6-御製歷象考成上編卷五
御製歷象考成上編卷五
月離歷理
太隂各種行度
太隂平行度
太隂本輪遲疾四限
三月食推本輪半徑及最高
晦朔弦朢
太隂四輪總論
求初均數
求二三均數
兩月食定交周
黄白大距度及交均
視差
隱見遲疾
太隂各種行度
太隂行度共有九種而隨天西轉之行不與焉一曰平行蓋太隂之本天帶一本輪本輪心循本天自西而東每日平行一十三度有奇二十七日有餘而行天一周即白道經度也二曰自行蓋本輪心循白道行自西而東【即平行經度】太隂復依本輪周行自東而西每日亦行一十三度有奇微不及本輪心行而與本輪心之行順逆參錯人目視之遂生遲疾故名自行以别之授時歷名為轉周滿一周為轉終其所生之遲疾差名為初均數也三曰均輪行西人第谷言用一本輪以齊太隂之行往往與實測未合因將本輪半徑三分之存其二分為均輪半徑用其一分為均輪半徑均輪循本輪用行自東而西【即自行轉周度】太隂復依均輪周行自西而東每日行二十六度有奇為輪心行之倍度【均輪心行一度月行均輪周二度也】其所生之遲疾差即今所用之初均數也四曰次輪行蓋用本輪均輪推得遲疾之最大差為四度有奇於朔朢時測之其數恰合而於上下弦時測之則不合其大差至七度有奇故歷家又於均輪之周復設一輪循均輪周行命為次輪次輪心自西而東太隂復依次輪周亦自西而東每日行二十四度有奇為本輪心距太陽行之倍度【本輪心距太陽行一度月行次輪周二度也】名為倍離倍離所生之遲疾差名為次均數也五曰次均輪行蓋有初均次均以步朔朢以定兩弦則既合矣而於兩弦前後測之又多不合故新法歷書復有二三均數表之加減也細考其表中所列誠皆實測之數但總合二三均數加減之而為一表耳爰思次輪之上必更有一輪以消息乎次均之數今命之曰次均輪其心循次輪周自西而東行倍離之度而太隂則循此輪之周自東而西亦行倍離之度用其所生之差以加減次均數即與太隂兩弦前後所行恰合也六曰交行蓋太隂行白道出入於黄道之内外大距五度有奇其自黄道南過黄道北之點名曰正交【即如春分自赤道南過赤道北】自黄道北過黄道南之點名曰中交【即如秋分自赤道北過赤道南】每交之終不能復依原次而不及一度有餘逐日計之退行三分有餘命為兩交左旋之度【自東而西也】亦名羅計行度也【正交曰羅㬋中交曰計都】七曰最高行最高者本輪之上半最遠地心之處而最高行者平行與自行相較之分也均輪心從最高左旋微不及於平行每日六分有奇即命為最高左旋之度亦名月孛行度也八曰距日行於每日平行度内減去太陽之行為每日太隂距太陽行二十九日有奇而復與日會是為朔策九曰距交行以每日平行度與每日交行相加得每日太隂距交度二十七日有奇而行交一周名為交周也要之太隂之去地甚近其行最著諸小輪之設雖無象可見而實有數可稽蓋藉以推步度數期與實測相符而已至於大象寥廓其或然或不然則非智計之所能及也
太隂平行度
測太隂平行之法須用兩月食計其前後相距若干日時及月行天若干周用其度分為實中積日時為法除之即得每日平行之率蓋月之視差甚大惟月食為月入闇虛無地心地面之殊又食甚時正與太陽衝故將太陽之經度加半周即太隂之經度其得數為真也然所用兩月食亦須詳審蓋闇虚與月體有小大之分而行度有遲疾之異必須擇各率均齊之兩月食方可用也其擇之之法第一取兩食時之太陽距地等斯闇虚之大小相等【太陽距地遠則影粗而長太陽距地近則影細而短詳交食】第二取兩食時之太隂距地等斯月體之大小等而入影之粗細亦等【闇虚為尖圓體近地粗漸遠地漸細以至於無故太隂距地近則當闇虚之粗處太隂距地遠則當闇虚之細處詳交食】第三取兩食時之自行度等斯入轉之遲疾等而過影之時刻必等考之史志所書月食並無時刻分秒及躔離度數即西人交食考亦不載月轉遲疾無憑取用今依新法歷書載西人依巴谷法定為三百四十五平年【平年者三百六十五日無餘分】又八十二日四刻【每日九十六刻】或一十二萬六千零七日四刻為兩月食各率齊同之距於時會朢轉終皆復其始計其中積凡為會朢者四千二百六十七為轉終者四千五百七十三置中積一十二萬六千零七日四刻為實會朢數四千二百六十七為法除之得會朢策【即朔策】二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒【即二十九日零十分日之五分三○五九三授時歷同】乃以周天三百六十度為實會朢策二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒為法除之得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十六纎二十二忽三十四芒【即一十二度零十分度之一分九○七四七四○五五八授時歷作一十二度三十六分八十七秒五十微以周天三百六十度每度六十分約之得一十二度一十一分二十七秋二十七微】為每日太隂平行距太陽之度加太陽每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒得一十三度一十分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十三芒【即一十三度零十分度之一分七六三九四七七一三八授時歷作一十三度三十六分八十七秒五十微以周天三百六十度每度六十分約之得一十三度一十分三十五秒二十四微】為每日太隂平行經度【即白道經度】又置中積一十二萬六千零七日四刻為實以轉終數四千五百七十三為法除之得二十七日五十三刻零三分三十四秒四十微三十纖四十三忽一十二芒【即二十七日零十分日之五分五四五六八授時歷作二十七日五五四六】為轉終分乃以天周三百六十度為實以轉終分二十七日五十三刻零三分三十四杪四十微三十纖四十三忽一十二芒為法除之得一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纖一十九忽一十六芒【即一十三度零百分度之六分四九八四三六一二一】為每日太隂自行度又以每日平行經度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纖一十四忽一十三芒與每日自行度一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纖一十九忽一十六芒相減餘六分四十一秒零四微三十八纖五十四忽五十七芒【即十分度之一分一一四一○四一○一七】為每日月孛之平行既得以上各種行度每日之平行遞加之得十日百日之平行遞析之得每時每分之平行以立表【每日二十四時每時六十分】
