41-歷算全書卷四十
歷算全書卷四十一
宣城梅文鼎撰
方程論卷二
極數
吾論方程至和較之雜之變盡矣雖然不知帶分疊脚重審之法無以窮其致故極數次之
極數有三一帶分二疊脚三重審皆不離乎和較之四術帶分方程例
法曰視原問中有云幾分之幾者則以分母通其全數而列之或云有物幾數又幾分之幾者以分母通其全數而納其子如法列位遍乘減併以求一法一實既得法以除實而得者即所求物之一分也以所得一分之數分母乘之則為物之全數矣
或云幾分之幾又幾分之幾者以兩分母相乘為全數而列之又以兩分母互乘其子為所用之分而列之所用之分同在一行者併而列之分用于兩行者不併也併之而所用之分反大於全數者以全數除之命為幾全數又幾分之幾其入算乘除仍用所併之分得數後則只以全數之分乘之為全數【以上兩法皆化整為零乘除竟用零分故先得一分之數】
又法
凡較數有以此之全數當彼之幾分之幾者則通其一行之内皆以分母乘之而後列焉則其所得即為全數而非其一分也【如云乙得甲三分之二則以分母三乘乙全數得全乙者三乘甲之二分得六分是為全甲者二則以三乙當二甲而列之驟視之如倒列其子母其實皆全數耳】若有正負之數亦以分母乘而列之【亦全數非零分也是為以零變整與化整為零之法不同故徑得其全數所用乘除皆整數非分故也】得即為整【其所用分母只在本一行中如一物有兩分母又分用于各行則各以其行中分母為用】凡和數中有一位帶分而餘只全數者亦可以分母通乘而列之其所得亦為全數而非分【如甲三乙二又三之一共十六則以分母三乘甲得九乘一二得六乘乙之一得三亦整一也併得整七乘共十六得四十八是為甲九乙七共四十八變零為整徑以整數乘除所得即為整數】
又法
凡帶分之法或化整為零或變零為整取其畫一也此外又有雜用零整之法亦所當知【如行中有幾位或原帶有零分者以化整為零法列之其原未帶分者只以整數列之但乘除得數後整列者所得即為整數零分列者所得只為零分之數仍須以分母乘之為全數】
又法
視所帶之分有可以分母除之而盡者則以所除分秒附于整數而列之則其乘除後得數亦為所求之全數【若分母除其子不能盡者則不用此法】
今有甲字庫貯金丁字庫貯銀各不知總但云取甲四之三加丁五之二則一百一十萬若以甲加丁之倍數則四百四十萬問各若干
畣曰甲庫金四十萬 丁庫銀二百萬
法以分子甲之三分丁之二分列右
以分母四通甲整一得四分以分母五通丁整二得十分列左
依和數法互乘對減餘丁之分二十二為法餘八百八十萬為實
法除實得四十萬為丁之一分以丁之分母五乘丁之一分得二百萬為丁庫銀數 乃以丁庫數倍之得四百萬減四百四十萬餘四十萬為甲庫金數此化整從零法也【原列零分故得亦零分之數】
又法以丁分母五互甲之三得十五以甲分母四互丁之二得八列右乂以兩分母【五四】相乘得二十為甲丁共母以乘一甲得二十乘倍丁得四十列左 乃以甲丁共母乘一百一十萬得二千二百萬列右乘四百四十萬得八千八百萬列左【分母相乘為母母互乘子只是通分之法妙在以分共母乘其和數而零數皆為整用矣此用法之妙】
上 中 下
依法乘減餘丁四百四十為法 八億八千萬為實以法除實得二百萬為丁數以丁四十計八千萬減八千八百萬餘八百萬以甲二十除之得四十萬為甲數此變零為整法也【原列整數故所得即為整數】
又法以甲分母四除之三得七分五秒以丁分母五除之二得四分列之則其餘數皆不變
左甲一乘右行皆如原數 右甲○七分五秒乘左行各得四分之三甲各○七分五秒盡減 丁餘一一【上一整數下一一分乃十分之一】為法共數減餘二百二十萬為實 法除實得二百萬為丁數 以丁數倍之減共數餘四十萬即為甲數
此除零附整法也【零分既除為分秒則乘除之際皆以整數為主故所得亦即為整數】
今有甲乙二數不知總但云取乙五之三又取乙四之一以益甲則甲之數倍取甲三之二又取甲七之二以與乙較則乙多數二百四十問甲乙本數各幾何畣曰甲本數一千○七十一 乙本數一千二百六十
