90-新法算書卷九十
新法算書卷九十 明 徐光啟等 撰測量全義
界說
第一界
面者有長有廣
第二界
平面者一面平
第三界
曲面者一面曲
無界者如球卵之面有界者如窑橋之面
第四界
一界之面
一曲線内之形如圓形在圈界之内凡有三一平圓從心
至界各線俱等一撱圓如
圓柱而斜剡之得兩面焉
一無法曲線如桃棃之面
第五界
二界之面
如兩弧或無法之曲線或一直
線一曲線而形之有法與否則
視曲線
第六界
三界之面
三邊或直或曲以曲線為邊者先定曲線之有法與否面因之量與二界同法以直線為本
如丙丁戊曲邊形從丙角至丁作丙丁直線成丙乙丁兩角襍形從丙至戊從戊至丁亦如之細分元形各依法量之用所得或加或减以得其容凡三邊形或俱等或
俱不等或兩邊等或有直角或無直角皆有法之形也第七界
四界之面
方面有五邊角俱等者正方也角等邊不等者長方也邊等角不等者斜方也各對角對邊等者長斜方也邊角俱不等者無法之方也首兩種之外皆屬無法蓋有設邊
無設角或大或小容積
因之異焉欲求其容須
定角之度或中長線也
第八界
五以上多界之面
邊角俱等者有法之形也或邊或
角不等者皆無法之形也
第九界
定度者求兩物之比例
凡量度萬形先定一有幾何之度如三丈之物以一丈之度量之謂之某物與定度為三倍大則一丈之度名曰公度因其能量之勢定各所量之物也凡量高長廣遠皆屬線類則以線為公度蓋比例之兩率為同類也故量線者先具一定線或一丈或一尺以為公度量面者先具一定面或方步或方丈邊等角直以為公度量線用直線以直線在萬線中為最短故量面用平面用正方以平面在萬面中為最短正方之理視萬形之理為最凖故【量體亦定一度如一石斗為六面體各面等各角及邊等】第十界
量算
丈尺寸分滿十進位畝法步法則否二百四十方步為畝二十五方尺為步一百方寸復為尺也凡若干步之積步約為畝以二百四十方步而一若干尺之積約為步以二十五方尺而一若干寸之積約為尺以一百方寸而一約步約畝則逓以步法畝法除之
第十一界
中垂線
從形心至邊作直角者為中垂線有法形之各中垂線必等無法形各邊不等中垂線亦不等
第十二界
中長線
從形之一邊或一角至對邊作垂線是各邊上極遠之線以得本形中之直角三邊形
第十三界
直線為有法形之徑
直線形本無徑聊借圓形之徑名之然有法之形周内周外可作全圈在外者形之各邊切圈周在内者各用切圈周故圈之徑亦可謂容形之徑
第一題
量四邊形【其法有三】
形之類有二有直線有曲線兹先解直線形若曲線形
後方詳之
公量為方有法之方形二有正方四邊四
角俱等【直角也】以所設一邊自之得面之容
如正方田一段各邊四步自之其容為十六方步有長方以所設兩邊相乘得面之容如長方田一段縱五横六相乘其容為三十方步若斜方具邊無角亦無法之類也有中長線之數則以底數乘之得斜方之容若無中長線之數而知一角之數則先以角求中長線如乙丁斜方形有長濶若干有丁角之數即從丙鈍角作丙甲垂線【即中長線】則丙丁甲直角形有丙丁邊丁角依法求甲得數以乘乙丙得元形之容若等邊斜方形作兩對角線分元形為四
句股形兩對角線之交為直
法法以兩對角線相乘二而
一
四邊形有上下不等而在平行線内者名梯田舊法并兩廣半之以中長線乘之 論曰戊己丁丙形從上廣之兩界己戊作己甲戊乙兩垂線【即中長線】中成長方形旁有兩句股形次引戊己廣至庚得庚己與乙丙等成己庚丁句股形與丙乙戊形等則庚乙方形與梯田形等丙乙甲丁為兩廣之較半之者損下廣以益上廣也兹舊法所自出也
凡斜田箕田諸法俱同前兩腰之等與不等角之等與不等俱以平行線為本若不知中長線而知斜邊或一角者如下文
知斜邊如丁己先分形成甲丁己直角形有甲丁為兩廣之半較有己丁弦法以兩
數自之相减開方得己甲中長線
知角者如己甲丁形有甲丁邊有丁角或己角求己甲即全數與丁角之切線若丁甲邊與己甲邊
