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弧矢算术 明 顾应祥

弧矢算术 明 顾应祥
  欽定四庫全書     子部六
  弧矢筭術       天文算法類二【算書之屬】提要
  【臣】等謹案弧矢算術一卷明顧應祥撰應祥有人代紀要已著録弧矢之法始於元郭守敬授時歷草其有弧背求矢草立天元一為矢云云反覆求之至得三乘方積數及廉隅縱數而止不載開方筭式大抵開諸乘方法尚為當時疇人所習抑或别有專書皆不可知其弦矢相求及弧容直濶諸法皆以勾股法御之明唐順之謂為步日躔月離源頭作弧矢論以示顧應祥應祥遂演為是書名其編曰弧矢算術應祥未明立天元一法故置之不論惟補其開帶縱三乘之式並詳各弦矢相求之法與測圓海鏡分類釋術之作相同亦專備其數使學者可考而已乾隆四十六年二月恭校上
  總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
  總校官【臣】陸費墀



  弧矢算術序
  弧矢一術古今算法所載者絶少錢唐吳信民九章法止載一條四元玉鑑所載數條皆不言其所以然之故沈存中夢溪筆談有割圓之法雖自謂造微然止於徑矢求弦而於弧背求矢截積求矢諸法俱未備予每病之南曹訟牒頗暇乃取諸家算書間附己意各立一法名曰弧矢算術藏諸篋笥俟高明之士取正焉未敢謂盡得其閫奥也嘉靖壬子春三月吉吳興顧應祥識


  弧矢論說
  弧矢者割圓之法也割平圓之旁狀若弧矢故謂之弧矢其背曲曰弧背其弦直曰弧弦其中衡曰矢而皆取法於徑徑也者平圓中心之徑也背有曲直弦有脩短係于圓之大小圓大則徑長圓小則徑短非徑無以定之故曰取則于徑而其法不出於勾股開方之術以矢求弦則以半徑為弦半徑减矢為股股弦各自乘相减餘為實平方開之得勾勾即半截弦也以弦求矢亦以半徑為弦半截弦為勾勾弦各自乘相减餘為實平方開之得股股乃半徑减矢之餘也以减半徑即矢或以矢减全徑為勾股和以矢為勾股較乘之亦得勾筭即半截弦筭也矢自乘圓徑除之得半背弦差倍以加弦即弧背以半背弦差除矢筭亦得圓徑半截弦自乘為實以矢除之得矢徑差加矢即圓徑以矢加弦以矢乘而半之即所截之積也倍截積以矢除之减矢即弦倍截積以弦為從方開之即矢惟弧背與徑求矢截積與徑求矢開方不能盡用三乘方法開之弧背求矢以半弧背筭與徑筭相乘為實徑乘徑筭為從方徑筭為上亷全背與徑相乘為下亷約矢乘上亷以减從方以矢自乘以减下亷又以矢乘餘下亷與减餘從方為法除實得矢曷為以矢乘上廉减從方也蓋從方乃徑與徑筭相乘其中多一矢乘徑筭之數故减之曷為又以矢自乘以减下亷也下亷乃背徑相乘其中多一矢自乘之數故亦减之减之則法與實相合矣以截積求矢則倍積自乘為實四因積為上亷四因徑為下亷五為負隅約矢以隅因之以减下亷又以矢一度乘上亷兩度乘下亷併而為法矢减下亷者何也矢本减徑而得故减徑以求之五為負隅者何也凡以方為圓每一寸得虛隅二分五釐四其虚隅與四其矢合而為五也四其亷者何也倍積則乘出之數為積者四故亦四其亷以就之升法以就實也若以截弦與截餘外周求矢則以弦筭半弦筭相乘四而三之為實併弦及餘周為益方半弦乘弦加弦筭為從上亷併亷及餘周為下亷以約出之矢乘上亷又以矢自乘再乘為隅法併上亷以减益方矢自之以乘下亷併减餘從方為法除實得矢



