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卷三十四·志第一

卷三十四·志第一

  ○历一

  △治历本末

  自《三统术》以后七十余家,至郭守敬之《授时》,测验愈精,析理愈微,立数俞简信,可谓度越前古者矣。然曰月星辰之高远,而以一人之智力穷之,欲其事事物合,永无差忒,此必不可得之数也。明之《大统》,实本《授时》,至成化以后,交食已往往不验。

  皇朝宣城梅文鼎、婺源江水,皆深通数理。其生时《授时》疏舛凡数事:一曰增损岁余、岁差。一岁小余,古强今弱,一由日轮径差,一由最卑动移。《授时》考古,则增岁余而损岁差;推来,则增岁差而损岁余。乃末得其根,而以法迁就之。似密实疏,不足为法。一曰岁实消长。天行盈缩,进退以渐,无骤增、骤减之理。《授时》百年消长一分,是百年之内皆无所差,逾一年则骤增减一分,又积百年则平差一分,逾一年又骤增减一分,无此推算之法。一曰二十四气用恒气。当时高冲与冬至同度,最高与夏至同度,冬至为盈初,夏至为缩初,以为盈缩之常限如此。故以两冬至相距之日,均为二十四气,谓合于天之平分数也。设如五十余年之后,高卑两点各东移一度,则平冬至与定冬至不相值,及其极也,平冬至与定冬至相差两日,犹能以两定冬至相距之日,均为二十四气乎?且其求冬至也,自丙子年立冬后。依每日测景取对冬至前后日差同者为准,得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻,又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻,己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻,庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻,辛已冬至在己末日夜半后六刻。其求岁余也,自宋大明以来得冬至时刻真数者有六,用以相距,各得其时,合用岁余,考验四年相符不差,仍自大明壬寅年距今八百一十九年,每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分,减大明术一十二秒,其二十五分为今律岁余合用之数。以此二事考之,则《授时》当年所定之岁实,已有微差。稽之于史,又多牴牾。夫一岁小余二十四刻二十五分,积之四岁王得九十七刻。丁丑冬至在戊戌日夜半后八刻,则辛巳冬至宜在己未夜半后五刻,不应有六刻也。如以辛巳之六刻为是,则丁丑之冬至宜在九刻,不应为八刻半也。此四年既皆实测所得,则已多半刻矣。而云相符不差,何也?又考大明五年十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分辰初三刻冬至。大明壬寅下距至元辛巳八百一十九年,以《授时》岁实积之,凡二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分,以乙酉辰初三刻距己未丑初二刻,凡二十九万九千一百三十三日九十二刻,较多三十三刻。而云自大明壬寅距今每岁合得此数,何也?又云减大明术一十一秒。考大明术纪法与周天一岁小余二十四刻二十八分一十四秒。《授时》减去三分一十四秒,非一十一秒也。又古时太阳本轮、均轮半径之差,大于今日,则加减均数亦大。而冬至岁实宜更增矣。至元辛巳间高冲约与冬至同度,则岁实尤大,其小余刻下之分约有三十分。而《授时》定为二十五分,宜其自丁丑至于辛巳四年之间,即有年刻之差,而守敬未之觉也。

  凡此数事,皆足订《授时》之误。今撮大要著于篇,以备治历者之参考焉。

  至《授时》用平方、立方以求盈缩迟疾差,犹开方之旧术,用天元一御弧矢起数于围三径一,亦失之疏。若以弦矢求弧背,前后失均,象限以内差而多,象限以外差而少,此又不能为前人讳者也。

