32-御製數理精藴下編卷二十六
御製數理精藴下編卷二十六
體部四
曲線體
曲線體
設如長圓體徑與高皆七尺問積幾何
法以長圓體徑七尺用求圓面積法求得圓面積三十八尺四十八寸四十五分零九釐九十六豪二十五絲有餘以高七尺乘之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七釐有餘即長圓體之積也如圖甲乙丙丁長圓體先以乙丙底徑求得乙己丙戊圓面積而以庚辛高乘之即得甲乙丙丁長圓體之積也
又法以長圓體徑七尺用徑求周法求得圓周二十一尺九寸九分一釐一豪四絲八忽五微五纖有餘與高七尺相乘得一百五十三尺九十三寸八十分三十九釐八十五豪有餘為長圓體之外面積以半徑三尺五寸乘之得五百三十八尺七百八十三寸一百三十九分四百七十五釐有餘折半得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七釐有餘即長圓體之積也如圖甲乙丙丁長圓體先求得乙己丙戊圓周與甲乙高相乘得甲乙丙丁外面積為底以庚甲半徑乘之得庚甲丙辛長方體為甲乙丙丁長圓體積之二倍蓋因長圓體之外面積與長方體之底面積等而長圓體之半徑又與長方體之高度等則長圓體為長方體之一半【見幾何原本五卷第二十四節】故折半即得甲乙丙丁長圓體之積也
又法用長方體長圓體之定率比例以長方體積一○○○○○○○○○為一率長圓體積七八五三九八一六三為二率今所設之長圓體徑七尺自乘以高七尺再乘得三百四十三尺為三率求得四率二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分九百零九釐有餘即長圓體之積也此法蓋以長方體與長圓體為比例定率之一○○○○○○○○○為長方體積而七八五三九八一六三為長方體同高同徑之長圓體積故以徑自乘高再乘得長方體積彼定率之長方體與長圓體之比即同於今所得之長方體積與所求之長圓體積之比也
設如尖圓體底徑六尺中高六尺問積幾何
法以底徑六尺用求圓面積法求得底面積二十八尺二十七寸四十三分三十三釐八十五豪有餘以高六尺乘之得一百六十九尺六百四十六寸三分一百釐有餘三歸之得五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百釐有餘即尖圓體之積也如圖甲乙丙丁戊尖圓體先以乙丁底徑求得乙丙丁戊底面積以甲己高乘之得庚乙丁辛長圓體為甲乙丙丁戊尖圓體之三倍蓋因上下面平行各體與平底尖體同底同高者其平底尖體皆得上下面平行體之三分之一【見幾何原本五卷第二十三節】故以所得庚乙丁辛長圓體積三歸之即得甲乙丙丁戊尖圓體積也
又法用尖方體尖圓體之定率比例以尖方體積一○○○○○○○○○為一率尖圓體積七八五三九八一六三為二率今所設之尖圓體底徑六尺自乘以高六尺再乘得二百一十六尺三歸之得七十二尺成尖方體積為三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百三十六釐有餘即尖圓體之積也蓋尖方體為長方體之三分之一而尖圓體為長圓體之三分之一故尖方體與尖圓體之比即同於長方體與長圓體之比也
又捷法定率比例以長方體積一○○○○○○○○○為一率尖圓體積二六一七九九三八八為二率今所設之尖圓體底徑六尺自乘以高六尺再乘得二百一十六尺為三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分八百零八釐有餘即尖圓體之積也此法蓋以長方體與尖圓體為比例長方體積為一○○○○○○○○○則長圓體積為七八五三九八一六三將此長圓體積三歸之則得尖圓體積為二六一七九九三八八故定率之長方體與尖圓體之比即同於今底徑自乘高再乘所得之長方體積與所求之尖圓體積之比也
設如尖圓體底周二十二尺自尖至底周之斜線五尺求中垂線之高幾何
法以底周二十二尺用周求徑法求得底徑七尺零二釐八豪一絲七忽有餘折半得半徑三尺五寸零一釐四豪零八忽有餘為勾以自尖至底周之斜線五尺為弦求得股三尺五寸六分九釐三豪三絲三忽有餘即中垂線之高也如圖甲乙丙丁戊尖圓體以乙丙丁戊底周求得乙丁底徑折半得乙巳半徑為勾以自尖至底周之甲乙斜線為弦求得甲巳股即中垂線之高也
設如圓 【與】球徑二尺問外面積幾
何法以 【球】圓球徑二尺用徑求周法求得周六尺二寸八分三釐一豪八絲五忽有餘與徑二尺相乘得一十二尺五
