83-新法算書卷八十三
新法算書卷八十三 明 徐光啟等 撰幾何要法
幾何總論
幾何家者脫物體而空窮度數數其截者度其完者度有三曰線曰面曰體線以度長短面以度廣狹體以度厚薄線自點始點引為線線展為面面運為體點者無長線者無廣面者無厚點為線之界線為面之界面為體之界體不可為界點線面體幾何之論起焉
界說章第一【十六則】
界者一物之始終解篇中所用名目作界說
第一界
幾何者度與數之府也
第二界
點者無分無長短廣狹厚薄故無分如上圖甲點真圓□一真平相遇處止一點畢世積點不能結線【凡圖十干為識干盡用十二支等字】
第三界
線止有長無廣厚如一平面光照之有光無光之間不容一物是線也如上甲乙圖畢世積線不能結面
第四界
面者有長有廣無厚一體所見為面凡體之影極似於面無厚之極也如上甲乙丙丁圖畢世積面不能結體
第五界
體有長有廣有厚如上甲乙丙丁戊己庚圖
第六界
分者幾何之幾何也小能度大而盡之無贏不足者以小為大之分若小不能盡度大當稱幾分幾何之幾如上甲乙四與丙丁八戊己十二等數皆能盡分者則甲乙四為丙丁八戊己十二之分
若庚辛四與壬癸六一即贏二即不足不能盡度者不得正名為分則稱之為三分六之二【他數倣此】
第七界
點者非幾何故不能為線及諸幾何之分
第八界
線非廣狹之幾何故不能為面之分
第九界
面非厚薄之幾何故不能為體之分
第十界
線有曲直線之一點能遮兩界是直線如上圖甲乙不遮則不直如下圖丙丁
第十一界
面之中間線能遮兩界不礙不空是平面如上圖甲乙
丙丁不遮則不平如下圖戊己庚
第十二界
直線垂於横線之上為横線之垂線如上圖丁乙為甲
丙之垂線
第十三界
兩直線於同面行至無窮不相離亦不相遠終不得相
遇者為平行線如上甲乙丙丁兩線
第十四界
兩幾何以幾何相比之理為比例兩幾何者或兩數或兩線或兩面或兩體各以同類大小相比謂之比例若線與面或數與線此異類不為比例若同類相比而不以幾何亦不為比例也如白線與黑線或有窮之線與無窮之線雖則同類實無比例有窮之線畢世倍之不能及無窮之線故也
凡比例有三種有數之比例有量法之比例有樂律之比例本卷論量法之比例
第十五界
比例相續不斷為連比例其中率與前後兩率遞相為比例而中率既為前率之後又為後率之前如上圖甲二與乙四比乙四又與丙八比是也第十六界
中率一取不再用為斷比例如上圖甲四自與乙八比丙六自與丁十二比是也
備器章第二
幾何在歷家則多用圖畫圖必先備器器有三曰尺曰規曰矩尺以畫線而貴直規以畫圜而貴調矩以畫方而貴凖器凖矣不識用法則茫無措手今以用法著於篇
審尺章第三
畫圖首畫線線貴直線界於尺故先求尺直
如甲乙為尺面丙丁為尺側一稜先以丙丁畫一戊己線丙合戊丁合己次轉丙丁稜畫一己
戊線丙合己丁合戊不出不入則尺直矣不直再當琢削畫線章第四
尺既直矣線可無曲然畫時又有法須以鐵或銅鑄筆上長其柄令可把手下截濶出復漸窄而下其正面削
極平背令稍圓去末寸許作一小
窩窩下漸細至末用時以墨汁入
小窩以平面緊倚尺作線則墨汁自就下或恐墨汙其地將尺削去丙丁側一稜則墨線瑩細如絲即作於規末亦得
審平面章第五
平面者諸方皆作直線
法曰如甲乙丙丁為面欲審其平即用直尺施於甲角繞面運轉不礙不空全合直尺是平面也
引線章第六
有一短直線求平引長之
法曰如有甲乙線欲平引長之先以甲為心以乙為界畫小半圜以乙為心任取一度於小半圜上下各作規界線為丙為丁次以丙丁為心任取一度向前作短界線相交為戊末引甲乙線至戊則得所求若欲
更引長仍依此法
平分直線章第七【法有二】
有有界之線求兩平分之
第一法
如有甲乙線求兩平分先以甲為心任用一度但須長於甲乙線之半愈長愈凖向上向下各作一短界線次用元度以乙為心亦如之兩界線交處即丙丁末用尺作丙丁直線即甲乙有
界之線兩平分於戊矣
第二法
若所分之線下面無地可作短界線即於甲乙線上先畫兩短界線於丙次或開或收規度仍前從甲從乙向上又作兩短界線於丁規度愈相遠畫線愈凖末以丙丁二交用尺
如前畫線則得所求
作垂線章第八【法有四】