  《历经》、《历议》,皆守敬所撰。世祖招李谦为《历议》,润色其书而已,谦不能作也。札马鲁丁之《万年历》,实即明人所用之回回历,《明史》详矣,不具论。

  蒙古初无历法。太祖十五年,驻跸撒马尔干城,回鹘人奏五月望月蚀。中书令耶律楚材以《大明历》推之,太阴当亏二分,食甚在子正,乃未尽初更而月已蚀。是年二月、五月朔,微月见于西南。楚材以旧历不验,遂别造《庚午元历》。据《大明历》减周天七十三秒,岁差亦减七十三秒。以中元庚午岁,国兵南伐,天下略定,推上元庚午岁天正十一月壬戌朔子王冬至,为太祖受命之符。又以西域、中原地逾万里,依唐僧一行里差之说,以增损之。东西测侯,不复差式。乃表上于行在曰:“汉、唐以来,经元创法不啻百家,其气候之早晏,朔望之疾徐,二曜之盈衰,五星之起伏,疏密无定,先后不同。盖都邑之各殊,或历年之渐远,不得不差也。唐历八徒,宋历九更,金《大明历》百年才经一改。此去中原万里,以昔程今,昔密今疏,东微西著。今二月、五月朔,微月见于西南,较之于历,悉为先天。”自汉、唐以来历算之书备矣。俱无此说。是年正月、四月虽皆为小尽,然亦未有朔日见月者也。是时,太祖方用兵西域,其书不果颁用。

  楚材尝言,西域历五星密于中国,又作《麻荅历》,今不传。楚材父履在金末作《乙未元历》,楚才益本其文之书,更名为《庚午元历》云。

  至世祖至元四年,西域人札马鲁丁用回回法撰《万年历》,帝稍采用之。其法为默特纳国王马哈麻所造历,元起西域阿刺必年,即随开皇己未,不置闰月,以三百六十五日为一岁。岁十二宫,宫有闰日,凡百二十八年宫闰三十一日,以三百五十四日为一周,周十二月,月有闰日,凡三十年月闰十一日。历千九百四十一年,宫月日辰再会。此其立法之大概也。

  十三年,世祖平宋,诏前中书左丞许衡、太子赞善王恂、工部郎中郭守敬,立局改治新历。先是,太保刘秉忠以《大明历》辽、金承用岁久,浸以后天,议修正之。已而秉忠卒,事遂寝。至是,世祖思用其言,遂命询与守敬率南北日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨源、王素、岳铉、高敬等,分掌测验、推步,以衡能推明历理,俾参预之。

  守敬首言:“历之本在于测验,而测验之器莫先仪表。今司天浑仪,宋皇佑中汴京所造,不与此处天度相符,比量南北二极,约差四度。表百年深,亦复欹侧不可用。”乃尽考其失,而移置之。既又别图爽垲,以木为重棚,创作简仪、高表,用相比覆。又以为天枢附极而动,昔人尝展管望之,末得其的,作候极仪。极辰既位,天体斯正,作浑天象。象虽形似,莫适所用,作玲珑仪。以表之测天之正圆,莫若以圆求圆,作仰仪。古有经纬,结而不动,守敬则易之,作立运仪。日有中道,月有九行,守敬则一之,作证理仪。表高景虚,罔象非真,作景符。月虽有明,察景则难,作窥几。历法之验,在于交会,作日月食仪。天有赤道,轮以当之,两极低昂,标以指之,作星晷定时仪。以上凡十三等。又作正方案、九表、悬正仪、座正仪,凡四等,为四方行测者所用。又作仰规、覆矩图、异方、浑盖图、日出入永短图,凡五等,与上诸仪互相参考。

  十六年,改局为太史院,以赞善王恂为太史令,守敬为同知太史院事,给印章,立官府。是年,奏进仪表式样,守敬对御指陈理致,一一周悉。自朝至于日晏,上不为倦。

  守敬奏:唐一行开元间令天下测景,书中见者凡十三处。今疆宇比唐尤大,苦不远方测验,日月交食分数时刻不同,昼夜长短不同,日月星辰去天高下不同;可先南北立表,取直测景。上可其奏。遂设监候官一十四员,分道相继而出。