十六寸六十三分七十釐有餘 【體】即圓
球之外面積也如圖甲乙 【半】丙丁圓球體以甲丙全徑與甲乙丙丁全周相乘即得圓球體之外面積蓋因圓面半徑
徑等者其圓面積為 【癸】球體外面積之
四分之一而圓面半徑 【長】與球體全徑等者其圓面積與球體外面【圓體此球體之乙見
幾何】積等 【原】故圓球全徑與全周相乘【本】而得圓球之
外面積 【十】也設如圓球徑一尺二
寸問積 【卷】幾何法以圓球徑一尺二寸用徑求圓面積法求得圓面積一尺一十三寸零九分七十三釐三十五豪四
【第】十絲有餘以圓球徑一尺二寸乘之
得一尺三百五十七寸一百六十八分零二十四釐有餘為長圓體積三歸之得四百五十二寸三百八十九分三百四十一釐有餘倍之得九百零四寸七
百七十八分六百八 【八】十二釐有餘即
圓球之體積 【節】也如圖甲乙丙丁圓球體求得戊己庚辛平圓面積以甲丙全徑乘之得與圓球同徑同高之壬戊庚丁全徑與長圓體之戊庚底徑度等而
【有】球體之甲丙全徑又與長圓體之壬
戊高度等則球體積為長圓體積之三
分之【餘以半徑六寸乘之得二】二試以 【尺】圓球同徑
之平圓面積為 【見】底圓球之半徑為高
作一甲乙丁尖圓體則其積為甲 【幾】乙丁半球體積之半夫尖圓體與長圓體同底同高其比例為三分之一而尖圓
【何】體又為半球體之二 【原】分之一則半
球體必為半長圓體 【本】之三分之二半
球體既為半長圓體 【十】之三分之二則全球體必為全長圓體之三分之二可知故以所得壬戊庚癸長圓體積三歸
倍 【卷】之即得
甲乙丙丁 【第】圓球體積也又法以 【九】圓
球徑一尺二寸用 【節】求圓球之外面積法求得圓球之外面積四尺五十二寸三十八分九十三釐四十一豪六十絲七百一十四寸三百三十六分四十九釐有餘三歸之得九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘即圓球之
體積也如圖甲乙丙丁圓 【百】球體先求得外面積乃以此外面積為底戊丙半徑為高作一戊己庚尖圓體其體積必
與 【零】圓球體積等蓋尖圓體之底面【四】積與球體之外面積等尖圓體之高度與球體之半徑等則其體積【寸七百七十見幾何原本五卷】亦必等故以戊丙半徑與外面積相乘三歸之即如得戊己庚尖圖體積
而為甲乙 【第】丙丁圓
球體積也又 【二】法以方邊球 【十】徑相等方積球積不同之定率比例以方積一
○○○○○○ 【五】○○○為一率球積
五二三五九八七七五為 【節】二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率九
八分六百八十三釐有餘即圓 【八】球之
體積也此法蓋因 【十】圓球徑與正方邊相等而圓球積與正方積不同故以圓球徑自乘再乘作正方積為體與體之
比例如子 【三】丑圓球徑為一○○○則其自乘再乘之寅卯辰巳正方體積為
一○○○○○○○○ 【釐】○而圓球徑一○○○所得之子午丑未圓球體積
為五二三五九八七七五故 【有】以子丑圓球徑一○○○自乘再乘之寅卯辰巳正方體積一○○○○○○○○【餘】
○與子丑圓球徑所得 【之】之子午丑未圓球體積五二三五九八七七五之比
即同於 【比】今所設之甲丙圓球徑一尺二寸自乘再乘之戊己庚辛正方體積
一尺七百二十八寸與今 【也】所得之甲乙丙丁圓球體積九百零四寸七百七十八分六百
又法用 【寅】球積方積相 【卯】等球徑方邊
不同之定率比例 【正】以圓球徑一○○○○○○○○為一率正方邊八○五
九九五九七為二率今所 【方】設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率九寸六分七釐一豪九絲五忽一微六纖有【邊】餘為與圓球積相等之正方體每邊之數自乘再乘得九百零四寸七百七十
八分六百四十九 【八】釐有餘即圓球之
體積 【○】也此法蓋以圓球積與正方【五】積設為相等使圓球徑與正方邊不同先定為線與線之比例既得線而後自
乘再乘 【九】之為體也如子丑圓球徑一○○○○○○○○其所得之體積開立方則得八○五九九五九七即為寅
卯辰巳正方體之 【九】每一邊是子午丑未圓球積與寅卯辰巳正方積相等故子丑圓球徑一○○○○○○○○與五九七之比即同於今所設之甲丙圓
【積】球徑一尺二寸與今所得之戊巳正
方邊九寸六分七釐一豪九絲五忽一微六纖有餘之比既得戊己正方邊自乘再乘得戊己庚辛正方體積即與甲
乙丙丁 【六】圓球體積為相