有一直線任於一點上求作垂線
第一法
甲乙直線任指一點於丙求丙上作垂線先於丙點左右任用一度愈遠愈凖各截一界為丁為戊次以丁為心任用一度但須長於
丙丁線向丙上方作短界線次用元度以戊為心亦如之兩界線交處為己從己至丙以尺畫線則得所求
第二法
於丙左右如上法截取丁與戊即任用一度以丁為心於丙上下方各作短界線次用元度以戊為心亦如之則上交為己下交為庚末作己庚直線視直線交於丙點即得所求若丙點在
甲乙端上則當暗引長甲乙線後如前作亦得
第三法
若直線甲端上求立垂線又甲點外無地可暗引線則先以甲乙原線上方任取一點為
丙以丙為心甲為界作大半圜圜界與甲乙線相遇為丁次自丁至丙依前法作直線引長之至戊為戊丁線戊丁與圜界相遇為己末自己至甲作直線即所求
第四法
若甲乙線所欲立垂線之點乃在線末甲界上甲外無餘線可截則於甲乙線上任取一點為丙如前一二法於丙上立丁丙垂線次
以甲丙丁角兩平分之【分法在後三卷第四章】為己丙線次以甲丙為度於丁丙垂線上截戊丙線又用元度以戊為心向己作短界線為庚末自庚至甲作直線得所求立垂線章第九【法有四】
有無界直線線外有一點求自彼點作垂線至直線上
第一法
如有甲乙無界直線直線外有丙點求自丙點作垂線至甲乙線先以丙為心向直線兩處各作小半圜或兩短界線為甲為乙次仍用一度以甲為心向丙點相望處作短界線
又以乙為心亦如之兩線相交處為丁末自丙至丁作直線截甲乙線於戊則丙戊為垂線
第二法
於甲乙線上近甲或乙任取一點為心以丙為界作一圜界於丙點及相望處各稍引長之次於甲乙線上視前心或相望如前圖或進或退如後圖任移一點為心以丙為界作一圜界與前圜交處得丁末自丙至丁作直線得丙戊垂線
第三法
若丙點垂於甲乙線之界不能於丙點左右畫圜如前二圖又或不能暗引長甲乙線則當以甲為心於丙點及相望處各作短界線於丙於丁又進以乙為心以丙為界仍相望作兩短界線末從丙丁二交處作直線則得
所求
第四法
若甲乙線在面之邊且下無地可措規如前四圖則當用前章第三法或以丙為心任指甲乙線上兩點為丁為戊次任取一度以丁為心向丙上作短界線次用元度以戊為心仍向丙上作短界線交於己末自己至丙作直線引長之至庚得所求又有便法在後平行線中
作平行線章第十【法有三】
一點求作直線與原設直線平行
第一法
於甲點求作直線與乙丙線平行先任作甲丁線與乙丙斜交次以丁為心任作戊己圜界次用元度以甲為心作庚辛圜界稍長於戊己次取戊己圜線為度於庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直線即所求
第二法
先以甲點為心於乙丙線近乙處任指一點作短界線為丁次任用一度以丁為心向丙截取一分作短界線為戊又用丁戊元度以甲為心對甲平行作短界線為己次用甲丁
元度以戊為心對甲平行作短界線於己末自甲至己作直線即所求
註曰凡有不等度須一度用一規始元度不爽如一規而數易其度則元度永不復矣此丁先生秘法
註曰以上二法以甲點定遠近若無甲點任指所欲遠近為界可當甲點
第三法
此法比前法更簡易即西本幾何亦未載乃敝師伯先生所授如有甲乙線任遠近求作平行線近甲取心向上以所求遠近為度作小半圜次用元度近乙取心向上復作小半圜末以尺依半圜為界作直線即所求
註曰以上平行數法可推用作沿邊直線之垂線如有甲乙線求乙線界上作一垂線先以乙為心向甲任取一點為丙又用元度以丙為心向甲指一點為丁又以乙為心任取一度向上方作一短界線愈遠愈凖又以丁為心用元
度仍向上方作一短界線與前界線相交於戊次自戊至丙作垂線末以前作平行線法隨用一法以丙乙為度作平行線正垂在乙點上即得所求
求分一直線任為若干平分章第十一【法有四】
凡造歷象數欲分直線為不等分不諳其法大費手力抑且不凖宜熟後法以便用
第一法
