32-歷算全書卷三十二
歷算全書卷三十二
宣城梅文鼎撰
籌算四之五
開帶縱平方法
勿菴氏曰算有九極于勾股勾股出于圓方故少廣旁要相資為用也然開平方以御勾股而縱法以御和較古有益積減積翻積諸術參伍錯綜盡神通變要之皆帶縱一法而已
【平方者長濶相等如碁局也平方帶縱者直田也長多于濶之數謂
之縱縱之濶如平方之數其長則如縱之數縱與方相乘得縱積以
加方積成一直田形積也】
平方與方縱兩形初商之積也兩
亷一隅一亷縱者次商之積也亷
有二故倍之亷之縱只一故不倍
也
如前圖除積不盡則有第三商如
此圖雖三商亦只倍亷而不倍縱
四商以上倣此詳之
用法曰先以積列位如法作點從單位起隔位點之視點在首位獨商之點在次位合兩位商之皆命為實次以帶縱數用籌與平方籌並列之各為法
視平方籌積數有小于實者用其方數為初商用其積數為方積【初商自乘之數也】 即視縱籌與初商同行之積數用之為縱積【初商乘縱之數也如初商一則用縱籌第一行】兼方積縱積兩數以減原實而定初商【必原實中兼此兩積之數則初商無悮矣故曰定】 若原實不及減改而商之如前求得兩積以減之為初商定數 不及減又改商之及減而止若應商十數因無縱積改商單九是初商空也則于初商之位作○而紀其改商之數于○下若次商者然【初商應是百而改九十應是千而改九百並同】
定位法曰既得初商視所作原實之點共有幾何以定其得數之位以知其有次商與否【如一點則得數是單而無次商二點則得數是十而有次商之類皆如平方法取之】
次商法曰依前定位知初商未是單數而減積又有未盡是有次商也 次商之法倍初商加入縱為亷法用籌除之 視亷法籌行内之積數有小于餘實者用為亷積以減餘實用其行數為次商 就以次商自乘為隅積以減餘實以定次商【必餘實内有亷隅兩積則次商無誤】不及减者改商之及減而止皆如平方法
商三次以上並同次商
命分法曰若得數已是單而有不盡則以法命之 法以所商數倍之加入縱為亷又加隅一為命分不盡之數為得分
亦有得數非單而餘實少在亷法以下不能商作單一者亦以法命之 法即以亷法加隅一為命分
列商數法曰依平方法視所作點而以最上一點為主若初商五以上【不論單五或五十或五千或五百並同】皆用進法書其其得數于點之上兩位則不論縱之多少也
若初商四以下【亦不論單十百千】則以縱之多少而為之進退法以縱折半加入初商【單從單十從十百千各以類加】若滿五以上者變從進法書于點之上兩位【如初商四而縱有二初商三而縱有四之類】
若縱數少雖加之而仍不滿五數者仍用常法書其得數于點之上一位【如初商四而縱只有一初商三而縱只有二只有二之類】總而言之所商單數皆書于亷法之上一位故初商得數有進退之法乃豫為亷法之地以居次商也初商五以上倍之則十雖無縱加亷法已進位矣初商雖四以下而以半縱加之滿五則其倍之加縱而為亷法也亦滿十而進位矣亷法進位故初商必進兩位書也若加半縱仍不滿五則其亷法無進位矣故初商只進一位而書之蓋豫算所商單數已在亷法之上也
又初商若得單數其亷法即為命分凡商得單數必在命分之上一位以此考之庶無謬誤
假如有直田積六十三步但云濶不及長二步
列位【依平方法】作點【從單位起】
視點在次位合六十三步商之為實次以平方籌與縱二籌平列之各為法
視平方籌積有【四九】小于【六三】其方七也商作單
七【用進法書于點之上兩位 一點知所商是單】
即視帶縱籌第七行積數【一四】用為縱積
併方積【四十九】縱積【一十四】共六十三除實盡【此亦偶除盡耳設不盡其命分必是十數故前商七之數必進書之以存其位】
定為濶七步 加縱二步得長九步
凡得數在五以上用進法書于點之上兩位此其例也
假如有直田六百三十步但云長多濶二步
列位【無單位補作圈】作點
視點在首位獨商之以○六百步
為實
