94-新法算書卷九十四
新法算書卷九十四 明 徐光啟等 撰測量全義卷八 解正球上大圈相交之度分
正球之大圈有三種一為赤道二為斜截赤道之圈【如黄道等】三為直截赤道之圈【直截赤道者截赤道為直角其極如正球之地平圈各處午圈時圈等】三者相交相距是生多種三角形
如己甲庚為赤道丁丙寅為黄道相交於丙為斜角戊為己庚赤道圈之一極【極者球面上大圈之心凡分球宜用球體之心體之心不可得而以大圈之心當之故不名心】
【名極亦即軸之兩端也】從戊極作戊甲乙辛圈辛為赤道之又一極戊甲辛弧截赤道於甲為直角亦截黄道於乙成甲乙丙直角曲線形也此形之乙至丙為黄道之經度丙至甲為赤道之經度乙
甲為乙點距赤道之度【即赤道之緯度】丙為赤黄二道之交角乙為過兩極圈與黄道之交角甲為過極圈與赤道之交角【即直角】一形有三角三邊凡六種先有三可求其餘
一題凡有兩道極相距之度分【交角之度分同】及一道之經度分求其餘
如丙角為二十三度三十一分三十○秒丙乙為黄道經三十度【如大梁等一宫】求其緯度
乙甲【過極圈之一弧】此為直角形有丙角及直角之對邊丙乙求其餘三
一求黄道若干度之赤道緯度【即乙甲邊】法【見本篇七卷直角形捷法第七設】為全數與丙角之正弦【三九九一六】若乙丙弧之正弦【五○○○○】與乙甲弧之正弦【一九九五七】查得一十一度三十○分四十秒即黄道經三十度之赤道緯度
二求正球同升之度甲丙【若甲乙邊為正球之地平弧即丙甲丙乙兩弧必同出入名正球同升之弧也又若甲乙為子午圈即丙甲丙乙為同過子午圈之兩點名雖不同其理無二詳見左方】法為全數與丙角之餘弦【九一】
【六九○○】若乙丙之正切線【五七七三五】與甲丙邊之正切線【五二九三○】查得二十七度五十三分四十三秒
三求乙角【即黄道與子午等過極圈之交角】法為全數與乙丙之割線若丙角之餘切線與乙角之切線【若知黄白二道交角之度及太隂之本行經度可知其去離南北之度而定食限之度見月離歷及】
【本表】
用上三法可作兩道各度分相距之緯度表又可作每度之同直升表又可作每度與過極圈之交角表三者其用甚大為推步日食根本又因第一求可定月及五星距黄道之度
附同升解
黄赤二道交於春秋二分必相截爲兩平分若别大圈截兩道其交角從本圈之體勢直斜不一
其一大圈過兩道之兩極必與兩道相交為直角則從兩道之交至大圈之交其兩道之必等此大圈為極至交圈也因過赤黄兩道之極與兩道為直角則從春分迄夏至兩道之必等為九十度也
其二大圈獨過一道之兩極【如過北極則赤道極也】此大圈與所過極之本圈必相交為直角若與所不過之道則否從春分至過極圈之交所截黄赤兩道之必不等【蓋兩道與過極圈交而作角必有鈍有銳為異類故也】而此兩道之兩【從春分起數】名正球同升或同降之度【正球内升降之度必等蓋地平為過極之一圈也欹球則否】亦名同過子午圈之度【蓋子午圈亦過赤道之極】
如過極圈截黄道大梁初度【去離春分三十經度】截赤道二十八度弱或正球黄道大梁初度與赤道二十八度弱同升同降或同過子午圈反之亦謂正球赤道二十八度弱與黄道三十度同升同降同過子午圈其理皆同若春分迄夏至於黄道第一象限順數之秋分遡夏至則否用所得赤道升度以减象限所存數又加一象限九十度得黄道某點之正升度
如鶉尾初度距秋分三十度從秋分算得赤道同升之度二十八以减夏秋九十度得六十二以加春夏一象限得一百五十二為鶉尾初從春分起與赤道同升之度
若秋分迄冬至用所得赤道升度與春秋二象限一百八十度并得黄道從春分至某點之正升度
如大火初距秋分三十度從秋分算得升度二十八以加春秋一百八十度得二百○八度爲大火初從春分起與赤道同升之度