  先测得:南海:北极出地一十五度。夏至景在表南长一尺一寸六分,昼五十四刻,夜四十六刻。衡岳:北极出地二十五度。夏至日在表端无景,昼五十六刻,夜四十四刻。岳台:北极出地三十五度,夏至景长一尺四寸八分,昼六十刻,夜四十刻。和林:北极出地四十五度,夏至景长三尺二寸四分,昼六十四刻,夜三十六刻。铁勒:北极出地五十五度,夏至景长五尺一分,昼七十刻,夜三十刻。北海:北极出地六十五度,二至景长六尺七寸八分,昼八十二刻,夜一十八刻。继又测得:上都:北极出地四十三度少。大部:北极出地四十二度强,夏至晷景长一丈二尺三寸六分,昼六十二刻,夜三十二刻。益部:北极出地三十七度少。登州:北极出地三十八度少。高丽:北极出地三十八度少。西京:北极出地四十度少。太原:北极出地三十八度少。安西府:北极出地三十四度半强。兴元:北极出地三十三度半强。成都:北极出地三十一度半强。西凉州:北极出地四十度强。东平:北极出地三十五度太强。大名:北极出地三十六度。南京:北极出地三十四度太强。阳城:北极出地三十四度太。扬州:北极出地三十三度。鄂州:北极出地三十一度半。吉州:北极出地二十六度半。雷州:北极出地二十度太。琼州:北极出地十九度太。

  十七年,新历告成。守敬上奏曰:

  臣等窃闻帝王之事,莫重于历。自黄帝迎日推策,帝尧以闰月定四时成岁,舜在璇玑玉衡以齐七政。爰及三代,历无定法,周秦之间,闰余乖次。西汉造《三统历》,百三十年而后是非始定。东汉造《四分历》,七十余年而仪式备。叉百二十一年,刘洪造《乾象历》,始悟月行有迟速。又百八十年,姜岌造《三纪甲子历》,始悟以月食冲检日宿度所在。又五十七年,何承天造《元嘉历》,始悟以朔望及弦定大小余。又六十五年,祖冲之造《大明历》,始悟太阳有岁差之数,极星去不动处一度余。又五十二年,张子信始悟日月交道有表里,五星有迟疾留逆。又三十三年,刘焯造《皇极历》,始悟日行有盈缩。又三十五年,傅仁均造《戊寅元历》,颇采旧仪,始用定朔。又四十六年,李淳风造《麟德历》,以古历章?元首分度不齐,始为总法,用迸朔以避晦晨月见。又六十三年,僧一行造《大衍历》,始以朔有四大三小,定九服交食之异。又九十四年,徐昂造《宣明历》,始悟日食有气刻时三差。又二百三十六年,姚舜辅造《纪元历》,始悟食甚泛余差数。以上计千一百八十二年,历经七十,改其创法者十有三家。

  自是又百七十四年,钦惟圣朝统一六合,肇造区夏,专命臣等改治新历。臣等用创造简仪、高表,凭其测到实数所考正者凡七事:一曰冬至。自丙子年立冬后,依每日测到晷景,逐日取对,冬至前后日差同者为准,得丁丑年冬至在戌日夜半后八刻半。又定丁丑夏至,得在庚子日夜半后七十刻。又定戊寅冬至,在癸卯日夜半后三十三刻;己卯冬至、在戊申日夜半后五十七刻半;庚辰冬至,在癸丑日夜半后八十一刻半。各减大明历十八刻,远近阳符,前后应准。二曰岁余。自刘宋《大明历》以来,凡测景验气得冬至时刻真数者有六,用以阳距,各得其时合用岁余。今考验四年,相符不差。仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年,每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分。其二十五分为今历岁余合用之数。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔,得冬至日躔赤道箕宿十度,黄道箕九度有畸。仍凭每日测到太阳躔度,或凭星测月,或凭月测日,或径凭星度测日,立术推算。起自丁丑正月,至己卯十二月,凡三年,共得一百三十四事,皆躔于箕,与月食相符。四曰月离。自丁丑以来至今,凭每日测得逐时太阴行度推算变,从黄道求入转极疾并平行处,前后凡十三转。计五十一事,内除去不真的外,有三十事。得大明历入转后天,又因考验交食加大明历三十刻,与天道合。五曰入交。自丁丑五月以来,凭每日测到太阴去极度数,比拟黄道去极度,得月道交于黄道,共得八事。仍依日食法度推求,皆有食分得入时刻,与大明所差不多。六曰二十八宿距度。自汉代初历以来,距度不同,互有损益。大明历则于度下余分附以太半少,皆私意牵就,未尝实测其数,今新仪皆细刻周天度分,每度为三十六分,以距线代管窥宿度余分,并依实测,不以私意牵就。七曰日出入昼夜刻。《大明历》日出入昼夜刻,皆据汁京为准,其刻数与大都不同。今更以本方北极出地高下、黄道出入内外度,立术推求每日日出入昼夜刻,得夏至极长,日出寅正二刻,日入戌初二刻,昼六十二刻,夜三十八刻,冬至极短,日出辰初二刻,日入申正二刻,昼三十八刻,夜六十二刻;永为定式。