以平方帶縱二各用籌為法
視平方籌積數有【○四】小于【○六】
其方二商二十步【二點故初商十】自乘得方積【四百步】隨視縱籌第二行是【四】得縱積【四十步】併兩積共四百四十步以減原實餘一百九十步再商之【初商十故有次商也商數二十以縱折半得單一加之共二十一仍不滿五數故只用常法書于點之上一位】
次以初商【二十步】倍之【四十步】加縱【二步】共四十二步為亷法【用第四第二兩籌】
合視兩籌第四行積數【一六八】小于【一九○】次商【四】減亷積一百六十八步餘二十二步【所減首位不空次商故書本位】次以次商【四步】為隅法自乘得【一十六步】為隅積用減餘實不盡六步以法命之【初商雖不進位所得次商單數已在命分之上一位矣列商數法妙在于此】倍所商【二十四步】為【四十八步】加縱【二步】又加隅【一步】共五十一步為命分
命為濶【二十四步】又【五十一分步之六】加縱【二步】得長【二十六步】又【五十一分步之六】
凡得數在四以下以半縱加之仍不滿五則只用常法書于點之上一位此其例也
假如有直田五畝但云長多濶八十八步
列位【以畝法二百四十通之得一千二百步十步單步空補作兩圈】作點
視點在次位合商之以一千二
百步為實縱有兩位用兩籌與
平方籌並列各為法
先視平方籌有【○九】小于【一二】宜商三十【二點商十】因有縱改商二
十其方積四百步縱積一千七
百六十步【初商十與縱相乘故縱單數皆成十數】兼兩積共二千一百六十步大于實不及減所商有誤抹去之
改商【一十步】其方積【一百步】其縱積【八百八十步】併兩積共除實九百八十步餘二百二十步再為實以求次商【初商十故有次商也】
【縱折半四十四步加初商一十步共五十四步故變用進法】
次以初商【一十步】倍之【二十步】加縱【八十八步】共一百○八步為亷法【用第一空位第八三籌】
合視籌第二行積【二一六】小于【二二○】次商【二步】于初商【一十步】之下減亷積一百一十六餘四步【所减首位○故進書之初商豫進正為此也】
次以次商【二步】自乘得四步為隅積除實盡
定為濶一十二步加縱【八十八步】得長一百步
假如有直田一十二畝半但云長多濶七十步
列位【以畝法二百四十通之得三千步百十單皆作圈】作點
視點在次位以三千○百步為實
以平方帶縱七十各用籌為法
先視平方籌積有二五小于【三○】宜
商【五十】因縱改商【四十步】其方積一
千六百步其縱積二千八百步共四
千四百步大于實不及减抹去之
改商【三十步】其方積【九百步】其縱積【二千一百步】共三千步除實盡
【縱七十折半三十五加初商三十共六十五是五以上也故用進法書商三于點上兩位假有餘實則當再商或命之以分今雖商盡當存其位 命分者亷法加隅一也倍初商加縱共一百三十是原實百者亷法之位也進一位乃單位初商不進兩位何以容單數】
凡開得平方三十步為田濶 加縱七十步共一百步為長
假如有直田七畝但云長多濶六十步
列位【以畝法二百四十通之得一千六百八十步單位空作圈】作點
視點在次位合商之以一千六百步
為實
以平方帶縱六十步用籌各為法
先視平方籌有一六與實同宜商四
十【二點初商是十】因帶縱改商三十步其方
積【九百步】縱積【一千八百步】共二千
七百步大于實不及減抹去之
改商【二十步】其方積【四百步】縱積【一千二百步】共減一千六百步餘八十步再商之
【縱折半三十加初商共五十故進書之】
【假餘實滿命分一百○一步即當商一步故初商豫進以居次商今次商雖空當存○位故也】
次以初商【二十步】倍之【四十步】加入縱六十步共一百步為亷法 亷法大于餘實不及減次商作○其餘實以法命之 法以亷法加隅一為命分
命為濶【二十步】又【一百○一分步之八十】加縱為長【八十步】又【一百○一分步之八十】
假如有直田四畝但云長多濶九十步