太隂本輪遲疾四限
太隂之輪有四而本輪乃
遲疾四限之所由生其餘
皆所以消息遲疾之數故
本輪為步月離之主如圖
甲為地心即本天心乙丙
丁戊為白道即太陰之本
天己庚辛壬為本輪其心
循白道右旋每日行一十
三度一十分百奇自乙而
丙而丁而戊而復至乙是
為平行徑度太隂循本輪
左旋每日行一十三度零
三分有奇自己而庚而辛
而壬而復至己是為自行
度【一名轉周一名引數】太隂在本輪
之己為最高【即月孛】在本輪
之辛為最卑最高最卑之
點皆對本輪心與地心成
一直線故平行實行同度
為遲疾起算之端如太隂
由己向庚為遲初限以其
背輪心行能損右旋之度
故較平行度為遲至半象
限後所損漸少迨行滿一
象限至庚則無所損然而
積遲之多正在於庚蓋平
行在乙而太隂在庚從地
心甲計之太陰當本天之
癸癸乙弧以本輪半徑庚
乙為正切為遲差之極大
也從庚向辛為遲末限太
隂行本輪之下半周順輪
心行其實行漸疾然因有
積遲之度方以次相補其
實行仍在平行後迨行滿
一象限至辛為極疾而積
遲之度始補足無缺實行
與平行乃合為一線故自
最高至最卑半周為遲歷
也如太隂由辛向壬為疾
初限以其順輪心行能益
右旋之度故較平行度為
疾至半象限後所益漸少
迨行滿一象限至壬則無
所益然而積疾之多正在
於壬蓋平行在乙而太隂
在壬從地心甲計之太隂
當本天之子子乙弧以本
輪半徑壬乙為正切為疾
差之極大也從壬向己為
疾末限太隂行本輪之上
半周背輪心行其實行漸
遲然因有積疾之度方以
次相消其實行仍在平行
前迨行滿一象限至己為
極遲而積疾之度始消盡
無餘實行與平行復合為
一線故自最卑至最高半
周為疾歷也
三月食推本輪半徑及最高
太隂初均數生於本輪半徑本輪半徑不定則實行不可得而定新法歷書載西人多録某用漢陽嘉永和間三次月食推得本輪半徑為本天半徑十萬分之八千七百零六月過最高三百一十四度一十七分【陽嘉二年三月朢】西人歌白泥用明正德嘉靖間三次月食推得本輪半徑為本天半徑十萬分之八千六百零四月過最高一百八十三度五十一分【正德六年九月朢】迨後西人第谷定本輪半徑為本天半徑十萬分之八千七百月離表定崇禎戊辰年天正冬至次日子正月過最高二百零五度三十二分一十六秒交日表定崇禎戊辰年首朔【即年前十二月朔】月過最高三十七度三十四分三十四秒其年首朔距天正冬至次日子正一十四日一十六時二十六分四十六秒以交日表所定首朔月過最高之度推其年天正冬至次日子正月過最高之度應得二百零五度四十二分四十九秒比月離表所定多一十分三十三秒又察其正交行度兩表差至二十餘分今以交食表推步月食其時刻之早晚食分之淺深俱與天行頗合故月過最高之度宜以交食表為凖但用目下三月食推本輪半徑或微大或微小皆不能合八千七百之數蓋用本輪以推實朢惟自行當三宮九宮初度之一點方合而目下所測月食其自行皆不正當三宮九宮初度之數用本輪半徑以推實朢既與實測不合則用實測之實朢以推本輪半徑亦必與原數不合因假設三月食以明其法如左
設如第一食日躔鶉首宮七度三十五分四十七秒五十三微月離星紀宮七度三十五分四十七秒五十三微月行遲末限之初在本輪右半周之中如甲第二食日躔夀星宮初度月離降婁宮初度月行遲初限將半在本輪右半周之上如乙第三食日躔星紀宮二度五十四分零二秒四十九微月離鶉首宮二度五十四分零二秒四十九微月行疾末限之初在本輪左半周之中如丙
第一食距第二食一千一
百八十日二十二時一十
四分零四秒實行相距八
十二度二十四分一十二
秒零七微【即星紀宮丁點距降婁宮戊點
之度於第二次月離度内減去第一次月離度即得】平行相距八十度二十一
分一十秒【即星紀宫已點距降婁宫庚點
之度以每日平行與距日相乘減去全周即得】平
行小於實行二度零三分
零二秒零七微自行相距
三百零八度四十七分零
七秒二十七微【以每日自行與距日
相乘減去全周即得】第二食距第三
食一千九百一十八日二
十三時零五分五十七秒
實行相距九十二度五十
四分零二秒四十九微【即降
婁宮戊點距鶉首宮辛點之度】平行相距
八十五度零二十五秒【即降
婁宮庚點距實沈宮壬點之度】平行小於
實行七度五十三分三十
七秒四十九微自行相距
二百三十一度一十二分
五十二秒三十三微乃以
三月食自行相距度列於
一本輪之上立法算之
如圖癸為地心即本天心丁戊己辛為本天之一弧己為本輪心從丁向戊右旋為平行度月體從本輪最高子向乙左旋為自行度第一食月在甲本天平
行度在己實行度在丁從甲行三百零八度四十七分零七秒二十七微至乙即第一食距第二食之自行度第二食月在乙本天平行度在己實行度在戊丁戊弧二度零三分零二秒零七微即第一食距第二食平行實行之差從乙行二百三十一度一十二分五十二秒
三十三微至丙即第二食距第三食之自行度第三食月在丙本天平行度在己實行度在辛戊辛弧七度五十三分三十七秒四十九微即第二食距第三食平行實行之差乙癸線割本輪於丑從丑點作丑甲丑丙二線又作甲丙線即成丑丙癸丑甲癸丑甲丙三三角形
乃用此三三角形求本天半徑與本輪半徑之比例先用丑丙癸三角形求丑丙邊此形有丑角一百一十五度三十六分二十六秒一十六微【以乙丑丙弧二百三十一度一十二分五十二秒三十三微折半即得蓋乙子丙弧為丑界角之倍度折半得丑外角與半周相減得丑内角以乙丑丙弧折半得數亦同故乙丑丙弧亦即丑角之倍度】有癸角七度五十三分三十
七秒四十九微【即戊辛弧之度】即有丙角五十六度二十九分五十五秒五十五微設丑癸邊為一○○○○○○○求得丑丙邊一六四六九八六次用丑甲癸三角形求丑甲邊此形有丑角一百五十四度二十三分三十三秒四十三微【以甲丑丙乙弧三百零八度四十七分零七秒二十七微折半即得蓋乙甲弧為丑】
【界角之倍度折半得丑外角與半周相減得丑内角以甲丑丙乙弧折半得數亦同故甲丑丙乙弧亦即丑角之倍度】有癸角二度零三分零二秒零七微【即丁戊弧之度】即有甲角二十三度三十三分二十四秒一十微設丑癸邊為一○○○○○○○求得丑甲邊八九五三一六末用丑甲丙三角形求丙角此形有丑角九十度【以癸丑丙角與】
