17-歷算全書卷十七
歷算全書卷十七
宣城梅文鼎撰
火緯本法圖說
熒惑一星最為難算至地谷而其法始密圖表具在可攷而知也何嘗云火星天獨以太陽為心不與餘四星同法乎作歷書者突發此語遂令學者沿譌是執圖以觀圖而不以算理觀圖也不知歷算家有實指之圖有借象之圖地谷氏之圖火星所謂借象也非實指也錢唐友人袁惠子士龍受黄三和先生弘憲歷學以歷指為金科余故為作此以極論之而徵之切綫分角之法以著其理袁子虛懷見從已復質諸睢州友人孔林宗興秦亦以為然而手抄以去又旁證諸穆氏天步真原王氏曉菴歷法大旨亦多與余合
火星本法【發歷書之覆】
據歷指萬歷癸丑年太陽在降婁宫一十四度有半
地谷測火星體會合於井宿第五星
經度為鶉首四度半
緯度在黄道北二度十一分
火星平行在壬
距冬至二百一十七度半強
火星最高在丙
引數自丙歷丁至壬三百三十八度半弱
圖說 乙為地心 即為各天平行之心【亦黄道心】大圈為火星平行之天 内圈為太陽平行天皆以地為心【其度皆應黄道】 太陽在本天自春分壁向婁順行 火星歲輪心在本天自丙過丁至壬順行太陽行速而火星行遲今太陽在後火星在前是
太陽與星已過相冲之度而從後逐星也 火星在歲輪上亦自戌順行過亢至申 合伏時星在戊冲日時星在亢今在申是星己過冲日之限而復向合伏也 太陽距星實行為婁張【亦即心氐】以減半周為張角為黄道上星距日冲之度【亦即氐未】太陽在黄道上自婁仍順行其冲亦自角順行星亦自氐順行而日速星遲故其距漸近而星距日冲漸遠則星在歲輪上距合伏之度亦漸近距冲日之度亦漸遠其歲輪上漸遠漸近之度皆與黄道上距度相應然黄道上婁張是日在後追星歲輪上是星向合伏【申戌】黄道上日冲度漸離星【角張】歲輪上是星離冲日【申亢】
本法以平行壬為心作子癸小輪自最高子過癸左行為引數之數至丑 又以丑為心作卯辰小均輪自辰最近右行過卯歷寅復過辰歷卯至寅為引數之倍減去全周得歲輪之心到寅
先以丑寅壬三角形求得丑壬寅角及壬寅線次以寅壬乙形求得寅乙線為歲輪心距本天心之數 又求得壬乙寅角為平行實行之差即前均也因在後六宫其號為加得寅乙申角為實行視行之差
此以上歷書之法並同以下則異
次以寅為心作歲輪戊申亢圈也戊為最遠合伏之度也亢為最近冲日之度也今太陽在降婁火星在鶉首是已過冲日之度而日反在後以逐星也其日星之距為降婁至鶉首之度在歲輪上則為申戊弧乃星行歲輪末至合伏之度也【歷家謂之距餘盖順數自戊合伏過亢冲日至申為距合伏行度以全周得申戊為距餘】以申戊減半周得申亢為巳過冲日之度即申寅亢角【或申寅乙角】
末以申寅乙三角形求申寅半徑 此形有先求得寅乙距心線又有申乙寅角為先測火星視行與所算實行之差度有申寅乙角為歲輪上己過冲日之度有兩角自有寅申乙角法為申角之正弦與乙角之正弦若寅乙線與申寅線也【此以測得視差而求半徑】若先有申寅半徑而無視差度求乙角者則以切線法求之以申寅邊乙寅邊并之得戊乙為總數【一率】又以申寅減乙寅得亢乙為較數【二率】以申戊度半之為距餘半求其切線【為三率】法為總數與較數若半距餘角【即半總角】之切線與半較角之切線也求得四率查切線得其度以減距餘半之度餘為申乙寅視差角乃以視差角減實徑為視徑【已過日冲其差為減】此本法也歷書所載求法得數並同而其圖迥異盖巧算耳下文詳之
