53-幾何論約卷三
幾何論約卷三
柘城杜知耕撰
一題
有圜求心
解曰甲乙丙丁圜求心先于圜之兩界任作一甲丙直線平分于戊次于戊作乙丁
垂線平分于己即己為圜心
糸因此推顯圜内有直線分他線為兩平分而為直角即圜心在其内
二題
圜界任取兩點以直線相聨則直線全在圜内
三題
直線過圜心分他直線為兩平分其分處必為兩直角為兩直角必兩平分
解曰甲乙丙丁圜有丙丁線過戊心平分甲乙線于己題言戊己必是垂線而己旁
為兩直角又言己旁既為兩直角則戊己必分甲乙為兩平分
四題
圜内不過心兩直線相交不得俱為兩平分
解曰甲乙丙圜内有甲乙丙丁兩直線俱不過已心而交于戊題言兩直線或有一
線為兩平分不得俱為兩平分
五題
兩圜相交必不同心
六題
兩圜内相切必不同心
七題
圜徑離心任取一點從點至圜界任出幾線其過心線最大不過心線最小餘線愈近心者愈大愈近不過心線者愈小而諸線中止兩線等
解曰甲戊辛圜其徑甲乙其心巳離心任取一點為庚從庚至圜界任出幾線為庚丙庚丁庚戊題先言從庚所出諸
線惟過心庚甲最大次言不過心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小後言庚乙兩旁如庚戊庚辛止可出兩線等不得有三線等
八題
圜外任取一點從點任出幾線其至規内則過心線最大餘線愈離心愈小其至規外則過心線最小餘線愈近徑愈小而諸線中止兩線等
解曰乙己壬圜之外從甲點任出幾線其一過心為甲壬餘為甲辛甲庚甲己皆至規内題先言過
心之甲壬最大次言近心之甲辛
大于離心之甲庚甲庚又大于甲
己三言規外之甲乙為乙壬徑餘
者最小四言甲丙近徑餘小于甲丁甲丁又小于甲戊後言甲乙兩旁止可出兩線如甲丙甲子相等不得有三線等
九題
圜内從一點至界作三線以上皆等此點必是圜心論曰三線皆半徑故等若非圜心所出止有兩線等不得有三線等
十題
兩圜相交止于兩點
十一題
兩圜内相切作直線聨兩心引出之必至切界解曰甲乙丙甲戊丁兩圜内相切于甲兩心為巳為庚題言作直線聨庚己兩心引
抵圜界必至甲
十二題
兩圜外相切以直線聨兩心必過切界
十三題
圜相切不論内外止以一點
十四題
圜内兩直線等即距心之遠近等距心之遠近等即兩直線等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙兩線等題言兩線距心遠近亦等又言兩
線距心遠近等則兩線亦等
十五題
徑為圜内之大線其餘線近心大于遠心
解曰甲丙己圜其心庚其徑甲己其近心線為乙戊遠心線為丙丁題言甲己最大
乙戊近心大于丙丁遠心
十六題
圜徑末之直角線全在圜外而直線偕圜界所作切邊角不得更作一直線入其内其半圜分角大于各直線鋭角切邊角小于各直線鋭角
解曰甲乙丙圜其心丁甲丙為徑從甲作甲戊為甲丙之垂線題言戊甲全在圜外又言戊甲垂線偕乙甲圜界所作切邊角
不得更作一直線入其内若作甲己線必割圜為分又言甲丙徑線偕甲乙圜界所作丙甲乙圜分角大于各直線鋭角而戊甲垂線偕甲乙圜分所作戊甲乙切邊角小于各直線鋭角
論曰甲戊下有直線既云必割圜為分即此直線偕戊甲所作角必大于切邊角偕丙甲所作角必小于分圜角
糸戊甲線必切圜以一點
增題有兩種幾何一大一小以小率半增之逓增至于無窮以大率半減之逓減至于無窮其元大者恒大元小者恒小如戊甲乙切邊角為小率壬庚辛直線鋭角為大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己線于甲其切邊角愈增愈大别以庚癸庚子分壬庚
辛角愈分愈小然直線角恒大切邊角恒小乃至終古不得相比
又增題舊有一說以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相離逐線漸移之必至一相等之處又一說有率大于此率者有率小于此率者則必有率等于此率者昔人以為皆公論若用以律本題即不可得故今斥為不公論如甲乙丙圜其徑甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙線逐線漸移之向己其所經丁