  方圓論說【附】
  世之習算者咸以方五斜七圍三徑一為凖殊不知方五則斜七有奇徑一則圍三有奇故古人立法有勾三股四弦五之論而不能使方斜為一定之法有割圓矢弦之論而不能使方圓為一定之法試以勾股法求之勾股各自乘併為弦實平方開之此施之於長直方則可若一整方勾五股五各自乘併得五十平方開之得七而又多一筭矣割圓之法求矢求弦固是至於求弧背則恐未盡也何以知之試以平圓徑十寸者例之中心剖開矢闊五寸自乘得二十五寸以徑除之得二寸五分為半背弦差倍之得五寸以加弦得一十五寸與圍三徑一之論正合然徑一則圍三有奇奇數則不能盡矣以是知弧背之說猶未盡也不特是也凡平圓一十二立圓三十六皆不過取其大較耳或曰密率徑七則圍二十二徽率徑五十則圍一百五十七何不取二術酌之以立一定之法曰二術以圓為方以方為圓非不可但其還原與原數不合數多則散漫難收故算歷者止用徑一圍三亦勢之不得已也曰歷家以徑一圍三立法則其數似猶未精然郭守敬之歷至今行之無弊何也曰歷家以萬分為度秒以下皆不録縱有小差不出於一度之中况所謂黄赤道弧背度乃測驗而得止以徑一圍三定其平差立差耳雖然行之日久安保其不差也竊嘗思之天地之道隂陽而已方圓天地也方象法地静而有質故可以象數求之圓象法天動而無形故不可以象數求之方體本静而中斜者乃動而生陽者也圓體本動而中心之徑乃静而根隂者也天外陽而内隂地外隂而内陽隂陽交錯而萬物化生其機正在於奇零不齊之處上智不能測巧歷不能盡者也向使天地之道俱可以限量求之則化機有盡而不能生萬物矣余因論方圓之法而併著其理如此
  欽定四庫全書
  弧矢筭術       明 顧應祥 撰
  圓徑與截矢求截弦
  術曰半徑為弦半徑减矢為股各自乘相减餘為勾筭平方開之得勾即半截弦
  又曰以矢减徑以矢乘之即半截弦筭
  圓徑十寸從旁截一弧矢闊一寸問截弦
  答曰六寸
  術曰半徑自之得二十五 半徑减矢自之得一十六寸相减餘九平方開之得三倍之即截弦
  又曰圓徑自之得一百為弦筭圓徑减倍矢自之得六十四為股筭相减餘三十六為勾筭平方開之得全弦
  圓徑十三步截矢闊四步問截弦
  答曰十二步
  術曰半徑筭四十二步【二五】减矢半徑筭六步【二五】相减餘三十六步為勾筭
  又曰全徑筭一百六十九 减倍矢徑筭二十五相减餘一百四十四平方開之得全截弦
  圓徑九十步截矢九步問截弦
  答曰五十四步
  術同
  圓材徑二尺五寸鋸板欲厚七寸問闊幾何
  答曰板闊二尺四寸
  術曰圓徑為弦自之得六十二尺五寸 板厚為勾自之得四尺九寸相减得五十七尺六寸為股筭平方開之