等也又法以二十一分為一率十一分為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率九百零五寸一百四十二分
八百五十七釐有餘 【尺】為圓球之體積也蓋以正方體積一○○○○○○○
【問】○○圓球體積五二三五九八七七
五之定率約之則正方體積二 【徑】十一而圓球體積得一○九九有餘進而【幾】
為十一則圓球體積稍大 【何】故今所得之圓
球體積亦稍大也設如圓球
法用 【○】球徑方邊相 【○】等球積方積不
同之定率比 【○】例以球積一○○○○○○○○○為一率方積一九○九八
五九三一七為二率今所 【○】設之圓球積六尺為三率求得四率十一尺四百五十九寸一百五十五分九百零二釐
有 【○】餘為與圓球徑相等之正方邊之正方體積開立方得二尺二寸五分四
釐五豪零二 【○】忽有餘即圓 【為】球之徑也蓋圓球積為五二三五九八七七五
則正方積為一○○○○ 【二】○○○○○若圓球積為一○○○○○○○○○則正方積為一九○九八五九三一
七 【率】其比例仍同故以圓球積一○○
○○○○○○ 【也】○為一率者即如以圓球積五二三五九八七七五為一率而以正方積一九○九八五九三一七為二率者即如以正方積一○○○
又法用 【○】球積方積相 【○】等球徑方邊不同之定率比例以方邊一○○○○○○○○為一率球徑一二四○七○
○九八為二率今所設 【○】之圓球積六尺開立方得一尺八寸一分七釐一豪二絲有餘為三率求得四率二尺二寸
五分四釐五豪零二忽有 【○】餘即圓球之徑也此法亦以圓球積與正方積設
為 【○】相等使圓球徑與正方邊 【○】不同故以圓球積開立方得立方邊為線與
線之比例蓋方邊為八○五 【○】九九五九七則球徑為一○○○○○○○○
若方邊為一○○ 【為】○○○○○○則球徑為一二四○七○○九八其比例仍同故以方邊一○○○○○○○○為一率者即如以方邊八○五九九【二】五九七為一率而以球徑一二四○七○○九八為二率者即如以球徑一○率也
設如撱圓體大徑六寸小徑四寸問積幾何
法以小徑四寸用徑求圓面積法求得圓面積一十二寸五十六分六十三釐七十豪六十絲有餘以大徑六寸乘之得七十五寸三百九十八分二百二十三釐有餘為長圓體積三歸之得二十五寸一百三十二分七百四十一釐有餘倍之得五十寸二百六十五分四百八十二釐有餘即撱圓體之積也如圖甲乙丙丁撱圓體以乙丁小徑求得戊己庚辛平圓面積再以甲丙大徑乘之得壬戊庚癸長圓體此撱圓體積即為
長圓體積之三分之二亦如圓 【大】球體積為同徑同高之長圓體積之三分之二故以所得壬戊庚癸長圓體積三歸倍之即得甲乙丙丁撱圓體積
也又法以小徑四寸自乘得十六寸以徑六寸再乘得九十六寸為長方體積
乃用方積 【為】球積不同方 【撱】邊球徑相等之定率比例以方積一○○○○○
○○○○為 【圓】一率球積五二三五九八七七五為二率今所得之長方體積九十六寸為三率求得四率五十寸二百六十五分四百八十二釐有餘即撱圓體之積也蓋函撱圓之長方體與所
函撱圓體之比 【體】同於函球之正方【之】體與所【積也見幾何原本十卷第十】函球體之比如甲乙丙丁撱圓體甲丙大徑六寸乙丁小徑四寸以乙丁小徑自乘又以甲丙大徑再乘遂成戊己庚辛長方體形此長方體積與撱圓體積之比即同於正
【四】方體積與圓球體積之比故以定率
之正方 【節】體積為一率圓球體積為二率今所得之長方體積為三率求得四率
設如撱圓體積五十寸大徑比小徑多二寸問大小徑各幾何
法用方積球積不同方邊球徑相等之
定率比例以 【開】球積一○○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率今所設之撱圓體積五十寸為三率求得四率九十五寸四百九十二分九百六十五釐八百五十豪有餘為長方體積乃以大徑比小徑多二寸為長與濶之較用帶一縱開立方法算之得濶三寸九分九釐二豪有餘即撱圓體之小徑加大徑比小徑多二寸得五寸九分九釐二豪有餘即撱圓體之大徑也如圖甲乙丙丁撱圓體【立】用球積與方積之定率比例即成戊己庚辛長方體形其戊己長即甲丙大徑壬庚濶即乙丁小徑甲丙大徑比乙丁小徑多二寸即長濶之較故用帶一縱方法算之得濶為撱圓體之小徑得長為撱圓體之大徑也
設如上下不等圓面體上徑四尺下徑六尺高八尺問積幾何
