巳辛午三形並復倍于己乙分形既倍大于分形全形亦必倍大于全形是勾股弦和上方形一與勾弦和股弦和矩内形二並等矣故以勾弦和乘股弦和倍而開方得勾股弦和也于勾股弦和内減去一弦一股所餘必勾減去一弦一勾所餘必股減去一勾一股所餘必弦也
十四則
股及勾弦較求勾與弦
設股八尺勾弦較四尺求勾弦法曰置股自乘【得六十四
尺】另置勾弦
較自乘【得一十六
尺】兩數相減
【餘四十八尺】折半
【得二十四尺】以勾
弦較除之得
六尺即勾加勾弦較得十尺即弦
解曰甲乙為弦上方形丙丁為勾上方形戊巳為勾弦較上方形于甲乙弦方内減去丙丁勾方所餘必股上方積成一辛壬癸磬折形再減去勾弦較上方形所餘必甲庚庚乙二直形而以甲丙乙丁為濶丙庚庚丁為長甲丙乙丁即勾弦較也丙庚庚丁為勾上方形之邊即勾也法以兩數相減所餘者即二直形也折半者取二直形之一也以勾弦較除之得勾者即以濶除積得長也○或以兩數相減之四十八尺為實倍勾弦較除之亦得勾○或以股自乘為實以勾弦較除之得數減勾弦較折半亦得勾
十五則
勾及股弦較求股與弦
設勾六尺股弦較二尺求股弦法曰置勾自乘【得三十六
尺】另置股弦較自乘【得四尺】兩
數相減【餘三十二尺】折半【得一十六尺】以股弦較除之得八尺即股
加股弦較共十尺即弦
解曰甲乙弦方内減去丙丁
股方戊巳股弦較方所餘必甲
庚庚乙兩直形折半則得一直形故以股弦較除之得股十六則
股羃及勾弦較求勾弦和
設股羃六十四尺勾弦較四尺求勾弦和法曰置股
羃為實以勾弦較除之
得一十六尺即所求
解曰十四則辛壬癸磬
折形其甲乙元與弦等
丙丁元與勾等若移癸
于戊則成辛壬戊直形以勾弦較為濶勾弦和為長矣故以勾弦較除股羃得勾弦和
十七則
勾羃及股弦較求股弦和
設勾羃三十六尺股弦
較二尺求股弦和法曰
置勾羃為實以股弦較
除之得一十八尺即所
求
解曰十五則辛壬癸磬折形其甲乙元與弦等丁丙元與股等若移癸于戊亦成辛壬戊直形以股弦較為濶股弦和為長矣故以股弦較除勾羃得股弦和十八則
股羃及勾弦和求勾弦較
設股羃六十四尺勾弦和一十六尺求勾弦較法曰置股羃為實以勾弦和除之得四尺即所求
解曰即十六則法反用之
十九則
勾羃及股弦和求股弦較
設勾羃三十六尺股弦和一十八尺求股弦較法曰置勾羃為實以股弦和除之得二尺即所求
解曰即十七則法反用之
二十則
勾弦較股弦較求勾股弦
設勾弦較四尺股弦較二尺求勾股弦法曰置勾弦較股弦較相乘【得八尺】倍之【得一十六尺】平方開之【得四尺】加股弦較得六尺即勾加勾弦較得八尺即股加勾弦
較股弦較得十尺即弦
解曰甲乙為弦方丁乙為勾
方甲丙為股方以丁乙勾方
甲丙股方錯綜加于甲乙弦
方之上必缺戊巳庚辛二直
形而重一丁丙方形然丁丙
方形必能補二直形之缺而與之等何也丁乙勾方甲丙股方並等于甲乙弦方若丁丙方形或大或小于二直形則是勾方股方並不與弦方等矣夫勾方股方並既與弦方等則二直形並亦必與丁丙方形等法以兩較相乘而倍之者求二直形也【二直形以戊壬癸辛勾弦較為長以壬巳癸庚股弦較為濶】平方開之者求丁丙方形之一邊也以一邊加股弦較之癸庚得癸丁即勾加勾弦較之戊壬得丙壬即股加一勾弦較之戊壬一股弦較之癸庚得癸丁及戊壬即弦
二十一則
相連之勾股求弦
設圓柱高二十尺周三尺以索繞柱七周與柱適齊
求索長法曰置柱周
三尺以索繞七周因
之【得二十一尺】自乘【得四百四
十一尺】另置柱高自乘
【得四百尺】兩數並【共八百四十一
尺】平方開之得二十