  【闕】

<子部,天文算法類,算書之屬,弧矢算術,弧矢算術>
<子部,天文算法類,算書之屬,弧矢算術,弧矢算術>

  商得
  一寸 置一於左上為法 置一乘上亷仍得一十四寸 置一隅因得五以减下亷餘三十五寸 置一自之以乘下亷仍得三十五寸併上亷得四十九為下法
  圓徑九十步從旁截積二百八十三步半問截矢答曰矢九步
  術曰倍積自之得三十二萬一千四百八十九步為正實 四因積得一千一百三十四為上亷 四因徑得三百六十為下亷 五為負隅 商得九 置一於左上為法 置一乘上亷得一萬○二百○六置一隅因得四十五以减下亷餘三百一十五 置一自之以乘餘下亷得二萬五千五百一十五併上亷共二萬五千七百二十一為下法
  圓徑九十步從旁截積八百一十步問矢
  荅曰矢一十八步
  術曰倍積自之得二百六十二萬四千四百爲正實四因截積得三千二百四十為從上亷 四因圓
  徑得三百六十為從下亷 五爲負隅 初商一十置一於左上為法 置一乘上亷得三萬二千四
  百 置一以隅因之得五十以减從下亷餘三百一十 置一自之以乘餘下亷得三萬一千 併上亷共六萬三千四百為下法與上法相乘除實六十三萬四千 餘實一百九十九萬○四百未盡 倍上亷得六萬四千八百初商自之三因得三百為下亷方法 初商三之得三十為下亷亷法 初商自乘再乘隅因得五千為下亷减隅 次商八 置一於左上為法 置一乘上亷得二萬五千九百二十併倍上亷共九萬○七百二十 置一併入初商得一十八以隅因之得九十以减從下亷餘二百七十以方法乘之得八萬一千 置一乘亷法得二百四十以乘餘下亷得六萬四千八百 置一自之得六十四以乘餘下亷得一萬七千二百八十减去减隅五千止存一萬二千二百八十 下亷方亷隅共一十五萬八千○八十併上亷共二十四萬八千八百為下法與上法相乘除實盡
  又術次商八 置一於左上為法 倍初商加次商得二十八以乘上亷得九萬○七百二十 置一隅因得四十以减餘下亷止存二百七十倍初商加次商併初次商因之得五百○四加初商自之一百共六百○四以乘二百七十得一十六萬三千○八十以初商自乘再乘隅因得五千减之止存一十五
  萬八千○八十併上亷共二十四萬八千八百為下法
  又為添積開三乘方法
  術曰倍積自之得二百六十二萬四千四百為正實四因截積得三千二百四十為上亷 四因圓徑
  得三百六十為下亷 五為負隅
  初商一十 置一於左上為法 置一自之又自之得一萬為三乘方面以隅因之得五萬為益實加入正實得二百六十七萬四千四百為通實 置一乘上亷得三萬二千四百 置一自之以乘下亷得三萬六千併上亷共六萬八千四百為下法與上法相乘除實六十八萬四千 餘實一百九十九萬○四百未盡為次商正實
  次商八 置一於左上為法 置一加初商自之又自之得一十○萬四千九百七十六為三乘方面以隅法因之得五十二萬四千八百八十内减初益實五萬餘四十七萬四千八百八十為益實加入次正實共二百四十六萬五千二百八十為通實 倍初商加次商得二十八以乘上亷得九萬○七百二十倍初商加次商得二十八併初次商一十八相因
  加初商自乘共六百○四以乘下亷得二十一萬七千四百四十 併上亷共三十○萬八千一百六十與上法相乘除實盡
  圓徑八十九步從旁截積一千三百一十二步半問截矢
  答曰矢二十五步
  不用倍積術曰積自之得一百七十二萬二千六百五十六步【二五】 截積一千三百一十二步半為上亷徑八十九步為下亷以一步二分五釐為負隅初商二十 置一於左上為法 置一乘上亷得二萬六千二百五十 置一以隅因之得二十五以减下亷餘六十四 置一自之以乘餘下亷得二萬五千六百併上亷得五萬一千八百五十為下法與上法相乘除實一百○三萬七千 餘實六十八萬五千六百五十六步二五未盡
  次商五 置一於左上為法 置一以隅因之得六步二分五釐以减餘下亷餘五十七步七分五釐倍初商加次商得四十五以乘上亷得五萬九千
  ○六十二半 倍初商加次商併初次商因之得一千一百二十五加初商自之四百共一千五百二十五以乘餘下亷得八萬八千○六十八步七五 内减初商自乘再乘隅因一萬 止存七萬八千○六十八步七五併上亷共一十三萬七千一百三十一步二五 與上法相乘除實盡
  解曰弧矢狀類勾股勾股得直方之半故倍其積以股除之即得勾弧背曲倍積則長一弦而又一矢以矢乘積倍之恰得一弦一矢之數因未知矢故以積自乘為實約矢一度乘積以為上亷兩度乘徑以為下亷併之為法而後可以得矢用三乘者何也積本平方以積乘積是兩度平方矣故用三乘方法開之上亷下亷俱用四因者何也倍積則乘出之數為積者四故上下亷俱四以就之减徑者何也徑乃圓之全徑矢乃截處之勾矢本减徑而得故亦减徑以求矢五為負隅者何也凡平圓之積得平方四之三在内者七五在外者二五不拘圓之大小每方一尺該虚隅二寸五分四其矢得四四其虚隅得一合而為五亦升實就法之意如不倍積亷不用四因以一二五為隅法亦通 或不减徑作添積三乘方法亦通



