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同文算指 明 李之藻

同文算指 明 李之藻
  欽定四庫全書     子部六
  同文算指       天文算法類二【算書之屬】提要
  【臣】等謹案同文算指前編二卷通編八卷明李之藻演西人利瑪竇所譯之書也前編上下二卷言筆算定位加減乘除之式及約分通分之法通編八卷以西術論九章卷一曰三率凖測即古異乘同除曰變測即古同乘異除曰重測即古同乘同除卷二卷三曰合類差分曰和較三率曰洪衰互徵即古差分又謂之衰分卷四曰疊借互徵即古盈朒卷五曰雜和較乘即古方程卷六曰測量三率即古勾股曰開平方曰奇零開平方即古少廣卷七曰積較和開平方卷八曰帶縱諸變開平方曰開立方曰廣諸乘方曰奇零諸乘方皆即古少廣按九章乃周禮之遺法其用各殊為後世言數者所不能易西法惟開方【即古少廣】勾股各有專術餘皆以三率御之若方田粟布差分商功均輸五章本可以三率御之至于盈朒以御隱雜互見方程以御錯糅正負則三率不可御矣蓋中法西法固各有所長莫能相掩也是書欲以西法易九章故較量長短俱有增補其論三率比例視中土所傳方田粟布差分諸術實為詳悉至盈朒方程二術則皆仍舊法少廣畧而未備且法與數多出入之處梅文鼎方程餘論曰幾何原本言勾股三角備矣同文算指于盈朒方程取古人之法以傳之非利氏之所傳也又曰諸書之謬誤皆沿之而不能察其必非知之而不用能言之而不悉亦可見矣誠確論也然中土算書自元以來散失尤甚未有能起而蒐輯之者利氏獨不憚其煩積日累月取諸法而合訂是編亦可以為算家考古之資矣乾隆四十六年十月恭校上
  總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
  總校官【臣】陸費墀


  同文算指前編序
  古者教士三物而藝居一六藝而數居一數於藝猶土於五行無處不寓耳目所接已然之迹非數算紀聞見所不及六合而外千萬世而前而後必然之驗非數莫推巳然必然總歸自然乘除損益神智莫增矞詭莫掩顓蒙莫可誑也惟是巧心濬發則悟出人先功力研熟則習亦生巧其道使人心心歸實虚憍之氣潛消亦使人躍躍含靈通變之才漸啓小則米鹽凌雜大至畫野經天神禹賴矩測平成公旦從周髀窺驗誰謂九九小數致遠恐泥嘗試為之當亦賢於博奕矣乃自古學既邈實用莫窺安定蘇湖猶存告餼其在於今士占一經耻握從衡之算才高七步不嫺律度之宗無論河渠歷象顯忒其方尋思吏治民生隂受其弊吁可慨已往遊金臺遇西儒利瑪竇先生精言天道旁及算指其術不假操觚第資毛穎喜其便於日用退食譯之久而成帙加減乘除總亦不殊中土至於奇零分合特自玄暢多昔賢未發之旨盈縮句股開方測圜舊法最囏新譯彌捷夫西方遠人安所窺龍馬龜疇之秘隸首商高之業而十九符其用書數共其宗精之入委微高之出意表良亦心同理同天地自然之數同歟昔婆羅門有九執歷寫字為算開元擯為繁瑣遂致失傳視此異同今亦無從參考若乃聖明在宥遐方文獻何嫌並蓄兼收以昭九譯同文之盛矧其禆實學前民用如斯者用以鼓吹休明光闡地應比夫獻琛輯瑞儻亦前此希有者乎僕性無他嗜自揆寡昧游心此道庶補幼學灑掃應對之闕爾復感存忘之永隔幸心期之尚存薈輯所聞釐為三種前編舉要則思已過半通編稍演其例以通俚俗間取九章補綴而卒不出原書之範圍别編則測圜諸術存之以俟同志今廟堂議興歷學通算與明經並進傳之其人儻不與九執同湮至於緣數尋理載在幾何本本元元具存實義諸書如第謂藝數云爾則非利公九萬里來苦心也
  萬歷癸丑日在天駟仁和李之藻振之書於龍泓精舍



  欽定四庫全書
  同文算指前編卷上
  明 李之藻 撰
  定位第一
  古法用竹徑一分長六寸二百七十一而成六觚為一握度長短者不失毫釐量多少者不失圭撮權輕重者不失黍纍紀於一協於十長於百大於千衍於萬算之原也後世乃為珠算而其法較便然率以定位為難差毫釐失千里矣兹以書代珠始於一究於九隨其所得而書識之滿一十則不書十而書一於左進位乃作○於本位【○一】曰一十由十進百由百進千由千進萬皆倣此
  假如四萬三千二百一十作何排列
  自左方寫起平行大數列左小數列右若從小數起積者每滿十則進位一十者書一二十者書二餘倣此若大數積多則於左方漸進加字如後圖萬億兆京是也若小數積餘則於右方漸退加字如兩下有錢錢下有分分下有釐又有毫有絲有忽之類是也
  大衍式
  几度十丈曰引五丈曰端四丈曰疋十尺曰丈十寸曰尺十分曰寸而計田則横一丈縱六十丈為畝【即濶一步長二百四十步】四分其畝為一角角得方丈者十五十分其畝為一分分得方丈者六得方尺者六百分以下釐毫析之而以百畝為頃五項四十畝為丘凡量六粟為圭十圭為撮十撮為抄十抄為勺滿十而進之為合為升為斗為石亦曰斛凡衡以兩為君兩有十錢錢有十分自分以下十而析之曰釐曰毫曰絲曰忽曰微曰纎曰沙曰塵曰埃曰渺曰漠至細之倪惟所立名而十六兩為斤二百斤為引今公私通用之則也古法之衡則十黍為纍十纍為銖八銖為錙六銖為分二十四銖為兩兩即四分也兩又四之自乘一十六以象四時是命曰斤計銖三百八十有四當朞之月又以十五斤為稱二稱為鈞四鈞為石度則古尺長短不一丈尺而外别以七尺為施八尺為仞亦為尋倍尋為常量則六十四黍為圭又有四升之豆四豆之區四區之釡十釡之鍾十六斗之庾十六斛之秉今皆不用 凡錢千文為緡五緡為綻凡鈔五貫為錠錠當錢千里法三百六十步步法今用五尺
  歷法每度百分每分百秒西歷則積六十秒為分積六十分為度秒以下俱以六十析之
  右式三位而成百五位而成萬九位而成億十七位而成兆二十五位而成京自京至垓自垓至秭以極於正於載皆以萬萬遞加是謂中數昔者黄帝為法數有十等及其用也乃有三焉十等者億兆京垓秭壤溝澗正載三等者謂上中下也其下數者十十變之若言十萬曰億十億曰兆十兆曰京也中數者萬萬變之若言萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京也上數者數窮則變若言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京也從億至載終於大衍下數淺短計事不盡上數宏廓世不可用故其傳業惟以中數舉一中數而天地鬼神人物之紀思議之所不及者皆盡之矣况更有上數在乎由旬刹那吾無取焉爾
  加法第二
  凡數惟加法最易加之不已至於無算故算首論加加也併也積也一也少曰併多曰積皆加也列散數於上各横置以類相比【如十從十百從百及兩從兩斗從斗之類】先從小數併之而以所得數紀本位下遇十則進一位遇百則進二位第一圖 係進一位式
  【倂四七九得二十下紀○ 二進位併五八八又併前二得二十三下紀三二進位併六九七八又倂前二得三十二下紀二三進位併八六又併前三得一十七下紀七一進位併一五又併前一得七下紀七】
  【只七下紀七】
  右式散數四項列格上併總得數七十七萬七千二百三十列格下
  第二圖 係進二位式
  【初併一百零二下紀二以一百進二位
  次併五下紀五
  再併一十六前一得一十七下紀七一進位
  終併連前共得二十三下紀三二進位】

  右式散數一十二項併總得數二萬三千七百五十二
  以上二圖盡加法矣另有試法具後
  一法先自上數下得若干復自下數上得若干然後紀總一法以減法試加隨意減一行得若干再加所減仍得若干
  又有將散數總數錯綜覈之者有九減七減二法先減散數餘若干次減總數餘若干以其所餘兩數對列相較同則無差異則有差
  第一圖用九減
  此法不論進位只以見數為
  準纍用九減去○不用先以
  散數九減之餘置於左次以
  總數九減之餘置於右俱得
  八故知不差

  又用七減
  此法與九減者稍異乃以實數七七減之從左起連○算者如首行首七竞減淨 次【○一】減七餘三 次即作【六三】減七餘一 次作【五一】減七餘一 次作【四一】七減無餘乃於首行之左格外紀○ 又以次行之首【九八】七減餘五 次即作【○五】七減餘一 次作【七一】七減餘三乃於次行之左格外紀三 其第三行依法減之餘得五第四行依法減之亦餘得五各以紀於其左 次將總數七減如前法餘得六 乃合四項散數所七減而餘者據見數更七減之三五五餘得六紀於□左以總數所餘之六紀於右六六相合固知不差
  第二圖用九減
  【先減散去九不用六箇八
  共四十八餘三加次行五
  得八又加次行得二十四
  又加末行得四十六九減
  餘一紀左次閲總數共一
  十九九減亦餘一紀右】
  又用七減
  照前七減法先將散
  數逐減紀左纍
  而減之餘一次
  將總數亦以七
  減餘一相合無差
  右九減七減法繁碎難用然出巧思具至理錄之備翫
  減法第三
  減與加反用稽所餘其法先較數之多寡多中減寡亦自右方小數減起以漸進位其辨多寡之法於左方首位辨之首位相等乃視次位次復相等逐位退求則多寡分焉
  【此數首位視之
  相等然退至三
  位上係一千下
  係九百九十九】
  既審多寡乃以原數列上減數列下依法右起所餘逐紀於下如就多中減少者不須别立借法如後第一圖若少内減多須立借法以通其變如後第二圖云
  此上下相減俱係以少減多
  不須更立借法
  第二圖【亦係以少減多但中有上數小下數反大者須立借法】



