60-幾何論約卷末
幾何論約卷末
柘城杜知耕撰
增題【利氏曰丁先生言歐几里得六卷中多研察有比例之線竟不及有比例之面故因其義類增益數題補其未備竇復增一題竊弁于首仍以題旨從先生舊題隨類附演以廣其用俱稱今者以别于先生舊增也】
今增題圜與圜為其徑與徑再加之比例
解曰甲乙丙丁戊己兩圜其徑甲丙丁己題言兩圜為甲丙丁己再加之
比例
一糸全圜與全圜半圜與半圜圜分與相當圜分相為比例皆等皆兩徑再加之比例故也
二糸三邊直角形對直角邊為徑所作圜與餘兩邊為徑所作圜并等半圜與兩半圜并等圜分與相似兩圜分并等
三糸三線為連比例以為徑所作三圜亦為連比例推此可求各圜之相與為比例者又可以圜求各圜之相與為比例者
一增題直線形求減所命分其所減所存各作形與所設形相似而體勢等
法曰甲形求減三分之一所減所存各作形與乙相似先作丙丁形與甲等與乙相似次依丙戊邊作丙己戊半圜次截丙戊三分之一為戊庚次作己庚為丙戊之垂線次作己丙己戊兩線末于己丙己戊
上作己辛己壬兩形各與丙丁相似為所求耕曰丙丁己辛己壬三形既相似其比例必若其底與底再加之比例三底線負半圜為三邊直角形其己庚丙己庚戊兩分形又與全形相似則丙戊與己丙必若己丙與丙庚是丙戊與丙庚為再加之比例而丙丁己辛兩形必若丙戊丙庚兩線矣夫丙庚既為丙戊三分之二則辛己亦必丙丁三分之二依顯己壬為丙戊三分之一
若所存所減不論何形其法更易如甲形求減三分之一先作乙丙形與甲等
次截乙丁三分之一為丁戊末作己戊即戊丙形為甲三分之一
今附有大圜求減小圜則以圜徑當形邊餘同前又附依此法可作一方形與初月形等如甲乙丙丁圜有初月戊形附圜界四分之一先作甲乙丙丁内切方形而四平分之其一分即與初月形等何者甲乙丙半圜與甲乙乙丙上兩半圜等即戊己半圜為半大圜之半而己庚分圜形亦為半大圜之半是己庚分圜形與戊己半圜等矣此兩
率各減一同用之己形所存戊庚兩形不亦等乎庚為甲乙丙丁方形四之一故甲乙丙丁方形四分之一之方形與初月形等
二增題兩直線形求别作一直線形為連比例法曰甲與乙丙丁兩形求别作一形為連比例先作戊己庚形與甲等與乙丙丁相似次以戊己為前率乙丙為中率而求連比例之末率為辛壬【本卷十一】末于辛壬上作辛壬癸形與兩形相似為所求
論曰三線既為連比例即其上相似三形亦為連比例【本卷二二】
今附有兩圜求别作一圜為連比例即以圜徑當形邊法同前
三增題三直線形求别作一直線形為斷比例
法曰一甲二乙丁三己庚辛求别
作一形為斷比例先作壬子形與
甲等與乙丁相似次以壬癸乙丙
己庚為三率求斷比例之末率為
寅卯【本卷十二】末于寅卯上作寅卯辰形與己庚辛相似為所求
論曰四線既為斷比例其線上相似形亦為斷比例【本卷二三】
今附有三圜求别作一圜為斷比例法同前
四增題兩直線形求别作一形為連比例之中率法曰甲與乙丙丁兩形求别作一形為連比例之中率先作戊己庚形與甲等與乙丙丁相似次求戊己乙丙兩線連
比例之中率為辛壬于辛壬上作辛壬癸形與乙丙丁相似為所求
又法曰甲乙兩形求别作一形為連比例之中率先作丁巳形與甲等次作庚壬形與乙等與丁巳相似令兩形戊角相聨而丁
壬巳庚各成直線末引各邊作子癸直角形其子戊戊癸兩餘方皆為甲乙之中率