法以較數帶分取之 本二色也却有三位以分母通之仍二位也 先以乙分母【五四】相乘得二十以當乙之全數 又以分母五互乘分子一得五以分母四互乘分子三得十二併之得十七以當乙所益甲之分 是為乙二十分之十七以益甲也
次以甲分母【三七】相乘得二十一以當甲之全數 又以分母三互乘分子二得六以分母七互乘分子二得十四併之共二十以當甲所與乙較之分 是為甲二十一分之二十以與乙較也
于是分正負列位
依較數法乘減 乙餘八十分為法 負數無減就以五千○四十為實 法除實得六十三為乙之一分 以乙全分二十乘之得一千二百六十為乙本數 乙本數同減負二百四十餘一千○二十即甲與乙較之分也以左行甲之二十分除之得五十一為甲之一分以甲全分二十一乘之得一千○七十一為甲本數
乃細攷之 置乙本數【三】因【五】除之得七百五十六為五之三 又置一本數【四】除之得三百一十五為四之一 併兩數共一千○七十一則與甲數同故以此益甲而甲倍也 置甲本數【二】因【三】除之得七百一十四為三之二 又置甲本數【二】因【七】除之得三百○六為七之二 併兩數共一千○二十以此較乙則不及二百四十
此只是以乙之分與甲較又以甲之分與乙較也末卷所列諸率則是以乙之分益甲而轉與乙所存之分相較又以甲之分益乙而轉與甲所存之數相較故自不同合而觀之則見
今有寶泉寶源二局鑄錢不知總但云取寶源五之四又四之三以益寶泉則寶泉之數倍 若取寶泉三之二以與寶源較則多于寶源四十二貫
畣曰寶泉原數一千九百五十三貫 寶源原數一千二百六十貫
法先以寶源分母【五四】相乘得二十分為全數 又以分母五互乘分子【三】得十五分母【四】互乘分子【四】得十六併之共三十一分為寶源所以益寶泉之分 全數二十分所用以益寶泉者反有三十一分是為以寶源全數又二十分之十一以益寶泉也 其寶泉只一分母故不用乘併
乃列位
如法乘減 中位餘二分為法 下位餘一百二十六貫為實
法除實得六十三貫為寶源局二十分之一分 以分母二十乘之得一千二百六十貫為寶源數 以寶源數異加正四十二貫共一千三百○二貫即寶泉局三分之二也于是以分子之二除以分母三乘得一千九百五十三貫為寶泉數【置寶源數四因五除之得一千○八為五分之四又置寶源數三因四除之得九百四十五為四之三併兩數亦恰得一千九百五十三貫如寶泉數以加寶泉是為寶泉者倍也】
論曰乘得數後寶泉分數同惟右行之寶源多于左行者二分而遂能與寶泉等若左行之寶源少此二分而其少于寶泉者遂一百二十六貫然則此一百二十六貫者正是寶源之二分矣【知分數即知全數知寶源即知寶泉】此二則皆化整為零而分母不同也
今有貨泉刀貝四種之幣各不知數但云泉八之一兼刀布七之二則如貨數也 若刀布七之三兼貝六之四則其數如泉也若貝六之五又外加數八千九百七十則如刀布也 若貨數自加九之一則其數如貝也問本數各幾何
畣曰貨五千一百三十 泉九千六百八十
刀布一萬三千七百二十 貝五千七百
法以各分母通其原數然後以正負列之 貨分母九泉分母八 刀布分母七 貝分母六 【丁行貨合數一】
【又九分之一共十是為九分之十凡全數帶分者準此】
先以甲行貨正九分為法徧乘丁行得數 又以丁行貨負十分為法徧乘甲行得數【因首位異名故變一行以相從而以丁從甲】乃以甲丁兩行得數相減 貨同減盡 甲行泉負十分刀布負二十分皆無對不減 丁行貝負五十四分亦無對不減 下適足無乘無減仍為適足
乃以泉刀同名在甲行者為一類 貝同名在丁行者為一類分正負重列而求之【丁行之負甲行之正也】
因餘行已無貨位當以泉為乘法尋乙行中有泉徑用與減餘相對
如法徧乘得數乃相減併 泉同減盡 刀布異併得【正】一百九十分 貝同減餘負三百九十二分以減餘為主命其正負而重列之
因餘行又已無泉當以刀布為乘法尋丙行有刀布徑用與減餘相對
上 中 下