  右借法乃借大數兼小數以便總減者又法直於借數一十用減却加入本數尤為便捷假如二不能減九當借作一十二内減九得三今却不作一十二只就所借一十之内先減九餘一次乃加二仍得三也先減後加比前較易
  以上二圖減法盡矣其間有差與否何以覈之
  一法用加法驗之以減數合減餘數得原數【如三加六合原九之類】又法以減餘數減其原數應與所減數合【如原數七減二餘五今却減五合餘二為不差】
  亦有用九減七減二法者俱以第一行原數為一項第二行減數第三行餘數共為一項而較零之同否同即不差
  九減        七減

  【減數首作六十七餘四次作四十八餘
  六又作六十二餘六又作六十三無
  零其餘數首作三十九餘四次作四
  十三餘一次作一十二餘五次作五
  十三餘四次作四十一餘六次作六
  十一餘五紀右五五相合無差】
  乘法第四
  既知加減當論因乘單位曰因位多曰乘通謂之乘凡乘之數妙於九九作九九圖
  九九相乘圖
  首横一行自上讀下右直
  一行自右讀左其相值處
  即是乘得數指掌可盡也


  附九九相乘歌
  一一如一  一二如二  二二如四  一三如三二三如六  三三如九  一四如四  二四如八三四一十二 四四一十六 一五如五  二五得一十三五一十五 四五得二十 五五二十五 一六如六二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六得三十六六三十六 一七如七  二七一十四 三七二十一四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九一八如八  二八一十六 三八二十四 四八三十二五八得四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四一九如九  二九一十八 三九二十七 四九三十六五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二九九八十一
  又法就小乘得大乘不用九而用十假如二數並列因其數大難乘未知乘得若干且連註二數而取十數與較看所不足若干因連註不足數於本數右平衡相對其所不足數必其小於原數者也小者易乘乃以不足數上下相乘註乘得數於下為單數又以不足數與原數上下互減註減餘數於其下為進位數即得所求大乘數
  右法專為未熟大乘者設也若小數相乘不必用此蓋以小數減十則不足之數反多而乘出亦多但多出十數外者以十外之數寄於進位就於互除還之其數未嘗不合
  【左七俱得三合     三三如九所寄進位一共得四是為六七四十二】
  既知乘數乃列乘位凡乘亦從右小數乘起次第進位徧乘有以一位乘一位者有以一位乘二位【十數】三位【百數】及數十位者有以二位乘一位或二位三位以至數十百位者其變無窮其法一定
  若以幾位乘幾位者無拘上下隨意互乘
  上圖位數相近隨意互乘如第一圖者先以八乘上四次九次三次○○六四俱徧各以其乘得數置本位下次乃以七乘四乘九乘三乘○而以乘四所得置於七本位下以乘九所得置於七進一位下以乘三所得置於七進二位下其餘徧乘倣此畢乘諸位仍以加法通併詳具於後


  二位乘【此以三十八乘三百九十四者是為二位乘】先以八徧乘上三位如前法次亦以三徧乘上三位但以尾位所得置於三本位下而其進位及進乘所得皆以次遞進一位不可紊亂 如三乘四者得【二一】紀二於三下一進位 如三乘九者得【七二】加前一共【八二】紀八於三之次位二又進位 如三乘三者得九加前二得【一一】紀一於又次位一又進位 兩位所乘魚鱗相比畢則總併其數
  以上二圖乘法之大略也覈其差否須以除法還原列乘出總數為實如以第一行為法除之必得第二行數【如前一萬四千九百七十二為實以三百九十四為法除之必得三十八】如以第二行為法除之必得第一行數【如前實以三十八為法除之各得三百九十四數】合即不差又有九除七除法列原數所餘於左列乘數所餘於右左右相乘列乘出數於上乃以乘積總數依法除之餘數列下上下相比同即不差中間逐位乘出散數俱不用
  【首行餘七列左次行餘二列右
  二七乘得一十四以九除餘五
  列上其積出總數亦餘五列下
  依法實除原數首三十九
  餘四次作四十四餘二紀
  左乘數三十八餘三紀右
  二三乘得六紀上次除總
  數一十四除盡次九十七
  餘六次六十二餘六紀下】
  六位乘

  挨身下次以九乘上諸位尾
  位亦挨本身下餘以漸進位
  排列 次以三乘上諸位挨
  身進位如前 次以○徧乘
  上位無乘各挨身照位作○
  紀之或空其本位亦可 次
  以六徧乘上位尾位所得就
  挨六之本身其餘以漸而進
  云

  七位乘
  此即前數上下易位為乘故散
  數不同而總數同

  ○無所乘姑空本位

  試上圖用九除
  用七除
  【依法按實七除首行餘四列左次行
  餘四列右四四一十六仍除餘二列
  上總數餘二列下】
  亦有原數乘數並除而一有零一無零照無乘例只作○
  用九除首行原數無餘列左
  次行乘數餘五列右以五遇
  ○無乘只作○列上次除總
  數無餘亦只作○列下比同

  亦有左右上下俱無零數者
  用九除原數乘數俱無餘左
  右上俱○其總數又無餘亦
  作○比同

  凡乘法或上行原數首尾俱係實數而次行乘數之尾却係幾○或次行乘數首尾俱實數而首行原數之尾却幾○者不必多作諸○第從簡便將各實數如法相乘訖却照其尾餘幾○逐加於後即見全數蓋凡以○乘數者只是作○緣其無可乘出但存其位而已此原數首尾皆實而乘數尾却多○者○無可乘且置不用只以四乘六挨身下數乘徧而止乃將三○系之於尾但不可遺其○位所差不小
  若原數及乘數之尾俱各有○若干即須一一相乘以存其位嗣以實數所乘出者挨次進位不得僅如前圖照位加○而已


  乘得一十
  六也
  右圖上下尾位皆○須留其位故數尾四四未敢竟下挨身必○○徧乘【共得七○為尾】上有○○○亦進三位乃下四四一十六若但就身下數乘畢補○如下圖然則尾少三○其失非小
  若以一數為首而尾帶多○其數雖多總只是一以此相乘無復可乘但照首行原數挨身進位錄之乃視尾有幾○照加於後即成全數


  除法第五
  凡數以少剖多曰除亦名歸除歸者各分所入除者分分除減其義一也法列原數於上層列除數於次層【舊以原數為實除數為法】從左大數除起上下挨身列位然必以小數系大數下若上層原數小下層除數大者須退一位系之詳具左
  列位圖



  凡除法原數列上除數列下於原數尾右界格如半規然而於格外註所得數其歸除率以下字除上字要見幾除而盡如九除而盡者格外註九字八除而盡者格外註八字餘倣此所除不盡之數就原數變之抹原數而書其上凡欲知除出之數得幾位者視除數之末位去原數之尾位得若干字即是歸除所得位數
  一位除【假如七萬六千○四十八數以八除之】
  格右為除得數第一除得九第二除得五未畢

  先看八除【六七】得幾轉以乘法除之八九七十二是九也註九於格右尚餘四變六作四【寫四於六上】削去首七亦削去次行除數之八
  挨身另下八以八除【○四】依乘法五八四十格右再紀五其上層【○四】俱削亦削八
  同前
  第一除得九第二除得五第三除得○第四除得六是為每得九千五百○六恰盡
  第一次除得九削去【六七】及八以六變四 第二次除得五削去【○四】及八盡 另挨身下八八雖不除四而當存其位乃於格右紀○而存四削八 另挨身下八以八除【八四】得六八四十八恰盡紀六於格右削去【八四】及下八畢
  若除數至二位三位者除訖一位挨身布退一位如魚鱗然其格右所註數每次所除不論幾位總之只得一數但其除數首位必須兼顧次位如以首位除之已得某數即取除餘變數為實以所得某數呼次位乘之看是恰盡或有餘否方可紀於格右若有不足則將首位所除量減數以為次位之地【如九乘不足則減而用八如八乘不足則減而用七用六之類】務取通融恰當其三位除四位除者亦如之三位除【此有一百八十三萬二千四百八十七之數而以四百六十九除之先以首四除一十八儘乘得四四一十六用四而餘二然次位是六以六乘二十三不足矣不得不減數從三只用三以除一十八除得三四一十二尚餘六四上八變六進位削一而格右紀三為用數併削首位之四 嗣以三因次位之六三六一十八六上三變五進位四上六變四乃削三削六下又削次位六 嗣以三因九三九二十七九上二變五進位六上五變二乃削二削五亦削九是以三除之餘四十二萬五千四百八十七數故當用三餘再除如後圖】右圖下層次位以三因六三六一十八其六上三變五者三小八大照減法借進位一數於一十之内除八餘得二再加三是變五也
  若除法未熟不妨小註於下假上層【三六】下層用三因六三六一十八即於三下且註八於六下且註一三除八如前借法六除一乃還借除二為六變四餘倣此
  【另退一位挨下四六九先以四除四十二看得幾箇四凡數極於九用九乘
  四九三十六尚餘六四上二變六進位四削盡亦削下首位之四格右紀九
  嗣以次位六因九六九五十四餘一十一六上五變一進位六變一亦削
  下位六嗣以次位九因九九九八十一尚餘
  三十三九上四變三進位一變三係借除進位一削盡亦削九其不盡三
  千三百八十七數再除如後圖】

  【復列四六九而四不能除三姑存其位作○於格右其下層四六九
  皆削去 又列四六九以四除三十三看除得幾轉四八三十二餘
  一矣然六乘一十八則不足故減而用七除得四七二十八四上三
  變五進位削三嗣以六因七六七四十二六上八變六進位五變一
  亦削下位六 嗣以九因七七九六十三九上七變四進位削六緣
  尚有進位之數仍作○以紀其位而削九存一百○四為不盡之數
  不復可分以法命之曰四百六十九之一百○四也以四百六十九
  為母數以一百○四為子數法别詳】
  右尾第二位變六作○緣進位尚有一數須作○以存其位此法切記
  若上層除餘之數反多於下層除數者或上數與下數相等者定是除法有差【只就除過本位上下相較】亦不必另創第將差者抹去而另註所除數於上層之上另註除數於下層之下又另註除得之數於格右以從簡便
  【先以二除一十六當用五却誤用四是宜多反
  少者且如二因四得八六變八削一與六亦削
  下首位二嗣以四因八四八三十二八上二變
  ○進位八變五下削八嗣以四因九四九三十
  六九上三變七進位○變六係借除進位五變
  四下位削九諦視之則餘數反多於分數其數
  可知悉抹之而另註原數於上另註除數於下
  而用五以除之二五除首位一十五八得四十
  進位六變二五九四十五九上三變八進位二
  變七又進位二變一再列二八九用六除二六
  一十二二上七變五進位削一六八四十八八
  上八變○進位五變一六九五十四九上一變
  七進位○變四進位削一 再列二八九用一】
  右誤除乃宜多反少者亦 【除二上四變二八上七變九進位二變一九上】有宜少反多者具後   【四變五進位九變八又列二八九用六除二六
  一十二二上八變六進位削一八上五變七進
  位六變一六九五十四九上九變五進位七變
  二外餘一百二十五數以法命之】
  六有奇