論曰丁己與戊癸若子戊與庚壬何者兩比例皆若丁戊與戊壬也故兩餘方皆為等甲乙兩角線形之中率今附兩圜求别作一圜為連比例之中率法同前
五增題一直線形求分作兩直線形俱與所設形相似而體勢等其比例若所設兩幾何之比例
法曰一甲形求分為兩形俱與丁相似與乙丙比例等先作戊庚形與甲等與丁相似次分戊辛邊于壬令戊壬與壬辛若乙與丙次于戊辛上作
戊癸辛半圜次從壬作癸壬為戊辛之垂線次作戊癸癸辛兩線末于戊癸癸辛上作戊子癸寅兩形俱與戊庚形相似為所求
今附一圜求分作兩圜與所設比例等法同前
六增題一直線形求分作兩直線形俱與所設形相似而體勢等其兩分形兩相似邊之比例若所設兩幾何之比例
法曰一甲形求分作兩形俱與丁相
似其兩分形兩相似邊之比例若乙
與丙先以乙丙兩線求連比例之末
率為戊次作己庚辛形與甲等與丁
相似次分己辛于壬令己壬與壬辛若乙與戊次于己辛線上作巳癸辛半圜次從壬作壬癸為巳辛之垂線次作巳癸癸辛兩線末于己癸癸辛上作己子癸癸丑辛俱與丁相似為所求
今附一圜求分作兩圜兩徑若所設之比例法同前
七增題兩直線形求并作一直線形與所設形相似而體勢等
法曰甲乙兩形求并作一形與丙相似先作戊丁己形與甲等作己庚辛形與乙等次以兩形相似邊聨為直角次以戊辛聨之末于戊辛線作戊辛壬形與丙相似為所求
又法曰先作一方形與甲乙兩形并等次作角形與方形等與丙相似
今附兩圜求并作一圜法同前
八增題圜丙兩合線交而相分其分線彼此互相視解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁兩線交而相分于戊題言甲戊與戊丁若乙戊與戊丙又甲戊與乙戊若戊丁與戊丙也
論曰甲戊偕戊丙與乙戊偕戊丁兩矩内形等【三卷三五】即等角旁之兩邊為互相視之邊【本卷十四】
九增題圜外任取一點從點出兩直線皆割圜至規内其兩全線與兩規外線彼此互相視若從點作一切圜線則切圜線為各割圜全線與其規外線之各中率
解曰甲乙丙丁圜外任取戊點作戊丙戊丁兩線割圜界于甲于乙題言戊丙與戊丁若戊甲與戊乙又戊丙與戊甲若戊丁與戊乙也又言己戊切線為各割圜全線與規外線之各中率謂丙戊與己戊若己戊與戊
乙又丁戊與己戊亦若己戊與甲戊也
論曰丙戊偕乙戊矩内形與己戊上方形等【三卷三六】又丁戊偕甲戊矩内形與己戊上方形亦等即兩矩内形自相等而等角旁之兩邊為互相視之邊【本卷十四】又兩矩内形各與戊己上方形等即戊丙戊己戊乙三線戊丁戊己戊甲三線俱為連比例而己戊為各中率
十增題兩直線相遇作角從兩線之各一界互下垂線而每方為兩線一自界至相遇處一自界至垂線則各相對之兩線皆彼此互相視
解曰甲乙丙乙兩線相遇于乙作甲乙丙角從甲作丙乙之垂線從丙作甲乙之垂線若甲乙丙為鈍角如上圖兩垂線當
至甲乙丙乙之各引出線上為甲丁為丙戊其甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙丙為鋭角如下圖甲丁丙戊兩垂線當在甲乙丙乙之内交而相分于己也題言甲乙與乙丙若丁乙與乙戊又甲乙與丁乙若乙丙與乙戊也