舊法曰一面長乘中濶得形之容駁曰中廣必垂線乃
准垂線而外皆斜線必長于
中長線况斜邊乎今設兩形
之同邊異積如上圖其理易
見
二不等田東長三十六西長三十北廣二十五無南廣
問田舊法并兩長折半乘北廣
駁曰若北兩皆直角者即梯田之類也否則從何定南廣之度乎
舊法四不等田北四十二南五十六東六十四西五十八并東西兩邊半之并南北兩邊亦半之兩半相乘得二九八九步為其容駁曰若甲為直角試作乙丁對直角線成甲乙丁句股形有句股以求弦為七十六
又一五三之九四其積為一三四四又以乙丙丁形之三邊求其容得一五三七【此法見後第三題】并兩形積得二八七一知法為未合也
論曰兩廣或兩長在平行線内者并而折半損有餘補不足改為方形也以中長線乘之則得其容若四不等無法形也損此益彼一不能為方一不能為中長線何緣得合乎
第二題
量三邊形
乙丙丁三邊形有邊數無角數求實其法并三邊數半之為實以每邊之數為法各减之三較連乘得數以半總數乘之為實
平方開之得實
如三邊為七為十二為九并得二十八半之為一十四减七較七减十二較二减九較五三較連乘得七十以半總十四乘之得九百八十○開方得三十一又六十二之一十九不盡
又如三邊為十三十八二十一并得五十二半之為二十六减十三較十三减十八較八减二十一較五三較連乘得五百二十○以半總數二十六乘之得一萬三千六百二十○
開方得一百一十六又二三
二七之一六四不盡
解曰如圖乙丙丁斜角形先
平分丙丁二角作丙戊丁戊
二線遇于戊從戊向各邊作
垂線為戊壬戊己戊庚三線
皆等【戊壬丙戊己丙兩直角形同用戊丙邊兩丙角
亦等形必等則戊己戊壬亦等又壬戊丁丁戊庚兩直角
形同用戊丁邊兩丁角亦等形必等則壬戊戊庚亦等】次從乙作乙戊平分乙角乙
戊己乙戊庚兩直角形有己
戊戊庚兩邊等同用乙戊邊
形必等則兩乙角亦等依三角形推壬丙與丙己己乙與乙庚庚丁與丁壬各等共六線三等次于三相等邊各取一邊如乙己己丙壬丁合之為元形三邊并之半【或丁庚庚乙壬丙或每相等兩形邊减一邊得三較亦元形三邊并之半】次乙丙邊引長之取丙辛與丁壬等乙丁邊引長之取丁癸與己丙等則乙辛乙癸皆元形三邊并之半亦三較之總數也次從辛從癸作兩垂線遇于子乙戊引長之亦與辛子癸子遇于子【乙癸子乙辛子兩直角形之乙癸乙辛兩邊等兩乙角亦等即乙子弦必等而辛子子癸亦等】次截丙午與壬丁等作午子線又截辛丑與壬丙等作丑子線即丑子與丁子必等【癸丁子辛丑子兩直角形之丁癸與辛丑等癸子與辛子等則其弦丁子丑子必等】又午丁子辛丑子兩形亦等【丁子與丑子等丁午與辛丑等則午子與辛子必等】則午為直角【相似之辛角先已為直角】而丙辛子丙
午子兩直角形亦等又此兩
形并成一斜方形而丙辛子
午四角内减午辛兩直角餘
子丙兩角并為兩直角【凡四邊形
之四角并為四直角】又□ 丙壬壬丙辛
兩角并亦等兩直角而减共
用之壬丙辛餘午子辛壬丙己兩角等其各半角亦等【即丙子辛己丙戊兩角】即己丙戊辛子丙兩直角形相似【己辛等為直角己丙戊辛子丙兩角又等即其對邊相似】而戊己【小句一率】與己丙【小股二率】若丙辛【大句三率】與辛子【大股四率】次以線變為數【乙丙三十五乙丁五十丁丙五十乙己十七強己丙十八弱丙壬十八弱壬丁三十二強辛子四十八各有奇今約用成數令直截易算也】則戊己十二與己丙十八若丙辛三十二與辛子四十八也
又以第一率乘第四以
第二率乘第三得數必
等則戊己辛子之矩内
實己丙丙辛之矩内實
【各五七六】通用可也又戊己
【小句一率】與辛子【大句二率】若乙
己【小股三率】與乙辛【大股四率】而以第一自乘又以
乘第二其兩方之比
例亦若第三與第四
【見幾何七卷十七題】則戊己方
【一四四】與戊己【十二】辛子
【四八】矩【五七六】若戊己【十二】