  所创法凡五事:一曰太阳盈缩。用四正定气立为升降艰,立招差求得每日行分初末极差积度,比古为密。二曰月行迟疾。古历皆用二十八限,今以万分日之八百二十分为一限,凡析为三百三十六限,依垛叠招差,求得转分进退,其迟疾度数逐时不用,盖前所未有。三曰黄赤道差。旧法以一百一度相减相乘。今依算术勾股弧矢方圆斜直所容,求到度率积差差率,与天道实为吻合。四曰黄赤道内外度。据累年实测内外极度二十三度九十分,以圆容方直矢接勾股为法求每日去极,与所测相符。五曰白道交周。旧法黄道变推白道,以斜求斜。今用立浑比量,得用与赤道正交,距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分,拟以为法。推逐月每交二十八宿度分,于理为尽。

  诏赐名曰授时历。十八年,颁新历于天下。

  十九年,守敬以推步之式与立成之数皆无定稿,乃著《推步》七卷、《立成》二卷、《历议拟稿》三卷、《转神选择》二卷、《上中下三历注式》十二卷,表上之。二十年,又诏太子谕德李谦就守敬之《历议稿》重加修订,以阐新历顺天求合之理。

  大德三年八月朔,时加巳依新历日食二分有奇,至其时不应,台官皆惧。保章正齐履谦曰:“日当食不食,古有之。况时近午,阳盛阴微,宜当食不食。”遂考唐开元以来当食不食者凡十事以闻。六年六月朔,时加戌依新历日食五十七秒,众以涉交既浅,且近浊,欲匿不报。履谦曰:“吾所掌者常数也。其食与否,则系于天。”独以状闻。及其时,果食。盖高远难穷之事,必积时累验,乃见端倪。《授时历》推日食之法,较前之十三家最密矣,然尚不能无数刻之差。故元之一代,日食四十有五,推食而不食者一,食而失推者一,夜食而误昼者一。履谦谓:食与否系于天,足犹泥前人当食不食,不当食而食之谬说,诬莫甚矣。

  泰定间,履谦为太史院使,以《授时历》行五十年未尝推考,乃日测晷景并晨昏五星宿度,自至治三年冬至、泰定二年夏至天道加时真数,各减见行历书二刻,撰《二至晷景考》二卷。《授时》虽有经串,而经以著定法,串以纪成数;求共法之所以然,数之所从出,则略而不详;作《经串演说》八卷,以发明其蕴焉。

  时鄱阳人赵友钦推演《授时》之理,著《革象新书》五卷,号为新历之学。

  其《历法改革篇》曰:“历法由古及今,六十余术矣。汉太初粗为可取,然犹疏略未密。唐一行作大衍术,当时以为密矣,以今观之,犹自甚疏。盖岁浅则差少未觉,久而积差渐多,不容不改,要当随时测验,以求真数。

  其《日道岁差篇》曰:“统天术谓周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒,周岁三百六十五日二十四分二十五秒,百年差一度半,然又谓周岁渐渐不同,上古岁策多,后世岁策少,如此则上古岁差少,后世岁差多。当今术法謜之,立减加岁策之法,上考往古,百年加一秒,下验将来,百年减一秒。”

  其《黄道损益篇》曰:“二至之日,黄道平其度,敛狭每度约得十之九二分,斜行赤道之交。今之授时术步得冬至日躔箕宿。以此知寅申度数最少,己亥度数最多,其余则多寡稍近。

  其《积年日法篇》曰:“前代造术者,逆求往古门上元,求其积年总会,是以必立日法。然有所谓截元术,但将推步定数为顺算逆考,不求其齐。当今授时术采旧术截元之术,凡积年日法皆所不取。