法以上徑四尺用徑求圓面積法求得上圓面積一十二尺五十六寸六十三分七十釐六十豪有餘又以下徑六尺用徑求圓面積法求得下圓面積二十八尺二十七寸四十三分三十三釐八十五豪有餘又以上徑四尺與下徑六尺相乘得二十四尺開方得中徑四尺八寸九分八釐九豪七絲九忽四微八纖有餘用徑求圓面積法求得中圓面積一十八尺八十四寸九十五分五十五釐八十五豪有餘三數相併得五十九尺六十九寸二分六十釐三十豪有餘與高八尺相乘得四百七十七尺五百二十二寸八十二分四百釐有餘三歸之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六釐有餘即上下不等圓面體之積也蓋上下不等圓面體立法與上下不等正方體同理但上下不等正方體上下俱係方面故求得上中下三方面積相併與高相乘三歸之而得體積此上下俱係圓面故求得上中下三圓面積相併與高相乘三歸之而得體積也
又法以上徑四尺與下徑六尺相減餘二尺折半得一尺為一率高八尺為二率下徑六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等圓面體上補成一尖圓體之共高乃以下徑六尺用徑求圓面積法求得圓面積二十八尺二十七寸四十三分三十三釐八十五豪有餘與所得共高二十四尺相乘得六百七十八尺五百八十四寸一十二分四百釐有餘三歸之得二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百釐有餘為大尖圓體之積又以高八尺與共高二十四尺相減餘十六尺為上尖圓體之高以上徑四尺用徑求圓面積法求得圓面積一十二尺五十六寸六十三分七十釐六十豪有餘與上高十六尺相乘得二百零一尺六十一寸九百二十九分六百釐有餘三歸之得六十七尺二十寸六百四十三分二百釐有餘為上小尖圓體之積與大尖圓體積二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百釐有餘相減餘一百五十九尺一百七十四寸二十七分六百釐有餘即上下不等圓面體之積也如圖甲乙丙丁上下不等圓面體如戊甲丁小尖圓體遂成戊乙丙大尖圓體故於戊乙丙大尖圓體積内減去戊甲丁小尖圓體積而得甲乙丙丁上下不等圓面體之積也
又法用上下不等正方體與上下不等圓面體之定率比例以正方體積一○○○○○○○○○為一率圓面體積七八五三九八一六三為二率上徑四尺自乘下徑六尺自乘上徑四尺與下徑六尺相乘三數相併以高八尺乘之得六百零八尺三歸之得二百零二尺六百六十六寸六百六十六分六百六十六釐有餘成上下不等正方體積為三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一釐有餘即上下不等圓面體之積也
又捷法定率比例以一○○○○○○○○○為一率二六一七九九三八八為二率上徑四尺相乘下徑六尺自乘上徑四尺與下徑六尺相乘三數相併以高八尺乘之得六百零八尺為三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分九百釐有餘即上下不等圓面體之積也此法蓋以三上下不等正方體與一上下不等圓面體為比例夫一上下不等正方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等圓面體積為七八五三九八一六三若三上下不等正方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等圓面體積為二六一七九九三八八故以上徑自乘下徑自乘上下徑相乘三數相併以高乘之所得為三上下不等正方體積彼定率之三上下不等正方體與一上下不等圓面體之比即同於今所得之三上下不等正方體積與所求之一上下不等圓面體積之比也
設如上下不等撱圓面體上大徑四尺小徑三尺下大徑八尺小徑六尺高十尺問積幾何
法以上大徑四尺與上小徑三尺相乘得一十二尺以下大徑八尺與下小徑六尺相乘得四十八尺又以上大徑四尺與下小徑六尺相乘下大徑八尺與上小徑三尺相乘共得四十八尺折半得二十四尺三數相併得八十四尺乃用方積圓積之定率比例以方積一○○○○○○○○○為一率圓積七八五三九八一六三為二率三數相併之八十四尺為三率求得四率六十五尺九十七寸三十四分四十五釐六十九豪有餘與高十尺相乘得六百五十九尺七百三十四寸四百五十六分九百釐有餘三歸之得二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百三十三釐有餘即上下不等撱圓面體之積也蓋上下不等撱圓面體立法與