  【此不當用六却誤以六除二六一十二二上六
  變四進削一次位六八四十八却不足抹削另
  起另列二八九於下一六於上而以五分之二
  五除一十五八得四十進位六變二餘如前式
  不差 再列不當用七而誤用七二七一十四
  二上七變三進削一七八五十六即不足削三
  另列一七於上又列用六二六一十二二上七
  變五進削一六八四十八八上八變○進位五
  變一六九五十四九上一變七進位○變四進
  削一不差次用一次用六俱不差】
  右式第二次誤用七除者首位二七一十四可除次位七八五十六却只得三十八既已誤矣儻不知還原如何其法只以下位見除二字與所用七字相乘而加上見乘之三即是還原二七一十四加三得一十七也舉此一端以例其餘
  凡三位四位誤分改正俱用此法該進位者照前法進位乘後加之式具後
  【先用一除之二上四變二三上○變七進位二變一 次該用七却
  誤用六二六一十二二上七變五進削一三六一十八三上四變六
  進位五變三諦視之餘數反多於除數誤也欲還原者先以下層三
  乘所用六三六一十八加上餘數六得二十四知本位還四而以二
  寄於進位次以進位下面二乘六二六一十二加上餘數三再加原
  寄二共得一十七知本位還七進位再還一合正數】
  既已還其正數另以七
  除之二七一十四二上七變三
  進削一三七二十一二上
  四變三進位三變一
  另列二三用六除之二六
  一十二三上三變一進削
  一三六一十八削盡
  若原數既已除盡或未盡有零而欲試其誤否亦用九除七除二法
  用九除者只據見積將下層除數除餘列左以格右用數除餘列右以左右互乘九除餘數列上又以原總數除餘列下如有未盡零數者於左右乘後并入總除列上與原數除餘者相比
  除畢 六
  無零 七           用數一七六餘五列
  右除數二三共五列
  左乘得五五二十五
  九除餘七列上原數
  四四八以九除亦餘
  七列下無差
  【用數餘四列右除數餘二列左相乘
  得八加上零數一三共得一十二以
  九除之餘三列上總數九除亦餘三
  列下相比無差】
  用七除者實積細除同前乘法其除數列左用數列右相乘除餘列上有零者亦併入乘數列上總數餘列下

  【用數一百七十六以七除餘一列右
  除數二十三以七除餘二列左左右
  相乘一二如二列上又將原數四千
  ○四十八以七除餘二列下正同】

  【用數一百九十三以七除餘四列右除數二百三十六以
  七除餘五列左相乘得二十以七除餘六若無奇零則紀
  六於上是己今有零數一百三十再七除餘四併六得一
  十以七除餘三列三於上又將原數四萬五千六百七十
  八亦以七除餘三列下正合】

  又法將除數用數相乘以合原數如奇零不盡者乘後併入假如前式原數四萬五千六百七十八者以除數之二百三十六乘用數之一百十三共四萬五千五百四十八併入零數之一百三十合原數若歸除至半欲訂其誤照前以除數之減餘列左以用數減餘列右相乘又取本位以上除賸位【只至已抹本位而止其未除到者不用】亦減之以併所乘列上以抹過原數減餘列下相比其九法減見數七法減實積數俱同前【此是用二除過一徧者截至左第四位止試之
  用數二列右除數二八九八無餘左列○以○乘二無乘
  却有零九一三除九餘四上列四原數除過四位以九除
  亦餘四相合】
  【用數二列二於右除數二千
  八百九十八以七除無餘列○於左以二乘○無乘却有
  零數九百一十三以七除餘三列上其原數已除四位六
  千七百○九以七除亦餘三相合】
  凡除數隨上原數邐迤右退至於除數尾位撞遇原數尾位而止此外雖有未除零數總係餘分但可以法命之為幾分之幾以其除數多零數少故也【多者為母少者為子】
  若除數尾帶           此以三千八
  多○而原數           百萬而除一
  首尾係數中           百三十九億
  段係○者但           四千六百萬
  看尾隔幾位           零七千八百
  用數該幾位           九十三數其絫
  只須撞尾而           甚多而諦視
  止就截去餘           尾位相值只
  ○且儘實數           該以三位除
  除訖嗣以餘           盡乃姑截去
  ○加之以法           餘○只以三
  命之式具下           八而除一三九
  四六每各得
  三百六十七
  其數已窮其
  餘皆奇零不
  盡之數乃於
  三八之尾照
  位填○為母
  以零數為子
  命之云
  若除數首位數中位○次又有數次又有○者不可便以中○為止務須盡其實數而止惟尾後之○如前法

  用四除之 三四一十二
  三上三變一 進削一 次
  ○○皆無可除者故置不論
  徑除第四位之八 四八
  三十二 八上六變四進位
  四變一 更列三○○八用
  六除之 三六一十八 三
  上九變一進削一置○○不
  分 六八四十八 八上○
  變二 進位四變九 又進
  一變○尚餘一○九二為不
  盡零數乃以除數餘○綴除
  數之尾為母以原數○七六
  九三附零數一○九二之尾
  為子是為三億八十萬之一
  億九百二十萬七千六百九
  十三云
  凡除數首位只一其餘俱○者不必另尋用數即以原數為用至撞除數尾位而止此外皆係奇零不盡之數

  以除數尾尋至原數尾該得
  五位除盡亦只自原數首尾
  起照取五位為用數其餘皆
  係小數不能除矣故作零數
  首列一除四得四 又列一
  除七得七 一除八得八
  一除○還○ 一除九得九
  若原數餘○雖多而實數歸除已盡則其數外之○無復可除雖不撞到尾位亦只據未抹○位逐加用數之後如左圖
  假如有數一億八千六百三十萬而以三百四十五除之每各得五十四萬
  首用五除 三五一十五 三上八變
  五   三進削一 五四得二十  進位三○   變一 五五二十五 五上三變八○   進位六變三 又列用四除 三四一○   十二 三上三變一 進削一 四四○   一十六 四上八變二 進削一 五
  四得二十 五上削○ 進削二畢既已除完其餘不復可除照○位加於格外用數之右
  右加減乘除四法共一卷算學綱
  領習熟自精變化之妙詳載别卷



  同文算指前編卷上
  欽定四庫全書
  同文算指前編卷下
  明 李之藻 撰
  奇零約法第六
  凡數除之不盡者以法命之曰幾分之幾除數為母【法】列上奇數為子【實】列下
  假如列實四十六以七為法除之尚餘四是謂七之四餘倣此
  列位式

  若奇零有二項辨其孰多孰寡以子母二數互參母數相同則但據子數
  若子數相等母數不等者其母數小子數反大母數大
  若子母數俱不等别其多寡者並列以彼此母子互乘得數各註其子數下
  有差遠者       有稍差者
  有相同者

  四之三與八之六同則八之六即四之三
  假如欲知何以皆為四分之三但將子母兩數立通數乘之且如【八四】之【六三】有六數可以通乘六八四十八六六三十六母係六八子係六六便知【八四】之【六三】即是八之六此係有見成乘法可用者
  其積數已多而既難折半又無通數可乘則須另立紐數歸除其法以小減大減盡而止以最後減盡數為用以除子母二數其所除得數即是約數
  假如四十八之三十二即三之二
  於【八四】内減【二三】餘【六一】即以【六一】再減【二三】二次盡乃以一十六為紐數以除【八四】得三是母約數以除【二三】得二是子約數
  假如六百七十六之四百六十八即一十三之九子減母餘二百八以二百八減子數用二轉餘五十二以五十二減二百八恰盡即以五十二為紐數以除六百七十六得一十三是母約數以除四百六十八得九是子約數【凡以小減大者即係除法數相近名減若大小相遠減幾徧者名除】
  其以寡減多終不能盡者不復可約只就見數為則以【七四】減【九五】餘【二一】 以【二一】減【七四】餘【一一】 以【一一】減【二一】餘一不盡
  以【○二】減【三六】餘三 以三減【○二】餘二 以二減三餘一不盡   以上不盡無紐
  奇零併母子法第七
  凡兩子母數不等須先併母較之以兩母相乘得共母數次以兩母互乘兩子各得子數
  又有三四母子不同併較多寡者亦以各母次第徧乘歸併作一共母【為實】乃以各母之數【為法】除之即以各子乘之得各子數
  先併母數二乘三得六又
  以六乘四得二十四又以
  二十四乘五得一百二十
  為共母
  乃以首母二除得六十以首子
  一乘仍六十為其子數
  以次位母三除得四十以子數
  二乘得八十為其子數
  以三位母四除得三十以子數
  三乘得九十為其子數
  以四位母五除得二十四子一
  乘仍二十四為其子數
  若每數相乘遇有紐數可用【一數兩分是為紐數即前法】即用紐數除之以其所得相乘以省約法