歷書之法亦是用兩角一邊以求餘邊【星過日冲弧度是一角測得視行與實行之差是一角算得寅乙距心線是一邊今以法取歲輪半徑為所求一邊】然不正作申乙寅視差角而反作乙寅甲為視差角故亦不正作申寅乙星過冲日角而作寅乙甲為星距冲日角然則用本法者惟寅乙距心一線耳
然既有寅乙線為主又有寅乙甲為星距日冲度有乙寅甲角為視差度則乙寅甲三角形與申乙寅三角等而甲乙邊必與申寅半徑同矣此倒算捷法與加減差法不作角於心而作角於邊同一樞軸也
其法以先得寅乙線為三角之底其兩端各作角【即先得兩角】
各引其邊遇於甲則甲乙為半徑【寅甲亦即為星體距心與申乙之距同矣又大陽心在降婁其冲未在壽星星實行在氐氐末為氐乙未角即星實行己過日冲之真距也正與歲輪上申亢度等故用氐乙未角為黄道上星距日冲之度與用歲輪上申寅亢同此為借象之一根】
然又以甲為地心而作圈周分十二宮何也曰此則借象也其法妙在作甲己線與寅乙平行何也先依寅乙線作三角形其寅甲原與申乙平行今己甲又與寅乙平行則寅甲己角與申乙寅角等度而且等勢矣【寅甲線斜交於寅乙及甲己兩平行線中則所作寅甲己及甲寅乙兩角等寅乙線斜交於申乙及寅甲兩平行線中則甲寅乙與申乙寅角亦等而寅甲己角與申乙寅不得不等矣○角之度既相等而寅乙線即原用之線也今巳甲與寅乙平行故不惟等度而且等勢也】由是而自甲心作春秋分横線井箕直線即與乙心所作大圈上降婁夀星横線及冬夏至直線悉為平行而等勢【横與横平行直與直平行則其勢等】於是而勻分十二宮即無一不與乙心所作大圈等
十二宮既與大圈等勢而寅甲己角又與大圈之申乙寅角等度等勢則己甲線即指星實行度寅甲線即指星視行度而可以命其宮度不爽矣推此而辛甲為星最高指線及作平行線於己甲實行之内一一皆真度矣
又以乙為太陽體何也曰太陽實行降婁宮度原在大圈其離降婁之度為乙角今太陽指線過乙至甲則甲角與乙角等度而乙點在次圈上【甲心所作之甪】距春分之度與大圈等【圈有大小而角度等】即太陽真度可以命之為日矣乙既命為日則次圈可命為太陽所行之天而乙心所作大圈以太陽之冲處割小圈有火星行歲圈最近侵入太陽天内之象故遂以大圈命為星行之圈也【又寅乙甲角原為星距日冲之度與申寅乙角同而甲己既與寅乙平行甲未即甲乙之截線則己甲未角又與寅乙甲角同而己亥與歲輪上申亢同為星距日冲之】
此一圖也有歲輪半徑之數【甲乙】有火星實行視行差度【寅甲己角】有周天宮度有太陽度及火星最高卑度又有火星行最近入太陽天内之象可謂簡而該巧而妙矣非地谷精於測算神明於法不能為也
然則何以謂之借象曰以其一圖而備數端故知之也何以言之甲乙者歲輪之半徑也不得與日距地心同數一也寅乙距心之線從兩小輪求出而兩小輪在火星本天是從乙心起算不從甲心起算二也因寅乙距心之線以得視差之角亦為乙心之角非甲心之角三也若甲真為地心則與乙太陽有距數太陽乙心所見之差角至地心必不同觀四也視行實行之差角為地面實測非乙心之數不得兩處悉同五也又大圈既為本天而侵入太陽天内則將為歲輪之心若冲日之時歲輪心既在太陽天内星又在歲輪最近將越過地心如金水之退伏合而不得冲日矣六也由是觀之此圖但為借象巧算之用而非以是為真象也或者不察遂真以乙為日體則死于古人句下矣