若從春分遡冬至則用所得赤道升度以减象限得數與春分迄春分三象限二百七十度并得黄道從春分至某點之正升度
如娵訾初距春分三十度從春分算得升度二十八以减春夏九十度得六十二以加春分迄春分二百七十二度得三百三十二度為娵訾初從春分起與赤道同升之度
其三大圈不過兩道之極如欹球地平大圈截黄赤二道皆爲斜角因赤道高下作角必不等其三角形之腰亦不等則從春分計某地兩道同升之兩數名欹球同升之度
如順天府赤道約高五十度設大梁初度從地平上升因本法推赤道上之同升度一十八【從春分起數】則大梁初度及赤道一十八度爲某欹球同升之兩點
若欲定其斜入則倒球取之用彼球之卯當此球之酉用彼球之升爲此球之降則某點為彼球之斜同升即此球之斜同入
如順天府北極出地約四十度有夏至同升之度欲求其同降則用南極出地五十度之彼球以彼球之冬至為此球之夏至則彼球冬至之同升度即此方夏至之同降度
巳上言正球有正升度欹球有斜升度此兩數相减之較名兩升之差
如大梁初度之正同升二十八度順天府大梁初度之斜同升一十八度其較十度即順天府大梁初度之升差
已上所說用渾球解之則易明
二題有黄道經緯度求兩道交角之度
如上有直角之對邊乙丙及其旁邊甲乙而求丙角求乙角求赤道之甲丙俱用
本書七卷十設因設數難定不須詳别
三題設兩道交角之度及黄道某點之緯度而求其點之黄道經度
如丙為交角丁甲其對邊之緯求丙甲赤道之【見七卷三設】爲全與丙角之餘切線
若甲丁之切線與甲丙邊之正弦【此即赤道經度凡經緯二數恒相連】求丙丁黄道之為全與丙角之餘割線若甲丁邊之正弦與丙丁邊之正弦【丙丁為黄道經即兩圈上之兩點丁甲恒相對同升於地平同過於子午等圈】求丁交角為全與甲丁邊之割線若丙角之正弦與丁角之正弦【三角形各形有十設】
【各設三求今約取其必用者解之】
四題有丙交角【丙恒為交角】及甲丙赤道之求丁角【黄道與過極圈之交角】求丁丙【黄道同升之】求甲丁【黄道上某點之緯度法見七卷第二設】
解欹球上大圈相交之度分
正球上大圈有三種欹球則有四種地平圈一也天頂圈二也地平左右之次舍侣圈三也日出入之時圈四也與正球之三而七矣七圈者相交相距其理甚繁其用甚大
一題有赤道與地平交角之度【子午圈過天頂亦過赤道極則交角之度與極出地平上之餘度必等】又有黄道某點之緯若某點或升或降在地平求黄道與地平交角之度
如圖癸丙甲為地平壬寅戊為赤道丁
丙庚為黄道己為二道之交丙爲黄道
地平之交從赤道極乙點過丙至赤道
上寅點作乙丙寅即丙寅定黄道
丙點之緯度丙乙其餘也即甲丙乙直角形之丙角為過極圈與地平之交角又丁丙乙爲黄道與過極圈之交角兩角并得丁丙甲角 用前正球一題第三求得乙丙丁角【彼云乙角】次甲丙乙形甲乙爲極出地之高若干度乙丙爲寅丙緯之餘度用第九設第二求得之【此問日食算中所必用故詳解之仍須作立成表】
如有大梁初度【即黄道經三十度為乙丙邊】又有兩道之交角【丙角二十三度三十一分半】而求過極圈【甲乙】與
黄道之交角【乙】法爲全數與乙丙之割線【一一五四三○】若丙角之餘切線【二二九七○○】與乙角之切線【二六五一四二】查得六十九度二十分有奇
次求甲丙乙角【即前本圖上形】爲全數與乙丙邊之餘割線【大梁初度之緯十一度三十一分其數五○○八六九】若甲乙邊之正弦【如順天府北極出地三十九度五十分其正弦六四○五六】與乙角
之正弦【五四三六七】查得三十二度五十六分
先得六十九度二十分有奇次得三十二度五十六分并得一百○二度一十六分有奇即本圖甲丙丁角之度