戊己及中間逐線所經無數凡割圜時皆為鋭角即小于半圜分角纔離鋭角便為直角即大于半圜分角終無相等線可見前一舊說未為公論又直線鋭角皆小于半圜分角直角與鈍角皆大于半圜分角是有大者有小者終無等者可見後一舊說未為公論
十七題
設一點一圜求從點作切線
法曰甲點求作直線切乙丙圜其心丁先從甲作甲丁直線截圜界于乙次以丁為心甲為界作甲戊圜次從乙作甲丁之垂線而遇甲戊圜于戊次作戊丁線而截乙丙圜于丙末作甲丙線為所求
論曰甲丙丁與戊丁乙兩角形各等戊乙丁既直角則甲丙偕丙丁半徑亦直角故甲丙為切線十八題
直線切圜從圜心作直線至切界必為切線之垂線解曰甲乙線切丙丁圜于丙從戊心至切界作戊丙線題言戊丙為甲乙之垂線
十九題
直線切圜圜内作切線之垂線則圜心必在垂線内
二十題
負圜角與分圜角所負所分之圜分同則分圜角必倍大于負圜角
解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙負圜角同以乙丙圜分為底題言
乙丁丙角倍大于乙甲丙角
先論分圜角在乙甲甲丙之内者曰從甲作甲戊線其甲丁乙形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲兩角等【一卷五】而乙丁戊外角與相對兩内角并等【一卷三二】即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依顯丙丁戊亦倍大于丙甲丁則乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
次論分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙線過丁心者曰丁甲丙形兩腰等則兩角亦等而乙丁丙外角與甲丙兩内角并等是乙丁
丙角倍大于乙甲丙角
後論分圜角在負圜角之外而甲乙截丁丙者曰乙甲丙負圜角乙丁丙分圜角自甲作甲戊過心線依前論推顯戊丁丙分圜角倍
大于戊甲丙負圜角又戊丁乙分圜角倍大于戊甲乙負圜角次于戊丁丙角減戊丁乙角于戊甲丙角減戊甲乙角所餘乙丁丙分圜角必倍大于乙甲丙負圜角
增若乙丁丁丙不作角于心或為半圜或大于半圜則心外餘地亦倍大于同底之負圜角
論曰作甲戊過心線即心外餘地
分為乙丁戊戊丁丙依前論推顯
此兩角倍大于乙甲丁丁甲丙兩角
二十一題
凡同圜分内所作負圜角俱等
解曰甲乙丙丁圜其心戊
于丁甲乙丙圜分丙任作
丁甲丙丁乙丙兩角題言此兩角等
論曰若函心大分所作如第一圖則依丁丙作丁戊丙分圜角此角既倍大于甲角又倍大于乙角是甲乙兩角自相等或半圜分所作如第二圖則依二十題增言心外餘地倍大于同底各負圜角即各角自相等或不函心小分所作如第三圖則作戊丙戊丁兩線再作乙庚甲己兩過心線丁戊己己戊丙兩角并既倍大于丁甲丙角而丁戊庚庚戊丙兩角并又倍大于丁乙丙角則甲乙兩角必自相等
二十二題
圜内切界四邊形每相對兩角并與兩直角等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有
甲乙丙丁四邊形題言甲乙丙丙
丁甲兩角并乙丙丁丁甲乙兩角并各與兩直角等
論曰試作甲丙乙丁兩對角線其甲乙丁甲丙丁兩角同負甲乙丙丁圜分即等【本卷二一】依顯丙甲丁丙乙丁兩角亦等【以同負丙乙甲丁圜分故】則甲乙丁丙乙丁兩角并【即一甲乙丙角】與甲丙丁丙甲丁兩角并等次每加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲兩角并與甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三角并元與兩直角等【一卷三一】則甲乙丙丙丁甲兩角并亦與兩直角等依顯乙丙丁丁甲乙兩角并亦與兩直角等二十三題
一直線上作兩圜分不得相似而不相等
二十四題
相等兩直線上作相似兩圜分必等
二十五題
有圜分求成圜
法曰甲乙丙圜分求成圜先作甲丙線次作乙丁為甲丙之垂線次作甲乙線視丁乙甲角或大或小或等于丁甲乙角若等即丁為圜心
何也兩角等則對等角之乙丁丁甲兩邊必等又丁丙元與甲丁等是從丁出三線至圜界皆等故丁為圜心
