23-新法算書卷二十一
新法算書卷二十一 明 徐光啟等 撰比例規解
論度數者其綱領有二一曰量法一曰算法所量所算其節目有四曰點曰線曰面曰體總命之曰幾何之學而其法不出于比例比例法又不出于句股第句股為正方角而别有等角斜角句股不足盡其理故總名之曰三角形此䂓名比例者用比例法也器不越咫尺而量法算法若線若面若體若弧矢方圓諸法凡度數所須該括欲盡斯亦奇矣所分諸線篇中稱引之說特其指要各有本法本論未及詳焉若所從出與其致用則三角形之比例而已按幾何原本六卷四題云凡等角三角形其在等角旁之各兩腰線相與為比例必等而對等角之邊為相似之邊六題云兩三角形之一角等而對等角旁之各兩邊比例等即兩形為等角形而對各相似邊之角各等作者因此二
題創為此器今依上圖解之如甲乙丙與丁
乙戊大小兩三角形同用乙角即為等角則
甲乙與乙丙之比例若丁乙與乙戊而對
等角之邊如甲丙與丁戊為相似之邊也又顯兩形為等角形而對各相似邊之角各等也今此規之樞心即乙角兩股即乙甲乙丙兩腰甲丙為底即與乙丁戊為等角形而各相當之各角各邊其比例悉等矣任張翕之但取大小兩腰其兩底必相似也或取兩底其兩腰必相似也或取此腰此底其與彼腰彼底必相似也以數明之如甲乙大腰一百乙丁小腰六十而設甲丙大底八十以求小底丁戊即定尺用規器量取丁戊為度向平分線取數必四十八不煩乘除矣又如平方積一萬其根一百求作别方為大方四之三即以一百為腰分面線之四點為大底次以三點為小腰取小底為度向平分線得八十六半強為小方根自之約得七千五百為小方積不煩開平方矣又如立方積八千其根二十求作大方倍元方即以二十為小底分體線之一點為小腰次以二點為大腰取大底為度于平分線得二十五半自之再自之約得一萬六千為大方積不煩開立方矣篇中言某為腰某為底設某數得某數皆此類也䂓凡二面面五線共十線其目如左目
第一平分線
第二分面線
第三更面線
第四分體線
第五更體線
第六分弦線
第七節氣線
第八時刻線
第九表心線
第十五金線
右比例十類之外依幾何原本其法甚多因一器難容多線故止設十線其不為恒用者姑置之稍廣焉更具四法如左
一平面形之邊與其積
二有形五體之邊與其積與其面
三有法五體與球或内或外兩相容
四隨地造日晷求其節氣
比例䂓造法【一名度數尺其式有二】
一以薄銅板或厚紙作兩長股如圖任長一尺上下廣如長八之一兩股等長等廣股首上角為樞以樞心為心從心出各直線以尺大小定線數今折中作五線兩股之面共十線可用十種比例之法線行相距之地取足書字而止尺首半䂓餘地以固樞也用時張翕游移
一以銅或堅木作兩股如圖厚一分以上長任意股上兩用之際以為心規餘地以安樞其一規面與尺面平而空其中其一剡規而入于彼尺之空令密無罅也樞欲其無偏也兩尺並欲其無罅也樞心為心與兩尺之合線欲其中繩也用則張翕游移之張盡令兩首相就成一直線可作長尺或以兩半直角相就成一直角可作矩尺
比例䂓之類别有二種一為四銳定心規一為四銳百游規不解之其造法頗難為用未廣姑置之
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷二十一>
第一平分線
分法 此線平分為一百或二百乃至一千量尺之大小也分法如取一百先平分之為二又平分為四又各五分之為二十自此以上不容分矣則用更分法以元分四復五分之或以元分六復五分之如上圖甲乙線分丙丁戊為元分之四今更五分之得己庚辛壬元分與次分之較為壬丙為戊己皆甲乙二十分之一為元分五之一【每數至十至百各書字識之】
論曰甲乙【四】與甲丙【一】若甲己【四】與甲壬【一】更之甲乙