  右用一紐數而前之乘得一百二十者約為六 ○十所省多矣次乃如法以各母除以各子乘  六乃以首母二除得三十子一乘亦三十
  以次母三除得二十子二乘得四十
  以第三母四除得一十五子三乘得四十五
  以第四母五除得一十二子一乘仍一十二
  凡兩數母子俱殊但有紐數可用皆可以此推之
  二三為六故註二於六下
  四三一十二故註四於【二一】下
  乃即以二十四為共母數而母除子乘如前法以第一母六除此二十四得四以其子數五乘得二十為二十四之二十
  以第二母一十二除此二十四得二以其子數七乘得一十四為二十四之一十四
  奇零絫析約法第八
  奇數有析之又析者如母七子四是為七之四又析其四作五以為母而五中餘三是為五分四之三子中出子相聯而成則名七之四又五分四之三也
  又有母二子一是二之一又以子一       【此三即進位之三】
  析為六而六中餘一【母六子一】又以子一析      【此四即進位一所化】
  為四而四中餘三【母四子三】又即以子三為      【此六即進位一所化】母而三中餘二連析四次總名二之一
  又六分一之一又四分一之三三之二
  右法須取捷歸併以便查算俱以母乘母子乘子依位列之如七之四又五分四之三者乃三十五之一十二
  母數五七得三十五
  子數三四得一十二
  如前二之一又六分一之一又四分一之三三之二者乃是一百四十四之六
  母數三乘四得一十二又一十二乘六得七十二又七十二乘二得一百四十四為共母數子數二乘三得六又一六只六又一六只六為共子數
  右一百四十四之六依約法乃即二十四之一
  以六除一百四十四得二十四恰盡故六為紐數二十四為母約數以六除六得一盡故一為子約數
  假如連析三次者五之三又三之二又四分二之三併之乃六十之一十八
  母數四乘三得一十二又一十二乘五得六十為共母數 子數三乘二得六又六乘三得一十八為共子數
  右六十之一十八約之即一十之三
  用子數一十八除母數六十餘六
  即以六除一十八恰盡是六為紐數以六除六十得一十故一十為母約數以
  六除一十八得三故三為子約數
  右絫析乃歷家所常用者粟米方田諸家鮮用然亦可以近譬假如右式五之三又三之二又四分二之三者今有金一兩析之為五【每析二錢】五之三乃六錢也又析為三之二則四錢矣又析為四分之三則三錢矣總是一十分之三
  化法第九
  凡整數後帶奇零難於歸除須將整數盡依母數化之其法以母數乘整數以乘得數併入子數却以母數除之
  假如有整六數零五分一之三者列六於左列五之三於右
  每數皆剖為五分五乘六得三十併
  入子數三是為五之三十三列下
  假如有整七數零五分一之四者列七於左列五之四於右
  每數皆剖為五分五七三十五併
  入子數四是為五之三十九
  於是乃化零數為整數其法以母除子
  此為一剖七之五十六以母數
  除子數用八除盡知是整八數
  此為一剖九之四十七以母除子用
  五餘二知是整五數又零九之二
  奇零加法第十
  數有奇零或兩零數或三四零數以至百千零數加併為一法具後


  若母數異則先併母數但有紐數者依紐數求其共母無紐數者以互乘求其共母而各以其原母除之又以原子乘之得子數乃視其子數多寡總而積之又以共母除積子以歸本數
  又法求其子數徑用母子互乘亦得【三三是九二四是八】但積數多者未便須用母除子乘之法
<子部,天文算法類,算書之屬,同文算指__前編,卷下>
  若既有整數又有零數則先加積整數次乃加積零數其零數同母者只併子數其零數異母者依前法且併母數而位少者子母互乘位多者各以原母除原子乘


  以上係不同母數者
  若欲試加法之有差則用奇零減法
  奇零減法第十一
  凡以奇數減奇數者審其多寡而於多中減寡其母數同者第就子數相減若母數異則先以其母相乘併為一母而依母除子乘求各得子乃以相減

  以上係不同母者
  若於整數内減零數者以零母化原整數就以作子相減次合全數總計
  假如整數一十内減一十一之六者【此一十一之六未滿整一數】就將一數拈出依奇母化為一十一以作子數
  於内減六【一十一之六】餘一十一 之五總為九零一十一之五
  以上是只減零數者
  假如整數一十内減四零五之三者一十減四餘六又動一數以零母化之作子於内減去三【五分之三】尚餘五之二是為五零五之二

  以上是既減整又減零者
  又有原數以整帶零減數亦以整帶零者先以整數相減次將各零母依法併合為一次乃子母互乘為子各系本子位下相減


  於整九内借一數以化母為三百六十三併入一十一則三百六十三之一十一為三百六十三之三百七十四

  以上是零整雜減者若原數減數不止二位相併有三四零數以上者照前逐併母數互乘減之
  若欲試減法之當否則用加法


  補前章以減法試加法

  假如不同母加積者試之兩母相除得母數將所互乘之數互減之其減餘者除以本母得子數
  奇零乘法第十二
  凡兩零相乘者皆以母乘母子乘子
  凡零數與整數相乘者置整數與零子數並列其上立一數為母與零母並列照前母乘母子乘子
  凡整數帶零數與整數相乘或與零數相乘者先以整數與所帶零數之母相乘得若干併入零子列子位【化法】乃以整數照前法列於子位其上立一為母而母子相對乘之

  右係整兼零與零數相乘者
  若兩數俱以整數兼零數者照前先化整數
  或問乘法乘少為多今或乘多為少何也曰立法如此乃是借虚馭實與除法相參為用非整乘也
  若欲試乘法之有差則用奇零除法

  奇零除法第十三
  凡奇零數又以奇零數歸除者列原數於右列除數於左却將除數倒列子母【原數母上子下除數子上母下】兩平對乘其乘出數即歸得數
  假如以奇零除奇零者
  右法假如一年十二箇月今曰二之一則六箇月也六之一則二箇月也以二剖六各得三箇月
  假如以零數除整數者以整數作子上立一為母
  假如以整帶零而除整數者原數只借一為母不動若除數則以所帶零母化其整數併子數

  假如以整數除零數者


  假如以整帶零而除零數者原零數不動其除數之整


  假如以整兼零而除整兼零者俱以本零母化其整數

  若欲試零除之差否則用零乘法以乘出之數為主以對除數相乘仍合原數則不差
  重零除盡法第十四
  歸除不盡曰奇零然有原數之内本來先帶奇零者【如原數係二十零四分之一之類】是大奇零數内又有小奇零也若欲除之使盡當先歸之使一列小奇零於右列大奇零於左兩母相乘為總母又以小奇母乘大奇子併入小子為共子數即是除盡之數若數繁者約之
  假如四人剖一十五零三之二其不盡者整三數零三之二也三之二為小奇列右四之三為大奇列左如法乘之即得四母除盡之數
  若小奇零之内復有小奇零剖而又剖零而又零至三至四者先以大者二位相併得母數及子數次乃遞互併完假如七除不盡而餘四數是為七之四矣而又以此四中之一剖為五停内得二又以此二中之一剖為四停内得三又剖此三中之一為三停内得二此乃大奇數内又帶三小奇數愈析愈繁最易淆亂者法具後


  以上用七除盡者每分得八十四之五十五
  假如以一十二人剖二十整數零四之一者每人得整一尚有整八零四之一不盡以一十二之八列左以四
  右係捷法若依前章奇零加除二法者從小奇數除起以一十二除之借一為母倒列對乘先得小奇乘數次以大奇數與對乘又依加法互乘求總子數約之得除盡數


  通問第十五
  前算法一十四章總歸加減乘除四術臨時制用存乎其人今設一十四問由淺入深由易入難精之躔度歷術麤之米鹽凌雜皆可類見
  問減二十三餘四十七原是幾數又問減一十一之四餘八零三之二原是幾數答曰此用加法以二十三加四十八原是七十數也以一十一之四加八零三之二原是九零三十三之一也
  問八十七内減幾何該餘二十六又問一十三之八内減幾何該餘七之二答曰即用減法就八十七内且減二十六餘六十一得餘數就一十三之八内且除七之二餘九十一之三十得餘數
  問加三十八得八十三原是若干又問加四零九之八得二十零二之一原是若干曰亦用減法於八十三内減三十八尚餘四十五其原數也於二十零二之一内減四零九之八尚餘一十五零一十八之一十一其原數也
  問一百與三百四十九差幾何又問六零二之一與二十零四之三差幾何曰此即減法於三百四十九内減一百是為二百四十九於二十零四之三内減六零二之一是為一十四零四之一
  問何數除之以九而各得三十四又問何數除之以四零三之一而各得三之二曰此用乘法九乘三十四得三百零六其實數也三之二乘四零三之一得整二零九之八其實數也
  問有三十於此其五之三是何數又問有四零七之五於此其二之一是何數曰亦用乘法以五之三乘三十得一十八是其五之三也【依法以子數三乘三十得九十以母數五除之得一十八合問】以二之一乘四零七之五得二零一十四之五是其二之一也【依法化四併五為七之三十三以與二之一對乘得一十四之三十三約之為二零一十四之五合問】
  問除四十八各得一十其除數若干又問除七之三各得三之二其除數若干曰此於除法求之只以一十除四十八該得四零五之四是其除數【以四零五之四為除數者依法化整及倒位對乘之子數五乘四十八得二百四十母數二十四除之得一十合問】只以三之二而除七之三該得一十四之九是其除數【以一十四之九為除數者以九對七以三對一十四乘得六十三之四十二約之三之二也】
  問一十七與何數相乘而得一百又問三零二之一與何數相乘而得四之一曰此用除法以一十七而除一百當各得五零一十七之一十五以得數乘除數還原一百矣以整三零二之一而除四之一當各得一十四之一以得數乘除數還原四之一矣【一十四之一乘三零二之一得二十八之七約之四之一也】
  問兩數相乘得四十八是何數又問兩零數相乘得二之一又或得六零四之三者各是何數曰熟於除法則隨變用之其除四十八者隨意立一數如以六數除則各得其八乘之則六八四十八也如以一十除則各得其四零五之四乘之乃五之二百四十還原四十八也【母五乘整四併子得二十四以一十乘得二百四十數以母五歸整是四十八】其除二之一者亦隨立一數如以三之二為除則各得四之三以四之三乘三之二得一十二之六約之則二之一矣其六零四之三者亦隨立一數如用三零二之一為除則各得一零一十四之一十三乘之則六零二十八之二十一約之六零四之三也如用二零四之三為除則各得四十四之一百零八乘之則一百七十六之一千一百八十八約之亦六零四之三也
  問兩數除之得二十八又問兩零數除之得六之五其數幾何曰此用乘法亦隨意立一數乘之如二十八數以六數乘之得一百六十八即以六除之仍歸二十八矣如六之五者以二之一乘之得一十二之五即以二之一為除仍歸六之五矣
  問何數以七為乘而所乘出之數歸之以八而得三又問何數以五之二為乘而所乘出之數除以四之三而得四之一曰此兼乘除二法翻用之先以除數乘除得之數而以所云乘數除之其所除得數即所求數也假如三與八相乘得二十四乃以七除之各得三零七之三其所求矣假如四之三與四之一相乘得一十六之三乃以五之二除之各得三十二之一十五其所求矣
  問六在五十四之内約是幾分之幾又問五之三在一十之九内約是幾分之幾曰此用約分零除法以小除大其所除得數即是也以六除五十四各得九則六於五十四乃九之一也【假如以五十四除六者依零除法各立一數為母倒位對乘乃五十四分之六即以六數而除五十四於此可明零除倒位之義】以一十之九而除五之三者倒位互乘得四十五之三十約之則五之三於一十之九乃三之二也
  問六數是何數中九之一又問五之三是何數中三之二曰同前仍用零除之法但以九之一除六數依法倒位乘得五十四是六乃五十四中九分之一也但以五之三除此三之二依法倒位乘得一十之九是五之三乃一十分之九中三之二也
  問化法假如一化為八今七數共化幾分又問以一化四見有四分之三設以一化一十二此四之三者得一十二中之幾又問以一化七見有七之三設以一化八則此七之三者是八中之幾曰此用乘法以前後數相乘得之問化八者以七乘八得五十六是所求其化數矣問以化四較化一十二者以前子四中之三與後母一十二倒位相乘得數【三十六】以前母除歸本數【四箇九】即後母之子數也【一十二之九】問以化七較化八者亦然以前子七中之三與後母八倒位相乘得數【二十四】以前母除歸本數【三七二十一得整三數餘三不盡是零七之三】即後母之子數也【後母八此前母七中之三即後母八中之三零七之一也】譬如大斛七斗抵小斛八斗今大斛三斗以小斛斗量之得三斗零七分斗之三又如中國計日以百刻西洋以九十六刻今問西洋之三十一刻當中國之三十幾刻即以西洋九十六為母三十一為子却以中國之母倒下作子與之對乘得三千一百是為九十六之三千一百即以九十六而除之得三十二刻零九十六之二十八再尋紐數四約之乃是二十四分刻之七也