或問五星新圖亦以火星天用太陽為心而冲日之處割入太陽天内又何以說焉曰火星之行圍日而能割太陽天者乃歲輪上周行之跡耳非本天也盖火星本天在太陽之外能包太陽之天因歲輪之行合伏時在歲輪之頂去太陽益高合伏以後離太陽漸遠則行於歲輪中半與本天齊及其冲日則行歲輪之底而在本天之内去地益近其去地益近者為日所攝也此理五星所同故土木火三星皆可為圍日之象今新圖五星不以地為心者是也火星則歲輪最大冲日時稍侵入太陽之天其實歲輪之心仍係本天在太陽天外耳七政小輪周行於天遂成不同心之圈歲輪周行於天成圍日之形一而已矣今以實數攷之火星歲輪半徑約為本天半徑十之六其合伏時則兩半徑相加成十六冲日時兩徑相減只餘十之四其侵入太陽天内約為一二分則太陽天半徑只得火星天半徑十之六有奇而火星合伏時在太陽上約為十分冲日時在太陽下亦約十分而成圍日之形矣是故以日為心者歲輪上星行之軌迹也非本天也【圖見下】
火星歲輪上軌跡圍日之圖 【土木二星因歲輪之度而成圍日之形與此同理但其天更大而歲輪小故不致侵入餘里之天】
丁庚寅辛為太陽天 戊癸己壬為火星本天甲丑歲輪以戊為心 丙子歲輪以己為心
丁為日體 甲丙皆星體
甲癸丙壬為歲輪上星行軌跡成一大圈而以丁日為心
星天日天各有小輪高卑其本天則皆以地為心星在歲輪甲為合伏而去地極遠 星在丙為冲日冲日之時庚丙辛割入太陽天庚寅辛之内而去地極近
星在歲輪丙時已割入日天然歲輪心則在本天已若如衆說以割入日天内者為本天則冲日時當以丙為歲輪心矣而星在歲輪之上又當向日豈不越地心乙而過之乎必不然矣
切線法解在後
火星次均解 【火星次均用切線求歲輪上視差角乃三角法也】
欲明火星次均用切線之法當先明三角形用切線之法
甲卯乙三角形有甲鈍角一百五十度有甲乙邊六十有甲卯邊一百整求卯角
法曰以甲角減半周得餘三十度為癸甲乙外角 半之得十五度為丙甲辛角 其切線辛癸【二六七九五】并甲乙【六十】甲卯【一百】共得丙卯一百六十為首率【總數】 以甲乙減甲卯餘得辰卯四十為二率【較數】 半外角之切線辛癸為三率 二率乘三率為實首率為法除之得辛卯【六六九八】為四率即辛甲壬減之切線也 以四率查切線表得三度五十分弱為辛甲壬減角 以所得辛甲壬減角三度五十分減半外角十五度餘壬甲丙角十一度一十分即卯角也
今以火星言之丙乙辰圈則歲輪也甲為歲輪之心丙甲辰卯過心線即星實行度分也
卯為本天之心 甲卯者距心線也【即表中距日數】 甲丙甲乙甲辰皆歲輪半徑也【即表中半徑合日差而成星數也】
先以前均求到星之實行在甲矣然此歲輪之心而非星也星則自丙合伏順行過辰冲日而漸近合伏其體在乙則丙辰乙為星在歲輪上行之度【與星距太陽實行之度相等】即相距度也
乙丙則距餘度半之為辛丙則距餘半也 乙辰為星巳過冲日之度則甲角度也
今已知歲輪心實行之度又已知星在歲輪上行之度所不知者視差角耳盖自本天心卯作實行線過甲心至黄道又從卯作視行線過乙星體至黄道其差為卯角是故求次均者求此卯角也
用上法以距日【即距心】為一邊【甲卯】以星數為一邊【甲乙】以星行過冲日之度【即乙辰】為一角【甲角】成甲卯乙三角形依上法得卯角即次均也
一率 距日與星數之總【即甲卯并甲乙亦即甲丙】二率 星數減距日之較【即辰卯】
三率 距餘半之切線【即半卯角之切線辛癸盖乙甲丙角為距餘即乙甲卯角之餘度半之為辛甲丙角即距餘半】
四率 減之正切線【即辛壬其角為辛甲壬】
末於辛甲丙【距餘半角】内減去辛甲壬【减角】餘成壬甲癸角與卯角等得視差之度如所求
既知三角形用切線之法尤當進而明其所以用切線之理
如後圖乙甲卯三角形 甲角一百五十度 甲乙邊六十甲卯邊一百 兩邊之總一百六十為首率兩邊之較四十為次率 甲角之餘角半之求切
