56-幾何論約卷五之首
幾何論約卷五之首
柘城杜知耕撰
界說十九則【前四卷所論皆獨幾何也此下二卷所論皆自兩以上多幾何同例相比者也此卷以虚例相比絶不及線面體諸類六卷則論線角圜界諸類及諸形之同類相比者也】
一界分者幾何之幾何也小能度大以小為大之分小能度大者謂小幾何度大幾何能盡大之分者也如甲為乙三分之一為丙七分之一無贏不足也若戊為丁之一即贏為二即不足己為丁之三即贏為四即不足是不盡大則丁不能為戊己之分也【本書所論皆指能盡分者】
二界小幾何能度大者則大為小之幾倍
三界比例者兩幾何以幾何相比之理凡兩幾何相比以此幾何比他幾何則此為前率他為後率反用之以他幾何比此幾何則他為前率此為後率凡比例有二種有大合有小合以數可明者為大合非數可明者為小合本篇所論皆大合也凡大合有兩種有等者有不等者等者謂相同之比例其不等者又有兩種有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大不等者又有五種一為幾倍大謂大幾何内有小幾何或二或三或八或十也二為等帶一分謂大幾何内既有小之一别帶一分此一分或元一之半或三分之一四分之一也三為等帶幾分謂大幾何内既有小之一别帶幾分不能合為一盡分者也四為幾倍大帶一分五為幾倍大帶幾分小不等者亦有五種俱與上五種相反為名
四界兩比例之理相似為同理之比例如甲與乙兩幾何之比例偕丙與丁兩幾何之比例其理相似為同理之比例同理又有二種一為連比例謂相連不斷如後圖戊與己比己又與庚比是也二為斷比例謂居中兩率一取不再用如前圖甲自與乙比丙
自與丁比是也
五界兩幾何倍其身而能相勝者為有比例之幾何如三尺之線與八尺之線三尺之線三倍其身即大於八尺之線是為有比例之線也又如方形之一邊與其對角線雖非大合之比例可以數明而方邊一倍之即大于對角線是亦有小合比例之線也又圜徑四倍之即大于圜界則徑與界亦有小合比例之線也又如初月形别作一方形與之等【末卷一增附】即曲直兩線相視有大有小亦有比例也又方與圜雖不能為相等之形然兩形相視有大有小亦不可謂無比例也又直線角與曲線角亦有比例如丁乙戊角與甲乙丙直角等壬庚癸
角與己庚辛鈍角等卯丑辰角與
子丑寅鋭角等此五者皆疑無比
例而實有比例者也他若有窮之線與無窮之線雖為同類實無比例何者有窮之線畢世倍之不能勝無窮之線故也又線與面面與體各自為類亦無比例何者畢世倍線不能及面畢世倍面不能及體故也又切圜角與直線鋭角亦無比例何者畢世倍切圜角不能及至小之鋭角故也此後諸篇中每有倍此幾何令至勝彼幾何者故備著其理以需後論也
六界四幾何若第一與二偕第三與四為同理之比例則第一與第三之幾倍偕第二與第四之幾倍其相視或等或俱大或俱小恒如是如第一為三第二為二第三為六第四為四今以第一之三第三之六同加四倍為十二為二十四次以第二之二第四之四同加七倍為十四為二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍為十八為三十六次以第二之二第
四之四同加九倍為十八為三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍為九為十八次以第二之二第四之四同加二倍為四為八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也或俱等或俱大或俱小累試之皆合則三與二偕六與四得為同理之比例【連比例倣此】
七界同理之幾何為相稱之幾何
八界四幾何若第一之幾倍大于第二之幾倍而第三之幾倍不大于第四之幾倍則第一與二之比例大于第三與四之比例此反上六界而釋不同理之比例
九界同理之比例至少必三率
十界四幾何為同理之連比例則第一與三為再加之比例第一與四為三加之比例倣此以至無窮
十一界同理之幾何前與前相當後與後相當上文六界八界謂幾何之幾倍常以一與三同倍二與四同倍以一與三為兩前二與四為兩後故也
十二界有屬理更前與前更後與後如甲與乙之比例若丙與丁今更推甲與丙若乙與丁為屬理【下言屬理皆省曰更證見本卷十六】此理可施于四率
同類之比例若兩線與兩面或兩面與兩數不為同類即不得相更也【此下說比例六理皆後論所需也】
十三界有反理取後為前取前為後如甲與乙之比例若丙與丁今反推乙與甲若丁與丙為反理【證見本卷四之糸】此理亦可施于異類
十四界有合理合前與後為一而比其後如甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己今合甲丙為
一而比乙丙合丁己為一而比戊己即推甲丙與乙丙若丁己與戊己是合兩前兩後率而比兩後率也【證見本卷十八】
十五界有分理取前之較而比其後如甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今分推甲乙之較
甲丙與丙乙若丁戊之較丁己與己戊【證見本卷十七】
十六界有轉理以前為前以前之較為後【圖同前界】如甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今轉推甲乙與甲丙若丁戊與丁己【證見本卷十九】
十七界有平理此甲乙丙三幾何彼丁戊己三幾何相為同理之連比例者甲與乙若丁與戊乙與丙若戊與己也今平推首甲與尾丙若首丁與尾己【平理之分又有二種如後二界】
十八界有平理之序者甲與乙若丁與戊而後乙與他率丙若後戊與他率己是序也今平推甲與丙若丁與己也【此與十七界同重宣序義以别後界也證見本卷二二】
十九界有平理之錯者甲與乙若戊與己又此之後乙與他率丙若彼之他率丁與前戊是錯也今平推甲與丙若丁與己也
【戊證見本乙卷二三】
增甲與乙為比例即此丙必有彼丁相與為比例若甲與乙也丙與丁為比例必有彼戊與此丙為比例若丙與丁也