  同文算指前編卷下
<子部,天文算法類,算書之屬,同文算指__前編>
  欽定四庫全書
  同文算指通編卷一
  明 李之藻 撰
  三率準測法第一
  數有顯隱必賴顯以徵隱故列前三率求後一率先定三率之位大都取其相準如貨準貨錢準錢之類凡第三率必與第二率相乘而以第一率除之因得第四率為所求舊名異乘同除
  假如錢四貫得貨十二斤今問錢二十貫當得貨幾斤則以二十為三率以十二為二率與相乘以四貫為一率
  第一率 四貫  二率三率乘得二百四十數以一第二率 十二斤 率之四除之每分得六十數為所第三率 二十貫 求蓋第一率與第三率相準也而第四率 六十斤 第二率又與未知之第四率相準
  相準故以相推妙在相準
  假如米六十石足支五月今問有米一百三十二石足支幾月此以六十石為一率五月為二率今有一百三十二石為三率以與二率相乘以第一率六十除之第一率 六十石
  第二率 五月    【以五乘一百三十二得六百六十數乃以六十除之得一】第三率 一百三十二石【十一月】
  第四率 一十一箇月
  右試法二率三率相乘如前却以第四率除之仍得第一率則所推不誤
  又法移第三率為第一率第四率為第二率却以第一為第三如前二三乘之以一除之所得第四率必合第二率
  第一率 二十貫     一百三十二石
  第二率 六十斤【四乘六十得二百四十以】十一月【十一乘六十得六百六十以一】第三率 四貫 【二十除之得十二】六十石【百三十二除得五】
  第四率 十二斤     五月
  又有化多為寡之法先尋紐數凡一數可以除盡兩數者為紐數其兩數亦取相準者為用因以相對乃取紐數所得置本位下乘除如前若無紐數者則否
  三率 二十 二十【四以三代十二仍依法乘得六】五 【十故以一代四以五代二】
  四率 六十 六十【十】     六十【十依法乘之得六十如前】又式
  三率六十三 六十三【八故以四更之依前乘除仍得】七 【也七九六十三故代之以七也】四率 八十四 八十四【八十四】   八十四【仍前乘除亦得八十四】又三率準測之法以一率除二率得數乃以乘第三率所得第四率不異前法
  一率 六十   【先以一率除二率得六以乘第三率推得第四率】二率 三百六十
  三率 一百三十二
  四率 七百九十二
  乂法先以第一率除第三率得數以乘第二率乘出數為第四率亦如前
  一率 六十   【以一率除第三率得二零六十之十二約之乃五分之一為用數以】二率 三百六十 【乘第二率仍得七百九十二如前】以上二法皆用三率 一百三十二 先除後乘但除之不盡必用零乘四率 七百九十二 之法故不若從前先乘後除為捷右準測法之變凡三而喫緊在於定位孰為第一率孰為第二三率應前者前應後者後又或前者反後後者反前畧具凡例如左
  問用銀四十四兩買絹五十二疋今買二百六十疋該銀幾何此所問者二百六十疋則以二百六十為第三率以原買絹五十二為第一率相當而以四十四為第二率以當所測之第四率
  一 五十二疋
  二 四十四兩
  三 二百六十疋
  四 二百二十兩
  問買絹五十二疋用過價四十四兩今有銀二百二十兩該絹幾疋此所指者銀數則以今有銀為三率原價為一率與相當而以買過絹為二率乘之
  一 四十四兩
  二 五十二疋
  三 二百二十兩
  四 二百六十疋
  問用銀四十四兩不知糴米若干曾見有人以銀二百二十兩糴米二百六十石
  一 二百二十兩
  二 二百六十石
  三 四十四兩
  四 五十二石
  問有人糶米五十二石不知得銀幾何曾見有人糶米二百六十石得銀二百二十兩
  一 二百六十石
  二 二百二十兩
  三 五十二石
  四 四十四兩
  右四問總是一法所問不同以辨三率之位
  問有人七日行二百一十里今行一千六百里須幾日一 二百一十里
  二 七日
  三 一千六百里
  四 五十三日又二百一十分日之七十
  【刻法每日一百依法以乘子數七十得七千以母數二百一十除之得三十三刻又三分刻之一】
  問椒一斤不知其價見人買六十斤用價二十兩一 六十斤
  二 二十兩【二率乘三率仍得二十却以一率之六十除之係以多除少者說在前編奇零除法】三 一斤 【立一為母倒位互乘以除之】
  四    【約之乃三分兩之一也求分釐法依前編以兩化之子乘母除得三錢三分三釐三三】問穀每石價銀一兩七錢五分米每石價銀二兩五錢今有穀三百九十六石照價折米該若干
  一 二兩五錢
  二 一兩七錢五分
  三 三百九十六石
  四 二百七十七石二斗
  若問米二百七十七石二斗照價該准穀若干者即以一兩七錢五分為第一率二兩五錢為第二率以二百七十七石二斗為第三率
  問有八成金五十兩價銀二百兩今有九成金四十兩該銀若干此因有成色有兩數有價數法當取成色折足色後用準測推之五八四十為第一率二百兩為第二率四九三十六為第三率
  一 四十兩
  二 二百兩
  三 三十六兩
  四 一百八十兩
  問銀一百兩零七錢八分雇工築堤四百丈零四分今欲築堤一千丈零四分三釐該銀幾何此法化兩為分化丈為釐以列三率
  一 四萬四十釐  【化四百丈四分】
  二 一萬七十八分 【化一百兩七錢八分】
  三 一十萬四十三釐
  四 二百五十一兩八錢六釐又四千零四分釐之二千一百三十【約之乃二千二之一千六十五以毫歸整乃五毫三絲一忽九微六纎】
  問住居七箇月零十五日已支銀二百兩七錢八分又七分分之二若住六年該費若干此化年月為日化兩為分以列三率
  一 二百二十五日
  二 二萬七十八分又七分分之二
  三 二千一百九十日
  四 一十九萬五千四百二十八分又一千五百七十五分分之一千二十【即一千九百五十四兩二錢八分六釐四毫七絲六忽八微七纎不盡】
  問有蠟十斤零五分斤之二又七兩零二分兩之一共價銀二兩六錢今有銀九錢買蠟幾何曰此謂三不同類之率【因蠟有斤有兩又有零分銀亦有兩有錢故云】取一最細數為君以大數化之取原價二兩六錢為二十六錢取原蠟十斤零五分斤之二又七兩零二分兩之一為一百七十三兩零十分兩之九【即一千七百三十九錢也每斤十六兩先以十斤乘得一百六十數次以五之二乘得五之三十二乃共得一百六十六兩零斤之二也次加七兩得一百七十三兩其所零二之一倂前所零五之二用併母法互乘積之為十分兩之九總之如上數】
  一 二十六錢          【二率乘三率依前編零乘之法歸整得一】二 一百七十三兩一十分兩之九【千五百六十五又一十之一乃以第一率用零】
  三 九錢           【除之法則一十乘二十六得二百六十為四率】四 六十兩又二百六十之五十一【約之如上照斤法得三斤十二兩一錢九
  分又六十五之四在前通問十四】
  問欲買䳘氄八分丈之七價若干曰曾買三分丈之一原價四分兩之三算之