線為三率【即率癸】 求得四率為半較角之切線辛壬求其度以減半餘角得卯角
何以用切線也曰此分角法也凡外角【乙甲丙為乙甲卯之餘角亦為外角】内兼有形内餘兩角之度【乙甲丙外角兼有卯角及甲乙卯角之度】試作壬甲線與乙卯平行分外角為兩則壬甲丙角如
卯角矣【以壬申及乙卯皆平行線而丙甲卯未一直線故其作角必等】
外總角内減去同卯角之壬甲丙角則其餘壬甲乙角必為甲乙卯角矣
今但有外角為總角而不知其分角故以比例分之而切線則其比例也
又試作乙丙線為外角之通弦又從乙作正線至丁為乙甲壬大角之正弦從丙作正線至戊為壬甲丙小角之正弦而通弦遇壬甲分角線於子成乙子及子丙兩線此大小兩線之比例與大小兩角之正弦比例等何也乙子丁勾股形與丙子戊勾股形以子為交角則相似而乙子【大弦】與子丙【小弦】若乙丁【大股】與丙戊【小股】矣
又甲卯大邊與甲乙小邊原若所對之大角正弦【乙角】及小角【卯角】正弦【凡三角形邊之比例與對角正弦之比例皆等】即乙丁與丙戊也【角同則正弦同】則甲卯與甲乙亦若乙子與子丙矣
又試作辛甲線分外角為兩平分而各作切線為辛癸為辛己【即半外角之切線】則兩切線聨為一【己癸】而與乙丙平行又引壬子線割之則分為二線而己壬與壬癸之比例若乙子與子丙亦若甲卯與甲乙矣
又作庚甲線使庚己如壬癸則庚壬為兩線之較己癸為兩線之總
而甲乙甲卯兩邊之較為辰卯其總為丙卯
甲卯大邊與甲乙小邊之比例既若大線【己壬】與小線【壬癸】則兩邊之總與較亦必若兩線之總與較矣
一率 丙卯【即甲乙甲卯兩邊之總】
二率 辰卯【即兩邊之較】
三率 己癸【即己壬壬癸兩線之總】
四率 庚壬【即兩線之較】 今各半之
辛癸半總【即半外角辛甲癸之切線】
辛壬半較【即半較角辛甲壬之切線】
既得辛壬切線查表得其角度即半較角也以半較角減【辛甲癸】半外角即半角也
若以半較角加【乙甲辛】半外角亦即甲乙卯角矣
火星測算本法圖說【明歷書之倒算】
歲圈半徑【六四七三八】甲乙
查加減表八宫十九度【四十分】 半徑數【六四○八七三】太陽引數星紀二十三度加六宫為六宫二十三度日差【一○一六】相並得【六四一八八】為星數與所測微差
若用實引得半徑【六四四二五】其數益相近
距心數【九九六九七】寅乙
平引八宫一十九度【四十二分二十秒】
加均數 一十度【三十三分三十秒】
實引九宮初度【一十五分五十秒】
查加減表八宫一十九度【四十分】距日【九九七○一】所差不多若用實引則距心【一○一六七四】差稍大然按圖用乙寅線宜用實引
圖說本宜用寅點為歲輪之心以寅乙申角為歲輪上視差角即寅未也
寅申線則歲輪之半徑也此為本法
今歷書所載地谷圖不於寅心作歲輪圈而以甲為心盖因戌寅亥角與寅乙申視角同度【切線法用此角以代乙角】而甲寅乙角者戌寅亥之交角也凡交角皆同大則甲寅乙角亦即寅乙申視角矣既以甲寅乙角為所測視角則乙點即可為歲圈之心而甲乙寅角可代乙寅申角矣故以歲圈上星過冲日之度【冲日即近點亢星過日冲即乙寅申角亦即亢申】移作寅乙甲角自乙歲圈心依角度作乙甲線與寅甲線遇於甲【先有乙寅甲角自有寅甲線】則甲點即歲輪上星所到度可代申點而甲乙即歲輪半徑可代寅申矣故以甲乙線為半徑者巧法也
然則當以乙為歲輪之心用代寅點矣何又以甲為心乎曰甲乙既為半徑則以乙為心甲為界或以甲為心乙為界其半徑等為甲乙也故倒以甲為心其法與諸加減表說作差角於圈界者同也【先倒作均角於寅界法同两術中慣用此倒算之法】