論曰甲乙丁形之甲乙丁甲丁乙兩角與丙乙戊形之丙乙戊丙戊乙兩角皆等【兩為直角兩于上圖為交角于下圖為同角故】即兩形為等角形故各相對之兩線為彼此互相視
十一增題平行線形内兩直線與兩邊平行分元形為四平行線形此四形任相與為比例皆等
解曰甲丙形内作戊己庚辛兩線與甲丁丙丁平行而交于壬題言所分之戊庚庚己乙
壬壬丙四形任相與為比例皆等
論曰戊壬與壬己兩線之比例既若戊庚與庚己兩形又若乙壬與壬丙兩形即戊庚與庚己亦若乙壬與壬丙也依顯乙壬與戊庚亦若壬丙與庚己也
十二增題凡四邊形之對角兩線交而相分其所分四三角形任相與為比例皆等
解曰甲乙丙丁四邊形有甲丙乙丁兩對角線交而相分于戊題言所分甲戊丁乙戊丙
甲戊乙丁戊丙四三角形任相與為比例皆等論曰甲戊與戊丙兩線之比例若甲戊丁與丁戊丙兩形又若甲戊乙與乙戊丙兩形即甲戊丁與丁戊丙兩形亦若甲戊乙與乙戊丙也依顯甲戊乙與甲戊丁亦若乙戊丙與丁戊丙也
十三增題三角形任于一邊任取一點從點求作一線分本形為兩形其兩形之比例若所設兩幾何
法曰甲乙丙角形任于乙丙
邊任取丁點求從丁作一線
分本形為兩形其兩形之比
例若戊與己先分乙丙于庚令乙庚與庚丙若戊與己如庚丁同點【一圖】即作丁甲線為所求如庚在丁丙之内【二圖】亦作丁甲線從庚作辛庚線與丁甲平行末作丁辛線即分乙丁辛甲無法四邊形與丁丙辛角形其比例若戊與己也如庚在乙丁之内【三圖】亦作丁甲線次從庚作庚辛線與丁甲平行末作辛丁線即分乙丁辛角形與丁丙辛甲無法四邊形其比例若戊與己也【詳一卷三十八題第二增】
十四增題一直線形求别作一直線形相似而體勢等其比例若所設兩幾何
法曰甲直線形求别作一形與甲相似令甲與所作形之比例若乙與丙先以乙丙及丁戊三線求斷比例之末率為己次求
丁戊及己之中率為庚辛【本卷十二十三】末于庚辛上作壬形與甲相似為所求若先設大甲求作小壬若丙與乙倣此
論曰丁戊庚辛己三線為連比例即一丁戊與三己之比例若一丁戊上之甲與二庚辛上之壬有用法作各形之相加相減者如乙丁方形求别作五倍大方形先引長甲乙至戊令乙戊五倍于乙甲次平分甲戊于己即
以己為心甲為界作甲庚戊半圜次引長乙丙抵圜界于庚即依乙庚線作乙辛方形為所求耕曰甲乙偕戊乙矩内形與乙庚上方形等【三卷三五】矩内形既五倍于乙丁則乙辛方形亦必五倍于乙丁
又丁乙直線形求别作二倍大相似形先引長甲乙至戊令乙戊二倍于甲乙次平分甲戊于己即以己為心甲為界作甲庚戊半圜次引長丙乙抵圜界于庚次于甲戊線截取甲辛與乙庚等從辛作辛壬與乙丙平
行次作甲丙對角線引長之遇辛壬于壬次自壬作壬癸與丙丁平行末引甲丁線聨之成癸辛形即二倍于丁乙而相似
用此法不論何形但兩形相似其在庚乙上形皆二倍于在甲乙上形
今附若用前法作圜則乙庚徑上圜亦二倍大于甲乙徑上圜相加相減倣此
十五增題諸三角形求作内切直角方形
法曰甲乙丙角形求作内切方形先從甲角作甲丁為乙丙之垂線次分甲丁于戊
令甲戊與戊丁若甲丁與乙丙【本卷十增】次從戊作己庚與乙丙平行末自庚自己作庚壬己辛兩線各與甲丁平行即得己壬形為所求【若直角鈍角則從直角鈍角作垂線】
耕曰己庚既與底線平行則甲丁與乙丙若甲戊與己庚今又若甲戊與戊丁是戊丁與己庚等矣而庚壬己辛又各與戊丁等即庚辛為方形又甲乙丙直角三邊形求依乙角作内切方形先分甲乙于丁令甲丁與丁乙若甲