  問煉礦求銀初火煉得三之二再火得七之五又入火得五之四凡三火共得足銀一十六兩原礦若干此併子併母求之以三子相乘【二五得一十又四乘得四十】為首率以三母相乘【三七二十一又以五乘得一百零五】為次率一十六為三率
  問築牆上廣一尺下廣四尺高一丈二尺今上廣如故下廣僅二尺一寸可高若干法以較求之取原上廣較原下廣所差為一率以原高數為二率今築下廣較原下廣差為三率
  一 三十寸【上廣不及下廣數】
  二 一百二十寸【高】
  三 一尺九寸【今下廣減原下廣】
  四 七十六寸
  右法若以築高七尺六寸問上廣若干者以築高數乘原上下廣較而以原高數除之
  問築牆上廣二尺下廣六尺高二丈今已築至上廣三尺六寸量高若干亦以上下廣較為一率原高為二率今所築中廣以較下廣差數為三率
  一 四十寸【原上下廣較】
  二 二百寸【原高】
  三 二十四寸
  四 一百二十寸
  右法若問築至高一丈二尺問上廣者以築至數乘原上下廣較而以原高數除之
  問築牆上廣十尺下廣三十尺高四丈今欲築至上廣九尺該接高幾何以今上廣較原上廣餘一尺為主置第三率置原高四丈為二率以原上廣不及下廣二十尺為首率
  一 二十尺【原上下廣較】
  二 四十尺【原高數】    又法以原上下廣較減三 一尺【今上廣較原上廣數】原高為實以今上廣與
  四 二尺        原上廣較得數為法除
  之亦同
  右法若問再加二尺上廣幾何者以再加數與原上下廣較相乘而以原高數除之
  問驛使先發三十七里别以一騎追之馳一百四十五里尚不及二十三里須追幾里可及此以先發及追去未及之里推之知馳一百四十五里只追上一十四里以追上數為第一率疾馳數為二率不及數為三率一 一十四里
  二 一百四十五里
  三 二十三里
  四 二百三十八里又十四分里之三
  問甲乙二人同步甲疾乙遲甲行百步乙纔行六十步假使乙先行百步甲方舉步追之該幾步可及
  一 甲行疾四十步
  二 甲日行一百步
  三 乙先去一百步
  四 乙會甲二百五十步
  問商人糴米三千五百石每石價銀六錢五分外用脚價銀五分就糴處以米准脚價則原數内該脚夫若干商存若干此以每石糴價為首率總米為次率脚價為三率依法乘除先得脚價米為四率以減總米餘為存商之數
  一 六錢五分
  二 三千五百石
  三 五分【脚價】
  四 二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五【約之為一十三之九】以減總米餘三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十【約之為一十三之四】為存商之數
  右係初糴未運送者故以原糴價算若已搬運到倉則倂糴價雇值每石共值七錢矣以七分為首率依衰分法求之只該脚米二百五十石
  問蠶繭二百五十斤換綿八十八斤若繭百斤十斤一斤一兩各該綿幾何此求斤兩法繭數為首率綿為次率列繭百斤等為三率有零分者以斤法十六化之再除
  一 二百五十斤
  二 八十八斤
  三 一百斤   一十斤  一斤  一兩四 三十五斤五之一【即三兩二錢】三斤八兩【三錢二分】五兩六錢【三分二釐】三錢五分二釐以上十五問見三率布置之序餘可觸類而通
  變測法第二
  前準測法皆以二率乘三率而以一率除之蓋以三率視四率猶以一率視二率多寡相等可例推也又有變測之法假如第一率多於第三率而其第二率反少於第四率或一率少於三率而二率反多於四率者此當審其不相準之數而變法測之則以第一率乘第二率以第三率除之舊名同乘異除
  問布長九丈闊三尺作衣一襲今有布但闊二尺亦欲作衣一襲增布若干此以三尺為一率以九丈為二率乘之以二尺為三率除之
  一 三尺
  二 九丈
  三 二尺    【若欲復前準測之法則移三率為一率移一率為二率却以二】四 一十三丈五尺【三率而仍以二三相乘以一率除】問原借九成金五十四兩今以八成金抵還照成色該還若干
  一 九成
  二 五十四兩
  三 八成     【若欲復前準測法則以八成為首率九成為二率而以原借五】四 六十兩七錢五分【十四為三率】
  問母銀四千兩生息三年今母銀七千四百八十兩數多於前只須幾年即可當前三年之息此以四千為一率三年為二率乘之今母為三率除之
  一 四千兩
  二 三年
  三 七千四百八十兩
  四 一年二百二十日六時四刻又三百七十四分刻之八十六   【若復前準測法則以今母為一率原母為二率三年為三率】
  問荒年麥半石價錢六百文作麥餅每餅重十兩值十文今麥價四百文或貴至八百文而價仍每餅十文則其餅該增減若干
  一 錢六百
  二 餅十兩
  三 錢四百  錢八百  【移三率為一率移一率為二率而以二率為第】四 餅十五兩 餅七兩五錢【三率乘之即前準測法】問二百四十方步為一畝合闊八步長三十步今闊只六步或闊至十二步各該長幾何
  一 八步
  二 三十步
  三 六步   十二步
  四 四十步  二十步
  問方倉貯米三百八十四石原高八尺闊一丈二尺深一丈今另建一倉照前米數亦高一丈但減深八尺或增深一丈六尺各該闊幾何
  一 一丈
  二 一丈二尺
  三 八尺   一丈六尺
  四 一丈五尺 七尺五寸
  問築一臺每日用夫三十工四年而成今每日用夫五十工或減至二十工各該幾時而成或不待四年于二年一百四十六日而成又或遲至四年零二百九十二日而成每日各應用夫若干此四難俱用一法而化年為日以一率乘二率以三率除【每年作三百六十五日】一 三十工 三十工 一千四百六十日 一千四百六十日
  二 四年 四年 三十工    三十工
  ︵字位過密 無法显示︶
  四 八百【七十六日】六年 五十工    二十五工問以兵八千五百共守一隘其糧僅支十一月若待餽運至日尚須二十五箇月計當撤兵幾何留兵幾何而後可供二十五月之食
  一 十一月
  二 八千五百人
  三 二十五月
  四 三千七百四十人當留 四千七百六十人當撤
  【以除得數為留數餘為撤數】
  問象牙一枝因無大枰用小秤稱之不及其錘重一斤十兩外加一錘重一斤四兩八錢稱得六十七斤依小秤算該幾斤法併原加錘數為首率以稱得數為次率原錘數為三率
  一 四十六兩八錢
  二 六十七斤
  三 二十六兩
  四 一百二十斤【又五】之三【用加六求之即九兩六錢】問原秤稱物重八斤二兩失去原錘欲另鑄錘配用不知輕重另借别錘以較原稱之物只六斤則原錘若干此須化斤為兩以加六通後稱數【九十六兩】為首率以所借錘【三十七兩】為次率原稱數【一百三十兩】為三率得所求原錘數以斤法除之【按别錘下脱重三十七兩五字】
  一 九十六兩
  二 三十七兩
  三 一百三十兩
  四 二十七兩三錢又一十三分錢之三【以斤法除得一斤十一兩三錢二分七毫不盡】問空車日行七十里若重載即日行五十里今載糧到倉五日三返路遠若干法以五日為首率以空車重車日行數相乘為次率併空車重車日行數以三返乘之為三率
  一 五日
  二 五百三十里【按數誤應作三千五百里】
  三 三百六十
  四 四十八里又三十六之二十二
  重準測法第三
  凡數兩相較者皆兩兩相準故以巳然為一二率見在為三率以測四率若巳然者先有雜數見在者又有雜數此當以類次第歸併而疊用三率之法推之準而又準測而又測為重準測法
  問每人每月織絹六疋若八人四年該幾疋此以一人為第一率以六疋為第二率以八人為第三率八六乘得四十八為第四率又以四十八為所問第二率化四年作四十八箇月為第三率依法乘得第四率
  一 一人 【先以人數測絹數】 一月  【即八人之一月次以月數測絹數】
  二 六疋      四十八疋
  三 八人      四十八月【即四年】
  四 四十八疋    二千三百四疋
  又倂法以一人乘一月為第一率以六疋為第二率以八人乘四十八箇月為第三率而二三相乘以一除之一 一人一月乘只是一數【凡不同數者用此乘法倂之如人與月不同是也若】
  二 六疋       【月與年則同數者竟當化一年為十二月不必相乘】
  三 三百八十四    【矣】
  四 二千三百四疋
  問雇役一千里運貨二百斤給值四兩今貨三百斤運四千里該值幾何此以一千里乘二百斤為一率以四兩為二率以三百乘四千為三率
  一 二十萬
  併 二 四兩
  法 三 一百二十萬
  四 二十四兩
  用 一 二百斤【先測貨價】 一千里【次測里價】
  重 二 四兩      六兩
  準 三 三百斤     四千里
  法 四 六兩      二十四兩
  問三人用米五石值銀三兩計食五旬每人每日該銀米幾何此以三人乘五十日為第一率以三兩及五石各為第二率以一人乘一日為第三率二三相乘一率除之
  一 一百五十【三乘五十】
  併 二 三兩【三百分】五石【五百升】
  法 三 一 【一乘一】
  四 二分    三升三合零三之一
  一 三人【先以人準銀米】五十日【次以日準銀米】
  重 二 三兩  五石  一兩  一石三一二
  準 三 一人      一日
  四 一兩 一石三一二 二分 三升又三一一
  問母銀三百兩四年得子銀一百兩今有母銀一千五百八十兩七年該出子銀幾何此以三百乘四年為一率以一百為二率以一千五百八十乘七為三率
  一  一千二百
  併 二 一百
  法 三 一萬一千六十
  四 九百二十一兩又三分兩之二
  一 三百        四年【次以四年子母相算】
  重 二  一百       五百二十六兩又三之二
  準 三 一千五百八十     七年
  四 五百二十六兩又三之二 九百二十一兩又三之二
  問母銀十兩三箇月得子銀四兩若母銀一百兩欲得子銀二千兩須幾年此因有月在内須作重準測法先知百兩三月所得然後再測若只如前併法以四乘十共作一率則所差多矣式具後
  一 一十兩【此未言三箇月但十兩之得四】   四十兩【既得上數乃以銀準月而推】二 四兩  【兩以三月則百兩之得四十兩】   三月
  三 一百兩【亦是三月緊要在此便可再測】   二千兩
  四 四十兩         一百五十月右法試之以十兩乘三月為第一率以四兩為第二率以一百兩乘一百五十月為三率而以二三相乘以一率除之【此係倒法蓋帶月作一率三率者】
  一 三十【以一十乘三】
  二 四
  三 一萬五千【以一百乘一百五十】
  四 二千
  問有夏布四十五疋以換綿布兩價不等夏布每三疋價二錢綿布每七疋價七錢五分該換若干疋法先以三率法求夏布四十五疋共價若干次即以所獲價為第三率以七錢五分配為第一率七疋為第二率推之
  一 三疋      一 七錢五分
  二 二錢      二 七疋
  三 四十五疋    三 三兩
  四 三兩      四 二十八疋
  問將銀二十三兩買布七十五疋每疋長四丈闊二尺今另買布闊一尺六寸長與前等該減前價若干此先求每尺之價以四丈乘全布又以闊二尺乘【六千尺】為首率價銀為二率另立一尺為三率求得四率為尺價次求應減之價乃移三四率為一二率以兩闊相減餘四寸乘原長三千尺【一千二百尺】為三率
  一 六千尺       一尺
  二 二十三兩      三釐八毫三絲又三之一
  三 一尺        一千二百尺
  四 三釐八毫三絲又三之一 四兩六錢