  圓徑與截積求截弦
  術曰倍積以矢除之减矢即弦
  又法用矢徑求弦術
  圓徑八十九步從旁截積一千三百一十二步半問截弦
  答曰弦八十步
  術曰倍積得二千六百二十五步以求出矢二十五除之得一百○五步乃一弦一矢减矢即弦
  又曰倍矢减徑餘三十九自之得一千五百二十一為勾筭全徑自之得七千九百二十一為弦筭相减餘六千四百為股筭平方開之
  若求弧背以徑除矢筭即半背弦差
  圓徑與弧背求矢
  術曰半弧筭徑筭相乘為實徑乘徑筭為從方徑筭為上亷徑背相乘為下亷以上亷减從以隅减下亷三乘方法開之
  平圓徑十尺從旁截處弧背八尺八寸問矢
  答曰矢二尺
  術曰半弧背自之得一十九尺三寸六分 徑自之得一百尺 相乘得一千九百三十六尺為正實徑乘徑筭得一千尺為從方 徑筭一百尺為上亷全背乘徑得八十八尺為下亷
  約商二尺 置一於左上為法 置一乘上亷得二百尺以减從方餘八百尺 置一自之得四以减下亷餘八十四尺 又以二乘餘下亷得一百六十八尺 併從方共九百六十八尺為下法
  又術商矢减徑存八尺以矢乘之得十六平方開之即得半弦
  平圓徑九十步旁截邊弧背五十五步八分問矢答曰九步
  術曰半背筭七百七十八步四一 徑筭八千一百二筭相乘得六百三十○萬五千一百二十一為正實 徑乘徑筭得七十二萬九千為從方 徑筭八千一百為上亷 徑背相乘得五千○二十二為下亷如前法求之
  平圓徑九十步旁截弧背七十九步二分問矢
  答曰矢一十八步
  術曰半弧筭一千五百六十八步一六 徑筭八千一百 二筭相乘得一千二百七十○萬二千○九十六為正實 徑乘徑筭得七十二萬九千為益從方 徑筭八千一百為上亷 徑背相乘得七千一百二十八為下亷
  初商一十 置一於左上為法 置一乘上亷得八萬一千以减從方餘六十四萬八千 置一自之得一百以减下亷餘七千○二十八 置一乘餘下亷得七萬○二百八十併减餘從方共七十一萬八千二百八十為下法與上法相乘除實七百一十八萬二千八百餘實五百五十一萬九千二百九十六未盡
  次商八 置一於左次為上法 倍初商加次商得二十八以乘上亷得二十二萬六千八百以减益從方餘五十○萬二千二百為從方 併初次商得一十八自之得三百二十四加初商自之一百為四百二十四以减下亷餘六千七百○四 倍初商加次商得二十八因之得一十八萬七千七百一十二併入從方共六十八萬九千九百一十二為下法與上法相乘除實盡
  解曰徑除矢筭得半背弦差今以弧背求矢故亦用半背筭與徑筭相乘為實以徑乘徑筭為從方而從方内多一矢乘徑筭之數故以徑筭為上亷以矢乘而减之然從方得矢之方而未得矢之亷也故又以全背與徑相乘為下亷而下亷之中又多一矢自乘之數故又約矢以减之而以餘數乘矢為下亷併從方以為法
  假如周天徑一百二十一度七十五分二十五秒【歷書中不用秒故因之】
  黄赤道内外弧背二十四度 問矢度
  答曰四度八十四分八十二秒
  術曰半弧背自之得五百七十六度為半弧背筭周天徑自之得一萬四千八百二十三度○六分二十五秒為徑筭 二筭相乘得八百五十三萬八千○八十四度為正實 徑乘徑筭得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五為益從方 以徑筭為上亷 倍半弧背得四十八度以乘周徑得五千八百四十四度為下亷
  初商四度 置一於左上為法 置一乘上亷得五萬九千二百九十二度二十五分以减益從方餘一百七十四萬五千四百一十五度六十○分九十三秒七五置一自之得一十六度以减下亷餘五千八百二十八度又以四度因之得二萬三千三百一十二度為從亷併從方共一百七十六萬八千七百二十七度六十○分九十三秒七五為下法與上法相乘除實七百○七萬四千九百一十○度四十三分七十五秒
  餘實一百四十六萬三千一百七十三度五十六分二十五秒
  次商八十分 置一於左上為法 置一倍初商共八度八十分以乘上亷得一十三萬○四百四十三度九十五分以减益從方餘一百六十七萬四千二百六十四度九十○分九十三秒七五為從方 置一併初商自之得二十三度○四分加初商自之一十六度共三十九度○四分以减下亷餘五千八百○四度九十六又以八度八十分因之得五萬一千○八十三度六十四分八十秒為從亷 併從方共一百七十二萬五千三百四十八度五十五分七十三秒七五為下法與上【闕】