與辛子【四八其比例皆四之一】亦若乙己【十七】與乙辛【六八何者乙己戊乙辛子兩直角形同用己乙戊角則相似則乙己與己戊若乙辛與辛子】反之則乙己【十七一率】與乙辛【六八二率】若戊己方【一四四三率】與戊己辛子矩【五七六四率】或與己丙丙辛矩【又四率亦五七六也一二與三四異類而為比例者根與根若積與積也四與四異形而為同比例者論積不論形也故先定戊己辛子矩己丙丙辛矩可通用也】
又四率法既云一乘四二乘三
兩矩積等今依法乘之即得乙
己根【十七一率】乘己丙丙辛矩【五七六第
四率】所得數【九七九二】與乙辛根【六八二率】乘戊己方【一四四第三率】所得數【九七九二】等次再以乙辛乘之即得乙辛
根【第一率六十八二邊總之半】乘乙辛根
【六八】偕戊己【元形中垂線】方【一四四】之
矩實【共九七九二為第二率】所得數【六六
五八五六】與乙辛根【第三率六十八三邊總之
半】乘乙己根【十七】偕己丙辛丙
矩【五七六乙己己丙辛丙者三差之各數也】之矩
實【共九七九二為第四率】所得數【六六五八五六】等依此用三較連相乘又以半總乘之得數為實開平方得元形之積此用前所得數本法也或用元形中垂線自乘以乘半總又以
半總乘之得數為實
開平方亦得元形之
積此用後所得數證
法也
何謂中垂線自乘以
乘半總又再乘而得
積以句股法解之如
戊己丙句股形若以戊己句乘己丙股得戊己丙形之倍積即己戊壬丙兩形并之
積【兩形等故】又乙戊己句股形以戊己句
乘乙己股得倍積即乙庚戊己兩形
并之積又以戊壬句乘壬丁股【或戊己乘
丙辛】得倍積即庚戊壬丁兩形并之積
故戊己乘乙辛得元形之積如此即
一乘可得何待他法然元法中無戊己也特以戊己自乘又再乘乙辛而得積與三較連乘以乘半總之元法所得大積等故以開方而得元形之積亦等則知元法之不謬故謂垂線三乘為證法也又論二法之相合者
算術中兩方相乘開方得兩根相乘之
數如圖戊己【一二】自乘為戊子方【一四四】以
乘乙辛【六八即戊寅】為戊丑長方【九七九二】又以
乘乙辛為戊寅大方【六六五八五六】此前證法所得數也若以乙辛【六八】自之得【四六二四】以戊己方【一四四】乘之所謂兩方相乘也【得六六五八五六】開方各得八一六即戊己根【一二】乙辛根【六八】相乘之數也若三較連乘又以乘乙辛雖不成方形而連乘所得亦九七九二以乘乙辛亦六六五八五六以開方亦得八一六故三較連乘之元法無證以垂線三乘法為證也
若直角三邊形以句股數相乘得數半
之為形之容蓋方形與三角形同底同
在平行線内則方形之容倍于三邊形
之容或用半
若三邊等形則有中長線者法與句股
同為本線分元形為兩直角形也無中
長線者以法求之如乙丙丁三邊等形
從丁角作垂線至乙丙邊平分元形為
二【一卷二十六】用句股法以乙丁乙甲兩方相减餘為甲丁方其根則甲丁中長線也如設乙丙線一即乙甲線為二之一各自之乙丙之方一乙甲之方四之一相减餘四之三甲丁上方也開方得四之三之方根【何謂四之三之方根蓋四之三為方之實可明而其根不可明算家謂之不發之根若方實百開其根為十則能發之根也既不能發即有别法以求之故摽之以號曰四之三之方根四之三方實也四之三之方根根號也法見下文】次以四之三乘甲乙四之一【甲乙四之一與乙丙一皆有能發之根為同類故可以相乘若能發之根與不發之根為異類不可相乘故别求同類者乘之同類者則兩方數也算法根乘根得方開方得方之根方乘方得方方開方得根之方今于兩率各减其根號獨用兩方相乘得數以分法開之得異類兩根相乘之容方積也詳見句股索隱】得方方根【即根之方】十六之三為元形之容次用分法開之得九十之三十九約之為三十之十三元形之容也然不能畢合以開方不盡故
系三十為元形乙丙邊上方形十三
為乙丙丁三邊形之容蓋兩形同底
則其比例為三十與十三求分之母
為全數全數者一也則一邊之方數亦一其根亦一
法曰三角形邊上方形與三邊形之容若三十與十三則用一邊之方數乘十三以三十除之得三邊形之容如各邊設十自之得一百以十三乘之得一三○○以三十除之得四十三又三之一元形之容也