  問重舟日行八十里輕舟日行一百里今重舟先去一十五日輕舟幾日追及先求重舟一十五日行若干里得數用為重測之三率而以輕舟每日多行二十里為首率推之得四率為追及之日
  一 一日     一 二十里
  二 八十里    二 一日
  三 一十五日   三 一千二百里
  四 一千二百里  四 六十日
  問車輪半徑一尺九寸五分假令一日轉二萬周該幾里此因有里有尺又有寸有分須用再測先倍半徑得三尺九寸為全徑數三因得一百一十七寸為一周數以一周為一率一百一十七寸為二率二萬周為三率推得尺寸共數乃以其數為第三率以里法一千八百尺除之
  一 一周       一 一千八百尺
  二 一百一十七寸   二 一里
  三 二萬周      三 二十三萬四千尺四 二十三萬四千尺  四 一百三十里
  問用磚砌滿九里每磚闊六寸每層該磚若干此以里求寸當化里為寸每里一萬八千寸九里得一十六萬二千寸乃求磚數
  一 一里       一 六寸
  二 一萬八千寸    二 一磚
  三 九里       三 一十六萬二千寸四 一十六萬二千寸  四 二萬七千○磚問撥夫一百名築城二百丈八箇月工完今仍用夫一百名給銀一百兩欲築城二萬丈幾月完工此以二百為一率以八為二率以二萬為三率不用銀數以與夫數相同不算
  一 二百丈
  二 八月
  三 二萬丈
  四 八百月
  問用夫三百名七箇月修過墩臺四十五座今有夫一千七百八十名亦七箇月可修墩臺若干座此與前法相同除月不用
  一 三百名
  二 四十五座
  三 一千七百八十名
  四 二百六十七座
  問選鋒兵一名每月給銀四兩今有選鋒兵一萬三千名九箇月該給幾何此以一名乘一月為一率以四兩為二率以九乘一萬三千為第三率
  一 一
  二 四
  三 十一萬七千
  四 四十六萬八千
  問馬十匹每一日用料七斗今有馬百匹養二十日用料幾何此以十匹乘一日為一率以七斗為二率以百乘二十為三率
  一 一十匹
  二 七斗
  三 二千匹
  四 一千四百斗
  問開河長七百五十五丈上廣五丈四尺下廣四丈深一丈二尺每夫每日開二百尺問幾工可完即以二百尺為首率併上下廣折半得四十七尺以深乘之得五百六十四尺為次率以長為第三率
  一 二百尺
  二 五百六十四尺
  三 七千五百五十尺
  四 二萬一千二百九十一工
  問開濠下廣七尺上廣九尺深四尺長一千八百尺每夫每日穿一百四十四尺今用夫二百名幾日畢工此以二百人乘一百四十四尺得二萬八千八百為法置第一率併上下廣折半以深乘得三十二尺為二率以長為第三率
  一 二萬八千八百
  二 三十二
  三 一千八百
  四 二日
  問十二人九日共刈麥二十畝今有三十人刈麥四十五畝該幾日此因有人數又有日數又有畝數當用重準法又以一率小於三率而四率反少於二率兼用變準法而重準則仍用準測法
  一 十二人【先以人較日一率二率相】  二十畝【次以日較畝二三相乘】
  變 二 九日 【乘三率除之】重 三日又五分日之三
  準 三 三十人     準 四十五畝
  四 三日又五分日之三  八日又十分日之一
  問負米一石一斗二升行三十步日五十次今負米一石二斗行四十步日可幾次此全用變準法以三十步乘一石二斗二升為首率五十次為二率今負米一石二斗以乘四十步為三率
  一 三百三十六
  二 五十次
  三 四百八十
  四 三十五次
  問金錢一文值銀一兩一錢五分今有銀一千兩該金錢幾文此用化法二率乘三率以一率除
  一 一百一十五分
  二 一文
  三 十萬分
  四 八百六十九文又二十三分錢之一十三
  問金錢每文得銀一兩一錢五分今金錢四千文銀幾何
  一 一文        一百分
  二 一百一十五分    一兩
  三 四千文       四十六萬分
  四 四十六萬分     四千六百兩
  問烹砂煉金每日所得重三十銖今積得七斤八兩已採幾日法先化斤為銖每斤三百八十四銖先求七斤八兩得銖若干乃以共銖求數【此是斤稱法】
  一 一斤        三十銖
  二 三十銖       一日
  三 七斤八兩      二千八百八十銖四 二千八百八十銖   九十六日
  問煉銅入罏一次每十斤得八斤今入罏三次得七十五斤一十三兩四錢四分原生銅若干此用化法化八斤【一萬二千八百分】為首率化十斤【一萬六千分】為次率化三火銅【一十二萬一千三百四十四分】為三率得四率為二火銅數乃即用四率為三率以求一火銅得數又用為三率以求生銅其一率二次不動依法乘除得數乃以斤法一十六除之一 一萬二千八百分
  二 一萬六千分
  三 一十二萬一千三百【四十四分】一十五萬一千六百八十一十八萬九千六百四 一十五萬一千六百【八十分】一十八萬九千六百 二十三萬七千分【即一百四 十八斤二兩】又捷法以八斤自乘【六十四】再乘【五百一十二】為法以除三火銅亦得二三七因有再乘各再進位以七為兩亦同前法
  問將銀雇匠採石不知銀數石數只云每石六十丈價七兩七錢船價三錢總用鍛鐵炭火銀二百兩是六十分之二則原銀幾兩買石幾丈石價船價總若干各若干法據鍛鐵炭火銀二百兩為六十分之二已知原銀是六千兩内減二百兩只以五千八百兩為實在之銀起算作第三率以六十丈為第二率相乘得數乃以七兩七錢併船價三錢共八兩為第一率除之得四率為買石總數再置石總為第三率以七錢七分為二率乘之六十丈為一率除之得石總價以減總銀餘得船價
  一 八兩     六十丈
  二 六十丈    七錢七分
  三 五千八百兩  四萬三千五百丈
  四 四萬三千五百丈 五千五百八十二兩五錢【此係石價
  以減總銀餘二百一十七兩五錢為船價加鍛鐵炭火二百兩
  仍足六千兩】
  問母銀六十兩置貨賣得六十四兩或只賣得五十七兩今有銀一百兩置貨賣之依前算該得多銀幾何或折銀幾何此以六十為一率以所賣二數較之一增四兩一減三兩各為二率以一百兩為三率
  一 六十兩       六十兩
  二 四兩【多數】      三兩【折閲數】
  三 一百兩       一百兩
  四 六兩又三分兩之二     五兩
  問有貨一百斤賣得子銀六十四兩不知母銀幾何兹母銀一百兩欲得子銀六兩零三分兩之二其法以子併母為一率以母為二率以所問六十四為三率【所問六十四兼有子母故相準第一率亦兼子母配之所求第四率係原買母銀故第二率亦以母銀配之】一 一百六兩又三分兩之二【除貨一百斤不用只以銀數相準】二 一百兩
  三 六十四兩
  四 六十兩【每六十兩得子四兩則一百兩得子六兩零三分兩之二矣然則以六十四兩賣者必以六十兩買也】問寶石一顆賣銀二百兩以其母銀較之每百兩折銀一十兩原買母銀若干此因百兩之内折一十當以九十兩為一率以一百為二率以二百為三率
  一 九十兩【欲以二百之子推求二百二十二兩有零之母先以九十兩之子及一百兩之母為】二 一百兩【一率二率】
  三 二百兩
  四 二百二十二兩零九分兩之二
  問玉石一駝賣價三千六百兩今欲每母一百兩得利一十兩必須於買價内原減得三兩方獲此利試問原買價幾何此與前法相同以一百一十為第一率【因所問在三千六百兼子母故第一率亦兼子母言之除所減三兩不用】以一百為第二率【求母數故以母數配之】以三千六百兩為第三率
  一 一百一十兩
  二 一百兩
  三 三千六百兩
  四 三千二百七十二兩又十一分兩之八【再加三兩即原買數】問紵絲一千疋賣銀三千六百兩若原買價多六兩即每百兩折十兩欲知原價幾何此因百兩内已折一十兩以九十兩為一率以一百兩為二率以三千六百兩為三率
  一 九十兩
  二 一百兩
  三 三千六百兩
  四 四千兩【再減六兩即原價】
  問貨每一斤賣銀二錢即母銀百兩已得息三十兩設若每斤賣至二錢四分則百兩獲息幾何其法先求每斤二錢之内母銀子銀各若干然後再據子母推之先列所知子母全數一百三十為第一率以母銀一百兩為第二率知母一百三十之内以三十為子以推二錢之内以若干為子乃以二十分為第三率依法乘除得二錢之母銀亦即二錢四分之母銀也次乃以母銀為一率以二錢四分内之子銀為二率以一百為三率一 一百三十兩  一十五分又十三之五【二錢内母數】
  二 一百兩    八又十三之八【二錢四分内除去第一率得此數】
  三 二十分    一百兩
  四 十五分又十三之五【此是母數外皆利息】五十六兩
  問貨一百斤賣銀十兩總計每母百兩内已折十兩若使每百斤只賣銀八兩則百兩之内所折幾何此須先知一百斤之貨原值若干乃可重推先從百兩折十兩得九十為第一率以一 百為第二率以所折十兩為第三率依法乘除得百斤原本之數為第四率即以此為重準之第一率内推只賣八兩所折為第二率以總數一百為第三率
  一 九十兩     十一兩九之一
  二 一百兩     三兩九之一【第一率内只賣八兩則所折者此數】
  三 一十兩     一百兩
  四 十一兩又九之一【此得百斤正價未折之數】二十八兩
  問買布五萬疋用銀一萬兩納過課銀五百兩費過車脚三百兩又納課銀二百兩又雇船一百兩又過關一百兩又食費一千兩其費如此必每疋賣銀幾何然後每疋獲息銀二錢法以五萬為第一率以本價及諸費共一萬二千二百兩化錢數為第二率以一疋為第三率
  一 五萬疋
  二 十二萬二千錢
  三 一疋
  四 二錢零五十分錢之二十二【此係每疋本銀費過之價此外再加二錢其須四錢零五分之十二方得利二錢】問布每疋長四十尺内該抽税抽一尺有客持布三百疋税司收布一十五疋半外貼錢六百文其布價每疋幾何此已知抽税者為二十取一也先求三百疋應抽之數數外皆應貼錢此所貼者半疋二十尺之價也倍之得每疋價 一 二十疋  一 二十尺【即半疋】
  二 一疋   二 六百文
  三 三百疋  三 四十尺
  四 一十五疋 四 一千二百文
  問有客販參不記母銀幾何但云每參六斤價銀七錢七分車脚三分又用過牙銀二百兩是原母三十之一其母銀數及參數價數各若干此以價【七錢七分】併車脚【三分】得八錢為首率參六斤為次率其牙銀【二百】係母銀三十之一以加二倍得母銀六千内減牙銀餘五千八百兩為三率得第四率為參總率另以六斤為首率減車價【三分】以七錢七分為次率參總為三率求得第四率為共價其參總率及參價乃六斤所推各以六除得參斤數及每斤價數
  一 八錢    六斤【徑以首率除二率得每斤價一錢二分八釐三  毫三之一以首率除三率得共參七千二百五十斤】
  二 六斤    七錢七分
  三 五千八百兩 四萬三千五百
  四 四萬三千五百 五千五百八十二兩五錢【以減五千八百餘二百一十七兩五錢是車價】問以銀二十二兩八錢買黄白蠟均平其黄蠟每三斤價四錢白蠟每一斤價五錢二色之價各若干此以兩母子互乘【三五一十五一四如四】併得一十九為首率兩母相乘為次率總銀為三率求得二色各斤數
  一  一兩九錢
  二 三斤
  三 二十二兩八錢
  四 三十六斤【以價乘白蠟得一十八兩以價乘黄蠟四除之得四兩八錢】問飯僧不知人數初日每五十人米八斗次日每九十人米七斗共用米三十二石一斗米與僧各若干法用重測先置子母互乘【九十乘八得七百二十五十乘七得三百五十】併之【一千七十】為首率兩母相乘【四千五百】為次率共米為三率得僧數乃以僧數為三率各以子乘母餘得二日米數
  一 一千七十   五       九
  二 四千五百   八       七
  三 三十二石一斗 一千三百五十 一千三百五十四 一千三百五十僧 二十一石六斗 一十石五斗