次法曰若丁乙甲角大于丁甲乙角當為圜之小分即作乙甲戊角與丁乙甲角等次引
乙丁線與甲戊線遇于戊即戊為圜心
論曰試作戊丙線成甲丁戊丙丁戊相等兩角形而甲戊戊丙兩線必等又戊乙甲戊甲乙兩角等而對等角之戊乙戊甲兩線必亦等今戊甲戊乙戊丙三線至界皆等故戊為圜心
後法曰若丁乙甲角小于丁甲乙角甲乙丙當為圜之大分即作乙甲戊角與丁乙
甲角等而甲戊遇丁乙線于戊即戊為圜心論曰試作戊丙線依前推知甲戊與戊丙等又與戊乙等是從戊至界三線皆等而戊為圜心增求圜分之心有一簡法于甲乙丙圜分任取三點于甲于乙于丙以兩線聨之各平分于丁于戊從丁戊各作垂線相遇于己即己
為圜心
用法圜界上任取四點各為心相向作界線兩兩相交為戊己庚辛各作直線交于
壬即壬為心
二十六題
等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦等
解曰甲乙丙丁戊己兩圜等其心
為庚為辛有甲庚丙丁辛己兩乘
圜角等或甲乙丙丁戊己兩乘圜角等題言所乘之甲丙丁己兩圜分亦等【乘圜角之在心即分圜角在界即負圜角隨類異名】
二十七題
等圜之角所乘圜分等則其角或在心或在界俱等增題從此推顯有甲丁乙丙兩直線不相交而在一圜之内若甲乙與丁丙兩圜分等則甲丁乙丙兩線必平行若兩線平行則甲乙
丁丙兩圜分必等
二十八題
等圜内兩直線等所割圜分大與大小與小各等
二十九題
等圜之圜分等則其割圜分之直線亦等
三十題
有圜分求兩平分之
法曰甲乙丙圜分求兩平分先于分之兩界作甲丙線次平分于丁作乙丁垂線即
分圜分為兩平分
三十一題
負半圜角必直角負大分角小于直角負小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角負甲乙丙半圜分乙甲丙角負乙甲丙大分又任作乙戊丙角負乙戊丙小分題先言負半圜之甲乙丙角為直角二言負大分之乙甲丙
角小于直角三言負小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙庚【謂丙乙直線偕乙庚曲線所作角】大圜分角大于直角後言丙乙辛【謂丙乙直線偕乙辛曲線所作角】小圜分角小于直角
耕曰試作乙壬過心線其壬丁丙分圜角倍大于壬乙丙負圜角甲丁壬分圜角倍大于甲乙壬負圜角甲丁壬壬丁丙兩角并與兩直角等則甲乙壬壬乙丙兩角并必為一直角矣【本卷二十】
次論曰試作甲壬線成乙甲壬角與甲乙丙直角等而乙甲丙為其分故小于直角
三論曰甲乙戊丙四邊形在圜内其乙甲丙乙戊丙相對兩角并等兩直角【本卷二二】而乙甲丙小于直角則乙戊丙必大于直角
四論曰甲乙丙直角為丙乙庚大圜分角之分則丙乙庚角大于直角
後論曰試引甲乙線至已成丙乙巳直角而丙乙辛角為其分故小于直角
一糸凡角形之内一角與兩角并等其一角必直角甲乙丙角形之甲丙丁外角與相對之甲乙兩角等而甲丙乙内角又與外角等【一卷三二】
非直角而何
二糸大分之角大于直角小分之角小于直角終無等于直角
三十二題
直線切圜從切界任作直線割圜為兩分分内各任為負圜角其切線與割線所作兩角與兩負圜角交互相等
解曰甲乙線切丙丁戊圜于丙任作丙戊直線割圜為兩分兩分内任作丙丁戊丙
己戊兩負圜角題言甲丙戊角與丙己戊角乙丙戊角與丙丁戊角交互相等
先論割圜線過心者曰甲丙戊乙丙戊兩皆直角【一卷十八】而丙己戊丙丁戊兩負半圜角亦皆直角【本卷】故交互相等
後論割圜線不過心者曰試作丙庚過心線次作戊庚線相聨丙戊庚為直角【以負半圜】
【故】即戊丙庚戊庚丙兩角并等于一直角亦等于甲丙庚角此二率各減同用之戊丙庚角即所存甲丙戊與戊庚丙等也而丙己戊與丙庚戊元等【以所負之圜分等故】故甲丙戊與丙己戊交互相等又丙丁戊巳四邊形之丙丁戊丙己戊兩對角并等兩直角【本卷二二】而甲丙戊乙丙戊兩交角并亦等兩直角【一卷十三】此二率各減一相等之甲丙戊丙己戊則所存之乙丙戊丙丁戊亦交互相等
三十三題
一直線上求作圜分而負圜分角與所設直線角等先法曰設甲乙線丙角求線上作圜分而負圜角與丙等或直或鋭或鈍若直角即
平分甲乙于丁以丁為心甲為界作半圜内作乙戊甲即直角【本卷三一】
次法曰若設丙鋭角先依甲乙線作丁甲乙鋭角與丙等次作戊甲為甲