如法徧乘得數 刀布同減盡貝同減餘一千七百九十四分為法正一百七十萬四千三百無減就為實 法除實得九百五十為負之一分 以丙行貝之五分該四千七百五十異加正八千九百七十共一萬三千七百二十為刀布原數 以刀布分母七除原數得一千九百六十為刀布之一分 以刀布之三分該五千八百八十貝之四分該三千八百併之得九千六百八十為泉數【用乙行也】以泉分母八除泉數得一千二百一十為泉之一分 以泉之一分加刀布之二分三千九百二十共五千一百三十為貨數【用甲行也】以貨分母九除貨數得五百七十為貨之一分以貨數加一分共五千七百為貝數【用丁行也】
甲丁兩行乘減論曰既互乘則甲丁之貨等而甲行之泉若刀布及丁行之貝又各與其首位之貨等則甲之泉若刀布必與丁之貝等也故對減去貨而徑以甲之泉若刀布與丁之貝分正負而命之適足也此即西學中比例之理然方程中自有之且簡快如此
乙行減併論曰左右兩行之正負皆適足若于右正數内減左正右負數内減左負其所餘者亦必適足也今右正内既減去同名之泉右負内又減去同名之貝而左負内有刀布不與右同名不能相減故反用以加加則正數多正數多則負數少而其數亦必適足矣
又論曰隔行之異名乃同名也今兩行之正與負既皆適足若以左之正【泉】益右之負【貝】而共為負以左之負【刀布貝】益右之正【泉刀布】而共為正則亦適足也于是以兩者【右泉刀布左刀布貝為一類左泉右貝為一類】對減其相同之物【泉各減八十分貝各減四十分】則其所餘之物必亦適足也【左右刀布為正右貝減餘為負】
又論曰右行刀布正數也正多于負之數也左行刀布負數也正少于負之數也合此二數則是右正之多于左正者此兩行之刀布也然刀布之數右正雖多于左正而貝之數右負亦多于左負故兩行皆適足也然則右正之所多與右負之所多亦必相當適足矣
丙行乘減論曰刀布本同惟右之貝多于左右之貝多則左之貝少左之貝少則刀布多矣然則左之刀布布獨有盈數者正是此相差之貝也
此亦化整為零而又有整帶零【四色有空之例也】
問品官月俸六品為五品八之五七品為六品四之三八品為七品十五之十三九品為七品十五之十一倍九品加八品六品七品各一則如五品之倍數而多三石各若干
法以分母各通其原數而正負列之 五品通為八六品通為四 七品通為十五 八品九品以全數原無分母故也【五品倍則為十六】
先以甲行五品十六分遍乘乙行五品六品得數【餘空位無乘】 次以乙行五品五分遍乘甲行得數 乃對減 五品各八十分同名對減盡 六品同名對減餘四十四分乙行之負物也為乙類
七品八品九品并禄米較數皆無對不減皆甲行之負物負數也為一類 分正負列之與丙行相對
如法以減餘六品分遍乘丙行六品七品分得數【餘空無乘】
又以丙行六品分遍乘減餘得數 乃以對減 六品得數各一百三十二分同名減盡 七品同名減餘四百三十五分丙行之負物也自為一類 其餘三位無減皆減餘之負物負數也共為一類 分正負列之與丁行相對
又因丁戊兩行皆有七品是多一算也乃更置之以八品列首位
上 中 下
如法以丁行八品負一遍乘減餘皆如故【首行同名故兩行之正負亦皆不變】又以減餘八品負十五分遍乘丁行八品七品得數 乃對減 八品同減盡 七品同減餘二百四十分右行之正物也為一類 九品三十無減禄米四十五石亦無減皆右行之負物負數也同
名共為一類 乃分正負重列之與戊行相對
如法以左右七品分互遍乘得數【首行同名故兩行之正負皆不變】七品同減盡 九品同減餘九十為法 祿米四
百九十五石無減就為實 法除實得五石五斗為九品月俸 置九品俸以相當之七品之十一分除之得五斗為七品月俸十五分之一而以與八品相當之十三乘之得六石五斗為八品月俸 又以七品之分母十五乘其一分得七石五斗為七品月俸又置七品俸以相當之六品之三分除之得二石
五斗為六品四之一而以其分母四乘之得十石為六品月俸 置六品俸以相當之五品之五分除之得二石為五品八之一而以其分母八乘之得十六石為五品月俸
計開 五品每月十六石 六品每月十石 七品每月七石五斗 八品每月六石五斗 九品每月五石五斗