又如各邊為十其半五五自之得二十
五以减全邊方之一百餘七十五開方
得八又一百之六十六以五乘之得四
十三又十之三較前少差以開不盡故
公法先求形之中垂線以形之半周乘
之得形之容凡有法之形通用此
解曰設三邊等形從心向各邊作垂線
又向各角作線必分元形為六直角形
而等夫甲皆直角甲乙邊俱等則其為
句股形亦各相等半句【即甲乙之半】乘股【即甲】
【丙中垂線】得甲乙丙之容六倍之得元形之容凡用甲乙三次【為半句者六也】乘甲丙故法曰形周之半乘中垂線得形之容如設各邊十則甲乙為五乙全角六十度則甲乙丙角必三十度今甲乙丙角形有角有一邊用法求甲丙邊則全數與甲乙五若乙角三十度之切線五七七二五與甲丙邊之數二八八六八五有奇為中垂線也各邊十共三十半之得十五以甲丙中垂線二八八六八五乘之得四三三○二七五若所設各邊十為一尺約之得其面四十二方尺又三十方寸有奇如前法試用本題第一法邊之總數為三十半之為十五减邊之較各五五連自乘得一二五又以半總十五乘之得一八七五開方得四三同前法
一系若三邊等形之邊為全數如十百千等其中長線及其容積皆不發之數【十四卷十二】
二系二邊等形先求中長線如三邊等形之法如兩
腰各五底六半之三自之得九以减腰
五上方二十五得十六開方得四中長
線也餘與前等
三系三邊不等形有一明角而求中長線則從一隱
角向對邊作垂線成句股形有角有弦
以求句如乙丙丁形乙丙二十四半丙
丁十二丁乙十五乙角二度二分從丁
作丁甲垂線成兩句股形其甲丁乙形
有丁乙邊乙角而求丁甲邊為全數【内】
與丁乙邊十五【外】若乙角之正弦三七五一五【内】與甲丁邊五六二七二五【外】約得五尺有奇以所得與底之十二又四之一相乘得六八九三四約之得六十八方尺有奇元形之容也【凡先設先得者為明所求為隱邊角同下文倣此】
若俱隱角則用本書一卷六題法從大
角至底作垂線求兩任分底之各分若
干既分元形為兩句股各有弦又求得
句以求股若干即元形之中長線
法曰丁乙丁丙兩小邊相并為總相减
得存存總相乘為實底數為法而一數
與底相减所餘半之得相小邊之小半
底甲丙用句股法乙丁乙甲各自之相
减開方得丁甲如乙丙二十四丁丙十五丁乙十七兩小邊并得三十二總也相减得二存也相乘得六十四以底二十四除之得二又三之二以减底得二十一又三之一半之得十又三之二甲丙也自之得一○七又九之一乙丁邊自之得二八九相减餘一八一又九之八開方得十三又三十七之十三不盡中長線丁甲也乘半㡳十二得一六二弱元形之積也試用本題一法三邊并得五十六半之二十八各邊之减較為四為十三為十一連乘得五七二以半總乘之得一六○一六開方得一二六有奇不盡若有角求一邊或有二角求二邊亦先求邊【本書一卷十五十六題】
若形之邊為斷幾何如圓果平積
之邊其法以邊數自之又加邊數
半之為形之積假如各邊有三自
之得九加邊得十二半之得六形
積也又如設邊五自之得二十五
加邊三十半之得十五積也見算
章逓加法
第三題
量多邊形
一解曰有法多邊形求其容必先分元形皆為兩邊等三角形故不論幾何邊俱同法
法曰多邊形從心至各作線悉分為兩邊等三角形各形有邊數有角數求其中長線得各三角形之容并之得元形之容
如八邊邊設十步從心至角作線輳心成八角皆等凡
輳心必四直角分三百六十度八而
一每角得四十五度乙丙丁角形二
邊等有丁丙底有丁乙丙角則丁丙
兩角并得一百三十五度半之得六
十七度又二之一為乙丁丙角又甲乙丁角形有丁甲【半元邊為五】求甲乙垂線即全數【内】與丁甲【五外】若丁角之切
線【二四一四二一内】與甲乙邊【一二○七一○五外】約
之得十二步有奇以乘甲丁五步得
六二三五五二五約六十步有奇八
之得四八八四二四○○約得四百
八十八步有奇為元形之容