九尺即所求
解曰索繞柱七周即
七段勾股也柱高二十尺為七股七周二十一尺為七勾索長為七弦也此條元當七歸柱高取七股之一用勾股求弦法得數七因之為弦長然七歸二十尺乃畸零不盡之數不得不七因勾以就股也以柱高為股即並丁戊等七小股成一丙乙大股以七周為勾即並甲戊等七小勾成一甲乙大勾夫七小勾小股並既同于大勾大股而總求一甲丙大弦有不同于甲丁等七小弦並乎故求甲丙大弦為索長也二十二則
相連之股弦求勾
設圓柱高二十尺索長二十九尺繞柱七周索與柱齊求柱周法曰置柱索各自乘【柱得四百尺索得八百四十一尺】兩數相減【餘四百四十一尺】平方開之【得二十一尺】以索繞七周歸之得三尺即所求
解同前
二十三則
相連之勾弦求股
設圓柱周三尺索長二十九尺繞柱七周索與柱齊求柱高法曰置柱周七因之【得二十一尺】自乘【得四百四十一尺】另置索自乘【得八百四十一尺】兩數相減【餘四百尺】平方開之得二十尺即所求
解同二十一則
二十四則
勾股形求對角之垂線
設勾六尺股八尺弦十尺求對角垂線法曰置勾股相乘【得四十八尺】以弦除之得四尺八寸即所求解曰勾股相乘必得丁丙直形與甲戊直形等何也丁丙直形倍大于甲乙丙勾股形甲戊直形
亦倍大于甲
乙丙勾股形
故等也以弦
除積得垂線
即以長除積
得濶也
二十五則
勾股形于弦上求自角至垂線之度
設勾三尺股四尺弦五尺求自角至垂線之度法曰
置勾自
乘【得九尺】以弦除
之得一
尺八寸
即乙角
至垂線之度與弦相減得三尺二寸即甲角至垂線之度
解曰甲乙弦上方形以對角戊丁線分之必成二直形而丁乙其一也丁乙直形與勾上方形等【本卷一則】以乙巳除之必得戊乙之度法以弦除者蓋甲乙弦與乙巳等也○若欲先得甲戊則以弦除股羃
又法曰置弦為實以勾羃九尺乘之【得四十五尺】並勾股羃二十五尺除之亦得一尺八寸
解曰凡兩形等高形與形之比例若線與線【一卷四十五則】甲丁戊巳兩形既等高【圖同前】則其比例必若甲戊與戊乙又甲丁與股羃等戊巳與勾羃等則股羃與勾羃之比例亦若甲戊與戊乙矣此借兩羃之比例因全弦以求戊乙也○若欲先得甲戊則以股羃乘弦並兩羃除之
又法曰並勾股【共七尺】以勾股較乘之【仍得七尺】以弦除之【得一尺四寸】與弦相減【餘三尺六寸】折半亦得一尺八寸解曰此三角形求對角垂線法也【一卷三十一則】○若欲先得甲戊以一尺四寸與弦相並折半即得
二十六則
勾股求容方一法
設勾六尺股一十二尺求容以角切弦之方形法曰置勾股相乘【得七十二尺】以勾股相並【共一十八尺】除之得四
尺即容方之邊
解曰甲乙丙勾股形
分甲丙弦于丁令丁
甲與丁丙之比例若
勾與股自丁作丁乙
線必分勾股形為甲丁乙乙丁丙兩三角形一以勾為底一以股為底又兩分形之比例亦若勾與股【幾何原本云凡兩形等高者形與形之比例若底與底反之凡形與形之比例若底與底者兩形之高必相等】令兩分形各倍積求對角之垂線【本卷二十四則】一得丁戊一得丁巳兩線必相等何也兩垂線即兩形之正高兩形之高既等故兩垂線必等也兩線既等而又為為勾及股之垂線復切弦于丁則己戊形必為勾股所容之方而丁戊丁巳即容方之邊也然分求之如是合求之亦必如是若並兩形之倍積為實並兩底除之亦得容方之邊與丁戊【或丁已】等夫兩形之倍積即勾與股相乘之積也兩分形之底即勾與股也故置勾股相乘並勾股除之即得容方之度也
二十七則
勾股求容方二法
設弦一十五尺對角垂線五尺求容以角切勾與股之方形法曰置垂線為實以弦乘之【得七十五尺】以垂線