【四】與甲己【四】若甲丙【一】與甲壬【一】甲己為甲乙五之四即甲壬為甲丙五之四壬丙為甲丙五之一又甲丁為十甲辛為八辛丁為甲丁十之二或丙丁五之二戊庚為丁戊五之三又壬丙為甲丙五之一必為甲壬四之一【幾何五卷】
用法一 凡設一直線任欲作幾分假如四分即以設線為度數兩尺之各一百以為腰張尺以就度令設線度為兩腰之底置尺數兩尺之各二十五以為腰斂規取二十五兩點間之度以為底向線上簡得若干數即所求分數 凡言線者皆直線依幾何原本大小兩三角形之比例則二十五與得線若一百與設線也更之二十五與一百得線與設線皆若一與四也 若求極微分如一百之一如上以一百為腰設線為底置尺次以九十九為腰取底比設線其較為百之一 若欲設線内取零數如七之三即以七十為腰設線為底置尺次以三十為腰斂規取底即設線七之三【置尺者置不復動下倣此】用法二 凡有線求幾倍之以十為腰設線為底置尺如求七倍以七十為腰取底即元線之七倍若求十四倍則倍得線或先取十倍更取四倍并之
用法三 有兩直線欲定其比例以大線為尺末之數【尺百即百千即千】置尺斂規取小線度於尺上進退就其等數如大線為一百小線為三十七即兩線之比例若一百與三十七可約者約之【約法以兩大數約為兩小數其比例不異如一百與三十約為十與三】
用法四 乘法與倍法相通【乘者求設數之幾倍也】如以七乘十三于腰線取十三為度七倍之即所求數也
用法五 設兩線或兩數【凡言數者腰上取其分或以數變為線或以線變為數】
欲求一直
線而與元
設兩線為
連比例 若設大求小則以
大設為兩腰中設為底次以
中設為兩腰得小底即所求
如甲乙甲丙尺之兩腰所設
兩數為三十為十八欲求其
小比例從心向兩腰取三十
如甲辛甲己識之斂規取十八為度以為底如辛己次從心取十八如甲丁甲戊即丁戊為連比例之小率得十一有奇 若設小求大則反之以中設為兩腰小設為底置尺以中設為度進求其等數以為底從底向心得數即所求如甲丁甲戊為兩腰丁戊為底次以甲丁為度引之至辛至己而等從辛從己向心得三十即大率論見幾何六卷十一題【凡言等數者皆兩腰上縱心取兩數等下同】用法六 凡有四率連比例既有三率而求第四或以前求後則丁戊為第一率辛己甲丁甲戊為第二又為第三而得辛甲為第四 若以後求前則甲辛甲己為第一辛己甲戊甲丁為第二又為第三而得丁戊為第四【甲辛與辛己若甲丁與丁戊故也】
用法七 有斷比例之三率求第四如一星行九日得一十一度今行二十五度日幾何即用三率法以元得一十一度為兩腰元行九日為底置尺以二十五度為兩腰取大底腰上數之得二十日【十一之五】為所求日【此正三率法九章中名異乘同除也】用法八 句股形有二邊而求第三法于一尺取三十為内句一尺取四十為内股更取五十為底以為内弦即腰間角為直角置尺若求弦則以各相當之句股進退取數各作識于所得點兩點相望得外弦
線以弦向尺上取數為外弦數【言内外者以先定之句股成式為内甲乙丙是以所設所得之他句股形為外甲戊己是】 若求句於内股上取外股作識以設弦為度從識向句尺取外弦得點作識從次識向心數之得句求股亦如之【下有開方術為勾股本法可用】
用法九 若雜角形有一角及各傍兩腰求餘邊先以弦線法依設角作尺之腰間角次用前法取之【見下二十一用四法】
用法十 有小圖欲更畫大幾倍之圖則尺
上取元圖之各線加幾倍如前作之
用法十一 此線上宜定兩數其比例若徑與周為七
與二十二或七十一與
二百二十三即二十八
數上書徑八十六上書
周 有圈求周徑法以元周為腰設周為底次于元兩徑取小底得所求徑 反之以徑求周徑為腰如前用法十二 此線上定兩數求為理分中末之比例則
七十二與四十二又三之一
不盡為大分其小分為二十
四又三之二弱 有一直線
欲分中末分則以設線為度依前數取之【幾何六卷三十題】
第二分面線
今為一百不平分分法有二一以算一以量