【癸丑甲角相加得二百七十度與三百六十度相減即得】有丑丙邊一六四六九八六有丑甲邊八九五三一六求得丙角二十八度三十一分四十四秒倍之得五十七度零三分二十八秒為甲丑弧以甲丑弧與乙甲弧五十一度一十二分五十二秒三十三微相加得一百零八度一十六分二十秒
三十三微為乙丑弧於是以本輪半徑命為一○○○○○○○各用八線表求其通弦則乙丑弧之通弦為一六二○八二三六丑丙弧之通弦為一七五七一五三○乃用比例法變先設之丑癸邊為同比例數以先得之丑丙邊一六四六九八六與先設之丑癸邊一○
○○○○○○之比即同於今所察之丑丙通弦一七五七一五三○與今所求之丑癸邊之比而得丑癸邊一○六六八九○○六又以乙丑通弦一六二○八二三六折半得八一○四一一八為寅丑與丑癸一○六六八九○○六相加得一一四七九三一二四為寅癸
又以乙丑弧一百零八度一十六分二十秒三十三微折半得五十四度零八分一十秒一十六微其餘弦五八五八六○六為寅巳成巳寅癸勾股形乃用勾股求弦法求得巳癸弦一一四九四二五二七為本天半徑即得本天半徑與本輪半徑之比例為一一四九四二
五二七與一○○○○○○○若設本天半徑為一○○○○○○○則得本輪半徑為八七○○○○
求大陰距最高之度則用巳寅癸直角三角形求得巳角八十七度零四分四十二秒三十微即卯辰弧加乙卯弧五十四度零八分一十秒一十六微得一百四十一度一十二分五十二秒四十
六微與半周相減餘三十八度四十七分零七秒一十四微為子乙弧即第二次月食月距最高之度也
晦朔弦朢
太隂之晦朔弦朢雖無關於自行之遲疾而自行之遲疾實由於朔朢兩弦而得知其二十七日有奇而一周者太陰之自行也其二十九日半強而與太陽相會者朔策也其間猶有朢與上下兩弦之分焉蓋太隂之體賴太陽而生光其向太陽之面恒明背太陽之面恒晦而其行則甚速於太陽當其與太陽相會之時人在地上正見其背故謂之朔朔後漸遠太陽人可漸見其面其光漸長至距朔七日有奇其距太陽九十度人可見其半面太陽在後太隂在前其光向西其魄向東故名上弦上弦以後距太陽愈遠其光漸滿至一百八十度正與太陽相朢人居其間正見其面故謂之朢自朢以後又漸近太陽人不能正見其面其光漸虧其魄漸生至距朢七日有奇其距太陽亦九十度則又止見其半面太陽在前太隂在後其光向東其魄向西故名下弦下弦以後距太陽愈近其光漸消至復與太陽相會其光全晦復為朔矣
如圖甲為地面乙為太陽
丙丁戊己皆為太隂如太
隂在丙與太陽正會為朔
其光向乙從甲視之止見
其背故全晦也離太陽而
前距九十度至丁為上弦
從甲視之見其半面故半
明半晦也至距太陽一百
八十度至戊正與太陽相
朢從甲視之正見其面故
全明也及離太陽而後距
九十度至己為下弦從甲
視之又止見其半面故亦
半明半晦也及至於丙而
與太陽復會則又全晦而
為朔矣
太隂四輪總論
太隂行度用四輪推之而四輪之法皆係實測而得非意設也西人第谷以前步月離惟用本輪次輪蓋因朔朢之行有遲疾故知其有本輪而兩弦之行不同於朔朢故知其有次輪其法次輪與本輪兩周相切太隂行於次輪之上朔朢時太隂正當兩周相切之點故云朔朢時太隂循本輪周行而兩弦時太隂則從兩周相切之點行次輪半周距本輪心最遠故次輪全徑為兩弦時大於朔朢時平行實行之極大差第谷遵其法用之因不能密合太隂之行故於本輪上復加一均輪且因兩弦前後之行又不同於兩弦故又加一次均輪蓋用本輪推朔朢時平行實行之極大差為本輪半徑得四度五十八分有餘而徵之實測惟自行三宮九宫初度之一點為合在最高前後兩象限則失之小在最卑前後兩象限則失之大故第谷將本輪半徑三分之存其二分為本輪半徑取其一分為均輪半徑用求平行實行之差為初均數乃密合於天至於兩弦時平行實行之極大差七度二十五分有餘雖為新本輪半徑并均輪半徑仍加次輪全徑之數然即舊本輪半徑與次輪全徑相併之數也其次均輪行於次輪即如初均輪之行於本輪但所行之度不同耳【初均輪行為引數之度次均輪行為倍離之度】第谷以次輪設於地心又設不同心之天其心循次輪周行而本輪心則循不同心天行初均輪則循本輪周行夫用不同心天與用小輪理本相通但兩法合講殊覺紛紜不如專用一法觀之為便至於兩弦前後有二三均數之加減而不言其由次均輪而生今並悉其根源增一負均輪圈移初均輪心使行於此則次輪心即行於初均輪而次均輪心亦得行於次輪蓋負均輪圈半徑乃新本輪半徑加一次輪半徑之分朔朢時太隂在次輪之最近點又在次均輪之下點而次均輪心又必常在次輪周故朔朢時止用初均輪不用次輪及次均輪也兩弦時太隂在次輪之最遠點又在次均輪之上點而次均輪心亦必在次輪之最遠點故兩弦時止用次輪不用次均輪也至於朔朢前後及兩弦前後太隂在次輪之遠近二點之間又在次均輪之上下二點之間而次均輪心亦不在次輪之遠近二點故有次輪與次均輪之相差而或加或減也要之本輪者推本天之高卑均輪者所以消息本輪之行度次輪者定朔朢兩弦之遠近次均輪者又所以分别朔朢兩弦前後之加減故本輪行度合初均輪之倍引而生初均數分高卑左右而為朔朢之加減差也次輪行度合次均輪之倍離而生二三均數分遠近上下而為兩弦及兩弦前後之加減差也是故非驗諸實測無以知四輪之妙而明於四輪之用則於太隂遲疾之故思過半矣
西人第谷以前所用本輪次輪法如甲為地心乙丙丁為本天之一弧丙為本輪心戊己庚為本輪戊為最高庚為最卑辛為次輪心辛壬為負次輪之圈己為次輪最近癸為次輪最遠如次輪周
在本輪最高後六十度相切於己朔朢時太隂在己從地心甲作己甲實行線割本天於子子丙弧為平行實行之差
故用丙甲己三角形求得甲角即子丙弧為本輪所生初均數也上下弦時太隂則從次輪之巳點歷丑至癸從地心甲作癸甲實行線割本天於寅寅丙弧
為平行實行之差故用丙甲癸三角形求得甲角即寅丙弧為本輪所生初均及次輪所生次均之共數也【子丙弧為初均寅子弧為次均】第谷用此法求得均數徵之實測在最高前後兩象限其數失之小在最卑前後兩象限其數失之大故將本輪半徑三分之存其二分為本輪半徑取
其一分為均輪半徑將次輪設於地心又設不同心之天其心循次輪周行而本輪心則循不同心天行均輪心循本輪周行如甲為地心乙丙丁為本天之一弧丙為本輪心戊己庚為舊本輪辛壬癸為新本輪辛丙半徑為戊丙半徑三分之二戊子丑為均輪戊辛半徑為
戊丙半徑三分之一本輪心循本天右旋均輪心循本輪左旋甲寅卯辰為次輪本天心循甲寅卯辰右旋半月一周朔朢時本天心與地心同在甲兩弦時本天心在卯離地心極遠總之朔朢以外本天心俱離甲點本天皆為不同心之天矣