然則以甲為地心何也曰此則其移人耳目之法也何以言之彼固言甲乙為歲輪半徑矣又以甲心乙界之輪為歲輪矣甲既為歲輪之心又安得為地心乎然則地心安在曰以理論之仍當以乙點為地心耳何也星之實經在寅其視經在未寅未之成寅乙未角此固實測之度也實測差角從地上得之安得不以乙為地心乎若謂乙為日體則日之去地遠矣日體所見之差角與測所見之差角必有分也而今不然故不得以乙心徑為日體也
非地心而地心之何也盖所以使人疑也其使人疑奈何歲輪心之非地心易見也乙點之非日體難知也以其所易見例其所難知疑則思思則得矣 地心既非地心則日體亦非日體然則其中機彀固以示之矣又論曰借甲為地心妙在作戊己線與乙寅平行蓋甲己既與乙寅平行則己甲寅角即甲寅乙角亦即寅乙申均角而甲地心所作之十二宫度一切皆與乙心所作之度相應矣此用法之巧也
先以乙寅甲角代寅乙申視角而取甲乙線以代寅申半徑是倒算也復以甲為心乙為界作歲圈以甲心代乙心亦倒算也兩番倒算而倒變為順故甲可代乙為地心即本天心也而甲己線與寅乙平行即地心所指實行之度也己甲寅角即視差角也寅甲線即視行指線與申乙同也故天度皆應可作十二宫分細度也若於乙作歲圈則但能得半徑而十二宫之向皆反矣故借甲為心法之巧也
乂取甲為心影出火星能入太陽天之象其實火星入太陽天者乃其歲輪上度非歲輪心也若真以此為歲輪心則火星體將過地心而與日同度如金水矣又用甲為心作十二宫則細度可不碍書若用本法則有兩小輪各線相襍而不能詳書細數故移乙心於甲移寅乙申角為己甲寅角也嗚呼可謂巧之至矣但未說破故後學遂妄為作解耳
論曰既火星初均在寅即當以寅為歲輪心而今不然何耶曰此巧算也甲寅乙角即寅甲己角也何也甲己與乙寅平行也即均角也又乙寅者歲輪心距日數也乙甲者半徑也寅乙甲角者先有之角即星日相距之餘數也即己過日冲之度本法以距日數及半徑為兩邊與先有之角求均數角今先測得均角而無半徑故反用其法以求半徑法之巧也盖先有兩角一邊而求餘邊之法也
一率 甲角之正弦 【有乙寅兩角自有甲角】二率 乙寅邊 【即距日數實為歲輪心距本天心】三率 寅角之正弦 【即均角乃所測視行與實行之差度】四率 甲乙邊 【即歲輪半徑包有日差在内】
由是言之甲乃歲輪心耳非地心也若甲真為地心則甲乙非歲輪半徑矣
火星次均解 查火星歲輪半徑與本天半徑略如六與十宜即用為比例作圖則所得均角亦近【後數係初稿存例非火星正用】
圖說 乙甲卯三角形有甲角一百二十度有甲卯邊一百 乙甲邊四十一 求卯角 乙角 乙卯邊
法曰以乙甲甲卯二邊并得一百四十一為總【即丙卯】為一率又相減得五十九為較【即辰卯】為二率 丙甲乙外角六十度半之得三十度【即辛甲丙角】其切線五七七三五【即辛癸】為三率求得【壬辛】為四率得二三九八八查表得十三度二十九分四十秒收作三十分【即辛甲壬角】以辛甲壬角減半外角【辛甲丙角】得壬甲丙角十六度三十分即卯角也 又以辛甲壬角加辛甲丙【即辛甲己】得壬甲己角四十三度三十分【亦即甲乙卯角】末以甲乙卯角四十三度三十分之正弦六八八三五為二率乙甲四十一為三率全數為一率法為全數與乙角之正弦若乙甲與甲午也得甲午 又甲乙卯角之餘弦七二五三七為二率乙甲四十一為三率全數為一率法為全數與乙角之餘弦若乙甲與乙午也得乙午 用勾股以甲午冪減甲卯冪餘數 開方得數
為午卯乃併乙午午卯共為乙卯邊
一系甲卯如火星距心線【即表中距日數】