上下不等圓面體同但上下不等圓面體上下俱係圓面故求得上中下三圓面積相併與高相乘三歸之而得體積此上下俱係撱圓面故必求得上中下三長方面積相併用定率比例得三撱圓面積乃與高相乘三歸之而得體積也又法以上大徑四尺與下大徑八尺相減餘四尺折半得二尺為一率高十尺為二率下大徑八尺折半得四尺為三率求得四率二十尺為上下不等撱圓面體上補成一尖撱圓體之共高乃以下大徑八尺小徑六尺用求撱圓面積法求得下撱圓面積三十七尺六十九寸九十一分一十一釐六十八豪有餘與所得共高二十尺相乘得七百五十三尺九百八十二寸二百三十三分六百釐有餘三歸之得二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百釐有餘為大尖撱圓面體之積又以高十尺與共高二十尺相減餘十尺為上小尖撱圓面體之高以上大徑四尺小徑三尺用求撱圓面積法求得上撱圓面積九尺四十二寸四十七分七十七釐九十二豪有餘與上高十尺相乘得九十四尺二百四十七寸七百七十九分二百釐有餘三歸之得三十一尺四百一十五寸九百二十六分四百釐有餘為上小尖撱圓面體積與大尖撱圓面體積二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百釐有餘相減餘二百一十九尺九百一十一寸四百八十四分八百釐有餘即上下不等撱圓面體積也如圖甲乙丙丁上下不等撱圓面體如戊甲丁小尖撱圓面積遂成戊乙丙大尖撱圓面體故於戊乙丙大尖撱圓面體内減戊甲丁小尖撱圓面體而得甲乙丙丁上下不等撱圓面體之積也又法用上下不等長方體與上下不等撱圓面體之定率比例以長方體積一○○○○○○○○○為一率長圓體積七八五三九八一六三為二率以上大徑四尺倍之加下大徑八尺共一十六尺與上小徑三尺相乘得四十八尺以下大徑八尺倍之加上大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相乘得一百二十尺兩數相併得一百六十八尺以高十尺乘之得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺成上下不等長方體積為三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百四十釐有餘即上下不等撱圓面體之積也蓋長方面積與撱圓面積之比同於方面積與圓面積之比故上下不等長方體與上下不等撱圓面體之比即同於長方體與長圓體之比也
又捷法定率比例以一○○○○○○○○○為一率一三○八九九六九四為二率以上大徑四尺倍之加下大徑八尺共一十六尺與上小徑三尺相乘得四十八尺以下大徑八尺倍之加上大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相乘得一百二十尺兩數相併得一百六十八尺以高十尺乘之得一千六百八十尺為三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分九百二十釐有餘即上下不等撱圓面體之積也此法蓋以六上下不等長方體與一上下不等撱圓面體為比例夫一上下不等長方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等撱圓面體積為七八五三九八一六三若六上下不等長方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等撱圓面體積為一三○八九九六九四故以上大徑倍之加下大徑與上小徑相乘以下大徑倍之加上大徑與下小徑相乘兩數相併以高乘之所得為六上下不等長方體積彼定率之六上下不等長方體積與一上下不等撱圓面體積之比即同於今所得之六上下不等長方體積與所求之一上下不等撱圓面體積之比也
設如截 【求】球體一段高二寸底徑九寸六分問積幾何法以高二寸為首率底徑九寸六分折半得四寸八分為中率求得末率一
尺一寸五分二釐為 【得】圓球之截徑加
高二寸得一尺三寸五分二釐 【平】為圓
球之全徑折半得六寸七分六 【圓】釐為圓球之半徑又以高二寸為勾底徑九寸六分折半得四寸八分為股求得弦五寸二分作平圓半徑用求圓面積法面積八十四寸九十四分八十六釐有
餘即為截 【圓】球體一段之外面積與【體】圓球半徑六寸七分六釐相乘得五百七十四寸二百五十二分五百三十六釐有餘三歸之得一百九十一寸四百