列位【以畝法通之得九百六十步】作點
視點在首位獨商之以○九百為實
以平方帶縱九十步各用籌為法
先視平方籌積有【○九】與實同宜
商三十步【二點故初商十】因帶縱改商二
十步其方積【四百步】縱積【一千八】
【百步】不及減又改商一十步其方積【一百步】縱積【九百步】共一千步仍不及減 此有二點宜商十步今改商一十仍不及減是初商十位空也
【縱九十折半四十五加初商十步滿五十以上故商一進書點之上兩位】
改商單九步其方積【八十一步】縱積【八百一十步】共八百九十一步以減實餘六十九步不盡【此宜商十數者變商單步故初商之位作○而以改商之九步書于○位下如次商然也蓋必如此書之所商單數乃在命分之上一位也】
商數已得單步而有不盡以法命之以商九步倍之加縱九十步共一百○八步更加隅一步共一百○九步為命分
命為濶九步又【一百○九分步之六十九】 加縱為長九十九步又【一百○九分步之六十九】
以上四則乃縱多進位之法也凡得數雖四以下以半縱加之滿五即用進法書于點之上兩位此其例也
開帶縱立方法【籌算五】
勿菴氏曰泰西家說勾股開方甚詳然未有帶縱之術同文算指取中算補之其論帶縱平方有十一種而于立方帶縱終缺然也程汝思統宗所載又皆兩縱之相同者惟難題堆垜還原有二例祇一可用其一強合而已非立術本意又不附少廣而雜見于均輸雖有善學何從而辨之兹因籌算稍以鄙意完其缺義取曉暢不厭煩複使得其意者可施之他率不窮云爾
凡立方帶縱有三
一只帶一縱
如云長多方若干或高多方若干是也【深即同高】
一帶兩縱而縱數相同
如云長不及方若干高不及方若干是也【此方多數為縱】
一帶兩縱而縱數又不相同
如云長多濶若干濶又多高若干是也
大約帶一縱者只有縱數而已帶兩縱者有縱亷又有縱方故其術不同
帶一縱圖三
此長多于方 此高多于方
也為横縱横 也為直縱直
縱之形濶與 縱之形長濶
高等如其方 相等如其方
其厚也如其 其高也如其
縱所設 縱所設
俱立方一縱形一合為長立方形
如圖立方形方縱形合者初商
也平亷三内帶縱者二長亷三
内帶縱者一小隅一此七者次
商也
平亷所帶之縱長與立方等厚
與次商等其高也則如縱所設
長亷所帶之縱兩頭横直等
皆如次商其高也如縱所設
用法曰以積列位乃作點從單位起隔兩位點之點畢視積首位有點獨商之以首位為初商之實首位無點以首位合有點之位商之 點在次位以首兩位為初商之實 點在第三位以首三位為初商之實 皆同立方法
先視立方籌積數有小于初商之實者用其方數為初商【定位法合計所作點共有若干一點者商單數二點則商十數每一點進一位皆如立方】用其積數為初商立方積【定位法視初商方數若初商單數其積亦盡于單位若初商十數其積乃盡于千位每初商進一位其積進三位亦可以點計之皆如立方】
次以初商自乘以乘縱數為縱積
合計立方積縱積共數以減原積而定初商【若初商無誤者原實中必兼此兩積】命初商為方數加縱數為高數【或長數皆依先所設】不及減者改商之及減而止
次商法曰依前定位知初商是何等【或單十百千等】若初商未是單數而減積又有不盡是有次商也
法以初商自乘而三之又以縱與初商相乘而兩之共為平亷法 又法以初商三之縱倍之併其數與初商相乘得數為平亷法 或以初商加縱而倍之併初商數以乘初商為平亷法並同
又以初商三之加縱為長亷法
乃置餘實列位以平亷法除之得數為次商【用籌為法除而得之】
【依除法定其位】
于是以次商乘平亷法為三平亷積 又以次商自乘以乘長亷法為三長亷積 就以次商自乘再乘為隅積 合計平亷長亷隅積共若干數以減原實【原實中兼此併積知次商無誤矣】乃併初商次商所得數為方數加縱命為高數【或長數皆如先所設】合問 不及減者改商之及減而止