丁之垂線次作己乙甲角與己甲乙角等而乙己線與戊甲線遇于己即以己為心甲為界作甲庚乙圜圜内依甲乙線作甲庚乙鋭角即與丙等論曰甲戊線過己心又為丁甲之垂線丁甲線必切圜于甲【本卷十六之糸】則丁甲乙與甲庚乙兩角必交互相等
後法曰若設辛鈍角依甲乙線作壬甲乙鈍角與辛等餘倣次法作甲癸乙鈍角與辛等
三十四題
設圜求割一分而負圜分角與所設角等
法曰設甲乙丙圜求割一分作負圜角與丁等先作戊己線切圜于甲次作己
甲乙角與丁等末依甲乙線作甲丙乙角與丁等論曰己甲乙與甲丙乙兩角交互相等【本卷三二】三十五題
圜内兩直線交而相分各兩分線矩内形等
解曰甲丁乙丙圜内有甲乙丙丁兩線或俱過心或一過心一不過心或俱不過心
交而相分于戊題言甲戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩内形等若俱過心其各分四線等即兩矩内形亦等
先論曰圜内線獨丙丁過心者又有二種其一丙丁平分甲乙線于戊試從心作己乙線其丙丁線既平分于己又任分于戊即丙戊
偕戊丁矩内形及己戊上方形并與等己丁之己乙上方形等【二卷五】又己戊戊乙上兩方形并亦與己乙上方形等【一卷四七】是丙戊偕戊丁矩内形及己戊上方形并與己戊戊乙上兩方形并亦等矣次每減一同用之戊己上方形則所存丙戊偕戊丁矩内形不與戊乙上方形亦等乎戊乙上方形即戊乙偕甲戊矩内形【以甲戊戊兩線等故】 也
次論曰若丙丁任分甲乙線于戊即平分甲乙線于庚次從心作己庚己乙兩線即己庚為甲乙之垂線其丙戊偕戊丁矩内形及己
戊上方形并與等己丁之己乙上方形等【二卷五】己戊上方形與己庚庚戊上兩方形並等【一卷四七】己乙上方形與巳庚庚乙上兩方形并亦等則丙戊偕戊丁矩内形及己庚庚戊上兩方形并與己庚庚乙上兩方形并等次每減同用之己庚上方形即所存丙戊偕戊丁矩内形及庚戊上方形不與庚乙上方形等乎又甲戊偕戊乙矩内形及庚戊上方形并亦與庚乙上方形等【二卷五】此相等兩率每減同用之庚戊上方形則所餘兩矩内形等矣
後論曰甲乙丙丁兩線俱不過心
相交于戊或一線平分如上圖或
俱任分如下圖皆自戊作庚辛過心線依上論推顯甲戊偕戊乙丙戊偕戊丁兩矩内形皆與庚戊偕戊辛矩内形等即兩矩内形自相等
三十六題
圜外任取一點從點出兩線一切圜一割圜其割圜全線偕規外線矩内形與切圜線上方形等
解曰甲乙丙圜外任取丁點從丁作丁乙線切圜于乙作丁甲線截圜界于丙題言甲丁偕丙丁矩内形與丁乙上方形等
先論丁甲過心者曰試作乙戊為乙丁之垂線其甲丙線平分于戊又引出一丙丁線即甲丁偕丙丁矩内形及等戊丙之戊乙上方形并與戊丁上方形等【二卷六】又戊丁上方形與戊乙丁乙上兩方形并等【一卷四七】即甲丁偕丙丁矩内形及戊乙上方形并與戊乙丁乙上兩方形并等每減同用之戊乙上方形則所存甲丁偕丙丁矩内形與丁乙上方形等
後論丁甲不過心者曰試平分甲
丙于己次從戊心作戊己戊丙戊
丁戊乙四線即戊乙為丁乙之垂線戊己為甲丙之垂線其甲丙線既平分于己又引出一丙丁線即甲丁偕丁丙矩内形及己丙上方形并與己丁上方形等【二卷六】次每加一戊己上方形即甲丁偕丁丙矩内形及己丙戊己上兩方形并與己丁戊己上兩方形并等夫己戊丙己上兩方形并與戊丙上方形等又戊己己丁上兩方形并與戊丁上方形等是甲丁偕丙丁矩内形及戊丙上方形并
與戊丁上方形等又戊丁上方形
與丁乙及等戊乙之戊丙上兩方
形并等每減同用之戊丙上方形所存甲丁偕丁丙矩内形與丁乙上方形不亦等乎
一糸若從圜外一點任作幾線各全線偕規外線
矩内形俱等
論曰各矩内形俱與乙丁線上方形等即
各矩内形自相等
二糸從圜外丁點作丁甲丁乙兩切圜線兩線必相等
論曰兩線俱與丙丁偕丁戊矩内形等即兩線自相等
三糸從圜外一點止可作兩直線切圜
三十七題
圜外任于一點出兩直線一至規外一割圜止規内而割圜全線偕割圜之規外線矩内形與至規外之線上方形等則止規外之線必切線
解曰甲乙丙圜其心戊從丁點作丁乙至規外遇圜界于乙又作丁甲割圜至規内
而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内形與丁乙上方形等題言丁乙必切圜線【同前題反言之】
幾何論約卷三
<子部,天文算法類,算書之屬,幾何論約>