若巳交角【即黄赤交】與丙【即黄道地平之交】同點即黄道極必在子午圈内或巳爲春交在東則以黄赤距度減赤道高即黄道地平交角之度或巳爲秋交亦在東即以距度加赤道高或巳為春交在西亦加爲秋交在西亦減【用渾球明之】
二題有黄道某點之緯度及北極出地之度求本點出入地平之濶度【濶度者地平之經度各點出入於卯正酉正其濶度或南或北惟春秋二分出入於正卯正酉若在黄道北六宫出入皆在正卯酉之北若在黄道南六宫出入皆在正卯酉之南】如圖丁庚戊爲子午圈丁丙戊為地平庚乙己為赤道交地平於乙辛丙壬為赤道南距等圈交地平於丙從天頂子【地平圈之極】
作子甲乙為地平第一經圈乙點即正卯酉此圈分則出入南北之中界也次從赤道極癸作癸丙過極經圈而成甲乙丙直角形形之甲丙邊為某點距等圈之緯度甲乙丙角【庚戊也】為赤道出地之度【北極出地之餘】甲為直角【從赤道極癸出線而截赤道於甲故也】乙丙爲黄道某點之濶度求法用三設之第三求為全數與乙角之餘割線若甲丙邊之
正弦與丙乙邊之正弦
假如順天府赤道高五十度五分乙角也
其餘割線【一三○二二三】甲丙邊冬至之緯度也為二十三度三十一分半其正弦【三九九○二】算得乙丙邊之正弦【五一九六一】查得三十一度一十九分 因乙點為正卯酉癸爲北極則丙在正卯酉之南若夏至理亦同此但丙在正卯酉之北甲乙丙形在地平下而乙角【丁己也】爲赤道入地之度如上圖
三題有北極出地度及黄道之某點求晝夜長短【即各欹球黄赤道同升之點】
解曰凡測時以赤道為主何者日十二時九十六刻終古常然不以冬夏為永短赤道亦半出地上半入地下卯正至午正午正至酉正恒各滿一象限不與黄道偕盈縮二相配合則赤道過一宫而爲一時過三度四分度之三而爲一刻故赤道為各種日晷之宗法測時候之公本原也其在欹球獨春秋分日赤道一象限恒在午圈地平圈之内兩道過子午圈及出入地平常是同點則從午至酉赤道過子午圈而西者為九十度得二十四刻也過此以往日躔積漸南北晝夜亦積漸永短赤道在午正左
右之第九十度亦積漸出地上或入地下則定晝夜分者當求赤道與日躔過極圈交點之度其法從北極過日體作過極圈之一為癸丙甲或癸甲丙定甲赤道之點其赤黄兩道之兩點庚辛同過子午等圈轉渾令辛點到地平如丙即庚點必至甲若太陽在北六宫庚點必過地平如癸丙甲在南六宫庚點必不到地平如癸甲丙此或過或不及之差名兩升之差【一是正球過子午圈一是欹球過子午圈】亦謂之晝夜長短之根今欲測辛點從午至入地平之刻分必先定庚甲【庚甲大圈之度與辛丙小圈之度同在癸甲癸庚兩過極圈内必等若得庚甲自得辛丙辛丙小圈無法必用庚甲測之】而庚乙必九十度須知甲乙然後或加或減可得甲庚即半晝分倍之得晝夜以加減四十八刻得半夜分
如上圖甲乙丙形有乙角為赤道與地平之交角有甲丙為某點之距度求甲乙則
全數與甲丙邊之切線若乙角之餘切線與甲乙邊之正弦
如甲丙爲冬至之距緯二十三度有奇其切線四三五三○乙角赤道之高五十度有奇其餘切線八三四一五算得三六五一一為甲乙邊之正弦查得二十一度二十五分以減九十度得六十八度三十五分算時刻得一十八刻四分【每刻十五分】二十抄【每分六十秒】為順天府之冬至半晝分倍之得三十六刻○ 八分四十○秒為晝長以減九十六刻得五十九刻○六分二十○秒爲夜長 因上法可作諸方半晝分立成表【見别卷】
四題有赤道之高及太陽出入之濶度可得黄道本點之緯度亦自有其經度
即用上圖有乙角爲赤道之高丙乙爲大陽出入之濶求黄道之緯度甲丙亦求欹
球同升之差甲乙【見七卷第四設】
若有赤道之高及丙角亦可求其餘【見七卷第一設】
若置半晝分及赤道之高可得黄道本點之緯度及太陽出入之濶度【若半晝分為時刻則以本法易為度分以加减九十度所得數為甲乙邊】