以算分 筭法者以樞心為心任定一度為甲乙十平分之自之得積一百 今求加倍則倍元積得二百其方根為十四又十四之九即於甲乙十分線加四分半強而得甲丙為倍面之邊求三倍則開三百之根得十七有半為甲丁求五六
七倍以上邊法同【用方根表甚簡易】
以量分 任取甲乙度為直角方形之一邊求倍則于甲乙引至丁截乙丁倍于甲乙次平分甲丁于戊戊心甲界作半圈從乙作乙己垂線截圈于己即己乙線為二
百容形之一邊【六卷二十六增】求三倍則乙丁三倍于甲乙四倍以上法同於尺上從心取甲乙又從心取乙己等線成分面線
試法 元線為一正方【直角方形省曰正方】之邊倍之得四倍容方之邊否即不合三倍之得九倍容方之邊四倍得十六五倍二十五又取三倍之邊倍之得十二再加倍得二十七倍之邊再加倍得四十八倍之邊再加倍得七十五倍之邊若五倍容形之邊倍之得二十倍容形之邊再加倍得四十五倍容形之邊再加倍得八十倍容形之邊【本邊之論見幾何六卷十三】
用法一 有同類之幾形【方圓三邊多邊等形
容與容之比例若邊與邊其理具幾何諸題】 欲并而成
一同類之形其容與元幾形并之容
等如正方大小四形求作一大方其
容與四形并等第一形之容為二二
形之容為三三形之容為四有半四
形之容為六又四之三其法從心至
第二點為兩腰以第一小形之邊為
底置尺次并四形之容得十六又四
之一以為兩腰取其底為大形邊其
容與四形之容并等 若無容積之
比例但設邊如甲乙丙丁四方形其
法從心至尺之第一點為兩腰小形
甲邊為底置尺次以乙形邊為度進
退取等數得第二點外又四分之三
即書二又四之三次丙形邊為度得
三又五之一丁形邊得四又六之五并諸數及甲形一得十又二十之十九向元定尺上進退取等數為底即所設四形同類等容之一大形邊【此加形之法】
用法二 設一形求作他形大于元形幾倍法曰元形
邊為底從心至第一點為腰引至所求
倍數點為大腰取大底即大形之邊【此乘
形之法】
用法三 若于元形求幾分之幾以元
形邊為底命分數為腰退至所求數為
腰取小底即得 如正方一形求别作
一正方其容為元形四之三以大形邊為底第四點為腰【即命分數】次以第三點為腰【即得分數】得小底即小形邊【此除形之法若設一形之積大而求其若干倍小而求其若干分則以原積當單數用第一線求之】
用法四 有同類兩形求其較或求其多寡或求其比例若干法曰小形邊為底為一點為腰置尺以大形之邊為度進退就兩等數以為腰得兩形比例之數次于得數減一所餘為同類他形之一邊此他形為兩元形之較 如前圖小形邊為一大形邊為六其比例為一與六則從一至六為較形邊【此减形之法】
用法五 有一形求作同類之他形但云兩形之容積若所設之比例法曰設形邊為底比例之相當率為腰次他率為腰取其底為他形之邊
用法六 有兩數求其中比例之數法
曰先以大數變為線變線者於分度線
上取其分與數等為度也以為底以本
線上之本數為腰置尺次于小數上取
其底線變為數變數者於分度線上查
得若干分也此數為兩元數中比例之
數 如前圖二與八為兩元數先變八為線以為底以本線之第八點為腰置尺次于第二點上取其底線變為四數則二與四若四與八也 若設兩線不知其分先于分度數線上查幾分法如前
用法七 有長方求作正方其積于元形等法曰長方
兩邊變兩數求其中比例之數變作線
即正方之一邊與元形等積
用法八 有數求其方根設數或大或
小若大如一千三百二十五先於度數上取十分為度以為底以本線一點為腰即一正方之邊其積一百次求一百與設數之比例得十三倍又四之一以本線十三點強為腰取其底于度線上查分得三十五強為設數之根
第三更面線
分法 如有正方形欲作圓形與元形之積等置公類之容積四三二九六四以開方得六五八正方邊也以開三邊形之根得一千為三邊等形之一邊開五邊之根得五○二六邊形之根為四○八七邊形之根為三