甲乙即如火星歲輪半徑【即表中半徑加日差為星數之數】丙甲乙外角即如火星行歲輪上離合伏之度【即日星相距度】
丙甲辛角即如火星半距度【辛癸其切線】
壬甲辛角即火星減【壬辛其切線】卯角即均角
一系丙點如歲輪合伏度 甲為歲輪心 卯為本天
心 丙甲卯線即歲輪心平行線
一系丙卯乙均角在前六宮是平行線東為加
一系歲輪上加減以卯亥切線所到為限自丙點以至亥點距合伏度漸從小至大其均度漸增過亥點至辰冲日距度漸從大至小均度漸減盖距合伏度大則半距亦大反之則小也
一系星行歲輪過亥點則距度大而減更大故均數
漸減
如圖星行至未成甲未卯三角丙甲未外角半之於酉而壬甲酉為減其得均角卯與星行在乙等
若欲知未甲辰角法用三率求之
一率 甲未邊 二率 卯角正弦
三率 甲卯邊 四率 未角正弦
既得未角以并卯角而減半周其餘即甲角也
星行到乙與星行到未同以卯角為均度
<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書,卷十七>
<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書,卷十七>
一系星之離日有定距
一系星之歲輪與日天略等
一系日距星為日離星而東日速故也
星距日為星離日而西星遲故也
一系日距星為日天之度星距合伏為歲輪之度一系論右旋則日速星遲若左旋則星反速於日故歲輪心漸遠於日可稱左旋而歲輪上圍日之象亦左旋也
一系星有遲速皆歲輪心之行而星行歲輪邊成圍日之行則
五星一理
一系星本天右旋星在歲輪上亦右旋而星圍日之行左旋此外仍有自行之高卑故土星能至甲木能至乙至丙火能至丁各天故不甚相遠
自人所見五星所當宿度則距日有遠近之殊而五星在天以徑線距太陽終古如一以此圖觀之見矣
所異者五星各有高卑本輪則有微差而火星則兼論太陽高卑要不能改其徑線相距之大致
算火星前均及距地心線用簡法 依表說用兩小輪圖設平引三十度依表說算得均角四度五十分加減表四度五十分七秒 表說差七秒
今用簡法得四度五十分十秒 只差三秒
表說又算距心一十○萬九千九百○三加減表是一十一萬○○一十三差十萬分之一百一十【數見表首卷第四章稱為火星年歲圈心距地心數】今用簡法得一十一萬○○一十九只差十萬分之單六又原法用勾股作垂線以求角求邊
今用簡法以半外角切線乘兩邊之較為實兩邊之總為法除之即得半較角以減半外角即為均角工力較前省半其小輪上加減之角用小輪半徑四與一之比例乘除工力尤省數倍
求邊之法只用對角之正弦比例工亦省半
竊意立表時當是用此法
凡諸表數或是西人成法翻譯成書或是歷局依法算演俱不可攷然是入用之數當以為主
火星平引三十度算得均角四度【五十分十秒】距心線【一十一萬○○一九】查表均角四度【五十分七秒只差三秒】距心【十一萬○○一三只差十萬分之單六】可謂密近丙戊甲三角形 求甲角 及戊甲邊 丙甲為一四八四○丙戊三七一○ 其比例為四與一
簡法其總為五其較為三 丙角六十度【引數之倍】 先求甲角法以丙角減半周得餘外角一百二十度半之六十度查其切線一七三二○五以較【三】因之總【五】除之得一○三九二三查切線表得其度為四十六度六分○八秒為半較角以半較角減半外角六十度餘一十三度五十三分五十二秒為丙甲戊角
表說甲角十三度五十四分是不用秒數也
次求戊甲邊