又第谷添設初均輪新法所推均數與本輪舊法所生均數最大之差有九分五十餘秒在最高前後兩象限為大最卑前後兩象限為小如舊法太隂距最高戊後六十度在已則丙甲巳角為初均數若新法則均輪心距最高辛後六十度在壬太隂則距均輪之近點丑行
一百二十度至子而丙甲子角為初均數比舊法初均數丙甲巳角大一已甲子角其在最高前之均數亦如之又如舊法太隂距最卑庚後六十度在已則丙甲已角為初均數若新法則均輪心距最卑癸後六十度在壬太隂則距均
輪之近點丑行一百二十度至子而丙甲子角為初均數比舊法初均數丙甲已角小一子甲已角其在最卑前之均
數亦如之然第谷所增均輪法極有理而所設不同心天與小輪合用則不便於觀今將次輪置於均輪之周其心循均輪周右旋又將次輪半徑與新本輪半徑相加為半徑作負均輪之圈均輪心則循負均輪圈左旋又增一次均輪以明二三均數之根用此法求各均數皆與第谷之法無異
依第谷所添初均輪並新增次均輪合本輪次輪共為一圖如甲為地心乙丙丁為本天之一弧丙為本輪心戊己庚為舊本輪辛壬癸為新本輪巳子丑為原均輪寅卯為新增負均輪之圈其半
徑為次輪半徑與新本輪半徑相加之數乃移均輪心於負均輪圈卯作辰巳午均輪與巳子丑原均輪等辰為遠點午為近點用均輪心行負均輪圈寅卯弧之倍度【即本輪周辛壬弧之倍度】從均輪近點午數至巳以巳為心作未申子次輪其未子全徑與均輪辰午全徑平行未為遠
點子為近點又以次輪周近點子為心作酉戌亥次均輪酉為上點戌為下點如均輪心循負均輪圈從最高寅歷卯左旋則次輪心循均輪周從最近午歷巳右旋行均輪心距最高之倍度次均輪心又循次輪周從最近子歷申右旋行太隂距太陽之倍度太陰則循次均
輪周從最下戌歷亥左旋亦行距太陽之倍度朔朢時太隂必在次均輪之最下戌次均輪心必在次輪周之最近子【即次輪周與巳子丑原均輪周相切之點】從地心甲作子甲實行線即成丙甲子三角形其甲角為初均數蓋朔朢時太隂雖在次均輪之周然必在下點而次均輪心又必在次
輪周與均輪周相切之點故求朔朢時之初均數止用均輪不用次輪也【太隂在次均輪之戌點雖在子點之下然俱在實行線上其經度無異也】兩弦時次均輪心從次輪周之最近子行至最遠未太陰從次均輪周之最下戌行至最上酉從地心甲作酉甲實行線成子甲未三角形其甲角為二均數蓋兩弦
時太隂必在次均輪周之上點而次均輪心又必在次輪周之遠點故兩弦時止用次輪求二均數不用次均輪也【太隂在次均輪周之酉點雖高於未點然俱在實行線上其經度無異也】如在朔朢之後兩弦之前次均輪心從次輪周之最近子行至申太隂從次均輪周之最下戌行至亥從地心甲至次均輪
之最上酉作酉甲過心線復從地心甲至次均輪之太隂所在亥作亥甲實行線則成子甲申與亥甲申兩三角形其子甲申角為二均數亥甲申角為三均數兩角相減餘子甲亥角為二三均數也如在朔朢之前兩弦之後次均輪心從次輪周之最近子歷最遠未行至申
太隂從次均輪周之最下戌歷最上酉行至亥從地心甲至次均輪之最上酉作酉甲過心線復從地心甲至次均輪之太隂所在亥作亥甲實行線則成子甲申與申甲亥兩三角形其子甲申角為二均數申甲亥角為三均數兩角相加得子甲亥角為二三均數也求初均
數及二三均數法俱見後
求初均數
太隂之行因遲疾而生加減差朔望用之者名為初均數自最高至最卑六宫為遲歷為減差自最卑至最高六宫為疾歷為加差蓋因最高前三宫與後三宫相當最卑前三宫與後三宫相當其差數皆相等故求得最高後六宫之差數而最卑後六宫之差數視此但加減不同耳【如最高前三十度與最高後三十度其差數必等但在最高前者為加差最高後者為減差也】授時歷名為遲疾差其最大者為五度四二九三四四以周天三百六十度每度六十分約之得五度二十一分零五秒朔朢兩弦同用今求得最大之差四度五十八分二十七秒【即四度零十分度之九分七四二】惟朔朢為然名之初均數者所以别於朔朢以外之二三均數也
如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為五十八萬戊為最
高庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為二十九萬辛為最遠【去本輪心遠也】癸為最近【去本輪心近也】本輪心循本天右旋自乙而丙而丁每日行一十三度一十分三十五秒即白道經度均輪心循本輪左旋自戊而已而庚每日行一十三度零三
分五十四秒即自行引數太隂則循均輪右旋自癸而壬而辛每日行二十六度零七分四十八秒為倍引數也如均輪心在本輪之最高戊為初宫初度則太隂在均輪之最近癸從地心甲計之成一直線無平行實行之差故自
行初宫初度無均數也
如均輪心從本輪最高戊向己行一百八十度至最卑庚為六宫初度則太隂
從均輪最近癸歷壬辛行一周復至癸從地心甲計之亦成一直線無平行實行之差故自行六宫初度亦無均數也如均輪心從本輪最高戊行三十度至子為一宫初度則太隂從均輪最近癸行六十度至丑【丑癸弧為戊子弧之倍度】從地心甲
計之太隂當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二邊此形有卯直角有丙角三十度則癸角必六十度有癸丙本輪半徑之半二十九萬【於子丙半徑五十八萬内減去子癸半徑二十九萬即得】求得癸卯邊一十四萬五千卯丙邊二十五萬一千一百四十七以卯丙邊與丙甲半徑一千萬相加
得一千零二十五萬一千一百四十七為卯甲邊以癸卯邊三因之得四十三萬五千為丑卯邊【辛丑癸三角形與丙卯癸三角形為同式形蓋癸為交角丑角立於圜界之一半為直角與卯角等則辛角必與丙角等是三角俱等也辛癸為均輪全徑為癸丙之二倍則丑癸亦必為癸卯之二倍故三因癸卯即得丑卯也】於是用甲丑卯直角三角形求得甲角二度二十五分四十七秒即寅丙弧為太隂自行一宫初度之初
均數是為減差以減於平行而得實行也【凡求得初均角即求得丑甲邊為太隂距地心數存之為後求二均之用餘倣此】若均輪心從最高戊向己歷庚行三百三十度至辰為十一宮初度則太隂從均輪最近癸行一周復自最近癸歷辛行三百度至己【癸巳弧為戊辰弧之倍度】從地心甲計之太隂當本天之午午丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均
數與一宫初度等但為實行過於平行之數是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最高後三宫之減差【初宫初度至二宫末度】即得最高前三宫之加差【九宫初度至十一宫末度】