  其《日月盈缩筒》曰:“月行十三度余十九之七,然或先期,或后期,有差至四五度者,后汉刘洪始考究之,知月有盈缩。隋之刘焯始觉太阳亦有盈缩,最多之时在于春秋二分,均差两度有余。李淳风有推步月孛法,谓六十二日行七度,六十二年七周天。所谓孛者,乃彗星之一种光芒,偏槊者则谓之彗,光芒四出如浑圆者乃谓之孛。然孛以月为名者,孛之所在,太阴所行最迟,太阴在孛星对冲处则所行最疾。孛星不常见,止以太阴所行最迟处测之。

  其《月有九道篇》曰:“月行出入黄道之内外,远于黄道处六度二分。月道与黄道相交处在二交之始,名曰罗喉,交之中,名曰计都。自交初至于交中,月在黄道外,名曰阳限。自交中至于交出,月在黄道内,名曰阴限。所谓九行者,当以画图比之。四图各两黄道,似一圆环,俱于环南定为夏至。环北定为冬至,环西定为春分,环东定为秋分。将一图画为青追,与黄道交于南北,南交为罗,北交为计。其青道二边入在黄道西之东,是内青道;一边出在黄道东之东,是外青道。又将一图画白道,亦与黄道交于南北,南交为计,北交为罗。其白道一边入在黄道东之西,是内白道;一边出在黄道西之西,是外白道。又将一图画朱道,与黄道交于东西,东交为计,西交为罗。其朱道一边入黄道之南,是内朱道,一边出在黄道南之南,是外朱道。又将一图画黑道,亦与黄道交于东西,东交为罗,西交为计。其黑道一边入在黄道南之北,是内黑道;一边出在黄道北之北,是外黑道。此虽画四图,然四图之八道止是一道也。本八道而曰九行者,以北道之行,交于黄道,故道以九言也。八道常变易,不可置于浑仪上,亦不得画于星图。所可具者黄、赤二道耳。欲别于黄,故涂以赤。赤道近八道皆相交远近。朱道止十八度远,黑道至三十度远,青白二道约二十四度远。”

  其《地域远近篇》曰:“古者立八尺之表,以验四时日景。地中夏至,景在表北一尺六寸,冬至,景在表北一丈三尺。南至交广,北至铁勒等处验之,俱各不同。表高八尺,似失之短。至元以来,表长四丈,诚万古之定法也。所谓土圭者,自古有之。然地上天多早晚,太阳与人相近,则景移必疾;日午与人相远,则景移必迟。世间土圭均画而已,岂免午侵己未,而早晚时刻俱差。地中差已如是,若以八方偏地验之,土圭之不可准尤为显。然偏东者,早景疾,而晚景迟,午景先至;偏西者,早景迟,而晚景疾,午景后期;偏北者,少其画,而景迟;偏南者,多其画,而景疾。若南越短,景南指,而子午反复,则又讹逆甚矣。”其《日月薄食篇》曰:“日之圆,体大,月之圆,体小。日道之周围亦大,月道之周围亦小。日道距天较近,月道距天较远。日月之体与所行之道,虽有少广之差,然月与人相近,日与人相远。故月体因近视而可比日道之广,日食、月食当以天度经纬而推。同经不同纬,止曰合朔。同经同纬合朔,而有食矣。人望日体,见为月之黑体所障,故云日食。然日体未尝有损,所谓食者,强名而已。日月对躔,而望若不当二交前后,则不食。望在二交前后,则必食。或既或不既,当以距交远近而推。日月之圆径相倍。日径一度,月径止得日径之半,然在于近视,亦准一度。是犹省秤出于复秤,斤两虽同,其实则有轻重之异。日之圆径倍于月,则暗虚之圆径亦倍于月。月既准一度,则暗虚广二度矣。月食分数止以距交近远而论,别无四时加试。八方所见食分并同。日食则不然,旧历云:假令中国食既戴,日之下所亏才半,化外反观,则交而不食。何以言之?日月如大小二球,共悬一索。日上、月下,相去稍远,人在其下正望之,黑球遮尽赤球,比若食既。若傍视,则分远近之差,即食数有多寡也。”