論曰此所列有二種 六品通為四分者問原云四之三是可以四分者也七品通為十五分者原云十五之十三之十一是可以十五分者也五品通為十六分者原云八之五是可以八分者也又倍之而十六則為八分者二矣此皆以分立算化整從零之法也八品則只是原數九品亦是原數而又有倍數然
只是原數之倍非如五品倍其分也此兩者皆不用分只用整 合而言之乃零整雜用之法也 零與整雜似不倫矣然乘除得數則同 但用分者所得數亦為一分之數故必以分母乘之乃合原數而其原不用分者得即原數更不須乘能知此理則用分無誤矣
甲乙兩行論曰兩行正數内五品本同而甲有負多于正之較乙則無有是此較數乃甲負多于乙負之較也于是以兩負相減以去其同之分而觀其所不同之處則甲有諸品而乙惟六品之減餘然則甲負之獨多此較者乃甲諸品多于乙六品減餘之較矣
丙行乘減論曰兩得數對減而六品減盡是其數同也其與六品為正負者又減去相同之七品分而左仍餘七品之餘分右仍餘諸品之全分則是兩行諸數皆同而惟此二者有差也然則右之獨有盈于六品之較者正此二者之差數也
丁行論曰兩行對減而于負數内減去相同之八品惟餘九品于正數内減去相同之七品分惟餘七品之餘分然則右行負數獨有盈于正數者正是右行九品與其七品餘分之較也何也與之對減者乃左行適足之數故于較數無關也【重列三次皆然】
戊行論曰右行内減去左行適足數惟餘九品數則其下盈數必所餘九品之數也 此條逓減歸一其理較明學者翫之
此零整雜列也亦五色方程有空例也有減無併可悟偶加奇減之非
問有物一百七十四以三人分之乙所分如甲七之三仍不足單六丙所分如乙七之三而多二數各幾何畣曰甲數一百一十二 乙數四十二 丙數二十【甲數三因七除得四十八多于乙數六乙數三因七除之得十八少于丙數二】
法列位 以甲乙分母七化整為零 丙無分仍用整
【○】 乙之三分【正】 丙一【負】負二【此行無甲數存與減餘重列】
此三色有空先以和較雜法用兩行甲互遍乘之和數甲全分七乘較行得數【依其正負】以較數甲正三分乘和行得數【從乘法皆命為正】 甲各二十一分同減盡乙異併七十分【正】丙三無減【正】下數同減餘四百八十【正】皆同名不分正負以和數重列與第三行較數求之
上 中 下
如法互乘減併 乙同減盡 丙異併七十九為法下數異併一千五百八十為實 法除實得二十
為丙數 丙數同減負二得一十八為乙七之三乃以三分除之得六為乙七之一以分母七乘之得四十二為乙數 乙數異加正六共四十八當甲七之三乃以三分除之得十六為甲七之一以甲分母七乘之得一百一十二為甲數 此亦零整雜用之法也
若依變零從整法則以分子母倒位列之其正負以分母乘之乃與和數列而求之
論曰倒位何也非倒位也分母遍乘則然也以分母七乘子三而皆七之則為三分者七為三分七是為全全數者三矣而其所當者全數也七之則為全數者七矣是乙以全數當甲七之三者七乘之則七乙當三甲也故如倒位然皆全數也非分也故非倒位正負亦分母乘何也乙一當甲七之三而少六則七乙當三甲而共少七个六為四十二也丙一當乙七之三而多二則七丙當三乙而共多七个二為十四也
如法以前兩行遍乘減併又重列之與第三行遍乘減併 乙減盡丙異併七十九為法 下數異併一千五百八十為實 法除實得二十為丙數
七因丙數得一百四十同減負十四餘一百二十六以乙三除之得四十二為乙數
七因乙數得二百九十四異加正四十二共三百三十六以甲三除之得一百一十二為甲數
此變零從整而分母同者也亦有分母不同但取其本一行中所用之分母遍乘本行以為用不必齊同如後條
問有數不知總以三人分之亦不知各所分之數但云甲如乙丙共數二之一乙如甲丙三之二丙如甲乙四之三而不足四又四分之一總數分數各幾何畣曰總數十五 甲五 乙六 丙四 乙丙共十其二之一則五如甲 甲丙共九其三之二則六如乙 甲乙共十一其四之三則八义四之一以丙相較不足四又四之一也
法曰此各行分母不同【如甲有三之二又有四之三乙有二之一又有四之三丙有二之一又有三之二皆有兩分母】宜用變零從整之法以不同同之【用分則不同變而用整則不同而同矣】以分母各遍乘其本行而列之右行分母二 中行三左行四