五題有黄道某點及北極出地之度求欹球同升之度如上圖求得黄道某點之正升甲及兩升之差甲乙以此兩數或相加【在北六宫内】或相減得某地面黄赤兩道同升【從春分起算】之兩
如順天府析木初度正升為二百三十七度四十八分○七秒其斜升之差為一十八度兩數相加得二百五十五度四十八分○七秒則黄道爲二百四十度【從春分起算】赤道弧為二百二十五度四十八分○七秒為本地面兩弧同斜升之度
若求其同降之度則用黄道上對點求其斜升加一百八十度 如析木之對為實沈求實沈之斜升得三十九度四十九分加一百八十得二百一十九度四十九分即析木偕赤道同降之度
升降三類【正球同升一斜球同升二正斜升之差三】其用甚大如定晝夜長短及太陽與某星相距之度及夜以星定時刻之屬皆所必須故須詳講之熟習之【另卷有本表及其用免算】
六題有極出地之度及赤道之升度【從所近交起算】求黄道同升之經度
如圖己癸為地平午丙辛為赤道戊丁庚為黄道交地平於乙兩道之交成丁丙乙斜角形丁為兩道之交角丁丙邊為赤道上升度【從所近交起算】丁丙乙為赤道高丁丙癸之餘角求黄
道弧丁乙其法從丙角作丙甲垂弧分元形為二其甲丙丁形有丁角有丁丙邊用直角第四設求丁丙甲角丙甲邊丁甲邊次於丁丙乙角内減丁丙甲角餘甲丙乙角即甲丙乙
形有丙角及丙甲邊用直角第二設求甲乙以并丁甲得丁乙弧
上法為是丁乙黄道在北六宫若在南六宫即丁乙丙
斜角形有丁丙邊有丁丙兩角
從乙角作乙甲垂弧分元形為
二先於甲乙丁形求甲乙甲丁
次甲乙丙形有丙角甲乙邊求甲丙以并甲丁得丁丙邊
七題有極出地之度分多於兩道相距之餘度分求此地周歲中太陽恒見恒隱之日數
解曰正球之赤道及其距等圈皆與地平為直角故晝夜恒等其在欹球極高六十六度半弱【兩道距二十三度半強之餘度】以下者太陽日日有出入周歲中日日有晝夜依上第三題求其晝夜分若極高六十六度半弱以上即周歲中太陽有時恒見不隱每日周遭地平之上有時恒隱不見每日周遭地平之下以法求得其隱見之日數然此所得者實隱見也又因清蒙之氣入恒遲出恒早此為視隱見說見歷指一卷
其法以赤道之高【極出地之餘度】當太陽之緯度因緯度求其經度【從春分或秋分起數】取經度之餘度【即太陽去離夏至或冬至】倍之約一度為一日得本地太陽恒見恒隱之日數
如上圖癸己為地平午辛為赤道乙丙為夏至壬庚為冬至乙庚為黄道子丑為兩極若太陽在夏至乙從乙轉丙丙復轉乙
不割癸己地平即常見若太陽至丁己距圈從丁轉己已復轉丁雖切地平于已而不割亦常見假如極出地七十六度赤道高十四度即以當太陽之十四緯度求經得三十七度二十分其經餘五十二度四十分倍之得一百○五度二十分約一度為一日得一百○五十有奇太陽日日周行地平之上并為一晝若太陽躔南六宫則日日周行地平之下并為一夜第因清蒙之氣即視見恒在真見之前視隱恒在真隱之後各有日數因本地之蒙氣厚薄以為多寡
八題有黄道交子午圈之點及極之高求黄道之九十度限
從地平以上數至黄道之九十度名為黄平象限此推算日食所必需也黄道大圈半恒在地平上半恒在下而黄道極多不在子午圈中故上半周任交於子午圈其九十度限亦多不在子午圈也若極在東則從地平西右數至子午圈黄道之度恒過九十從地平東左數至子午圈黄道之度恒不及九十若極在西則反是故春分前後六宫從冬至迄夏至交於子午則黄平限在東秋分前後六宫從夏至迄冬至交於子午則黄平限在西今所求者此九十度限之一點去離天頂若干度分也其用法詳日食本論
法有黄道交午圈之點求九十度限即先求正球上在午點之同升赤道點加赤道從午至地平九十度得總數定儀求本地欹球上之黄道同升點於黄道在午至地平數内減九十度得黄道去離地平之九十度限也如大梁初度在午其正同升為赤道二十八度強加九十度得一百一十八度次求本地欹球【順天府極出地四十度弱】上之黄道同升得鶉火出地平一十一度弱於黄道從午至地平數内減九十度得大梁十一度弱為黄道九十度限在東