一十七分五百一十二釐有餘為 【積】自
圓球中 【一】心所分球面尖圓體 【百】積又以截球體底徑九寸六分用求平圓面
【九】積法求得截球體之底面積七十二
寸三十八分二十 【十】二釐有餘於圓球
半徑六寸七 【一】分六釐内減去截球體
之高二寸餘 【寸】四寸七分六釐與截球體之底面積七十二寸三十八分二十二釐有餘相乘得三百四十四寸五百三十九分二百七十二釐有餘三歸之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四釐有餘為自圓球中心至截球體底徑所分平面尖圓體積與球面尖四百一十七分五百一十二釐有餘相
減餘七十 【丑】六寸五百七十一分八【寅】十八釐有餘即截球體一段之積也如
圖甲乙 【卯】丙截球體一段其乙丙底徑即如弧矢形之弦長其甲丁高即如弧
矢形之矢濶故甲丁為首率乙丙 【平】底
徑折半 【圓】得乙丁為中率求得 【面積】丁【之四倍若甲辛壬半球體】戊末率為截球徑與甲丁
【其見】高相加得甲戊為圓球 【各】全徑折
半得甲巳為圓球 【面】半徑又以甲丁為
勾乙丁為股 【形】求得甲乙弦乃以甲乙
弦為半徑求 【弦】得 【矢】庚乙丙平圓面積
即與甲乙丙截球 【求】體一段之外面積
等蓋圓 【圓】面半徑與球體半徑等者其
圓面積為 【徑】球體外面積之四分之一
【法】而圓面半徑【見幾何原本十卷第八節】與球體全
徑等者其圓面積與球體外面積等故甲辛戊壬圓球體其外面積為同徑子外面積必為子丑寅卯平圓面積之二倍然則甲己半徑求得平圓面積又辛己半徑亦求得平圓面積兩面積相併
必與甲辛壬半 【體】球體之外面積等矣
今甲乙丙 【底】截球體一段若以甲丁為半徑求得平圓面積又以乙丁為半徑求得平圓面積兩面積相併亦必與甲乙丙截球體一段之外面積等而甲乙弦自乘之正方與甲丁勾自乘之正方乙丁股自乘之正方相併之積等則甲乙弦為半徑所得之圓面積亦必與甲丁勾為半徑所得之圓面積乙丁股為半徑所得之圓面積相併之積等故以甲乙弦為半徑所得之庚乙丙平圓面
積即與甲乙 【徑】丙截球體一段之外面
積相等也 【求】既得截球體一段之外面積與甲巳圓球半徑相乘三歸之得己丙甲乙球面尖圓體積又以乙丙截球得乙丙底面積與丁巳截半徑相乘三歸之得己丙丁乙平面尖圓體積與己丙甲乙球面尖圓體積相減所餘即甲
乙丙截 【減】球體一段之積
也又法先求得 【去】圓球徑一尺三寸五分二釐用徑求周法求得圓周四尺二
寸四分七釐四豪三絲三忽有餘 【截】與截球體一段之高二寸相乘得八十四
寸九十四分八十六釐有餘 【球】即為截
球一段之外 【體】面積與圓球半徑六寸七分六釐相乘得五百七十四寸二百五十二分五百三十六釐三歸之得一百九十一寸四百一十七分五百一十
二釐 【之】有餘為自 【高】圓球中心所分球
面 【二】尖圓體積又以截球體底徑九寸
六分用求 【寸】平圓面積法求得截球體之底面積七十二寸三十八分二十二釐有餘於圓球半徑六寸七分六釐内
餘四寸七分六釐與截 【則】球體之底面積七十二寸三十八分二十二釐有餘相乘得三百四十四寸五百三十九分二百七十二釐有餘三歸之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四釐
有餘為自 【與】圓球中心 【甲】至截球徑所
分平面尖圓 【巳】體積與球面尖圓體積一百九十一寸四百一十七分五百一十二釐有餘相減餘七十六寸五百七
十一分八十八釐 【半】有餘即截球體一
段之積也如 【徑】圖甲乙丙截球體一段先求得甲戊全徑與庚辛等又求得壬庚癸辛全周與甲丁高相乘得庚子丑
辛截長圓體一段之外面 【相】積與甲乙
丙截球體一 【乘】段之外面積等蓋球體全徑與長圓體底徑高度相等者其相當每【見幾何原本十卷第十一節】段之外面積皆相等既得甲乙丙截球體一段之外面積
三歸之而得己丙甲乙 【釐】球面尖圓體
積又以乙丙 【相】截球體底面積與丁己截半徑相乘三歸之而得己丙丁乙平
面尖圓體積與己丙 【減】甲乙球面尖圓
體積相減餘即得甲 【餘】乙丙截球體一
段之積也設 【三】如空心圓球積二千寸厚三寸問内外
徑數各幾何法用球徑方邊相等球積
方積不同之 【尺】定率比例以球積一○○○○○○○○○為一率方積一九