四五八邊形之根為
二九九九邊形之根
為二六○十邊形之
根為二三七十一邊
形之根為二一四十二邊形之根為一九七圓形之徑為七四二以本線為千平分而取各類之數從心至末取各數加本類之號【言平形者冇法之形各邊各角俱等】
用法一 有異類之形欲相併先以本線各形之邊為度以為底以本類之號為腰置尺取正方號之底線别書之末以各正方之邊於分面線上取數合之而得總
邊 假如甲乙丙三異類形欲相
併先以三邊號為腰甲一邊為底
置尺取正方號四點内之底向分
面線上用十數為腰正方底為底
于甲形内作方底線書十次五邊
號為腰乙一邊為底如前取正方
底向分面線得二十一半即于乙
形内作方底線書之次圓號為腰
徑為底如前得十六弱并得四十七半弱 若欲相减則先通類如前法次于分面線上相减【用上圖】
用法二 有一類之形求變為他類之形同積以元形邊為度以為底從心至本號點為腰置尺次以所求變形之號為腰得底即變形邊
用法三 凡設數求開各類之根先于分面線求正方之根次以方根度為底本線正方號為腰置尺則所求形之號之底線即元數某類之根【有法之平形其邊可名為根與方根相似】用法四 若異類形欲得其比例與其較則先變成正方依分面線求之
第四分體線
線不平分分法有二一以算一以量
以筭分 從尺心任定一度為甲乙十平分自之又自
之得積一千即
定其線為一千
即體之根今求
加一倍積體之
根倍元積得二千開立方根得十二又三之一即于甲乙加二又三之一為甲丙乃倍體之邊求三倍開三千數之立方根以上同
又捷法取甲乙元體之邊四分之一加于甲乙元邊得甲丙即倍體邊又取甲丙七分之一加于甲丙得甲丁乃三倍體之邊取甲丁十分之一加于甲丁得甲戊乃四倍體之邊再分再加如圖
試置元體之邊二十八四之一得七以加之得三十五法曰兩根之實數即用再自之數為一與二不遠蓋二十八之立實為二一九五二倍之為四三九○四比于三十五倍體邊之實四二八七五其差纔○一○二九約之為一千四百五十二分之一不足為差若用三十六之四六六五六其差為遠 又加倍體七之一得再倍體之邊三十五又七之一七之一者五也以加之得四十其實為六四○○○元積再倍之數為六五八五六較差纔○一八五六或三十五之一可不入算也若用四十一根之實六八九二一其差為遠
又試倍邊上之體為體之八倍即依圖計零數至第八位為五之四八之七十一之十十四之十三十七之十六二十之十九二十三之二十二用合分法合之得一二○四二八○之六○八六○八約之為一○七五○之五四三四與二之一不遠則法亦不遠 右兩則皆用開立方之法不盡數難為定法
以量分 先如圖求四率連比例線之第二蓋元體之邊與倍體之邊為三加之比例也今求第二幾何法曰第二線上之體與第一線上之體若四率連比例線之第四與第一假如丙乙元體之邊求倍體之邊則倍丙
乙得甲丁以甲丁乙丙作壬己辛庚矩
形於壬角之兩腰引長之以形心為心
如戊作圈分截引長線于子于午漸試
之必令子午直線切矩形之辛角乃止
即乙丙【即辛庚】午庚子己甲丁【即壬庚】為四率連比例線用第二率午庚為次體之一邊其體倍大於元體【詳雙中率論】若甲丁為乙丙之三倍四倍即午庚邊上之體大于元體亦三四倍以上倣此 用前法則元體之邊倍之得八倍體之邊若三之得二十七倍體之邊四之得六十四倍體之邊五之得一百二十五倍體之邊
又取二倍體邊倍之得十六再倍得一二八倍體之邊本線上量體任用其邊其根其面其對角線其軸皆可用法一 設一體求作同類體大于元體幾倍法以元體邊為底從心至第一點為腰置尺次以所求倍數為腰得大底即所求大體邊 若設零數如元體設三求作七以三點為初腰七點為次腰如上法【此乘體之法】用法二 有體求作小體得元體之幾分如四分之一四分之三等法以元體之邊為底命分數之點為腰置尺退至得分數為小腰得小底是所求分體邊【此分體之法】用法三 有兩體求其比例以小體邊為底第一點為腰置尺次以大體邊為底就等數得比例之數也不盡則引小體邊于二點以下以大邊就等數兩得數乃上可得比例之全數而省零數