  其《五纬距合篇》曰:“古者止知五纬距度,未知有变数之加减。北齐张子信仰观岁久,始知五纬又有盈缩之变,当加减常数以求其逐日之躔。所以然者,盖五纬不由黄道,亦不由月之九道。乃出入黄道内外,各自有其道。视太阳远近而迟疾者,如足力之勤倦又有变数之加减者。比如道里之径直斜曲。其《勾股测天篇》曰:“古人测景,千里一寸之差,犹未亲切。今别定表之制度,并述元有算法。就地中各去南北数百里,仍不偏于东西,俱立一表,约高四丈。于表首下数寸作一方窍,外广而内狭,当中薄如连边,两旁如侧置漏底之碗,形圆而窍方。以南北表景之数相减余,名景差。两表相距里路,各乘南北表景,各如景差而一即得。二表各与戴日之地相距数日,平远各以表景加之,所得各以表高乘之,各如表景而一即得。日轮顶与戴日地相距数,以南北表景各加平远所得自乘,名勾幂。日高自乘,名股幂。两幂相并,名弦幂。开为平方,名曰日远。乃南北表窍之景距日斜远也。

  其《乾象周髀篇》曰:“古人谓圆径一尺,周围三尺。后世考究则不然。圆一而周三,则尚有余;围三而径一,则为不足。盖围三径一,是六角之用也。或谓圆径一尺,周围三尺一寸四分;或谓圆径七尺,周围二十二尺;或谓圆径一百一十三,周围三百五十五。径一而周三一四,犹自径多围少;径七而周二十二,却是径少周多;径一百一十三,周三百五十五,最为精密。其考究之术,两百眼茶盘一,眼广一寸,方图之内,画为圆图,径十寸,圆内又画小方图。小方以算术展为圆象,自四角之方,添为八角曲圆为第一次。若第二次,则为曲十六。第三次为,则曲三十二。第四次则为曲六十四。凡多一交,其曲必倍。至十二次,则其为曲一万六千三百八十四。其初之小方,渐加渐展,渐满渐实,角放愈多,而其为方者不复方,而变为圆矣。今先以第一次言之,内方之弦十寸,名大弦,自乘得一百寸,名大弦幂,内方之勾幂五十寸,名第一次大勾幂。以第一次大勾幂,减其大弦幂,余五十寸,名大股幂,开方得七寸七厘一毫有奇,名第一次大股。以第一次大股减其大弦,余二寸九分二厘八毫有奇,名第一较,折半得一寸四分六厘四毫有奇,名第一次小勾。此小勾之数。乃内方之四边与圆围最相远处也。以第一次小勾自乘,得二寸一分四厘四毫有奇,名第一次小勾幂。以第一次大勾幂,折半得二十五寸。又折半得十二寸五分,名第一次小股幂,并第一次小勾幂,得一十四寸六分四百四毫有奇,名第一次小弦幂,开方得三寸八分二厘六毫有奇,名第一次小弦,即是八曲之一。八乘第一次小弦,行三十寸六分一厘有奇,即是八曲之周围也。此以小数求之,不若改为大数,将大弦改为一千寸,然后依法而求。若求第二次者,以第一次小弦幂,就名第二次大勾幂。以第一次大股幂减其大弦幂余,为第二次大股幂。开方为第二次大股,以减其大弦余为第二较,折半名二次小勾。此小勾之数,即是八曲之边,与圆围最相远处也。以第二次小勾自乘,名第二次小勾幂。以第二次大勾幂两折,名第二次小股幂。以第二次小股幂并第二次小勾幂,名第二次小弦幂,开方为第二次小弦,即是十六曲之一。以十六乘第二小弦即是十六曲之周围也。以第二次仿第一次,若至十二次,亦递次相仿。置第十二次之小弦,以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之,得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇,即是千寸径之周围也。以一百一十三乘之,果得三百五十五。故言其法精密。要之方为数之始,圆为数之终。圆始于方,方终于圆。周髀之术,无出于此矣。

  友钦阐明历理,于授时术尤为深得,传其学于龙游人朱晖。有元一代,不为历官,而知历者,友钦一人而已。

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