若有中長線如甲戊以其半乘半周所得與前等又如十二邊有法形邊設十步以十二除三百六十度得三十度為丙乙丁角即乙丁丙角必七十五度從心作乙甲線至丁丙邊又甲乙丁角形有甲丁五步有丁角七十五度求甲乙線即全數【内】與甲乙【五外】若丁角之切線【三七三二○五内】與甲乙【八一八六六○二五外】約得十八步有奇甲乙中垂線也次如前
或用正弦數法曰各邊為本弧之弦
即半邊為半弧之正弦而中垂線為
半弧之餘弦以邊數除三百六十得
設邊之弧邊數及弧度各半之次用
半弧度求其正弦及餘弦末用三率法以半弧之正弦為第一半邊數為第二餘弦數為第三得第四為正垂線即乙甲
如五邊等形邊設十二以五除三百
六十得七十二半之得三十六其正
弦五八七七九為一率【内】其餘弦八
○九○二為三率【内】半邊六為二率
【外】得九又九之一為四率【外】即一邊上之垂線次以形周乘四率得數半之為形之積五邊形之周為六十乘得五四六又九之四為五邊形之并積
多邊有法形之比例 多邊有法形之具三曰邊曰周曰積形大小不等其比例等故有一形某具之比例可得他形某具之比例
每形之邊為一【一虚數也丈尺寸分唯所設之】
三邊形之周三積為三十之十三
四邊形之周四積為一
五邊之周五積為一又一一七七五七○六之八四六九七一九約為十一之八不盡
六邊形之周六積為二又五百萬之二九九○三八一約為五之三不足
七邊形之周七積為三又八六七七六七四之五五○七二二一約為八之一而盈
八邊形之周八積為四又一九一三四一七之一五八五一二七約為十九之十六不足
九邊形之周九積為六又六八四○四○二之一二四三七五五約為十七之三不盡
十邊形之周十積為七又一二三六○六八之八五八○八九約為三之二不足
用法設他形之邊求積以其邊數自之以上所列同類形之積數乘之若設他形之積求邊則上所列同類形之積數除之所得之根設形之邊也
舊法三角形每面十四以六乘面得八十四以七而一得十二為實半面七為法乘之得八四積也試用前法
分元形作兩句股形各形有弦有句以
求股而求積得八四又三十之二十八
幾為八五非八四
論曰所以然者古法正六面七謂丙乙十四則丙甲十二故七六相乘得四十二為丙乙丁之實八十四矣不
知丙乙十四乙甲七各自之相减開方
乃十二有奇非十二也且七除又七乘
安用之
舊法六角形每面十五以面數自之得二二五以三乘之得六七五今用幾何四卷十五之系六邊等形内有
三角等邊形六用古法得各形之積為
九十六又七之六六因之得五九一又
七之一非六七五
論曰所以然者十五自之為二二五彼以為此乙丙邊乘得乙丙丁戊形之實也不知二二五者乙丙上正方形之實此乙丙丁戊則斜方斜方與正方同邊而異積也斜方之積必少于正方之積故實少而誤以為多古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得十倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六為實面數自之得一九六為法减之餘九六○八角形積也
正法作圖每兩邊引長之遇于甲成正
方形其内有元八邊形又有甲乙丙四
句股形以丙乙元形邊十四為弦求丙
甲而句股等法以弦十四自之得一九
六半之得九八開方為九又十九之十
七甲乙也甲乙甲丁等合之加于乙丁
元形之邊得三十二又十九之十七為甲甲正方之邊自之得一一四又三六一之二二五正方之積也次求句股四形之積得一九六弱以减正方積餘九四四有奇元八角形之積也古法曰九六○謬矣
論曰所以然者古法方五斜七不知方五則斜七有奇不發之根也彼以甲乙等各句各股俱為十則乙丙邊與乙丙弦俱十四不知各率皆是而獨乙丙弦非十四也故八角形之積實少而誤以為多
新法算書卷九十
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>
