89-新法算書卷八十九
新法算書卷八十九 明 徐光啟等 撰測量全義卷三
取地平線法 增題一
凡測高深廣遠必用直角者以小句股求大句股也地平為句所測高為股股者垂線也垂線之末加權焉以定地平有本器本論今用象限與矩度則於器心施權線平直相切於象限之邊其表邊所向之處别立他表則他表與器之心為平行線如
一圖甲乙為物高丙上加器表邊在上旁以
權線凖之從丙直視至甲定甲為他表則
甲丙線為地面上平行線何者垂線從天
頂向地心與地面上平線為直角故也
若道里相距太遠難定其高下之較何
者地面為地球之一分分也遠則目
與物為背所隔不相及矣法以相距
之遠分為若干分每兩分定其高下之
較末以各較加減之得總高下之較如
二圖甲乙相距四里許乙上加器别
立丙表令乙與丙等高丙上加器别
立丁表令丙與丁等高丁上加器望
甲令甲與丁等高次量各表距地各
幾何加減之得甲乙之較
值兩地之間為山城所隔如三圖量
乙距丙幾何令乙與丙平丙之表端
為丁距戊幾何令丁與戊平戊下取
己與丙平戊己距庚辛表幾何定己
與庚平戊與辛平庚辛距壬癸表幾何令辛庚與壬癸平從壬癸望甲令癸與甲平次以丁丙己戊并庚辛壬癸并兩數相減餘為兩地高下之較如近乙之丁丙與己戊并多於近甲之庚辛與壬癸并則乙下而甲高深淺反之
若山城中窮于用器則于山腰用之又别有簡法曰山頂戊用器求甲與乙之深兩數之較則高下之較【四圖】
如在乙欲測甲高乙上用器令乙與丁平則量丁乙之遠而求甲丁之深【五圖】
矩尺測量法 增題二
法曰如一圖欲於丁測甲乙之高丁上立表表端為山
口矩尺之直角加焉以己戊
尺向高際乙稍移就之令己
戊乙為直線次從戊己尺上
依直線向地平得丙成丁戊
丙甲乙丙相似兩形則丙丁與丁戊若丙甲與乙甲以高求遠則戊丁與丁丙若乙甲與甲丙
若據高求遠如二圖丁丙與戊丁若戊
丁與丁乙若因遠求高則戊丁與丁丙
若乙丁與戊丁 論曰戊丁乙戊丁丙
兩形有丁直角丁丙戊丙戊丁并為一
直角丙戊乙亦為直角兩角内減丁戊
丙角餘戊丙丁丁戊乙兩角等夫直角形有兩角等即形相似則丙角之對邊戊丁也乙戊丁角之對邊丁乙也其比例必等
求井之深則於井口邊甲上
立表向井底乙向地平之丁
成甲丁丙丙戊乙兩形相似
是丙甲當廣甲丁當深也
測極遠别法 增題三
兩郡邑相距太遠以高求遠表法為
窮則用四表遇地面不平四表法又
窮别法每邑取一高若山巔若樓臺
若林木俱可或并為諸物又地平為
他物所礙則又窮當於氣清日朗風恬時燒狼烟直上作兩處之表次于近山之頂取甲取乙甲山上加象限
向所測之丁與丙又向乙山定丙甲
丁乙甲丁兩角乙山上加象限向甲
向丁向丙定丁乙丙甲乙丙兩角夫
甲乙丙形有甲乙邊乙甲兩角可求
甲丙邊甲乙丁形有甲乙邊甲乙兩
角可求甲丁邊未甲丁丙形有甲丙
甲丁兩邊可求丁丙相距之遠若一次不能測則分測之如以甲乙測丁丙以乙辛測丙戊以辛庚測戊己
量高遠深 增題四
用方木表承以鼎足之跗垂權取直表端以下一尺或五寸用一十或一百平分之下作方孔長寸許廣三分貫以横表游移無定亦以十或百平分之縱横作直角
解曰如一圖欲測甲乙之高丙上立
表横表游移令丁戊乙為直線成丁
戊己丁乙庚兩相似形即丁己若干
分與己戊一百分若丁庚與乙庚加甲庚得全高
以高求遠則戊己一百分與丁己若
干分若乙庚與庚丁減丁己得甲丙
遠物在下目在上如二圖令戊丁丙
作直線則戊己與己丁若戊甲與甲
丙
若無高求遠則用重表如三圖以丑
壬兩測之較當庚癸相距之遠
高上測高用重表再測但須定表横
用游表直用在丙得己丙在丁得丁
戊其較庚己以當丙丁横表己辛
以當甲乙
在一高測兩下在丁向乙向丙定
横表之兩數則丁戊當丁甲戊辛
當甲丙己辛當乙丙己戊當甲乙
用五圖以遠求高其理亦同以遠
求深或井口上立柱用四圖以井
口之度求深用二圖
造象限儀法【篇中或省曰象限或曰儀】
用銅或木板作圈四分之一去板邊三分作甲乙直線平面中任取丙為心甲為界作甲丁虚圈交甲乙線于戊從戊過丙作直線交甲丁圈于丁從甲至丁作直線
成丁甲乙直角【幾何用法】次以甲為心去
版邊一二分取乙為界作乙庚圈即
四分全圈之一象限也圈限外餘版
剡去之次離乙庚弧以内約二分作
相似弧兩弧間平分各度分又同前作相似弧兩弧間識其十度或五度從庚從乙皆可起算互用之庚後作小孔貫以權線至甲【若作兩指尺可不用權線】
窺衡一名指尺銅為之首為小圜徑