乙與乙丙末從丁作丁戊與乙丙平行從戊作戊己與甲乙平行即得丁己形為所求
耕曰丁戊既與底線平行則甲乙與乙丙若甲丁與丁戊今又若甲丁與丁乙是丁乙與丁戊等矣即乙戊為方形
今附如上三邊直角形依乙角作内切方形其方邊必為甲丁己丙兩分餘邊之中率何者甲丁與丁戊若戊己與己丙故也【本卷四之糸】
後附【耕自為圖論附之卷末其法似為本書所無其理實函各題之内非能于本書之外别生新義也稱後附者以别于丁氏利氏之增題也計十條】
一附直角三邊形以直角旁兩邊求對直角邊一卷四十七題第四增言直角三邊形先得兩邊可求餘一邊皆用筭數相求然亦可比量得之按直角三邊形即算家所謂
勾股也乙丙即弦甲乙即勾甲丙即股乙丙之大于甲丙為丁丙曰股弦較乙丙之大于甲乙為乙戊曰勾弦較甲丙之大于甲乙為丙己曰勾股較凡六線先得兩線皆可求餘線今先得甲乙甲丙兩邊求乙丙先作庚辛壬直角令辛壬與甲乙等辛庚與甲丙等末作庚壬即得乙丙邊之度
二附以對直角邊及直角旁一邊求餘邊
先得甲乙乙丙兩邊求甲丙先作庚壬與乙丙等平分于癸即以癸為心庚為界作半圜次以壬為心甲乙為
度向圜作短界為辛末作庚辛線為所求【若先得甲丙乙丙兩邊求甲乙法同上】
三附以對直角邊與一邊之較及一邊求全邊
先得甲乙邊及甲丙乙
丙之較丙丁求餘邊先
作庚辛與丙丁等次作
辛壬垂線與甲乙等次作庚壬次引長庚辛至癸次作庚壬子直角而壬子截庚癸于子末平分庚子于丑即庚丑線與乙丙等辛丑線與甲丙等何也庚癸線既以庚壬子直角線截之則庚辛偕辛子矩内形必與辛壬上方形等【三卷三五】按勾股法依股弦較為濶作直形而與勾羃等其長必一弦一股之度故加辛庚折半得乙丙弦【若先得甲丙及甲乙乙丙之較乙戊求乙丙法同上】
四附以直角旁兩邊之較及對直角邊求全邊
先得乙丙及甲乙甲丙之較
己丙先作庚辛與乙丙等次
平分于寅即以寅為心庚為
界向上作短界線次以庚為心己丙為度向上作短界線相交處為丑自丑作辛丑線次作庚辛壬直角令辛壬與辛丑等次作庚壬線末截庚壬于癸令壬癸與丙己等餘庚癸平分于子即庚子與甲乙等子壬與甲丙等按勾股法一勾一股并作方形當弦上方形二而朒一勾股較上方形今庚辛上方形即弦羃等辛丑之辛壬上方形當一弦羃而朒一勾股較上方形又庚壬上方形與庚辛辛壬上兩方形并等則庚壬一線必為一勾一股之度
五附以直角旁兩邊與對直角邊之兩較線求各邊先得甲丙乙丙之較丁丙及甲乙乙丙之較乙戊先倍乙戊加丁丙為庚辛壬癸線平分于子即以子為心庚為界作庚丑癸半圜次自壬作垂線抵圜界于丑
即壬丑線加壬癸即與甲乙等加辛壬即與甲丙等加辛癸即與乙丙等按勾股法丁丙偕乙戊矩内形二與戊丁上方形等夫庚壬偕壬癸矩内形即兩較矩内形二也而又與壬丑上方形等則壬
丑垂線不與戊丁亦等乎故逓加之得勾股弦也【若倍丙丁加乙戊所求亦同】
六附又法以方邊角線之較求方邊
先得方邊角線之較甲乙三倍
之為甲乙丙丁線平分于戊即
以戊為心甲為界作甲己丁半
圜自丙作垂線抵圜界于己即己丙線加丙丁為方邊加甲丙為角線試作庚辛為角線上方形次作庚癸壬辛皆為元方形【詳二卷十四之增】其子丑與丑壬兩線之比例若丑壬與子丑寅卯兩線并則丑壬為子丑及子丑寅卯兩線并之中率今甲丙倍丙丁而己丙為中率其丙丁與己丙若己丙與甲丙也則己丙丑壬兩線必等故加等子丑之丙丁得方邊加等子丑寅卯兩線并之甲丙得角線