用法四 有幾同類之
體求并作一總體 若
有各體之比例則以比
例之數合為總數以小體邊為底一
點以上為腰置尺於總數點内得大
底即總體邊 若不知其比例先求
之次用前法【此加體之法】
如圖甲乙丙三立方體求并作一大
立方體其甲根一乙三又四之三丙
六并得十又四之三以甲邊為底本線一點以上為腰置尺向外求十又四之三為腰取底為度即所求總體之根
用法五 大内咸小所存求成一同類之體 先求其比例次以小體邊為底比例之小率點以上為腰置尺次以比例兩率較數點上為腰得較底即較體之邊【此减體之法】
用法六 有同質同類之兩體得一體之重知他體之重蓋重與重若容與容先求兩體之比例次用三率法某容得某重若千求某容得某重若干【同質者金鉛銀銅等同體者方圓長立等】
用法七 有積數欲開立方之根 置積與一千數求其比例次于平分線上取十分為底本線一點以上為腰置尺次比例之大率以上為腰得大底于平分線上取其分為所設數之立方根如設四萬則四萬與一千之比例為四十與一如法于四十點内得大底線變為分得三十四強 若所設積小不及千則以一分為底一點或半點或四之一等數為腰置尺設數内求底而定其分若用半點用所設數之一半用四之一亦用設數四之一蓋筭法通變或倍或分不變比例之理用法八 有兩線求其雙中率【線數同理】如三為第一率二十四為第四率求其比例之中兩率 法求兩率之約數得一與八以小線為底一點以上為腰置尺次八點以上為腰取大底即第二率有第二第四依平分線求第三
第五變體線
變體者如有一球體求别作立方其容與之等分法 置公積百萬依筭法開各類之根則立方之根為一百四等面體之根為二○四八等面體之根為一二八半十二等面體之根為五十二十等面體之根為
七六 圓球之徑為
一二六 因諸體中
獨四等面體之變最
大故本線用二百○四分平分之從心數各類之根至本數加字【開根法見測量全義六卷】
用法一 有異類之體求相加以各體之邊為度以為底本線本類之點以上為腰置尺次從立方點内取底别書之各書訖依分體線法合之
用法二 有異類之幾體求其容之比例先以各體變而求同容之立方邊次于分體線求其比例乃所設體之比例若知一體之容數因三率法求他體之容數
第六分弦線
亦曰分圈線 分法有二
一法 别作象限圈分令半徑與本線等長分弧為九
十度名作識
從一角向各
識取度移入
尺線從尺心
起度各依所取度作識加字 若尺身大加半度之點可作一百八十○度若身小可六十度或九十度止乂法 用正弦數表取度分數半之求其正弦倍之本線上從心數之識之【如求三十度弦即其半十五度之正弦為二五九倍之得千分之五一九為三十度之弦從心識之】
用法一 有圈徑設若干之弧求其弦以半徑為底六十度為腰置尺次以設度為腰取底即其弦移試元圈上合其弧 反之有定度之弦求元圈徑以設弧之弦為底設度為腰置尺次取六十度為腰取底即圈之半徑用法二 有全圈求作若干分法以半徑為底六十度【其弦即半徑也】為腰置尺命分數為法全圈為實而一得數為腰取底試元圈上合所求分【此分圈之法】 約法本線上先定各分之點如百二十為三之一九十為四之一七十二為五之一六十為六之一五十一又七之三為七之一四十五為八之一四十為九之一三十六為十之一三十二又十一之八為十一之一三十為十二之一各加字
用法三 凡作有法之平形先作圈以半徑為底六十度為腰置尺次本形之號為腰取底移圈上得分用法四 有直線角求其度以角為心任作圈兩腰間之弧度即其對角之度【有半徑有弧求度如左】