如均輪心從本輪最高戊行九十二度至未為三宫二度則太隂從均輪最近
癸歷辛行一百八十四度至申從地心甲計之太隂當本天之酉酉丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二邊此形有戌直角有丙角八十八度則癸角必二度癸丙邊為二十九萬求得癸戌邊二十八萬九千八百二十三丙戌邊一萬零一百
二十一以丙戌邊與丙甲邊相減餘九百九十八萬九千八百七十九為戌甲邊以癸戌邊三因之得八十六萬九千四百六十九為申戌邊於是用甲申戌直角三角形求得甲角四度五十八分二十七秒即酉丙弧為太隂自行三宫
二度之初均數是為極大之減差以減於平行而得實行也若均輪心從最高戊歷庚行二百六十八度至亥為八宫二十八度則太隂從均輪最近癸行一周復自癸歷壬行一百七十六度至子從地心甲計之太隂當本天之丑丑丙
弧與酉丙弧等故自行八宫二十八度之初均數與三宫二度等但為實行過於平行之數是為極大之加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差【三宫初度至五宫末度】即得最卑後三宫之加差【六宫初度至八宫末度】
求二三均數
太隂之加減差朔朢以外用者名為二均三均數其二均數之生於次輪全徑與三均數之生於次均輪半徑亦猶初均數之生於本輪及均輪半徑也故欲求二均三均之數必先定次輪及次均輪之徑而欲定次輪及次均輪之徑又須先測二均及三均之數也歷家於上下弦當自行三宫或九宫時累測之【惟此時太隂距本輪心甚遠平行視行之差極大】其極大之均數得七度二十五分四十六秒查其切線得一百三十萬四千内減去本輪均輪兩半徑之共數八十七萬餘四十三萬四千半之得二十一萬七千即次輪之半徑也於兩弦及朔朢之間【約太隂距太陽四十五度時】當自行三宮或九宫時累測之其均數常與推算不合差至四十一分零二秒是即次均輪所生之三均數也依法求其半徑得一十一萬七千五百既定次輪與次均輪之半徑乃逐度求其二均三均之數復用三均數以加減乎二均數是為二三均數用以推步月離乃與測驗脗合矣
如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑戊丙己為本輪全徑戊為最高己為最卑庚丙辛為負均輪圈全徑【省曰負圈】庚為最高辛為最卑壬庚癸為均輪全徑壬為最遠癸
為最近子癸丑為次輪全徑子為最遠丑為最近寅丑卯為次均輪全徑寅為最上卯為最下本輪心從本天冬至度右旋【本天上與黄道冬至相對之度也】為經度均輪心從負圈最高左旋【即同本輪最高】為引數【即自行度】次輪心從均輪最近右旋為倍引數次均輪心從次輪最近右旋行倍離之度【即太隂距太陽之倍度】太隂從次均輪最下左旋
亦行倍離之度如均輪心在負圈最高庚為自行初宫初度則次輪心在均輪之最近癸又當朔朢時則次均輪心在次輪之最近丑太隂在次均輪之最下卯從地心甲計之同在一直線即平行實行合而為一故無均數之加減也如均輪心在負圈最卑辛為自行六宫初度則次輪心在均輪之最近癸又當
朔朢時則次均輪心在次輪之最近丑太隂在次均輪之最下卯從地心甲計之亦同在一直線即平行實行合而為一故亦無均數之加減也
如均輪心從最高庚行九十度至辰為自行三宫初度次輪心則從均輪最近癸行一百八十度至最遠壬朔朢時次均輪心常在次輪周之最近丑太隂常
在次均輪周之最下卯從地心甲計之仍見太隂在丑【太隂雖在丑點之下因在一直線故視之如在一處也】其實行不及平行之度為丙甲丑
角四度五十八分二十秒即初均數其切線丑丙八十七萬即本輪均輪兩半徑之共數也兩弦時次均輪心常在次輪周之最遠子太隂常在次均輪周之
最上寅從地心甲計之仍見太隂在子【太隂雖在子點之上因在一直線故視之如在一處也】其實行不及平行之度為丙甲子角七度二十五分四十五秒内減初均數丙甲丑角四度五十八分二十秒餘二度二十七分二十五秒即丑甲子角命為二均數丙甲子角之切線子丙得一百三十萬四
千内減丑丙本輪均輪兩半徑八十七萬餘丑子線四十三萬四千是為次輪之全徑也此初均數為減差二均數亦為減差蓋朔朢之實行丑點在平行丙點之後【本輪心丙循本天右旋故以左為前右為後凡言前後者皆倣此】而兩弦時之實行子點仍在丑點之後故於平行内減去初均數丙甲丑角
即得朔朢時之實行復減去二均數丑甲子角始得兩弦時之實行也若均輪心從最高行二百七十度至辰為自行九宫初度次輪心則從均輪最近癸行一周復行一百八十度至最遠壬而當兩弦之時則初均數丙甲丑角與二均
數丑甲子角皆與三宫初度之數相等但實行俱在平行之前故俱為加差以
加於平行而得實行也
如均輪心從最高庚行九十度至辰為自行三宫初度次輪心從均輪之最近癸行一百八十度至最遠壬時當朔與
上弦之間或朢與下弦之間次均輪心從次輪最近丑行九十度至巳太隂則從次均輪最下卯行九十度至午其丙甲丑角四度五十八分二十秒為初均數丑甲邊一千零三萬七千七百七十四為次輪最近點距地心之數【求丑甲邊法見前求初均數篇】乃用丑甲己三角形求二均數
此形有丑甲邊一千零三萬七千七百七十四有丑己邊三十萬六千八百八十四【即次輪九十度之通弦以半徑一千萬為一率九十度之通弦一千四百一十四萬二千一百三十六為二率次輪半徑二十一萬七千為三率求得四率三十萬六千八百八十四即次輪九十度之通弦】有丑角四十九度五十八分二十秒【丙甲丑直角形以丙直角與甲角相加得九十四度五十八分二十秒為壬丑甲角内減去壬丑己角四】
【十五度餘四十九度五十八分二十秒為巳丑甲角】求得丑甲巳角一度二十二分零五秒與初均數丙甲丑角四度五十八分二十秒相加得丙甲巳角六度二十分二十五秒為實行不及平行之度然太隂不在巳而在午於時測得實行不及平行之度為五度三十九分二十三秒相差四十一分
零二秒即丙甲巳角大於丙甲午角之午甲巳角命為三均數乃用午甲巳直角三角形求次均輪之半徑此形有巳
甲邊九百八十四萬二千六百二十二【用丑巳甲三角形求之而得】有己直角有甲角四十一分零二秒求得己午邊一十一萬七千五百是為次均輪之半徑也此初均
數為減差二均數亦為減差而三均數轉為加差故於二均數内減去三均數餘四十一分零三秒即丑甲午角為二三均數仍為減差【凡二均與三均加減異者相減為二三均數仍從大數如二均大於三均則從二均三均大於二均則從三均】蓋次輪之最近丑點在平行丙點之後次均輪心巳點又在最近丑點之後而太隂