商三次者以初商次商所得數加縱而倍之併商得數為法仍與商得數相乘為平亷法
又以商得數三之加縱為長亷法 餘並同次商
命分法曰己商至單數而有不盡則以法命之 其法以所商得數加縱倍之加所商得數以乘所商得數【如平亷】又以所商得數三之加縱【如長亷】併兩數又加單一【如隅】為命分不盡之數為得分
或商數尚未是單而餘實甚少在所用平亷長亷兩法併數之下或僅同其數【僅同者無隅積】是無可續商也亦以法命之法即以所用平亷長亷兩法併之又加隅一為命分
列商數法曰依立方法以初商之實有點者為主【即原實内最上之一點】凡初商得數必書于點之上一位乃常法也惟初商一數者用常法
有以初商得數書于點之上兩位者進法也初商二三四五者用進法
有以初商得數書于點之上三位者超進法也初商六七八九者用超進之法
若縱數多亷法有進位則宜用常法者改用進法宜用進法者用超進之法宜超進者更超一位書之其法于次商時酌而定之蓋次商時有三平亷法三長亷法再加隅一為命分法于原實尋命分之位為主命分上一位單數位也從此單數逆尋而上自單而十而百而千至初商位止有不合者改而進書之若與初商恰合者不必強改此法甚妙平方帶縱亦可用之
若宜商一十而改單九或宜商一百而改九十凡得數退改小一等數者皆不用最上一點而以第二點論之此尤要訣【或于初商位作圈而以所商小一等數書于圈之下即可以上一點論也細考其數則同此商數列位立法之妙宜詳翫之】
假如浚井計立方積七百五十四萬九千八百八十八尺但云深多方八百尺 法以立方帶縱為法除之列位 作點
視點在首位獨商之以○
○七百萬尺為初商之實
以立方籌為法 視立方籌積有○○一小于○○七商一百尺【三點故初商百商一百故用常法書于點之上一位】得立方積一百萬尺【三點者方積盡百萬之位 初商之方積皆盡于最上之一點】
次以初商一百尺自乘一萬尺乘縱八百尺得八百萬尺為縱積 併兩積九百萬積大于原實不及減抹去之不用改商如後圖
視立方籌第九行積七二九改商九十尺得立方積七十二萬九千尺【百改十故亦改用第二點第二點是十位故方積亦盡於千位】次
以初商九十尺自乘八千一
百尺乘縱八百尺得六百四
十八萬尺為縱積 併兩積
共七百二十萬○九千尺以減原實餘三十四萬○八百八十八尺再商除之【初商一百今改商九十故上一點不用用第二點論之商九者書于第二點之上三位超進法也】
次用次商又法以縱八百尺加初商九十尺而倍之得一千七百八十尺併初商九十尺共一千八百七十尺用與初商九十尺相乘得一十六萬八千三百尺為平亷法 又以初商九十尺三因之得二百七十尺加縱八百尺共得一千○七十尺為長亷法乃列餘實以平亷為法除之【用第一第六第八第三共四等】
商九十用超進法書于第二點之上三位今以縱多致亷法進為十萬故次商時應更為酌定又超一位書之然後次商單數在亷法上一位矣改如後圖【亷法十萬上一位單數位也今商九十不合在此位故改之】
合視籌第二行積○三三六六小于餘實次商二尺于初商九十之下【所減首位是○法宜進書也初商不改而更超之何以居次商】就以次商二尺乘平亷法得三十三萬六千六百尺為平亷積 又以次商二尺自乘四尺用乘長亷法得四千二百八十尺為長亷積 又以次商二尺自乘再乘得八尺為隅積 併三積共三十四萬○八百八十八尺除實盡
乃以商數命為井方 加縱為井深
計開
井方九十二尺深八百九十二尺
此超進法改而更超一位也
帶兩縱縱數相同圖二
此高不及方也方之横與直俱
多于高是為兩縱兩縱者縱廉
二縱方一并立方而四
立方形長濶高皆相等
縱亷形高與濶相等如其方之
數其厚也如所設縱之數
縱方形兩頭等皆如縱數其高也如立方之數兩縱亷輔立方兩面而縱方補其隅合為一短立方形
不及之數有在立方旁者觀後圖可互見其意
如圖初商有立方有縱廉二縱方一共四形今只圖其二餘為平廉所掩意會之可也【此横頭不及方也即前圖之眠體】