並弦除之得三尺七
寸五分即容方之邊
解曰甲乙丙勾股形
丙丁為對角垂線分
垂線于戊令丙戊與
戊丁之比例若丙丁與甲乙則戊丁即所求之方邊幾何原本云作庚戊己線與甲乙平行次作庚壬己辛兩線各與丙丁平行己庚既與甲乙平行即甲丁與丁乙若己戊與戊庚也合之即甲乙與丁乙若己庚與戊庚也又丁乙與丙丁若戊庚與丙戊平之即甲乙與丙丁若己庚與丙戊也又丙丁與甲乙若丙戊與戊丁平之即甲乙與甲乙若己庚與戊丁也甲乙與甲乙同線必等即己庚與戊丁必等而己庚與辛壬又等戊丁與己辛庚壬亦等則辛庚形必勾股所容之方形而戊丁即方邊之度法以弦乘垂線而並弦與垂線除之者借甲乙與丙丁之比例因丙丁以求戊丁也
二十八則
勾股求容圓
設勾二十七尺股三十六尺弦四十五尺求容圓法曰置勾股相乘【得九百七十二尺】為實並勾股弦【共一百零八尺】除之得九尺即容圓之半徑倍之得一十八尺即全徑解曰甲乙丙勾股形自三角各出一線平分各角相
遇于丁即分勾股形為甲丁
乙乙丁丙丙丁甲三三角形
一以全形之勾為底一以股
為底一以弦為底各角既平
分而復有一邊同線則三形
必等高令三形各倍積求對角之垂線【本卷二十四則】一得丁戊一得丁已一得丁庚三垂線必等何也三垂線即三形之正高三形既等高故垂線必等也三線既等其相遇處必容圓之心【幾何原本云凡圓内出三線至界而皆等者其點必是圓心】而三線皆半徑也然分求之如是合求之亦必如是若並三形之倍積為實並三底除之亦得容圓之半徑與丁戊【或丁已或丁庚】等夫三分形之倍積即勾與股相乘之積也三分形之底即勾股弦也故置勾股相乘並勾股弦除之得容圓之半徑也
二十九則
勾股求外切圓
設勾股弦長二十八尺求外切圓周法曰置弦二十二乘七除得八十八尺即所求
解曰此圓徑求周法也【二卷一則】今以之求勾股外切圓
形何也凡圓内以徑為底任
作三角形皆成勾股如甲乙
丙形丙為方角甲乙丁形丁
為方角甲乙戊形戊為方角
反之以弦為徑作圓必外切
勾股形之方角
三十則
容方之勾股以餘勾餘股求方邊及全勾全股
設容方之餘勾二尺餘股八尺求方邊及全勾股法曰置餘勾餘股相乘【得一十六尺】平方開之得四尺即方
邊以四尺加餘勾得六
尺即全勾以四尺加餘
股得一十二尺即全股
解曰甲乙丙勾股形容
壬巳方形自甲作甲丁
線以丙丁線聯之成乙
丁直形復于己庚壬庚
兩線引之至戊至辛必分乙丁直形為四形其甲庚庚丙同依甲丙對角線為兩角線形其乙庚庚丁為兩餘形兩餘形之容必相等幾何原本云甲丙對角線必分乙丁全形為丁甲丙乙丙甲相等兩勾股形亦分庚丙角線形為辛庚丙巳丙庚相等兩勾股形亦分甲庚角線形為戊甲庚壬庚甲相等兩勾股形試于乙丙甲形内減去己丙庚形于丁甲丙形内減去辛庚丙形乙丙甲丁甲丙兩形既等減去之己丙庚辛庚丙兩形復等則所餘之甲乙庚巳甲丁庚辛兩斜方形必相等再于甲乙庚己形内減去甲庚壬形于甲丁庚辛形内減去戊甲庚形兩斜方既等減去之甲庚壬戊甲庚兩形復等所餘戊辛直形與壬巳方形安得不等夫甲乙丙勾股形之甲乙勾減去壬巳方形之壬乙邊餘甲壬即餘勾丙乙股減去己乙邊餘丙巳即餘股辛庚與餘股等戊庚與餘勾等則戊辛直形之容必即餘勾餘股相乘之積而戊辛直形又與壬巳方形等則壬巳方形之容亦必餘勾餘股相乘之積也故置餘勾股相乘平方開之得容方邊也
三十一則
容方之勾股以餘股及方邊求餘勾
設容方之餘股八尺方邊四尺求餘勾法曰置方邊自乘【得 十六尺】以餘股除之得二尺即所求
解曰壬己方形既等于戊辛直形【圖同前】而直形以餘股為長以餘勾為濶故以餘股除積得餘勾