○九八五九三一七為二率今 【六】所設之空心圓球積二千寸為三率求得四率三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四釐有餘為空心正方體積乃用算空心正方體法以厚三寸自乘再乘得二十七寸八因之得二百一十六寸與所得空心正方體積三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四百零三寸七百一十八分六百三十四釐有餘六歸之得六百寸六百一十九分七百七十二釐有餘用厚三寸除之得三尺零二十分六十五釐九十豪為内徑與外徑相乘長方面積乃以厚三寸倍之得六寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶一尺一寸四分六釐三豪九絲七忽有餘即空心圓球内徑得長一尺七寸四分六釐三豪九
絲七忽有餘即空心圓 【心】球外徑也此
法蓋以空心 【正】圓球體與空心正方體
為比例即 【方】如用球積與方積定率為
比例也如圖甲乙丙丁戊己庚辛 【體】空心圓球體其甲丙外徑與壬癸外方邊等其戊庚内徑與寅卯内方邊等是以
甲 【之】乙丙丁大球體與壬癸子丑大正方體為比戊己庚辛小球體與寅卯辰已小正方體為比而空心圓球體與空
比即如 【十】球體積與方體積之比也既得空心正方體積則用算空心正方體法以壬酉厚自乘再乘八因之得午巳未申類八小隅體與空心正方體相減則餘空心正方體之六面酉戌坎未類六長方扁體六歸之得酉戌坎未一長方扁體用厚三寸除之得酉戌亥乾一長方面積其酉戌濶與戊庚等即内徑其酉乾長與壬丑等即外徑其酉寅巳乾皆與壬酉厚度等酉寅巳乾併之即長濶之較故以厚三寸倍之為帶縱求得濶為内徑長為外徑
也又法用定率比例求得空心正方體積以厚三寸倍之得六寸為内方邊與外方邊之較自乘再乘得二百一十六寸與所得空心正方體積三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四釐有餘相減餘三尺六百零三寸七百一八分六百三十四釐有餘三歸之得一尺二百零一寸二百三十九分五百四十四釐有餘以内外方邊之較六寸除之得二尺零二十分六十五釐九十豪有餘為長方面積以内外方邊之較六寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得闊一尺一寸四分六釐三豪九絲七忽有餘即空心圓球内徑得長一尺七寸四分六釐三豪九絲七忽有餘
即空心圓 【度】球外徑也如圖甲乙丙丁
戊己庚辛空心 【自】圓球體用定率比例而得壬癸子丑寅卯辰巳空心正方體將寅卯辰巳空心小正方形移置癸角之一隅則空心正方體變為壬寅己辰子申未午罄折體形其壬寅即罄折體之厚為甲丙外徑與戊庚内徑之較依開立方法分之得酉戌亥三方亷體乾坎艮三長亷體震一小隅體以壬寅厚乘再乘得震一小隅體與空心正方體積相減餘三方亷體三長亷體三歸之則餘酉一方亷體乾一長亷體共成巽壬癸辰坤離一扁方體其巽壬厚與壬寅等以巽壬厚除巽壬癸辰坤離扁方體則得壬癸辰坤長方面壬寅即長濶之較故用帶縱較數開平方法算之得卯辰濶與寅癸等即空心圓球之内徑以壬寅與寅癸相加得壬癸與甲丙等
即空心圓 【十】球之外徑
也設如圓窖一座周二十四尺高十尺問盛米幾何法以周二十四尺用圓周求面積法求得圓面積四十五尺八十三寸六十六分二十二釐有餘與高一丈相乘得四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有餘為圓窖之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率圓窖體積四百五十八尺三百六六寸二百二十分有餘為三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有餘即所盛之米數也此法與求長圓體積之法同如甲乙丙丁長圓窖以甲戊丁巳圓周求得平圓面積用甲乙高乘之即得甲乙丙丁長圓體積既得體積則以一石積數二千五百寸與一石之比同於今所得之體積與今所求之米數之比也
設如圓窖一座盛米一百六十石高十尺問周徑各幾何
法以米一石為一率一石積數定率二千五百寸為二率盛米一百六十石為三率求得四率四百尺為圓窖之積數以高十尺除之得四十尺為圓窖之面積乃用圓積方積之定率比例以圓積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所得之圓窖面積四十尺為三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一釐六十豪有餘開平方得七尺一寸三分六釐四豪九絲有餘即圓窖之徑數再用徑求周法求得周二十二尺四寸一分九釐九豪四絲有餘即圓窖之周數也