又如黄道玄枵初度在午其正同升為赤道三百○二度強加九十得三百九十二【凡度數滿全周用其餘此三百九十二减三百六十即總數為三十二】次求本地欹球上之斜同升得大梁出地平一十二度於黄道從午至地平數内减九十度得玄枵一十二度為黄平象限亦在東
系有在午之點及九十度限其較為午點至九十度限之黄道一如上第二設九十度限為玄枵一十二度午上之點為玄枵初度則其相距為一十二度反之有黄道之出地度求在午之點及九十度限法曰有地平上黄道點求其本地欹球上之赤道同升點减九十度得數求正同升之黄道上度為在午之點又於本點去離地平數内减九十度得黄平象限如大梁初度在地平本欹球之斜同升為一十八度减九十【凡實數小法數大借全周三百六十并而減之】得二百八十八度求其正同升之黄道上度得玄枵一十七度強為九十度限距午之度
又黄道大梁初度在地平於地平距午數内減九十度得玄枵初度為九十度限
九題有黄道交子午圈之點及極之高求九十度限而不用同升度
如圖丁丙戊爲子午圈乙甲丁為黄道乙點為某宫某度分丙為天頂甲為九十度限從丙過甲作丙甲己地平經圈成甲乙
丙形甲為直角乙爲黄道交於子午圈之角【見正球說有本表】丙乙為黄道某點距天頂之度【若某點係南六宫求其緯以減赤道高若係北六宫求其緯以加赤道高各得丙乙】而求甲乙邊法為全與乙角之餘弦若丙乙之切線與甲乙之切線【另卷有表又見交食歷】
假如乙點是大梁初度則乙角為六十九度二十一分【法見正球四題】其餘弦爲三五二六六其緯一十一度三十分以加赤道高得六十一度四十分其餘為二十八度一十分丙乙也其
切線為五三五四五算得一十度四十八分為甲乙弧【上題用同升表一十一度弱今亦用表數云一十度四十八分因上題棄去零數故也】
十題有黄道交於子午圈之點及極之高而求九十度限距天頂之度
如前圖求丙甲弧法為全與丙乙之正弦【四七四六○】若乙角之正弦【九三五七五】與甲丙邊之正弦【四三四一九】算得二十五度四十四分為甲丙弧 因甲庚庚己各九十度則甲己爲庚角之弧其角為黄道截地平之角即上第五題圖之丁乙丙角
十一題有在地平點之濶度及在午點之距天頂度而求黄平象限距天頂度
如前圖從天頂丙作地平經初度丙壬黄道截地平於庚成庚甲己形甲己為兩直角【丙己經圈過地平之極故己為直角甲分地平上黄道為兩平分即過地平之極亦過黄道之極故甲為直角】則相對之兩腰必等庚甲九十度庚己亦九十度而壬戊亦自為九十若减同用之壬己即所餘庚壬與己戊等己戊弧定甲丙乙角之度故甲丙乙形有丙乙及丙角【或己戊或壬庚濶升度】可得甲丙法為全與濶
升度之餘弦若丙乙邊之切線與丙甲邊之切線
十二題有午上之點求在地平點之闊升度
即庚壬或己戊或甲丙乙角法為全與丙乙邊之餘割線若甲乙邊之正弦與丙角之正弦【或庚壬濶之正弦】
十三題有午正前後時刻之度分【時刻之度分者以時刻易為度分也每四刻為一十五度一刻為三度四十五分刻之一 分為度之四分之一刻之一秒為度之四秒】及太陽之經度求在午之度因求黄平象限度
法如時在午前即以太陽經度求其正同升之度减時刻之度得赤道數以求黄道正同升之度即在午之度如太陽躔大梁初度於己正初刻求在午之度即查大梁三十度之正同升為赤道二十八度减去三十度【己正初刻之度】餘三百五十八【實少于法借全周】查其正同升之黄道度得娵訾二十八為在午之點次於赤道數加九十得八十八【滿全周去之】求本地欹球同升之度得鶉首一十七【零數省文去之】為黄道本球本時出地平之度減去九十度得降婁一十七為黄道九十度限