午點却在次均輪心巳點之前故以二均與三均相減餘丑甲午角為二三均數於平行内減去初均數丙甲丑角復減去二三均數丑甲午角始得本時之實行也若均輪心從最高庚行二百七十度至辰為自行九宫初度次輪心從
均輪最近癸行一周復行一百八十度至最遠壬而當上弦與朢之間或下弦與朔之間則初均數丙甲丑角及二三均數丑甲午角皆與三宫初度之數相等但實行俱在平行之前故俱為加差
以加於平行而得實行也
如均輪心從最高庚行一百二十度至未為自行四宫初宫次輪心從均輪最近癸行二百四十度至申此時若太隂距太陽一百一十度為上弦後一日餘則次均輪心從次輪最近丑行二百二
十度至酉太隂亦從次均輪最下卯行二百二十度至戌其丙甲丑角四度二十二分一十九秒為初均數丑甲邊九百八十八萬三千七百六十為次輪最近點距地心之數乃用丑甲酉三角形求二均數此形有丑甲邊九百八十八萬三千七百六十有丑酉邊四十萬七
千八百二十七【次輪丑酉弧一百四十度之通弦】有丑角八十四度二十二分一十九秒【丙甲亥三角形以甲丙兩角相併與亥外角等丑申子次輪全徑原與癸未壬均輪全徑平行則申丑亥角與丑亥丙角為平行線内兩尖交錯之角其度必等故以丙甲亥角四度二十二分一十九秒與甲丙亥角六十度相加得六十四度二十二分一十九秒即為申丑亥角又酉丑子為界角對酉子弧四十度則酉丑子角必二十度與申丑亥角相加得八十四度二十二分一十九秒即為酉丑甲】
【角】求得丑甲酉角二度二十一分四十秒為二均數又求得酉甲邊九百八十五萬一千五百九十五復用酉甲戌三角形求三均數此形有酉甲邊九百八十五萬一千五百九十五有酉戌邊一十一萬七千五百【次均輪半徑】有酉角一百四十度【即次均輪戌卯弧】求得酉甲戌角二十
六分零七秒為三均數也此二均三均並為減差故以二均與三均相加得二度四十七分四十七秒為二三均數仍為減差【凡二均與三均加減同者相加為二三均數餘倣此】蓋次輪之最近丑點與次均輪心酉點俱在平行丙點之後而太隂戌點又在次均輪心酉點之後故以二均與三均相加
得丑甲戌角為二三均數於平行内減去初均數丙甲丑角復減去二三均數丑甲戌角始得本時之實行也若均輪心從最高庚行二百四十度至未為自行八宫初度次輪心從均輪最近癸行一周復行一百二十度至申而太隂距
太陽七十度為上弦前一日餘則次均輪心從次輪最近丑行一百四十度至
酉太隂亦從次均輪最下卯行一百四十度至戌其初均數丙甲丑角及二三均數丑甲戌角皆與四宫初度之數相
等但實行俱在平行之前故俱為加差以加於平行而得實行也
如均輪心合朔時在本輪之辰距最卑辛十五度餘則次輪心在均輪之己距均輪最近癸三十一度餘次均輪心則
在次輪最近丑太隂在次均輪最下卯迨朔後一日餘本輪心從本天合朔後行十六度至丙則均輪心亦從本輪辰行十五度餘至最卑辛為自行六宫初度次輪心亦從均輪己行三十一度餘
至最近癸次均輪心從次輪最近丑行三十二度至午太隂亦從次均輪最下卯行三十二度至未則無初均數乃用癸甲午三角形求二均數此形有癸甲邊九百四十九萬三千【於丙甲半徑一千萬内減去負圈半徑丙辛七十九萬七千餘辛甲九百二十萬三千最加均輪半徑癸辛二】
【十九萬即得】有癸午邊二十一萬七千有癸角一百四十八度求得癸甲午角四十分五十一秒為二均數又求得午甲邊九百六十七萬七千五百零七復用午
甲未三角形求三均數此形有午甲邊九百六十七萬七千五百零七有午未邊一十一萬七千五百有午角三十二度求得午甲未角二十二分二十一秒
為三均數也此二均三均並為加差以二均與三均相加得一度零三分一十二秒為二三均數仍為加差蓋次輪之最近丑點與平行内點在一直線上平行即實行故無初均數而次均輪心午點在平行丙點之前太隂未點又在午點之前故以二均與三均相加得丙甲未角為二三均數以加於平行即得本
時之實行也若均輪心在最卑辛而太隂距太陽三百四十四度為朔前一日餘則二三均數丙甲未角與朔後一日餘之數相等但實行在平行後故為減差以減於平行而得實行也
如均輪心過最卑辛行五十度至午為自行七宫二十度則次輪心從均輪最近癸行一百度至未而太陰距太陽一
百三十五度為朢前三日餘則次均輪心從次輪最近丑行二百七十度至申太隂亦從次均輪最下卯行二百七十度至酉其丙甲丑角三度五十三分零六秒為初均數丑甲邊九百八十三萬六千一百九十五為次輪最近點距地心之數乃用丑甲申三角形求二均數
此形有丑甲邊九百八十三萬六千一百九十五有丑申邊三十萬六千八百八十四【次輪丑申弧九十度之通弦】有丑角八度五十三分零六秒【丙甲戌三角形以丙甲兩角相併與戌外角等丑未子次輪全徑原與癸午壬均輪全徑平行則丙戌丑角與戌丑未角為平行線内兩尖交錯之角其度必等故以丙甲戌角三度五十三分零六秒與甲丙戌角五十度相加得五十三度五十三分零六秒為戌丑未角内減去未丑】
【申角四十五度餘八度五十三分零六秒為申丑甲角也】求得丑甲申角一十七分零六秒為二均數又求得申甲邊九百五十二萬八千九百二十復用申甲酉三角形求三均數此形有申甲邊九百五十二萬八千九百二十有申酉邊一十一萬七千五百有申角九十度求得申甲酉角四十二分二
十三秒為三均數也此初均數為加差二均數亦為加差而三均數轉為減差故於三均數内減去二均數餘二十五
分一十七秒為二三均數轉為減差【三均大於二均故從三均】蓋次輪之最近丑點與次均輪心申點俱在平行丙點之前而太隂酉點却在次輪最近丑點之後故以二
均與三均相減餘丑甲酉角為二三均數於平行外加初均數丙甲丑角復減去二三均數丑甲酉角始得本時之實行也若均輪心未至最卑辛五十度在午為自行四宫十度而太隂距太陽二百二十五度為朢後三日餘其初均數丙甲丑角及二三均數丑甲酉角皆與
七宫二十度之數相等但初均數為減差二三均數為加差以初均數減於平行復以二三均數加之而得實行也如均輪心從最卑辛行一百二十度至辰為自行十宫初度則次輪心從均輪最近癸行二百四十度至己而太隂距太陽三百二十度為下弦後四日則次
均輪心從次輪最近丑行一周復行二百八十度至午太隂亦從次均輪最下卯行一周復行二百八十度至未其丙甲丑角四度一十四分五十一秒為初均數丑甲邊一千零一十七萬二千九百四十一為次輪最近點距地心之數乃用丑甲午三角形求二均數此形有