次商平廉三内帶一縱者二帶兩縱者一長廉三内帶縱者二小隅一共七
平廉帶一縱者濶如初商加縱為長厚如次商其帶兩縱者高濶皆等皆如初商加縱之數厚如次啇
長廉帶縱者長如初商加縱之數其兩頭横直皆等皆如次商
無縱長廉長如初商兩頭横直等如次商
小隅横直高皆等皆如次商
用法曰先以縱倍之為縱廉【兩縱併也】以縱自乘為縱方【兩縱相乘】
此因兩縱數同故其法如此也若兩縱不同徑用乘法併法矣
乃如法列位作點求初商之實
以立方籌為法求得初商方數及初商立方積【皆如立方法皆依定位法命之】
次以初商乘縱方得數為縱方積 又以初商自乘數乘縱亷得數為縱亷積
合計縱方縱亷立方之積共若干數以減原實而定初商【皆如一縱法】
命初商為高數【或深數皆如所設】加縱為方數【不及減改商之若初商未是單數則以餘實求次商】
次商法曰以初商加縱倍之以乘初商高數得數 又以初商加縱自乘得數 併之共為平亷法【又法初商三之加縱以初商加縱乘之得數為平亷法亦同】
次以初商加縱倍之併初商數共為長亷法【又法初商三之縱倍之併為長亷法亦同】
乃置餘實列位 以亷法位酌定初商列法而進退之以平亷為法而除餘實得數為次商【皆以所減首位是○與否而為之進若退】 又法合平亷長亷兩法以求次商
于是以次商乘平亷法為平亷積 又以次商自乘數乘長亷法為長亷積 又以次商自乘再乘為隅積 合計平亷長亷隅積共若干數以減餘實而定初商【皆如一縱法】
【又法以次商乘長亷法為長亷法又以次商自乘為隅法併平亷長亷隅法以與次商相乘為次商亷隅共積以減餘實亦同】
乃命所商數為高【或深之類如所設】加縱數命為方合問
不盡者以方倍之乘高又以方自乘【如平亷】又以方倍之併高【如長亷】又加單一【如隅】為命分
假如有方臺積五百八十六萬六千一百八十一尺但云高不及方一百四十尺 以帶兩縱立方為法除之【方者長濶等每面各多高一百四十尺】
先以縱一百四十尺倍之得二百八十尺為縱積又縱自乘之得一萬九千六百尺為縱方
列位 加點
視點在首位獨商之以○
○五百萬尺為初商之實
視立方積有○○一小于
○○五商一百尺【三點故商百尺】得立方積一百萬尺【商一數宜用常法書于點之上一位今因縱多致亷法昇為十萬法上一位為單單上一位為十今初商是百尺故改用進法書之亷法之昇見後】
就以初商一百尺乘縱方得一百九十六萬尺為縱方積
又以初商一百自乘一萬乘縱亷得二百八十萬尺為縱亷積
合計立方縱方縱亷積共五百七十六萬尺以減原實餘一十萬○六千一百八十一尺【初商百尺宜有續商】初商一百尺高也 加縱共二百四十尺方也次以方倍之四百八十尺用乘高數得四萬八千尺又以方自乘之得五萬七千六百尺併之得一十萬○五千六百尺為平亷法
又以方倍之併高得五百八十尺為長亷法
乃列餘實 以亷法酌定初商改進一位書之
以平亷法用籌除餘實
視籌第一行○一○五六
小于餘實次商一尺于初
商一百尺之隔位【所減是○一○五六首位○宜進書然猶與初商隔位故知為單一尺】 就以次商一尺乘平亷法如故又以次商一尺自乘以乘長亷法亦如故就命為平亷長亷積 又以次商自乘再乘仍得一尺如故 合計三積共一十萬○六千一百八十一尺除實盡
乃以所商數命為臺高 加縱為方
計開
臺高一百○一尺 方二百四十一尺
此常法改用進法也
假如有方池積五十萬丈但云深不及方五十尺 先以縱【五十】尺倍之一百為縱亷 又縱自乘之得【二千五百】尺為縱方
列位 加點
視點在第三位合商之以五十
萬○○尺為初商之實
視立方籌有三四三小于五○
○宜商七十尺【二點商十尺】因縱改商六十尺得立方積二十一萬六千尺 次以初商六十尺自乘三千六百尺用乘縱亷一百尺得三十六萬尺已大于實不及減不必求縱方積矣 改商五十尺用籌求得立方積一十二萬五千尺