如甲乙線求五平分先從甲任作甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作五平度為甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直線末用平行線法作丁壬戊癸己子庚丑四線皆與辛乙平行即壬癸子丑與甲乙為五平分
第二法
如甲乙線求五平分即從乙任作乙丙線為丙乙甲角次於乙丙任取一點為丁作丁戊線與甲乙平行次從丁向戊任作五平分為丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸線令小於
甲乙次從甲過癸作甲子線遇乙丙於子末從子作子壬子辛子庚子己四線各引長之而分甲乙於丑於寅於卯於辰為五平分
第三法
如甲乙線求五平分即從甲從乙作甲丁乙丙兩平行線次從乙任作戊己庚辛四平分次用元度從甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四線相聨即分甲乙於己於辰於卯於寅為五平分
第四法
此法極簡極神可分百千不等之線與百千不等之分
先作一器如丙丁戊己為平
行線任平分為若干格器愈
大格愈密其用愈廣格每分
作平行線相聨今欲分甲乙
為五平分即規取甲乙之度以一規髀任抵戊丙線上一規髀抵第五庚辛線上如不在庚辛者即漸移之至線界而止既至壬即戊壬之分為甲乙之分
又如有甲乙線求十七平分先以規取甲乙之度以一
規髀抵戊丙
線一處以一
規髀抵此器
庚辛第十七
格為壬次從
戊至壬畫一直線次取所過兩格相距之度以此為凖分甲乙直線則得十七分矣或圖小而所分者大欲廣其用則逓倍之如圖一尺欲分一丈為十九分須取一丈十分之一為一尺用前法為十九分後以尺逓十倍之則一丈己分為一百九十分矣每十分作識如所求餘以此推之
一直線求截所取之分章第十二【法有二】
第一法
如有甲乙直線求截取三分之一先從甲任作一甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作所命三分之平度如甲丁丁戊戊己為三分也次作乙己直線末作丁庚線與己乙平行即
甲庚為甲乙三分之一也
第二法
如甲乙直線求截取七分之三先以前章法分甲乙線為七分後取其三於庚則得所求如欲截取十分之七十四分之九等不均之數亦如之
有一直線求截各分如所設之分章第十三【一法】
法曰甲乙線求截各分如所設甲丙任分之丁戊者謂甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙兩線相聨於甲任作丙甲乙角次作丙乙線相聨末從丁從戊作丁己戊庚兩線皆與丙乙平行即分甲乙線於己於庚若甲丙分於丁戊焉
有直線求兩分之而兩分之比例若所設兩線之比例章第十四【一法】
法曰如甲乙線求兩分之而兩分之比例若所設丙與丁先從甲任作甲庚線為庚甲乙角次截取甲己與丙等己庚與丁等次作庚
乙線聨之末作己辛線與庚乙平行即分甲乙於辛而甲辛與辛乙之比例若丙與丁
有兩直線求别作一線相與為連比例章第十五【法有二】
第一法
有甲乙甲丙兩線求别作一線相與為連比例者任合兩甲乙甲丙為甲角而甲乙與甲丙之比例若甲丙與所求他線也先於甲乙引長之為乙丁與甲丙等次作乙丙線相聨次從丁作
丁戊線與丙乙平行末於甲丙引長之遇於戊即丙戊為所求線【若以甲丙為前率倣此】
第二法
以甲乙乙丙兩線聨作甲乙丙直角次以甲丙線聨之而甲乙引長之末從丙作丙丁為甲丙之垂線遇引長線於丁即乙丁為所求
線
三直線求别作一線相與為斷比例章第十六
法曰甲乙乙丙甲丁三直線求别作一線相與為斷比例者謂甲丁與他線之比例若甲乙與乙丙也先以甲乙乙丙作直線為甲丙次以甲丁線合甲丙任作甲角次作丁乙線相聨次從丙作丙戊線與丁乙平行末自甲丁引長之遇丙戊於戊即丁戊為所求線
兩直線求别作一線為連比例之中率章第十七法曰甲乙乙丙兩直線求别作一線為中率者謂甲乙與他線之比例若他線與乙丙也先以兩線作一直線為甲丙次以甲丙兩平
分於戊次以戊為心甲丙為界作甲丁丙半圜末從乙至圜界作乙丁垂線即乙丁為甲乙乙丙之中率
新法筭書卷八十三