設如積米一堆高五尺底周十四尺問米數幾何法以底周十四尺用圓周求面積法求得圓面積一十五尺五十九寸七十一分八十四釐一十二豪有餘為尖圓堆之底面積與高五尺相乘得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百釐有餘三歸之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十釐有餘為尖圓堆之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率今所得之尖圓堆之積數二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十釐有餘為三率求得四率一十石零三升九合八勺一抄有餘即所堆之米數也此法與尖圓體求積之法同既得尖圓堆之積而以一石之積數定率為比例即得米數也
設如倚壁積米一堆高四尺底周六尺問米數幾何法以底周六尺為半周倍之得一十二尺為全周用圓周求面積法求得圓面積一十一尺四十五寸九十一分五十五釐有餘折半得五尺七十二寸九十五分七十七釐有餘為倚壁尖圓堆之底面積以高四尺乘之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有餘三歸之得七尺六百三十九寸四百三十六分有餘為倚壁尖圓堆之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率今所得之倚壁尖圓堆之積數七尺六百三十九寸四百三十六分有餘為三率求得四率三石零五升五合七勺七抄有餘即倚壁所堆之米數也蓋倚壁尖圓堆即尖圓體之一半故求得平圓面積折半與高數相乘又以三歸之得倚壁尖圓堆之積數而以一石積數為比例即得米數也
設如倚壁内角積米一堆高五尺周一十二尺問米數幾何
法以周一十二尺四因之得四十八尺為全周用圓周求面積法求得圓面積一百八十三尺三十四寸六十四分九十釐有餘四歸之得四十五尺八十三寸六十六分二十二釐有餘為倚壁内角尖圓堆之底面積與高五尺相乘得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分三歸之得七十六尺三百九十四寸三百七十分為倚壁内角尖圓堆之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率今所得之倚壁内角尖圓堆之積數七十六尺三百九十四寸三百七十分為三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有餘即倚壁内角所堆之米數也蓋倚壁内角尖圓堆即尖圓體之四分之一故求得平圓面積四歸之與高數相乘又以三歸之得倚壁内角尖圓堆之積數而以一石積數為比例即得米數也
設如倚壁外角積米一堆高六尺底周三十三尺問米數幾何
法以周三十三尺三歸四因得四十四尺為全周用圓周求面積法求得圓面積一百五十四尺六寸一十九分八十一釐九十二豪有餘四歸三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十八釐四十四豪有餘為倚壁外角尖圓堆之底面積以高六尺乘之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十釐有餘三歸之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十釐有餘即倚壁外角尖圓堆之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率今所得之倚壁外角尖圓堆之積數二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十釐有餘為三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八抄有餘即倚壁外角所堆之米數也蓋倚壁外角尖圓堆即尖圓體四分之三故求得平圓面積四歸三因與高數相乘又以三歸之得倚壁外角尖圓堆之積數而以一石積數為比例即得米數也
御製數理精蘊下編卷二十六