就以初商五十尺乘縱方得縱方積亦一十二萬五千尺 又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘縱亷得縱亷積二十五萬尺 併三積共五十萬尺除實盡 以商數命為池深 加縱為方
計開 池深五十尺 方一百尺
此進法改為超進也【假有次商則其平亷法二萬尺矣假有命分則其命分二萬○二百五十一矣】 亦有高與長同而濶不及數者準此求之但以初商命為濶而加縱為高與長
帶兩縱縱數不相同圖二
此長多于濶而高又多于
長也是為兩縱而又不相
同凡為大縱亷小縱亷各
一縱方一并立方形而四
立方形長濶高相等
大縱亷横直等如其方而
高如大縱 小縱亷高濶
等如其方而厚如小縱
縱方形之兩頭高如大縱厚
如小縱其長也則如立方大
縱 小縱以輔立方之兩
面而縱方補其闕合為一長
立方形如圖初
商有立方有大縱廉小縱廉
縱方各一共四只圖其二餘
為平廉所掩也次商平廉三
内
帶小縱者一帶大縱者一帶
兩縱者一長廉【在初商大縱立方之
背面】三内帶小縱
者一帶大縱者一小隅一共
七在初商
大縱立方之
帶小縱平亷濶如初商長如初商加小縱之數高如次商
帶大縱平亷濶如初商高如初商加大縱之數厚如次商
帶兩縱平亷濶如初商加小縱之數高如初商加大縱之數厚如次商
帶小縱長亷長如初商加小縱之數 帶大縱長亷高如初商加大縱之數 無縱長亷長如初商數其兩頭横直皆如次商之數
小隅横直高皆如次商之數
用法曰以兩縱相併為縱亷 以兩縱相乘為縱方列位作點求初商之實 以立方籌求得初商立方積 以初商求得縱方縱亷兩積 皆如前法乃以初商命為濶 各加縱命為長為高
求次商者以初商長濶高維乘得數而併之為平亷法
又以初商長濶高併之為長亷法
乃置餘實列位【以平亷酌定初商之位】以平亷為法求次商及平亷積長亷積隅積以減餘實乃命所商為濶各以縱加之為高為長【如所設】皆如前法
不盡者以所商長濶高維乘併之【如平亷】又以長濶高併之【如長亷】又加單一【如隅】為命分
假如有長立方形積九十尺但云高多濶三尺長多濶二尺
先以兩縱相併五尺為縱亷 以兩縱相乘六尺為縱方
列位 作點
視點在第二位合商之以○九十
○尺為初商之實
乃視立方籌有○六四小于○九○宜商四八因有縱改商三尺得二十七尺為立方積【原實只一點故初商是單商三故書于點之上兩位用進法也】
次以初商三尺自乘九尺乘縱亷得四十五尺為縱亷積
又以初商三尺乘縱方得一十八尺為縱方積併三積共九十尺除實盡
乃以初商命為濶 各加縱為高為長
計開
濶三尺 長五尺 高六尺
假如有立方積一千六百二十尺但云長多濶六尺高多濶三尺
先以兩縱相併九尺為縱亷 以兩縱相乘一十八尺為縱方
列位 作點
視點在首位獨商之以○○一千
尺為初商之實
乃視立方籌有○○一與實同商一十尺【二點商十】得立方積一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘縱亷得九百尺為縱亷積又以初商一十尺乘縱方得一百八十尺為縱方積 合計之共二千○八十尺大于實不及減【商一十故用常法書于點之上一位】改商九尺得七百二十九尺為立方積【十變為單則上一點不用用第二點故商九書于第二點之上兩位用超進法也】
次以初商九尺自乘八十一乘縱亷亦得七百二十九尺為縱亷積
次以初商九尺乘縱方得一百六十二尺為縱方積併三積共一千六百二十尺除實盡
乃以商數命為濶 各加縱為長為高
計開
濶九尺 長一十五尺 高一十二尺
假如有長立方積六萬四千尺但云長多濶五尺高又多長一尺
先以長多五尺高多六尺併之得【十十】為縱亷 又以五尺六尺相乘三十為縱方
【解曰長多濶五尺高又多長一尺是高多濶六尺也】