三十二則
容方之勾股以餘勾及方邊求餘股
設容方之餘勾二尺方邊四尺求餘股法曰置方邊自乘【得一十六尺】以餘勾除之得八尺即所求
解同前
三十三則
日晷測高
設物不知高止得物景一十二尺立表八尺表景二尺四寸求物高法曰置物景為實以表高乘之【得九十六尺】以表景除之得四十尺即所求
解曰物高與物景表高與表景各以日光聯之必皆
成勾股形而
體勢等凡兩
形體勢等者
其比例必等
物高與物景
之比例必若表高之與表影也又表影與物景之比例必若表高之與物高也今物景既五倍于表景因知物高亦必五倍于表高矣法以表高乘物景而以表景除之者借表景與物景之比例因表高以求物高也
三十四則
一表測高
設物不知高距物二十五尺立表十尺又退行五尺立窺表四尺自窺表望之物末與表末相齊成一直線求物高法曰置表距高物二十五尺為實以窺表減表【餘六尺】乘之【得一百五十尺】以退行五尺除之得三十尺為表外之高加表高共四十尺即物高
解曰癸丁為物高壬子為表高乙丑為窺表乙丁對
角線為視線戊壬為表距高
物之二十五尺壬辛為窺表
減表所餘之六尺乙辛為退
行之五尺也甲丙一形分為
四形其辛巳戊庚為兩角線
形其甲壬壬丙為兩餘形兩
餘形之容必相等【本卷三十則】法
以窺表減表以乘距高物之
度必得甲壬餘形之積甲壬
既等于壬丙則甲壬餘形之積亦即壬丙餘形之積矣故以退行五尺除之得庚壬庚壬與丁戊等丁戊則物高于表之度也是以加表得物之全高
三十五則
一表測遠
設物不知遠立表四尺退二尺五寸立窺表四尺五寸自窺表望之物脚與表末相齊成一直線求物遠法曰置表高為實以退二尺五寸乘之【得十尺】以表減
窺表【餘五寸】除之得二十尺
即表距遠物之度
解曰以退二尺五寸乘表
高必得辛巳餘形之積然
辛己與戊庚等則辛己餘
形之積亦即戊庚餘形之
積矣故以表減窺表所餘
之五寸除之得壬戊壬戊與辛甲等辛甲則表距遠物之度也
三十六則
一表測廣
設邑不知廣立窺表于甲甲距邑丁角五百尺立表于壬自甲視邑之丙角與表相齊成一直線次移前表于戊令戊壬與邑平行自甲視邑之丁角亦與表相齊成一直線自甲至戊二尺戊至壬六尺求邑廣法曰置窺表距丁角五百尺為實以戊至壬六尺乘之【得三千尺】以甲至戊二尺除之得一千五百尺即邑廣解曰戊庚辛己兩餘形既等每加一辛戊角線形成
甲庚甲己兩直形兩
形之容必亦等何也
兩餘形既等所加者
復等故也法以戊壬
乘甲丁必得甲庚直
形之積甲庚直形之
積即甲己直形之積
也故以甲戊除之得
戊巳戊巳與丁丙等丁丙則邑廣也
三十七則
一表測深
設井不知深
井面濶八尺
自井邊退二
尺立表六尺
自表末視水
面甲角與壬
邊相齊成一
直線求井邊至水面之深法曰置面濶八尺為實以表高乘之【得四十八尺】以表至井邊二尺除之得二十四尺即所求
解曰以表高乘井濶即以丙己乘戊壬所得必戊庚餘形之積戊庚餘形之積即辛己餘形之積故以表距井邊之壬己除之得壬辛壬辛即井深也
三十八則
重表測高遠
設物不知高及遠立表十尺退行五尺立窺表四尺自窺表望之物末與表末相齊成一直線自表退行一十五尺復立表十尺又退行八尺復立窺表四尺自窺表望之物末亦與表末相齊成一直線求高及遠法曰置窺表減表餘六尺為實以兩表相距一十五尺乘之【得九十尺】以前窺表距前表五尺減後窺表距後表八尺餘三尺除之得三十尺即表外之高加表高共四十尺即物高又置前窺表距前表五尺為實以兩表相距一十五尺乘之【得七十五尺】亦以兩窺表距兩表之度相減餘三尺除之得二十五尺即物遠解曰自窺表末及表末作丙丁甲乙兩平行線以戊