如法互乘減併以三色較數變為二色而重列之【雖減併不同皆仍為較數不變宜翫】
如法互乘 乙同減盡 丙同減餘負三十四為法正一百三十六無減就為實 法除實得四為丙
數 六乘丙數得二十四以相當適足之四乙除之得六為乙數 以原列右行乙丙各一共十以相當適足之甲二除之得五為甲數
論曰甲為乙丙二之一則是二甲當一乙一丙也皆二因之也 乙為甲丙三之二則是三乙當二甲二丙也皆三因之也 丙為甲乙四之三而不足四又四之一則是四丙以當三甲三乙而不足十七也皆四因之也【甲乙丙各有兩分母若化整為零當以分母相乘為原數母互乘子為所用之分殊多事矣】二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一
三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二
四因丙得四四因甲乙四之三得甲乙各三四因正四又四之一得正十七【以一丙與甲乙四之三較不足四又四之一若以四丙與四个甲乙四之三較亦不足四个四又四个四之一是為十七】
問有數九百六十以四人差等分之乙與甲如二與八丙與乙如三與七丁與丙如四與六各幾何
畣曰甲六百七十二 乙一百六十八 丙七十二丁四十八
法以共數命為和相當數命為較依和較襍法列之乙二而甲八是乙得甲八之二故八乙可當二甲也丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可當三乙也丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可當四丙也【推此知二八三七四六各種差分皆可以方程御之】
首次兩行如法互乘減併訖重列之取出第三行與之為耦
如法減併訖又重列之【兩次減餘皆和數可見立負之非】
又取末行與之為耦而列之
如法乘 丙減盡 丁併得四百八十為法 正二萬三千○四十無減就為實 法除實得四十八為丁數 六因丁數得二百八十八以相當之四丙除之得七十二為丙數 七因丙數得五百○四以相當之三乙除之得一百六十八為乙數 八因乙數得一千三百四十四以相當之二甲除之得六百七十二為甲數
試以甲併乙共八百四十以八因之得甲數若二因亦得乙數是乙數甲二八差分也 試以丙併乙共二百四十以七因之得乙數若三因亦得丙數是丙與乙三七差分也 併丙丁共一百二十以六因之得丙數若四因亦得丁數是丁與丙四六差分也
又試以八除甲數得八十四以二除乙數亦得八十四若以八十四除甲數必得八以八十四除乙數必得二也 又試以七除乙數以三除丙數皆得二十四若以二十四除乙數必得七除丙數必得三也 以六除丙數以四除丁數皆得十二若以十二除丙數必得六除丁數必得四也
問有數七百四十一以四人分之乙于甲為三之二丙于乙為五之三丁于丙為七之五各幾何
畣曰甲三百一十五 乙二百一十 丙一百二十六 丁九十
法曰乙得甲三之二是三乙當二甲也丙得乙五之三是五丙當三乙也丁得丙七之五是七丁當五丙也故皆命以適足而列之
先以孟仲兩行如法互乘減併訖列其餘數取出叔行相對
如法減併又列其餘與季行相較
如法減併 丁二百四十七為法 正二萬二千二百三十為實 法除實得九十為丁數
七因丁數五除之得一百二十六為丙數 五因丙數三除之得二百一十為乙數 三因乙數二除之得三百一十五為甲數
問有數七百四十一以四人分之乙如甲三之二丙如甲五之二丁如甲七之二各幾何
因前問中有疉數故作此問以互明之
乙三當甲二而丙五又當乙三是丙五亦當甲二也丙五當甲二而丁七又當丙五是丁七亦當甲二也【又丁七亦當乙三今云兩者以甲為主也】
在西法謂之連比例
上 中 下
首行互乘次行如故 次行乘首行皆二之甲減盡乙異併得五【正】丙二【正】丁二【正】正一千四百八十
二皆無減【皆仍為和同名在一行故也】