列位 作點
視點在第二位合商之以○六
萬四千尺為初商之實
視立方籌有○六四與實同宜
商四十尺因有縱改商三十尺【二點故商十尺】得二萬七千尺為立方積【商三十故書于點之上兩位用進法也】
次以初商三十尺自乘九百尺乘縱亷得九千九百尺為縱亷積
次以初商三十尺乘縱方得九百尺為縱方積併三積共三萬七千八百尺以減原實餘二萬六千二百尺再商之【初商十宜有次商】
初商三十尺濶也 加縱五尺共三十五尺長也又加一尺共三十六尺高也
乃以初商長濶高維乘之
濶乘長得一千○五十尺 高乘濶得一千○八十尺 長乘高得一千二百六十尺
併三維乘數共三千三百九十尺為平亷法【又法併長與高乘濶又以高乘長併之亦同】
次以初商長濶高併之共一百○一尺為長亷法【又法初商三之加兩縱亦同】
乃以平亷用籌為法以餘實列位除之
如後圖合視籌第六行是二○三四小于餘實次商六尺【所減首位不空故書本位】得二萬○三百四十尺為平亷積【次商乘平亷法也】
次以次商六尺自乘三十六尺乘長亷法得三千六百三十六尺為長亷積又以次商六尺自乘再乘得二百一十六尺為隅積
併三積共二萬四千一百九十二尺以減餘實餘二千○○八不盡以法命之
法以初商濶高長各加次商為濶高長而維乘之濶乘長得一千四百七十六尺 高乘濶得一千五百一十二尺 長乘高得一千七百二十二尺
併得四千七百一十尺【如平亷】又併濶高長得一百一十九尺【如長亷】又加一尺【如隅】共得四千八百三十尺為命分不盡之數為得分
命為四千八百三十分尺之二千○○八即奇數也計開
濶三十六尺有奇【音基】 長四十一尺有奇高四十二尺有奇
假如有長立方形積一十萬○一千尺但云長多濶五尺高多濶六尺
先以兩縱併得一十一尺為縱亷
以兩縱乘得三十尺為縱方
列位 作點
視點在第三位合三位商之以
一十萬○一千為初商之實
乃視立方籌有○六四小于一
○一商四十尺【二點商十】得六萬四千尺為立方積【商四十故書于點之上兩位進法也】
次以初商自乘一千六百尺乘縱亷得一萬七千六百尺為縱亷積
次以初商乘縱方得一千二百尺為縱方積
併三積共八萬二千八百尺以減原實餘一萬八千二百尺再商之
初商四十尺濶也 加縱五尺得四十五尺長也加縱六尺得四十六尺高也
乃以初商濶長高而維乘之
長乘濶得一千八百尺 濶乘高得一千八百四十尺【又法併高與長九十一尺以濶四十尺乘之共三千六百四十尺省兩維乘其數亦同】高乘長得二千○七十尺
併維乘數共五千七百一十尺為平亷法
又以濶長高併之共一百三十一尺為長亷法乃列餘實以平亷用籌為法除之
合視籌第三行是一七一三小于
餘實次商三尺【所減首位不空故本位書之】就
以次商三尺乘平亷法得一萬七
千一百三十尺為平亷積 又以
次商三尺自乘九尺乘長亷法得一千一百七十九尺為長亷積 又以次商三尺自乘再乘得二十七尺為隅積 併之得一萬八千三百三十六尺大于餘實不及減
改商二尺
就以次商二尺乘平亷法得一萬一千四百二十尺為平亷積【即用籌第二行取之】
次以次商自乘四尺乘長亷法得五百二十四尺為長亷積 又以次商自乘再乘得八尺為隅積併之共一萬一千九百五十二尺以減餘實仍餘六千二百四十八不盡以法命之
法以濶長高各加次商二尺為濶長高而維乘之併高四十八尺長四十七尺共九十五尺以濶四十二尺乘之得三千九百九十尺【代兩維乘】又以長乘高得二千二百五十六尺併得六千二百四十六尺 又以長濶高併之得一百三十七尺 又加一尺 共六千三百八十四為命分
命為六千三百八十四之六千二百四十八即奇數計開
濶四十二尺有奇
長四十七尺有奇
高四十八尺有奇
歷算全書卷三十二
<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書>