若時在午後則用加法如未正初刻則於二十八度【大梁之正同升】加三十【時度】得赤道五十八查其正同升得實沈初度為在午之點次於赤道五十八加九十得一百四十八度求本欹球之同升得鶉尾五度半為黄道本時本球之出地度減去九十度得實沈五度半為黄道九十度限
十四題有太陽躔度及時刻度求太陽地平上之高度其法有四或太陽在赤道上【春秋分第一圈】或時度過九十【二圖】或在北六宫【三圖】或在南六宫【四圖】
第一圖己戊丁壬為子午圈戊丙庚為赤道太陽在乙從天頂丁作丁乙甲弧過太陽至地平為直角成甲乙丙直角形此形
有乙内邊【戊乙時度之餘】有丙角【赤道之高度】求甲乙為全與乙丙邊之正弦【己正初至午正既三十度乙丙必六十度其正弦八六六○三】若丙角之正弦【順天府赤道高五十度則丙角五十度其正弦七六六○四】與乙甲邊之正弦【六六三四一】算得四十一度四十七分為太陽本時之高第二圖時度過九十即從北極辛作辛乙午交地平於癸成癸午丙三角形午為直角有午丙為時度過九十之較有癸丙午為赤道與地平之交角求午癸邊及午癸丙角【午癸丙角】
【為過極圈或時圈與地平之交角求法見第七卷直角形之用法】次以午癸與午乙或加或减得癸乙【用二圖時度過九十即相减若不過九十者如三圖太陽在北六宫即相加如四圖太陽在南六宫即相减所并所餘皆為癸乙】次乙甲癸形甲為直角有先加減所得之癸乙邊有乙【癸甲】角可得太陽之高乙甲
如三圖日躔大梁初度其緯得一十一度三十分半乙午也巳正時戊午得三十度即午丙必六十度本地赤道高戊己五十度○五分【或午丙癸角】次以午丙癸形之午丙六十度丙角五十度○五分求午癸邊法為全與午丙之正弦【八六六○三】若丙角之切
線【一一九八八二】與午癸之切線【一○三八五五】算得四十六度○五分【因大梁在北六宫故】次加太陽之緯度一十一度三十一分三十秒得五十七度三十六分三十秒癸乙弧也又於此形求癸角法為全與丙角之餘割線【一三○二二三】若午丙弧之正割線【二○○○○○】與癸角之正割線【二六○四一七】算得六十七度二十四分癸角也次癸
乙甲形甲為直角有癸角及癸乙邊求甲乙法為全與乙癸弧之正弦【八四四五三】若癸角之正弦【九二三二一】與甲乙邊之正弦【七七九五二】算得五十一度一十三分甲乙也是為本地本時黄道某度地平上之日軌高
若太陽躔南六宫如雙魚初度其緯亦一十一度三十○分三十秒則如第四圖之癸午邊減乙午得三十四度三十四分為乙癸邊其正弦【五六七三六】乘癸角之正弦【九二三四三】得三十一度三十六分
十五題有太陽之緯度有日軌高有極出地度求時刻如上題第一圖【太陽乙在赤道】甲乙丙形有日軌高甲乙有乙丙甲角為赤道高求乙丙邊【戊乙之餘】法為全與丙角之餘割線【丙角五十度○五分】
【其餘割線一三○一九二】若甲乙弧之正弦【甲乙日軌高三十度其正弦五○○○○】與乙丙之正弦【六五三二○】算得四十度三十七分乙丙也戊乙其餘為四十九度二十三分易為時得午前或午後一十三刻○二分三十二秒
又如上題第二三四圖用辛丁乙形【太陽在乙】有乙辛為太陽距極度【若乙在北六宫則乙辛為緯度之餘若在南六宫則于緯度加九十得乙辛】有丁乙為日軌高之餘
度有丁辛為北極距天頂之度【北極高之餘】求辛角【辛為赤道極丁辛乙角之為戊午戊是午正則以戊午定午前後時刻之數】法見第七卷斜角形用法今解之如辛丁為五十度一十分丁乙【日軌高之餘】六十度辛乙八十度【太陽緯午乙十度其餘得八十度】法以辛角旁兩腰之正弦相乘【五十度一十分之正弦七六七九一八十度之正弦九八四八一】以全除之得【七五六二○】名初得數又以兩腰之餘弦相乘【五十度一十分之餘弦六四二七九八十度之餘弦一七三六五】以全除之得【一一○六九】名次得數以次得數與角對邊之餘弦【六十度之餘弦為五○○○○】相減【丁乙邊小又兩腰同類故也】所存