用法五 有半徑設弧不知其度法以半徑為底六十度為腰置尺次以弧為度就等數作底其等數即弧度反之設角度不知其徑及弧求作圖其法先作直線一
界為心任作圈分以截
線為底六十度之弦線
為腰置尺次于本線取
設度之弦線為腰得底以為度從截圈點取圈分即設度之弧再作線到心即半徑成直線角如所求因此有兩法可解三角形省布數詳測量全義首卷
第七節氣線
一名正弦線
分法 全數為一百平分尺大可作一千用正弦表從
心數各度之數每十度加
字 如三十度之正弦五
十則五十數傍書三十二
度之正弦五則五數傍書三
簡法 第一平分線可當此線為各有百平分則一線兩旁一書分數字一書度數字
用法一 半徑内有設弧求其正弦以半徑為底百為腰置尺次以設度為腰取底即其正弦
用法二 凡造簡平儀平渾日晷等器用此線甚簡易如簡平儀之干盤周天圈其赤道線左右求作各節氣線先定赤道線為春秋分次於弧上取赤道左右各二十三度半之弧兩弧相向作弦以其半弦為底本線百數為腰置尺次數各節氣離春秋分兩節之數尋本線之相等數為腰取底為度移赤道線左右兩旁作直線與相對之節氣相連為各節氣線【或于赤道線上及二至線上定時刻線之相距若干亦可】 如欲定立春立冬立夏立秋【因四節離赤道之度等故為公度】法曰立春至春分四十五度則取本線四十五度内之㡳線移於儀上春分線左右 若欲定小暑小寒之線離秋分春分各七十五度則取七十五度内之底線為度移二分線左右得小暑小寒之線
第八時刻線
一名切線線
分法 切線之數無限為九十度之切割兩線皆平行無界故今止用八十度于本線立成表上查八十度得
五六七即本線作五六七
平分次因各度數加字【一度
至十五切線正弦微差尺上不顯可即用正弦】
第九表心線
一名割線線
分法 此線亦止八十度依表查得五七五平分之其初點與四十五度之切線等【初點即全數故等】次依本表加之用法一 有正弧或角欲求其切線或割線法以元圈之半徑為底切線線四十五度之本數為腰割線線則以○度○分為腰置尺次以設度為腰取底為某度之切線割線 反之有直線又有本弧之徑欲求設線之弧若干度以半徑為度以為底設弧之度數為腰置尺又設線為底求本線上等數即設線之弧
用法二 表度說以表景長短求日軌高度分今作簡法用切線線凡地平上立物皆可當表以表長為底本線四十五度上數為腰置尺次取景長為底求兩腰之等數即日軌高度分 若用横表法如前但所得度分乃日離天頂之度分也安表法見本說
用法三 地平面上作日晷法先作
子午直線卯酉横線令直角相交從
交至横線端為底就切線線上之八
十二度半為腰置尺次于本線七度
半點内取底為度向卯酉線交處左
左各作識為第一時分次逓加七度半取底為度如前逓作識為各時分【每七度半者加七度半十五度二十二度半三十度三十七度半四十五度五十二度半六十度六十七度半七十五度八十二度半】若求刻線則逓隔三度四十五分而取底為度也次于元切線上取四十五度線【四十五度之切線即全數】為底割線初點為腰置尺次以本地北極高度數為腰于本線上取底為表長于子午卯酉兩線之交正立之又取北極高之餘度線為度于子午線上從交點起向南得日晷心從心向卯酉線上各時分點作線為時線在子午線西者加午前字如己辰卯在
子午線東者加午後字如未申酉
日晷圖說 子午卯酉兩線相交于
甲甲酉為度以為底以切線之八十
二度半為腰置尺逓取七度半之底
向甲左右作識如甲乙甲丙次取十