次行乘三行因兩首位同不用乘竟以對減 甲減盡乙三【次行負也】丙五【三行負也】皆無減命為正負適足【同名在兩行故為較數】三行末行首位亦同亦徑減 甲減盡 乙空 丙五【三行負也】丁七【末行負也】皆亦無減命為正負適足【亦同名在兩行】乃以減餘重列之如三色有空之法
如法減併得二百四十七為法二萬二千二百三十為實 法除實得丁數以次求得甲乙丙數皆如前問之數
問有米三百八十五石五斗二升令二等人戶以四六差分出之甲上等二十六戶乙下等四十戶下戶出率則如上戶六之四
畣曰上戶各七百三斗二升 二十六戶共一百九十石○三斗二升 下戶各四石八斗八升 四十戶共一百九十五石二斗
法以和較列位
如法互乘得四 甲同減盡 乙異併三百一十六戶為法 米一千五百四十二石○八升無減就為實 法除實得四石八斗八升為下等戶則例 以下等六戶乘其則例得二十九石二斗八升以相當之上等四戶除之得七石三斗二升為上等戶則例
問有米三百一十七石給與四色人戶甲二十戶乙三十戶丙四十戶丁五十戶丁每戶如丙戶七之三丙每戶如乙戶六之四乙每戶如甲戶八之二各幾何畣曰甲每戶八石四斗 二十戶共一百六十八石乙每戶二石一斗 三十戶共六十三石丙每戶一石四斗 四十戶共五十六石丁每戶六斗 五十戶共三十石
法列位
首行甲二十戶十倍於次行甲正二但以首行甲退一位作二則齊同矣甲退十為單其下各位皆退十為單即如互遍乘而可以對減矣
乃以減併之餘重與第三行列之
又以減併之餘重與第四行列之
依法求得六百三十四為法 三百八十石○四斗為實 法除實得六斗為丁戶則例 七因丁則得四石二斗丙三除之得一石四斗為丙則 六因丙則四除之得二石一斗為乙則 四因乙則得八石四斗為甲則
【此條有省算法說見後卷】
此上數條皆變零從整法也
有兩數相較而為十之八十之七者即非二八三七差分也有二例見末卷
瓔珞方程例
瓔珞者言其聨綴而垂象瓔珞也謂之疉脚
凡算方程皆以多色逓減至一法一實以先知一色之數然此所先求之一色却原帶有不同之數則法一而實非一故以一總法而除多實非疉脚之法不可也【亦有以下為法上為實者則實一而法有多名在合問者之所求而定之詳刋誤條】
今有大江南北兩處糧艘載米不同因氷程遠近給耗米亦不等但云南船三隻北船兩隻共運米一千九百七十石外給耗米共六百六十八石又南船一隻北船四隻共運米一千九百九十石外給耗米五百五十六石問各船正耗米數以便稽核
畣曰北船每隻正運米四百石 給耗米一百石共正耗米五百石 每正米一石耗米二斗五升南船每隻正運米三百九十石 給耗米一百五十六石 共正耗米五百四十六石
每正米一石給耗米四斗
法各列位
先以左行南船一遍乘右行各得原數
次以右行南船三遍乘左行得數 南船三與右減盡 北船十二減去右二餘十隻為總法
正運米五千九百七十石減去右一千九百七十石餘四千石為運米實
耗米一千六百六十八石減去六百六十八石餘一千石為耗米實
以總法除正運米實得四百石為北船每隻運數以總法除耗米實得一百石為北船每隻耗米數【總計正耗得北船每隻米五百石】
任于左行總運米一千九百九十石内減北船四隻該運米一千六百石餘三百九十石為南船一隻運數【一故不除 或于右行運一千九百七十石内減北船二隻運八百石餘一千一百七十石以南船三隻除之亦得三百九十石】
于左行總耗米五百五十六名内減北船四隻該耗四百石餘一百五十六石為南船一隻運數【或于右行耗六百六十八石内減北船二隻耗二百石餘四百六十八石以南船三隻除之亦得一百五十六石】總計正耗得南船每隻米五百四十六石
以北船四百石除其耗米一百石得每石給耗米二斗五升以南船三百九十石除其耗米一百五十六石得每石給耗四斗
此問每船米數故以船為法米為實
若問每米一萬石該用幾船則以減餘船十隻用異乘同除以一萬乘得十萬為總船實 以運米減餘四千石為法 法除實得二十五為每運米一萬石用北船之數 于是任以右行北船二隻亦用異乘同除以一萬石乘之二十五船除之得八百石以減共米一千九百七十石餘一千一百七十石又用為法以右行原列南船三乘一萬石得三萬石為實法除實得二十五隻又三十九分之二十五為每米一萬石用南船之數