丑甲邊一千零一十七萬二千九百四十一有丑午邊二十七萬八千九百七十【次輪丑午弧八十度之通弦】有丑角七十四度一十四分五十一秒【丙申甲三角形以丙甲兩角相併與申外角等丑巳子次輪全徑原與癸辰壬均輪全徑平行則己丑甲角與壬申丑角為平行線之内外角其度必等故以申丙甲角一百二十度與丙甲申角四度一十四分五十一秒相加得一百二十四度一十四分五十一秒即為己丑甲】
【角内減去己丑午角五十度餘七十四度一十四分五十一秒為午丑甲角也】求得丑甲午角一度三十一分二十三秒為二均數又求得午甲邊一千零一十萬一千六百一十七復用午甲未三角形求三均數此形有午甲邊一千零一十萬一千六百一十七有午未邊一十一萬七千五百有午角八十度求得
午甲未角三十九分二十七秒為三均數也此初均數二均數俱為加差而三均數為減差故於二均數内減去三均
數餘五十一分五十六秒為二三均數仍為加差蓋次輪之最近丑點與次均輪心午點俱在平行丙點之前而太隂未點却在次均輪心午點之後故以二
均與三均相減餘丑甲未角為二三均數於平行外加初均數丙甲丑角復加二三均數丑甲未角即得本時之實行也若均輪心在最高庚後六十度為自行二宫初度而太隂距太陽二百二十度為下弦前四日其初均數丙甲丑角
及二三均數丑甲未角加與十宮初度之數相等但實行在平行之後故俱為減差以減於平行而得實行也
兩月食定交周
白道與黄道斜交月行天一周必兩次過交而交無定處每一交之中退天一度有餘故每日太隂距交行度常多於每日平行經度其較即為每日交行度測法亦擇用兩月食其兩食必須太陽之距最高等太隂之自行度等食分等食在陽歷或在隂歷亦等【黄道南為陽歷黄道北為隂歷】乃可推月行若干交周而復於故處西人依巴谷用前法推得四百四十一平年又二百一十二日九十四刻零五分一十三秒為朔策五千四百五十八交周五千九百二十三因定太隂每日距交得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十纎一十四忽一十三芒【即一十三度零十分度之二分二九三五○三二六九三】與每日平行經度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纖一十四忽一十三芒相減餘三分一十秒三十八微二十四纖【即百分度之五分二九五五五五五五一授時歷作百分度之五分二三六以周天三百六十度約之得百分度之五分一六○七】為兩交每日左旋之度也今擇用兩月食以明其法如左
第一食順治十三年丙申十一月庚申朢子正後一十八時四十四分一十五秒月食一十五分四十七秒在陽歷日躔星紀宫一十度三十九分在最卑後三度四十九分於時月自行為三宫二十七度四十六分第二食康熙十三年甲寅十二月丙午朢子正後三時二十三分二十六秒月食一十五分五十秒在陽歷日躔星紀宫二十一度五十二分在最卑後一十四度二十一分於時月自行為三宫二十五度二十四分【兩次月食太陽距最高差一十度餘然地景之大小無異月自行差二度半食分差三秒所差甚微俱可勿論】以上兩次月食相距中積二百二十三月乃用朔策定數五千四百五十八為一率交終定數五千九百二十三為二率【此二數依巴谷所定】二百二十三月為三率得四率二百四十一又五千四百五十八分之五千四百五十一可收作二百四十二【差千分之一可以不論】為兩次月食相距之交終數又以兩次月食相距中積六千五百八十五日零八時三十九分一十秒與每日太隂平行經度相乘以交終數二百四十二除之得一百二十九萬零八百一十二秒小餘八七九五九八為每一交行度與周天一百二十九萬六千秒相減餘五千一百八十七秒小餘一二○四○二為每一交退行度又以交終數除兩次月食相距中積日分得二十七日二一二二三三為交周日分乃以交周日分除每一交退行度得三分一十秒三十七微為兩交每日退行度與每日平行經度一十三度一十分三十五秒零一微相加得一十三度一十三分四十五秒三十八微為太隂每日距交行度比舊數止少一微今仍用舊數各以日數乘之得十日百日之行度以時分除之得每時每分之行度以立表
黄白大距度及交均
白道與黄道相距之緯曰大距度而交均者乃兩交平行與自行之差是二者常相因也蓋相距之度時少時多而自行之度有遲有疾故必測得距度極多極少之數而後交行之遲疾可推測大距之法推得月離黄道鶉首宫初度又在黄道北【月在黄道北則近天頂而地半徑差最微可以勿論】而距交適足九十度時俟至子午線上測之得地平高度乃於高度内減去赤道高及黄赤距緯度其餘即為黄白大距度也歷家用此法測得朔朢時之大距為四度五十八分三十秒【即四度零十分度之九分七五】上下弦時之大距為五度一十七分三十秒【即五度零十分度之二分九一六授時歷無分朔朢兩弦皆六度以周天三百六十度每度六十分約之得五度五十四分三十九秒】既得二數乃用弧三角形法推得逐日之大距及交均以立表
如圖甲為黄極乙丙丁戊
為黄道用朔朢與上下弦
兩距度相加折半得五度
零八分為黄白大距之中
數取中數為半徑如己甲
作己庚辛壬圈為白極繞
黄極本輪又取兩距度之
較數一十九分折半得九
分三十秒為半徑如己癸
作癸子丑寅圈為負白極
均輪其心循己庚辛壬本
輪左旋【從己向庚】每日行三分
一十秒有餘白極則循癸
子丑寅均輪左旋【從癸向子】行
倍離之度半月一周如癸
子丑寅均輪心在己朔朢
時白極在癸白道交黄道
於丙於戊其卯乙弧為大
距四度五十八分三十秒
與癸甲弧等上下弦時白
極在丑白道亦交黄道於
丙於戊其辰乙弧為大距
五度一十七分三十秒與
丑甲弧等如癸子丑寅均
輪心從本輪己行至庚朔
朢時白極在癸白道交黄
道於乙於丁其卯丙弧為
大距四度五十八分三十
秒與癸甲弧等上下弦時
白極在丑白道亦交黄道
於乙於丁其辰丙弧為大
距五度一十七分三十秒
與丑甲弧等惟朔朢與上
下弦時白極俱在丑甲線
上平行自行相合故無交
均數如白極從癸向子交
行漸遲至子距癸九十度
為朔與上弦之間或朢與
下弦之間其行極遲白道
交黄道於巳於午其未申
弧為大距與子甲弧等【子甲
為白極距黄極之弧故與未申大距弧等】於是
用子甲己正弧三角形求
子甲弧此形有己甲弧五
度零八分有己子弧九分
三十秒有己直角九十度
【當癸子弧】求得子甲弧五度零
八分零九秒與未申弧等
為黄白大距又求得甲角
一度四十六分零八秒為
交均即自行遲於平行極
大之差從子向丑則遲行
之度漸減至丑而合於平
行矣如白極從丑向寅交
行漸疾至寅距丑九十度
為上弦與朢之間或下弦
與朔之間其行極疾己甲
寅角亦一度四十六分零
八秒寅甲兩極距弧亦與
子甲等從寅向癸則疾行
之度漸減至癸而又合於