五度線之底作第二識如甲丁甲戊每識逓加七度半每識得二刻則丁點為午初戊為未初餘點如圖 次取甲己線上四十五度之切線為底割線之初點為腰置尺取北極高餘度【順天府約五十】之割線為度從甲向南取辛辛為心從心過乙丁等點為線為時刻線又割線上取北極高度之線【順天府約四十】為表長即甲庚也表與面為垂線【立表法以表位甲為心任作一圈次立表表末為心又作圈若兩圈相合或平行則表直矣】用法四 先有表度求作日晷則以表長為底割線上之北極高度為腰置尺次以極高餘度為腰取底為度定日晷之心次用元尺于切線上取每七半度之線如前【凡言表長以垂表為主或垂線】
用法五 有立面向正南作日晷法如前但以北極高度求晷心以北極高之餘度為表長【又平晷之子午線為此之垂線書時創以平晷之卯為此之酉各反之】
用法六 若立面向正東正西先用權線作垂線定表處即晷心從心作横線與垂線為直角 若面正東于横線下向北作象限弧若面正西于横線下向南作弧弧上從下數北極高之餘度為界從心過界作線為赤
道線又以表長為底切線線上之四
十五度為腰置尺逓取七度半之線
從心向外于赤道上各作識從各識
作線與赤道為直角則時刻線也其
過心之線向東晷為卯正線向西晷為酉正線 若欲加入節氣線法以表長為度從表位甲上取乙點為表心從心取赤道上各時刻點為度以為底以切線線之四十五度為腰置尺又以二十三度半為小腰取小底
為度于各時刻線上從赤道
向左向右各作識為冬夏至
日景所至之界 如上圖甲
乙為卯酉正線以表長為度
從甲取乙為表心以切線上
之四十五度為腰甲乙為底置尺又以二十三度半為小腰取小底于本線上從赤道甲向左向右各作識即卯酉正時冬夏至之景界 次從表心向卯酉初刻線取赤道之交丙點為底切線之四十五度為腰置尺以二十三度半為小腰取小底于丙左右各作識為本時冬夏至之景界次于各時線如上法各作二至景界訖聨之為本晷上冬夏二至之景線 次作二至前後各節氣線以節氣線之兩至點為腰【即鶉首之次西歷為巨蟹宫】以各時線上赤道至兩至界為底置尺次以各節氣為小腰取小底為度從各線之赤道左右作識如前法
第十五金線
分法用下文各分率及分體線
置金一度【下方所列者先造諸色體大小同度權之得其輕重之差以為比例】
水銀一度又七十五分度之三十八
鉛一度又二十三分度之一十五
銀一度又三十一分度之二十六
銅二度又九分度之一
鐵二度又八分度之三
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷二十一>
錫二度又三十七分度之一
先定金之立方體其重一觔為一度本線上從心向外任取一點為一度即是金度次以分體線第十點為腰此度為底置尺依各色之本率于分體線上取若干度分之線為底從心取兩等腰合於次底作點即某色之度點
又法 取各率之分子用通分法乘之
得金四五九五九二五
水銀六九二四五二七
鉛八六二七四○○
銀八四三一二一二一七
銅九○○一四○○
鐵一○九一四○七五
鍚一一七九九○○○
次以各率開【立方】求各色之根
得金一六六弱
水銀一九一弱
鉛二○二
銀二○四
銅二一三
鐵二二二
錫二二八
若金立方重一斤其根一百六十六弱用各色之根率為邊成立方即與金為同類【皆為立方】同重【皆為一斤】之體今本線用此以二二八為末點如各率分各色之根數加號【石體輕重不等故不記其比例】
用法一 有某色某體之重欲以他色作同類之體而等重求其大小法以所設某色某體之一邊為度以為底以本線本色點為腰置尺次以他色號點為腰取底即所求他體之邊
用法二 若等體等大求其重法以所設體之相似一邊為度以為底置尺于他色號點取其底兩底並識之次于分體線上先以設體之重數為腰以先設體之底為底置尺以次得他體之底為底進退求相等數為腰即他體之重
用法三 有異類之體求其比例先依更體線通為同【書卷二十一】
類次如前法新法算
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>