若問耗米給過五千石該得幾船者則亦用異乘同除以五千石乘減餘十隻為北船實 以減餘耗米一千石為法除實得五十隻為每耗米五千石給北船之數 任以右行北船二隻五千石乘之五十隻除之得二百石以減共耗六百六十八石餘四百六十八石又用為法以原列南船三乘五千石為實法除實得三十二隻又三十九分之二為每耗米五千石給南船之數
假如有南運艘二隻以比北三隻則南船運米不及北四百二十石其南船帶耗米反多于北一十二石若以南船三當北船五則南船運米不及北八百三十石其耗米亦不及北三十二石問各幾何
法以正負列位
上 中 下
如法乘減餘北船一隻為總法
運米同減餘四百石為運米實即為北船每隻運數【總法一故不除下同】耗米異併得一百石為耗米實即為北船每隻耗數
任以右行北船三乘其運數得一千二百石同減負四百二十石餘七百八十石以南船二除之得三百九十石為南船運數
以右行北船三乘其耗數得三百石異加正十二石共三百一十二石以南船二除之得一百五十六石為南船耗數
若問每米一萬石須幾船運者則以減餘北船一以一萬石乘之為船實 以減餘四百石為運米法法除實得二十五隻為北船每運一萬石之數 又以一萬石任乘右行北船三以二十五隻除之得一千二百石同減負四百二十石餘七百八十石又為法以一萬石乘南船二為實法除實得二十五隻又三十九分船之二十五為南船每運一萬石之數
若問耗米五千石該給幾船者則亦以五千石乘減餘北船一隻為船實 以減餘一百石為耗米法法除實得五十隻為北船耗米五千石之船數 又以五千石乘右行北船三以五十隻除之得三百石異加正十二石共三百一十二石又為法以五千石乘南船二為實實如法而一得三十二隻又三十九分船之二為南船耗米五千石之船數
此因耗米與正運不同故也若耗米亦以一萬石為問則北船之實皆同
今有墨一百二十七錠研六十六枚給與修史局六十人校書局六十三人又有墨五十八錠研三十二枚給與修史局二十四人校書局四十二人問各幾何畣曰史局每人墨一錠又六分之四【六人十錠也】研四分之三【四人共三研】校書局每人墨七分之三【七人共三錠】研三分之一【三人共一研】
法各列位
如法乘減餘校書一千○○八人為總法
墨餘四百三十二為墨實
研餘三百三十六為研實
以總法除墨實得七分之三為校書局給墨數【七人得墨三錠】 就以七人除右行校書六十三人以墨三錠乘之得二十七錠以減總給一百二十七錠餘一百錠以史局六十人除之得一錠又六分之四【六人得四錠并整數為六人十錠】為史局給墨數
又以總法除研實得三分之一為校書局給研數【三人共一】 就以三除校書六十三人得二十一研以減總給研六十六餘四十五研以史局六十人除之得四分之三【四人三研】為史局給研數
問修艌船隻内有舊船二隻新船一隻共用桐油二百六十斤麻一百三十斤釘十七斤石灰二百一十斤計工兩月有半又舊船一隻新船三隻共用桐油二百八十斤麻一百四十斤釘十六斤灰二百三十斤工兩月有半其新舊船各幾何
畣曰每新船一隻 用桐油六十斤 麻三十斤釘三斤 灰五十斤 每工一月修兩隻
每舊船一隻 用桐油一百斤 麻五十斤 釘七斤 灰八十斤 每工一月修一隻
法各列位
先以左舊船一遍乘右行如故
次以右舊船二遍乘左行得數 乃相減 上位舊船對減盡中位新船減餘五為總法
下位油相減餘三百斤為新船油實【以總法除之得六十斤為新船油數】麻相減餘一百五十斤為新船麻實【以總法除之得三十斤為新船麻數】釘相減餘一十五斤為新船釘實【以總法除之得三斤為新船釘數】灰相減餘二百五十斤為新船灰實【以總法除之得五十斤為新船灰數】
任以左行新船三隻乘其油數得一百八十斤以減總油二百八十斤餘一百斤為舊船一隻油數
以新船三隻乘其麻數得九十斤以減總麻一百四十斤餘五十斤為舊船一隻麻數
以新船三隻乘其釘數得九斤以減總釘一十六斤餘七斤為舊船一隻釘數