平行矣要之從癸向子至
丑為前半周所求之諸甲
角俱為減差以減交之平
行而得交之實行從丑向
寅至癸為後半周諸甲角
之度皆以前半周等但俱
為加差以加交之平行而
得交之實行故用弧三角
形法以己庚辛壬圈之半
徑五度零八分及癸子丑
寅圈之半徑九分三十秒
為常用之兩邊以極距癸
點之逐度為角得弧三角
形一百八十求得各對角
之弧為兩極大距【如子甲之類】近黄極之角為交均在前
半周為減差後半周為加
差而大距及交均之表全
矣至於有大距之數而求
逐度之小距度與日躔求
黄赤距緯之法同
視差
太隂之視差有四一為蒙氣差能升卑為高其理與數皆與太陽同一為高下差【即地半徑差】生於地之半徑能變高為下其理亦與太陽同而數則過之蓋太陽本天半徑與地半徑之比例為千餘分之一而太隂本天半徑與地半徑之此例為五六十分之一故其差角迥别不可同論也又有東西差【即經度差】南北差【即緯度差】皆由高下差而生算交食用之詳載交食本篇兹不具論
如圖甲為地心乙為地面
甲乙為地半徑乙丙為地
平丁戊己為太隂本天庚
辛壬癸為恒星天戊為太
隂人從地面乙測之對恒
星天於壬其視高為壬乙
丙角若從地心甲計之則
見太隂於戊者對恒心天
於辛其真高為辛甲癸角
此兩高之差為乙戊甲角
即高下差然亦時時不同
者一因太隂距地平近則
差角大漸高則漸小一因
太隂在本天最高則差角
小在本天最卑則差角大
與日躔之理同今亦約為
最高最卑中距三限於朢
時及兩弦各以所測地面
上太隂之高度求太隂距
地心之甲戊線【朢時測中距兩弦時
測最高及最卑蓋月自行在中距朢時次均輪心在
次輪之最近月在次均輪之最下微小於本天若兩
弦時則次均輪心在次輪之最遠已在本天之外月
又在次均輪之最上未免太過於本天故於朢時測
中距也又月自行在最高兩弦時月距地心比朢時
高一次輪全徑又高一次均輪全徑故於此時測最
高月自行在最卑兩弦時月距地心北朢時卑一次
輪全徑又高一次均輪全徑猶在朢時月體之下故
於此時測最卑也】
如暢春園測得太隂高六
十二度四十分五十一秒
四十三微同時於廣東廣
州府測得太隂高七十九
度四十七分二十六秒一
十二微【廣東子午線在京師西三度三十三
分然高下差甚微可勿論】於時月自行
三宫初度月距日一百八
十度【即朢時】以之立法甲為
地心乙為京師地面庚為
天頂子為廣州府地面丑
為天頂戊為太隂寅為赤
道寅庚弧三十九度五十
九分三十秒為暢春園赤
道距天頂之度寅丑弧二
十三度一十分為廣州府
赤道距天頂之度以兩處
赤道距天頂度相減餘一
十六度四十九分三十秒
為庚丑弧即庚甲丑角以
暢春園高度與一象限相
減餘二十七度一十九分
零八秒一十七微為庚乙
戊角以廣州府高度與一
象限相減餘一十度一十
二分三十三秒四十八微
為丑子戊角先用乙甲子
三角形此形有甲角一十
六度四十九分三十秒又
有乙甲及子甲俱地半徑
命為一千萬乃以甲角折
半之正弦倍之得二九二
五九七七為乙子邊又以
甲角與半周相減餘數半
之得八十一度三十五分
一十五秒為乙角亦即子
角次用乙戊子三角形此
形有乙子邊二九二五九
七七有戊乙子角七十一
度零五分三十六秒四十
三微【以庚乙戊角與子乙甲角相加得一百零
八度五十四分二十三秒一十七微以減半周即得】有戊子乙角一百零八度
三十七分一十八秒四十
八微【於半周内減去乙子甲角八十一度三十
五分一十五秒加入戊子丑角一十度一十二分三
十三秒四十八微即得】即有乙戊子
角一十七分零四秒二十
九微求得戊乙邊五五八
二六五二五四末用戊乙
甲三角形此形有乙甲地
半徑一千萬有戊乙邊五
五八二六五二五四有戊
乙甲角一百五十二度四
十分五十一秒四十三微
【於半周内減去庚乙戊角二十七度一十九分零八
秒一十七微即得】求得乙戊甲角
二十七分四十九秒零四
微為中距限太隂高六十
二度四十分五十一秒四
十三微之高下差求得戊
甲邊五六七一七一三三
四為太隂在本天中距時
距地心之遠以地半徑較
之其比例為一千萬與五
億六千七百一十七萬一
千三百三十四若命地半
徑為一則月距地心為五
十六又百分之七十二也
乃依此法於月自行初宫
初度月距日九十度時【即上
下弦】測之求得甲乙線與戊
甲線之比例為一與六十
一又百分之九十八即月
在本天最高距地心最遠
之數又於月自行六宫初
度月距日九十度時測之
求得甲乙線與戊甲線之
比例為一與五十三又百
分之七十一即月在本天
最卑距地心最近之數於
是自最近五十三至最遠
六十二之十數逐度求其
高下差以立表
隱見遲疾
合朔之後恒以三日月見於西方故尚書註月之三日為哉生明然有朔後二日即見者更有晦日之晨月見東方朔日之夕月見西方者唐歷家遂為進朔之法致日食乃在晦宋元史已辨其非而未明其故蓋月之隱見遲疾固有一定之理可按數而推殆因乎天行由於地度無庸轉移遷就也至於漢魏歷家未明盈縮遲疾之差以平朔著歷故有晦而月見西方朔而月見東方者此則推步之疎不可以隱見遲疾論也隱見之遲疾其故有三今並詳於後
一因黄赤道之升降有斜
正也蓋春分前後各三宫
【由星紀至實沈六宫】黄道斜升而正
降月離此六宫則朔後疾
見秋分前後各三宫【由鶉首至
析木六宫】黄道正升而斜降月
離此六宫則朔後遲見如
上二圖前圖日躔降婁初
度月離降婁一十五度為
正降日入時月在地平上
高一十四度餘即可見蓋
入地遲而見早也後圖日
躔夀星初度月離夀星一
十五度為斜降日入時月
在地平上高六度餘即不
可見蓋入地疾而見遲也
若晦前月離正升六宫則
隱遲斜升六宫則隱早其
理亦同
一因月距黄緯有南北也
蓋月距黄道北則朔後見
早距黄道南則朔後見遲
如圖日躔降婁初度月離
降婁一十五度而月距黄
道北則月距地平之度多
入地遲而見早月距黄道
南則月距地平之度少入
地疾而見遲也若晦前距
黄道北則隱遲距黄道南
則隱早其理亦同
一因月視行之度有遲疾
也蓋月視行為遲歷則朔
後見遲晦前隱遲視行為
疾歷則朔後見早晦前隱
早也
夫月離正降宮度距日一
十五度即可見以每日平
行一十二度有奇計之則
朔後一日有餘即見生明
於西是故合朔如在甲日
亥子之間月離正升宮度
距黄道北而又行遲歷則
甲日太陽未出亦見東方
月離正降宫度距黄道北
而又行疾歷則乙日太陽
已入亦見西方矣
御製歷象考成上編卷五
<子部,天文算法類,推步之屬,御製歷象考成>