<子部,天文算法類,算書之屬,弧矢算術,弧矢算術>
<子部,天文算法類,算書之屬,弧矢算術,弧矢算術>

  度九十九分一十八秒五二
  七六又以九度六十九分六十二秒乘之得五萬六千二百○八度七十九分二十四秒○二七三一五一二為從亷 併從方共一百七十一萬七千一百八十九度二十七分三十一秒六五二三一五一二為下法與上法相乘除實三百四十三度四十三分七十八秒五四六三三○四六三○二四
  餘實一百○五度○九分五十五秒五三○○一七六九六九七六不勾一秒之數
  圓徑與弧背求截弦
  術曰求得矢用矢求弦術
  圓徑與弧背求截積
  術曰求得矢用矢徑求積
  截積與截矢求截弦
  術曰倍積减矢筭餘如矢而一即弦
  又曰倍積以矢除之减矢
  圓不知徑從旁截積二百八十三步二分步之一矢闊九步問截弦
  答曰截弦五十四步
  術曰倍積得五百六十七步减矢筭八十一餘四百八十六以矢除之得五十四為弦
  圓不知徑從旁截積八百一十步矢闊一十八步問截弦
  答曰截弦長七十二步
  術同
  截積與截弦求截矢
  術曰倍積以弦為從方平方開之
  圓不知徑從旁截積二百八十三步二分步之一截弦長五十四步問矢
  答曰九步
  術曰倍積得五百六十七為實 以五十四為從方約商九 置一於左上為法 置一帶從得六十三為下法與上法相乘除實盡
  圓不知徑從旁截積八百一十步弦長七十二步問矢答曰矢一十八步
  術曰倍積得一千六百二十為實 以七十二為從方
  初商一十 置一於左上為法 置一帶從方共八十二為下法與上法相乘除實八百二十 餘實八百 倍初商得二十帶從方共九十二為方法次商八 置一於左上為法 置一帶方法共一百為下法與上法相乘除實盡
  截積與截矢求圓徑
  術曰先求出弦半之為筭如矢而一即矢徑差又曰積自乘减矢自乘乘積餘為實矢自乘再乘為法除之加虛隅即徑
  圓不知徑從旁截積六十二步半矢五步問徑
  術曰積自之得三千九百○六步二五 矢自之乘積得一千五百六十二步五相减餘二千三百四十三步七五為實矢自乘再乘得一百二十五為法除之得一十八步七五矢乘虚隅一步二分五釐得六步二分五釐加入即圓徑二十五
  截積與截弦求圓徑
  術曰先求得矢矢除半弦筭加矢即徑
  圓不知徑從旁截積一千三百一十二步半截弦長八十步問圓徑幾何
  答曰圓徑八十九步
  術曰先倍積以弦為從方平方開之得矢二十五步後用半弦自之得一千六百步以矢除之得六十四為矢徑差加矢即圓徑
  截積與截矢求截弧背【弦求弧背同】
  術曰先求得徑以除矢筭得半背弦差
  截矢與弦求圓徑
  術曰半弦自之如矢而一為矢徑差
  圓不知徑從旁截一弧矢闊九步弦長五十四步問圓徑
  答曰圓徑九十步
  術曰半弦自之得七百二十九以矢除之得八十一為矢徑差加矢即徑
  截矢與弦求截弧背