以新船三隻乘灰數得一百五十斤以減總灰二百三十斤餘八十斤為舊船一隻灰數
此為以船求油麻等故以船為法以麻油等為實
乃以減餘新船五隻為總實
以減餘工兩月半為法 法除實得二隻為每工一月修新船之數就以二隻除左行新船三隻得一月有半以減總工兩月半餘一月以除舊船一隻如故得每工一月修舊船一隻
此以工求船故以工為法船為實與前相反
重審方程例
凡算方程皆以有總數無各數故逓減以求之然有并其總數亦隱者此當用兩次求之故曰重審
假如品官祿米不知數但云甲支三品俸四个月又帶支四品俸五个月乙支三品俸六个月又帶支四品俸五个月亦不知甲乙各得數但云以甲十三分之一益乙則三百五十石若以乙十一分之三益甲亦三百五十石問兩品禄米各幾何
荅曰三品每月俸三十五石
四品每月俸二十四石
法曰此當先求出甲乙兩家支過禄米再求各品月俸謂之重審先以帶分法列位
上 中 下
左甲之一分遍乘右行如故
右甲之十三分遍乘左行得數
甲減盡 乙減餘一百四十分為法 餘俸四千二百石為實 法除實得三十石為乙之一分 以乙分母十一乘其一分得三百三十石為乙支過米數以乙支過米數減總三百五十石餘二十石為甲之一分 以甲分母十三乘其一分得二百六十石為甲支過米數
既得兩家支過米數乃重列之以求品俸
如法左右乘減 餘四品十月為法 餘俸米二百四十石為實 法除實得二十四石為四品每月俸以四品五月計一百二十石減甲支二百六十石
餘一百四十石以甲支三品四月除之得三十五石為三品每月俸
假如品官支俸本折兼支不知數但云甲支一品俸四个月又帶支二品俸五个月乙支一品俸六个月又帶支二品俸十个月亦不知甲乙支過數但云取乙本色三分之一以益甲共五百六十六石若取甲本色三分之二以益乙則八百六十五石 取乙折色五分之二以益甲共四百九十八石若取甲四分之一以益乙則五百七十九石問各幾何
畣曰一品月俸八十七石
内實支本色一半四十三石五斗 折色鈔一半數同二品月俸六十一石
内實支本色六分三十六石六斗 折鈔四分二十四石四斗
法當重審 先求本色依帶分法列位
上 中 下
如法乘減 餘乙之七分為法 餘本色一千四百六十三石為實實如法而一得二百○九石為乙本色之一分以減右行共本色五百六十六石餘三百五十七石為甲支過本色數 又以乙分母三乘其一分得六百二十七石為乙支過本色數
計開
甲支過本色三百五十七石【内一品俸四个月二品俸五个月】乙支過本色六百二十七石【内一品俸六个月二品俸十个月】
次求折色 亦依帶分列位
如法左右乘減 乙餘十八分為法 餘折色一千八百一十八石為實 法除實得一百○一石為乙折色之一分以乙分母五乘之得五百○五石為乙支過折色數 以乙之二分乘其一分得二百○二石以減共折色四百九十八石餘二百九十六石為甲支過折色數
計開 甲支過折色二百九十六石【内亦一品俸四个月二品
俸五个月】
乙支過折色五百○五石【内亦一品俸六个月二品俸十个月】
既得甲乙兩家支過本折然後乃求各品月俸
依疊脚法列其所得本折而重測之
如法遍乘得數 上位一品減盡 中位二品餘十个月為總法 下位本色餘三百六十六石為本色實
折色餘二百四十四石為折色實
乃以總法除本色實得三十六石六斗為二品每月俸本色數 以乙二品十个月計三百六十六石減乙共本色六百二十七石餘二百六十一石以乙一品六个月除之得四十三石五斗為一品月俸本色
又以總法除折色實得二十四石四斗為二品月俸折色 以乙二品十个月計二百四十四石減乙共折色五百○五石餘二百六十一石以乙一品六个月除之亦得四十三石五斗為一品月俸折色【其右行亦可互求則先得甲數也】
于是以一品本色折色併之得每月俸八十七石【本折各半支】
以二品本折併之得每月俸六十一石【四六支本色六分折色四分】
歷算全書卷四十一
<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書>