七附等角兩平行方形【不同理】不必借象即以相結如甲丙丙己兩平行方形兩丙角等即以兩角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直線【六卷二三】次引丙庚至壬令丙庚與
丙壬若丁丙與丙戊旋依丁丙丙壬作丁壬形即甲丙與丙己兩形之比例若乙丙與丙壬何者丙庚丙壬丁丙丙戊四線既為斷比例前後兩率矩内形與中兩率矩内形必等【六卷十六】即丙己與丁壬等又丁壬與甲丙同丁丙邊即兩形等高兩形之比例必若兩底乙丙之與丙壬也故甲丙與丙己亦若乙丙與丙壬此以丁丙丙庚為前率之後復為後率之前化二為一作首尾兩率之樞紐不必假借他象即以相結若以乙丙與丙戊偕丁丙與丙庚相結倣此
八附又法求理分中末線
設甲乙線求理分中末【詳六卷三十】即以甲乙當股次作乙丙勾令勾半于股次以甲丙弦聨之次截甲丙于丁令丙丁與乙丙等末截甲乙于戊令甲戊
與甲丁等即甲戊乙為理分中末
也何者勾股上兩方形并與弦上
方形等【一卷四七】于弦方内減去等勾
方之己形所餘庚辛壬磬折形必與股方等又甲丁甲戊兩線等即辛癸兩形亦等再減辛癸兩形所餘庚壬兩形與子丑寅磬折形必亦等又甲乙既倍于内乙即甲卯亦倍于甲辰甲丁甲戊又等則癸子兩形并【當甲戊偕丙乙矩内形二】與庚壬兩形并【即甲丁偕丙乙矩内形二】亦等矣即癸子兩形并與子丑寅磬折形亦等此二率每減一同用之子形則所餘癸與丑寅并安得不等夫癸即甲戊上方形也丑寅即甲乙偕乙戊矩内形也故甲戊乙為理分中末也
九附求于三角形内作一線抵兩腰與底線平行又與所設線等
甲乙丙三角形求作一線抵兩腰與乙丙平行而與丁線等先作甲戊線次分
于己令甲戊與甲己若乙丙底與丁線末從己作庚辛線與乙丙平行為所求【若設線大于乙丙即不可作】
十附有多線求理分中末
設甲乙丙丁戊己庚辛多線各求理分中末先依前法【八附】分甲乙于壬次
任作甲癸乙角形次從壬作癸壬線次作丙丁戊己庚辛多線令兩界各抵腰線而與底線平行【九附】末依癸壬線分丙丁于子分戊己于丑分庚辛于寅各為理分中末也
幾何論約卷末
<子部,天文算法類,算書之屬,數學鑰>
欽定四庫全書 子部六
數學鑰 天文算法類二【算書之屬】提要
【臣】等謹案數學鑰六卷
國朝杜知耕撰其書列古方田粟布裒分少廣商功均輸盈朒方程勾股九章取今線面體三部之法隸之載其圖解並摘其要語以為之注與方中通所撰數度衍用今法以合九章者體例相同而每章設例必標其凡於章首每問答有所旁通者必附其術於條下所引証之文必著其所出蒐輯尤詳梅文鼎勿菴歷算書記曰近代作者如李長茂算海詳說亦有發明然不能具九章惟方位伯數度衍於九章之外蒐羅甚富杜端伯數學鑰圖注九章頗中肯綮可為筭家程式其說固不誣矣世有二本其一為妄人竄亂殊失本真此本猶當日初刋今據以校正以復知耕之舊焉乾隆四十六年四月恭校上
總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
總 校 官【臣】陸費墀