法以甲角之正弦【二四○二○】為一率 丙戊邊【三七一○】為二率 丙角之正弦【八六六○三】為三率 求得戊甲邊【一三三七六】為四率次戊甲丁三角形 有甲丁邊【一○○○○○】 有先求到戊甲邊【一三三七六】 有甲角【以求到戊甲丙角加引數丙乙三十度共得四十三度五十四分弱為戊甲乙外角餘一百三十六度六分強為甲丙角】
先求丁角【即三十度視差角】
法并【甲丁戊甲】兩邊得總【一一三三七六】為一率 又兩邊相減得較【八六六二四】為二率 半外角得【二十一度五十七分弱】之切線【四○三○○】為三率求得半較角切線【三○七九○】為四率
查表得角【十七度六分五十秒】以減半外角餘四度【五十分一十秒】即丁角次求戊丁線【即表距日數實即歲輪心距地心之數】
法以丁角之正弦【八四二六】為一率 戊甲邊【一三三七六】為二率 甲角【用餘角四十三度五十四分弱】正弦【六九三三八】為三率 求得戊丁邊【二○○一九○】為四率
一系凡兩小輪有比例者俱可用簡法求角七政並同一系凡三角形有一角在兩邊中者遇其邊有比例可用簡法土星 自行輪半徑八七二一小均圈半徑二九○七 其比例為三與一 其總為四 其較為二 總與較之比例為折半簡法【但以半外角之切線折半即得半較角】
木星 自行輪半徑七一五五 小均圈半徑二八三五 其比例亦為三與一【法同土星】
金星 自行輪半徑二四○六 小均半徑八○二 其比例為三與一【法同土木】
水星 地谷密測自行輪半徑六八二二 小均輪一一三七其比例為六與一 總為七較為五 法用五因七除多禄某舊法自行輪九四七九 小均輪一五八○ 其比例為六與一而強
太隂 本輪半徑【八千七百】三平分之二為新本輪半徑【五千八百】一為均輪半徑【二千九百】其比例為二與一其縂為三其較為一法用三為法以除半外角切線得半較角
朔望次輪半徑二千一百七十舊為二千三百一十此朔望輪地谷轉用於地心之上
太隂朔望次輪全徑四千三百四十以全加於本輪半徑則一萬三千○四十故兩弦之加減至七度四十分 然以比五星歲輪則太隂最少
太陽 兩心差三五八四 折半一七九二
王寅旭法兩心差三八八三八八收作三五八四 小均輪半徑為兩心差四之一 第一均輪半徑為兩心差四之三兩均輪之比例為三與一 其總四其較二亦折半比例也與土木金三星並同
加減差圖說以兩心差折半作角盖謂此也
兩均輪比例
求七政各小輪半徑法具歷書今只定其大小之比例
兩心差火星最大為一萬八千五百奇 次土星一萬一千六
百奇 又次木星○萬九千九百九十 又次太隂八千七百又次水星七千八百五十 太陽數少三千五百八十四 金星更少只三千二百○六
上三星軌跡成繞日圓象
五星本天並以地為心與日月同至若歲輪【即古法遲留逆伏之段日】則惟金水二星繞太陽左右而行其歲輪直以日為心土木火三星則不然並以本天上平行度為歲輪心【金水以太陽為歲輪心亦以二星之平行與太陽同度也】然其軌跡所到並於太陽有一定之距故又成繞日左行之圓象西人所立新圖不用九重天而五星並以太陽為心盖以此也然金水歲輪繞日其度右移上三星【土木火】軌跡其度左轉若歲輪則仍右移耳
七政前均簡法【訂火緯表說因及七政】
西法用表如古法之用立成不得其列表之根表或筆誤無從訂改矣故有表說以發明之然或表說所用之數有與表中互異者則是作表者一人作表說者又一人也余因查火星之表而為之推演然後知立表之法甚簡洵乎此心此理不以東海西海而殊
歷算全書卷十七