三四分從心出直線名指線以定度
分所至也廣三分厚一分長與象限
之半徑等上設二表一近心一近秒秒以鉤鉤象限邊令游移而不脫表形方高廣約四三分中作直線鑢通之下為小孔表之下端為半枘入尺中令兩表之前後兩縫兩孔皆相對不爽毫髮于指線為垂線象限邊上亦設二表如上法蓋測量法每用兩指線以定兩測所
在也或作兩指尺同心同線可定可
移尤便
如圖以木為架上為半圈兩端開山
口深三四寸以受象限
用象限法
架口受象限之甲乙邊以庚甲線取
平焉儀面正對所測物從窺衡覷物
與指線相參直得指線如弧所當度
分則從乙至指線者地平上之高也從指線至庚距天
頂之高也
次法以架口受象限之弧
甲心上别用權線下垂過
弧甲庚邊上立表游移覷
表與物參直審權線之度
定物之高從乙角起者地
平上之高也從庚角起者
距天頂之高也
三法若地或平或欹則别作圓轉之架上端為球空大半作實球與空球等入空中鐵枘指外徑二分長寸許
旋轉迴斡不出大球之口空球旁加螺
旋三具俟實球之體定而固之 儀後
面中心作孔受實球之枘用時以枘入
孔轉儀得其面與所測物為直線以螺
旋固之
象限之用有二一定儀如首圖其一邊與地平為平行線以窺衡定地平上之度一游儀如二圖用權線其理同也何者游表邊與定衡同向一物作平行線定儀之立邊與游儀之權線作平行線則窺衡與立邊所作角表邊與權線所作角等弧亦等
造矩度法
用銅木板作正方直角形如象限法任用一角為心兩
旁作直角兩線如甲乙甲丙次用元
度乙丙各為心各作小弧交于丁次
作丙丁乙丁兩線成甲乙丙丁正方
形各邊作一百分每對邊分以直線
相聯成網目形器小每五分十分作
直線器大更細分之
角止作心加窺衡加權線任用架具於前
定儀于立邊書高深平邊書遠游儀于表旁邊書遠對
邊書高深以便别識
約法象限弧之内空作矩度其窺衡
指線上分即矩度邊之分是指線當
權線也為用殊大若欲取最小之分
則加兩窺衡兩指線相合為一線用時分指焉安衡法管端之小圜心開圓孔象限心則方孔為螺柱當圓為圓當方為方末圓而加螺旋焉仍以螺旋固之分象限法先三分之用元度庚乙兩角各為心取庚辛乙寅得庚寅寅辛辛乙為三分而等各又三分之為九分又各半之為十八大分取四大分又五分之用元度每大分之界為心左右參差定點每大分中各有五小分得九十平分度也或取六大分作五分亦同【論見幾何用法】分矩度法先平分之又平分之又各五分之為二十大分取四大分五分之或取六大分五分之共得百平分
造小象限法
正方版一角為心作象限之弧弧外
兩邊二平分之又三平分之至四至
五六七八九十各平分用界尺從心
至各分為界弧上作踈密線線以内
書各分其弧外餘板去之加權線與矩度同用
用法 以表向物如前遇權線截弧表之旁則高多遠少截表之對邊則高少遠多如截表旁為二分則遠一高二截五分則遠一高五反之則高一遠二遠一高五說見二卷矩度法中
又法以甲乙邊當一百依前法分乙戊弧為一百不平分若權線至己則股一百句五十也至辛則股一百句一十也轉用之權線至庚則甲丁股一百句五十也
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷八十九>
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法用平版如几案置儀其一端儀之心以當兩測之初所定儀用游表左右遷移令二表與次所相參直即于兩表間作一線名曰主線主線之左右視所繪之物令與兩表相參直即如前作線虚記本物之名號次用指南針定其方向又各兩線中間書其度分之數畫訖至次所置儀於版之他端以儀心加主線之上主線與初所相參直令初測之儀心在兩所之間也定儀如前用兩表視所繪之物各作線審方注度即每物各有兩線在圖版之上必相遇相遇之點乃實註本物之名號末去各線成所求作圖
若欲知此物之距測所遠近多寡先定兩測之所相距若干為主線之里數或步數或丈尺數依三角形法主線為底向一物之兩線為兩腰是有底及底上之兩角求兩腰為本物距兩測處若干
又兩物之兩交作一線相聯與一測處成三角形從測所至兩點之線為兩腰聯線為底如前先得腰再用其角可得底為兩物相距之數
如一圖甲為兩測之初所加儀向次所乙先作主線次向午己戊癸等物作各線後至乙亦如之即得各兩線之交為午己戊癸各物之定所
若物在中不可得至欲繪其形即用儀幾次周遭測之如二圖
新法算書卷八十九