【三八九三九】以全乘之以初得數【七五六二○】除之得辛角之餘弦【五一六九○】算得五十八度五十三分易為時得一十五刻一十三分四十二秒
又如辛丁丁乙如前而辛乙為一百度【日在南六宫距度十】則以丁辛之正弦【七六七九一】辛乙之正弦【九八四九一百度而用八十度之正弦者大弦過象限則用其餘弧之弦】相乘得【七五八三一】以全除之為初得數又以兩弧之餘弦【丁辛之餘弦為六四○五六辛乙之餘弦為一七三六五】相乘以全除之得【一一一二三】
爲次得數以加角對邊丁乙之餘弦【丁乙邊小又兩腰為異類故】得數【六一一二三】加五位為實以初得數為法除之得【八○六○四】為辛角之餘弦查得三十六度一十七分易為時得九刻一十分○八秒
如上法或用月之高求月時則用月之緯度或用星之高求星時則用星之緯度
十六題有極出地之高有日軌高及其緯度求地平經度【地平經度者或從卯酉正或從子午正起算皆得】
如前圖辛丁戊為子午圈丁為天頂丁乙甲為本時日躔【天頂經圈】今求壬甲弧【或壬丁甲角】或甲己弧【或甲丁己角】宜用辛丁乙角形求角
列數如上題【丁辛五十度一十分辛乙八十度丁乙六十度】法以辛丁丁乙兩弧之正弦相乘以全除之先得【六六六八六】又兩弧之餘弦相乘以全除之次得【三二○二八】加乙辛之餘弦【一七三六五】於次得數共【四九三九三】加五位【以全乘之故】為實以先得數除之得【七四○六即丁角之餘弦】查正弦表得四十七度四十七分為乙丁戊角【即甲己弧】辛丁乙之餘角也辛丁乙係鈍角【因對角邊乙辛小于九十度兩腰為同類故相】
【加次得數大于乙辛底之餘弦故所得為鈍角】故乙丁戊角之餘為四十二度一十三分更加九十度得一百三十二度一十三分為太陽之本頂圈距北向南之度壬甲也【此係太陽在北六宫】亦名地平之經度【造日晷法内用之】
又如辛乙為一百一十三度三十一分半【太陽在南六宫躔星紀】丁乙為七十度求丁角法兩腰之正弦相乘【丁辛之正弦為七六七九一丁乙之正弦為九三九】
【六九】以全除之先得【七二一五八】以兩弧之餘弦相乘【丁辛為六四○五六丁乙為三四二○二】以全除之次得【二一九○九】以乙辛之餘弦【三九九○二】加次得數共【六一八一一】加五位為實以先得為法除之得【八五六六六】即丁角之餘弦查得五十八度五十六分為乙丁戊角因丁為鈍角【角之對邊辛乙大于九十度兩腰為同類故相加又次得數小于乙辛底之餘弦故丁為鈍角】故加九十得一百四十八度五十六分為辛丁乙角之度【即壬甲弧】是太陽本頂圈距北向南之度
若用餘角則從南起算巳至甲得三十一度○四分戊丁乙角也【餘者一百四十八度五十六分之餘】
十七題有時度有日軌高及極出地之度求太陽之緯度又求地平之經度
如前圖辛乙丁斜角形辛乙邊為太陽本日距等圈距北極之度此形有辛角【即戊午弧】時度也有丁辛弧極高之餘也有丁乙弧日軌高之餘也而求太陽距北極之緯度辛乙即如次圖從丁角作丁甲垂弧其甲丁辛直角形有丁辛腰辛角求丁甲及甲辛【用七卷直角形第四設二三求】次甲乙丁形先有丁乙今得丁甲求甲乙【用七卷第八設】
【之三求】乙甲甲辛并得所求乙辛次求地平經度【乙丁辛角也】則丁辛甲形求甲丁及甲丁辛角又甲乙丁形求甲丁乙角并之得所求乙丁辛角【若辛為鈍角即乙丁辛為鋭角若辛為鋭角即乙丁辛為鈍角】
新法算書卷九十四
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>