乙戊己兩視線聯之必
成六勾股形其丙庚戊
形為甲己戊之截形兩
形之比例必等辛己庚
形亦甲己戊之截形兩
形之比例必亦等丙庚
戊與辛巳庚兩形之比
例既皆等于甲巳戊是
辛己庚丙庚戊兩形之
比例亦等矣壬乙丁形
與丙丁戊形亦同此論
夫辛己庚形之比例既
同于丙庚戊壬乙丁形
之比例既同于丙丁戊
則丙庚與辛己必若丙
丁與壬乙又丙丁與丙
庚必若壬乙與辛己也今丙丁與丙庚之較為庚丁壬乙與辛己之較為癸乙癸乙與庚丁兩較之比例必俱等于相當各線之比例若是則丙庚與辛己戊丙與辛庚皆若庚丁與癸乙矣法置餘表六尺為實以十五尺乘之三尺除之是借癸乙與庚丁之比例因辛庚以求丙戊也置窺表距表之五尺為實以十五尺乘之三尺除之是借癸乙與庚丁之比例因辛己以求丙庚也丙戊為表外之高丙庚則物遠也三十九則
重表測廣深
設谷不知深及廣自谷
邊退行六尺立窺表五
尺從窺表望之底角與
邊角相齊成一直線復
于谷邊立表一十五尺
將前窺表接高一十八
尺共二十三尺從窺表
望之底角與表末相齊
成一直線求深及廣法
曰置前窺表五尺為實以表高一十五尺乘之【得七十五尺】以表【一十五尺】並前窺表【五尺○共二十尺】減後窺表【二十三尺】餘三尺除之得二十五尺即谷深又置退行六尺為實以表高一十五尺乘之【得九十尺】亦以三尺除之得三十尺即谷廣
解曰與測高遠同但有縱衡之殊耳
四十則
測遠之遠
設甲至乙八百步甲至丙七百步今自甲向乙行七
十二步立表于丁從
甲望之乙與表齊自
甲向丙行六十三步
立表于戊從甲望之
丙與表齊俱成直線
丁至戊五十四步求
乙至丙之遠法曰置
甲至丙七百步為實以丁至戊五十四步乘之【得三萬七千八百步】以甲至戊六十三步除之得六百步即所求解曰六十三步之與七百步七十二步之與八百步其比例等因知丁戊與乙丙兩線必平行凡三角形以與底平行線分之其分形之比例必等于全形甲丁戊既為甲乙丙之分形而丁戊乙丙又平行則甲戊與戊丁必若甲丙與丙乙也又乙丙與戊丁必若甲丙與甲戊也法置七百步為實以五十四步乘之六十三步除之者借甲戊與丁戊之比例因甲丙以求丙乙也○又截法如甲丙七百步則取七步為庚甲乙八百步則取八步為己巳庚六步乙丙必六百【步與乙步之比例也數學鑰卷六】
步何也皆百
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>
欽定四庫全書 子部六
數度衍 天文算法類二【算書之屬】提要
【臣】等謹案數度衍二十四卷
國朝方中通撰中通字位伯桐城人明檢討以智之子也以智博極羣書兼通算數中通承其家學著為是書有數原律衍幾何約珠算筆算籌算尺算諸法復條列古九章名目引
御製數理精藴法推闡其義其幾何約篇本前明徐光啟譯本其珠算倣程大位算法統宗筆算籌算尺算採同文算指及新法算書惟數原律衍未明所自大抵裒緝諸家之長而增减潤色勒為一編者也其尺算之術梅文鼎謂其三尺交加取數故祇能用平分一綫其比例規解之本法惜僅見其弟中履但稱中通得舊法於豫章而不知其法何如並未獲與中通深論又稱見嘉興陳藎謨尺算用法一卷亦祇平分一綫豈中通所據之法與藎謨同出一源歟盖不可考矣乾隆四十六年十月恭校上
總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
總 校 官【臣】陸費墀