  術曰先求得徑以除矢筭為半背弦差
  截矢與截弦求截積
  術曰以矢加弦以乘矢得二積
  截弦與外周求截矢【外周乃割殘之周也】
  術曰弦筭半弦筭相乘四而三之為實併弦及殘周乘半弦筭為益方倍半弦筭加弦筭為從上亷併弦及殘周為下亷以隅併上亷减從以餘從併下亷為法三乘方法開之
  平圓旁割一弧截處弦五十四步外殘周二百一十四步二分問截矢幾何
  答曰矢九步
  術曰弦自之得二千九百一十六為弦筭 半弦自之得七百二十九為半弦筭 二筭相乘得二百一十二萬五千七百六十四四而三之得一百五十九萬四千三百二十三為正實 弦併殘周共二百六十八步二分以半弦筭乘之得一十九萬五千五百一十七步八分為益方 倍半弦筭加全弦筭得四千三百七十四為從上亷 弦併殘周得二百六十八步二分為下亷一為隅法
  商得九 置一於左上為法 置一乘上亷得三萬九千三百六十六為减亷 置一自之為八十一以乘下亷得二萬一千七百二十四步二分為益亷置一自乘再乘得七百二十九為隅法併入减亷共四萬○○九十五 以减從方餘一十五萬五千四百二十二步八分併入下亷共一十七萬七千一百四十七步為下法
  圓田一段西邊被水浸入一弧弦長二十步外殘周五十三步問矢闊田徑田積
  答曰截矢闊五步圓徑二十五步 弧背二十二步術曰如積求之得三萬為正實 七千三百為益方六百為從上亷七十三為益下亷 一為正隅 三乘方開之得矢闊 矢除半弦筭加矢得徑 倍矢筭以徑除之得背弦差加弦即弧背 徑自之四而三之得田積
  圓田水浸一弧弦長七十二步外有殘周一百九十○步八分問矢闊
  答曰矢闊一十八步 弧背七十九步二分
  圓徑九十步 原田二十五畝三分一釐二毫五絲術曰先求矢闊 弦筭五千一百八十四 半弦筭一千二百九十六相乘得六百七十一萬八千四百六十四步四歸三因得五百○三萬八千八百四十八為正實 併弦及殘周共二百六十二步八分以半弦筭乘之得三十四萬○五百八十八步八分為益從方 倍半弦筭加全弦筭得七千七百七十六為减上亷 弦併殘周二百六十二步八分為益下亷
  初商一十 置一於左上為法 置一乘减上亷得七萬七千七百六十為减亷 置一自之以乘益下亷得二萬六千二百八十為益亷 置一自乘再乘得一千為减隅併入减亷共七萬八千七百六十為减從之算以减益方餘二十六萬一千八百二十八步八分為從方併益亷共二十八萬八千一百○八步八分為下法 與上法相乘除實二百八十八萬一千○八十八 餘實二百一十五萬七千七百六十未盡
  二因减上亷得一十五萬五千五百二十
  三因益下亷得七萬八千八百四十為益亷之方四因隅法得四千為方法
  又以初商三之以乘益下亷得七千八百八十四為益亷之亷 初商自之六因得六百為隅上亷初商四之得四十為隅下亷


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