  同文算指通編卷一
  欽定四庫全書
  同文算指通編卷二
  明 李之藻 撰
  合數差分法第四上
  總數一也而分之糅襍不齊者亦以準測齊之大抵以總數為第一率以總數所得為第二率【如以母得子或以銀得年月之類】分布而各為之宗為第三率若三率不盡者亦用重準之法測之
  問四商共販得子銀六千兩而各出母銀不同甲母六十乙母一百丙母一百二十丁母二百每人該分子銀若干先以四人共母為第一率以所獲共子為第二率分置四母各一宗為第三率以第二遞乘第三以一率除
  一 四百八十
  二 六千
  三 六十【甲】  一百【乙】  一百二十【丙】 二百【丁】四 七百五十 一千二百五十 一千五百  二千五百問三商置貨同舟甲貨值三百兩乙貨值五百兩丙貨值一百八十兩遭風共棄貨値四百兩各照原值攤認法併三人值為第一率以所棄值為第二率分三人貨值為第三率疊以三率法乘除
  一 九百八十
  二 四百
  三 三百【甲】    五百【乙】    一百八十【丙】四 一百二十二兩又九百 二百四兩又九百 七十三兩又九百八八十分兩之四百四十 八十分兩之八十 十分兩之四百六十
  問三人共買貨四千斤值銀五百兩甲取一千三百斤乙取一千四百六十斤丙取一千二百四十斤各該認價若干此以總貨為第一率以總價為第二率以各人所取數分三宗為第三率
  一 四千斤
  二 五百兩
  三 一千三百【甲】  一千四百六十【乙】一千二百四十【丙】四 一百六十二兩又二【分兩之一】 一百八十二兩又二【分兩之一】一百五十五兩問三商共得子銀一千兩所出母銀多寡不一先後亦不一甲母二百兩滿八箇月乙母四百五十兩滿六箇月丙母五百兩滿十箇月此子銀一千者每人應分若干其法以各母乘各月【以八乘二百得一千六百以六乘四百五十得二千七百以一十乘五百得五千共九千三百】總彚之為第一率以所獲總子為第二率以各母及月分所乘出三宗為第三率
  一 九千三百
  二 一千
  三 一千六百【甲】  二千七百【乙】  五千【丙】四 一百七十二兩又  二百九十兩又九   五百三十七兩又九九十三分兩之四  十三分兩之三十   十三分兩之五十九
  問三商共販得子銀一千兩甲母三百兩十箇月乙母七百兩丙母八百兩俱不知月其子銀則甲得分五百兩乙得三百兩丙得二百兩要知丙丁二人出過母銀幾月其法先取甲之知母知子知月者為算以所分五百為第一率以一十月乘三百兩為第二率【共三千】已知甲之五百乃三千中之五百矣次列乙丙所得子各一宗為第三率二三相乘而以一率除之得第四率即乙丙母銀乘月之數次乃各以其母除之仍得月數此于四率外加一率兼重準測法云
  一 五百【甲之子】
  二 三千【甲月與母乘】
  三 三百【乙之子以乘三千得九十萬以五百除】二百【丙之子以乘三千得六十萬以五百除】四 一千八百【此兼乙母 乘乙月之數】一千二百【此兼丙母乘丙月之數】二月又七分月之四【以乙母七百除得乙月】一月又二分月之一【以丙母八百除得丙月】
  問四商居積二年得利一萬兩甲原母三千兩至滿八月先取出一千兩至滿十九箇月又加一千二百兩乙原母二千四百兩至滿六箇月取出八百兩至滿十五箇月又加一千四百兩丙原母二千兩滿七月悉收囘至滿一十七箇月别出母一千六百兩丁初不出母六箇月後方出一千八百兩又過四箇月取出九百兩至滿十六箇月又增入一千五百兩此四人者於所息一萬兩内計母計月各該分若干其法以四母各乘其月甲作三段乘【三千兩乘八箇月得二萬四千數八月之後取去一千只存二千至十九月滿共十一箇月以十一乘二千得二萬二千數其十九月之後又加一千二百共三千二百自第二十箇月起到底計五月以五乘三千二百得一萬六千共得六萬二千】乙作三段乘【二千四百兩乘六箇月得一萬四千四百兩此後除去八百兩只存一千六百兩至滿十五月實九箇月以九乘一千六百得一萬四千四百兩其十五箇月之後又加入一千四百兩共本銀三千兩到底計九箇月以九乘三千得二萬七千共得五萬五千八百數】丙作二段乘【二千兩乘七箇月得一萬四百兩自滿十七箇月以後出本至二年止共七箇月以七乘一千六百得一萬一千二百共得二萬五千二百數】丁作三段乘【自六箇月以後出本一千八百兩滿四箇月以四乘一千八百得七千二百此後取去九百實在九百至第十六箇月滿計六箇月以六乘九百得五千四百此後又出本一千五百共二千四百到底計八箇月以八乘二千四百得一萬九千二百共得三萬一千八百數】四人共計一十七萬四千八百為第一率以所息為第二率分各母乘月數為四宗作第三率
  一 一十七萬四千八百
  問三商同夥甲母四百兩乙三百兩八錢六分丙一千兩零七錢九分三商共折銀一百兩各認若干此皆化兩為分【甲四萬乙三萬八十六丙十萬七十九】併三人總分數為第一率以所折為第二率分各母數三宗為第三率
  一 一十七萬一百六十五
  二 一萬
  三 四萬【甲】     三萬八十六【乙】  十萬七十九【丙】四 【二千三百五十又 一千七百六十八 五千八百八十一十七萬一百六十 又十七萬一百六 又十七萬一百六】
  【五之十一萬二千 十五之八千二  十五之四萬九千二百五十    百八十     六百三十五】
  問三商甲出母銀二百兩經十二月乙出母銀二百四十兩不知月丙出金若干不出銀經十箇月共得子銀一百三十八兩甲分六十乙得四十八丙得三十今問乙該幾箇月丙之金值幾何此以甲銀乘甲月【共二千四百】而知子銀六十出自二千四百也以六十為第一率以二千四百為第二率以乙丙各子為第三率二三相乘各以一除之其所得數【乙一千九】兼乙丙之母與月皆在其中矣乃以乙母除乙之四率而知乙之月八以丙月除丙之四率而知丙之母金值銀一百二十兩
  一 六十
  二 二千四百【以上俱甲】
  三 四十八【乙】      三十【丙】
  四 一千九百二十    一千二百
  八月【以本銀除之得此數】一百二十兩【以月分除得此數】
  問三賈共販一年甲先出母銀一千兩乙母後二箇月方出丙母後四箇月方出俱不知其數幾何但所得子銀則均分要知乙丙各母之數此以所已知甲母甲月相乘為第一率乙丙準此為算而各以其月除之【乙十月丙八月】即各得其母之數
  一 一萬二千【甲母乘月】
  二 一千二百【乙母】    一千五百【丙母】
  右試法合三總數為三萬六千作第一率隨意立一數為子數作第二率又以總數分為三宗【各萬二千】作第三率而各以第一率除之甲乙丙所得皆同
  一 三萬六千
  二 九百  【随意立此數】
  三 一萬二千
  四 三百
  問三商共得子銀一百九十兩其分息則乙比甲僅三之一丙比甲僅四之一其母銀則甲出八十兩十二箇月乙不知幾何但知八箇月丙亦不知幾何但知四箇月要知三人各息若干丙丁各母若干此須再用重準測法求之先以甲母及月相乘【九百六十】為第一率以其三之一【乙三百二十】四之一【丙二百四十】兼各母與月者為第二率既得母月兼數即以乙丙各月除之知各母數然後可以察其分息之數矣另併三人所乘母數月數為第一率以總子為第二率分甲乙丙母所乘得為第三率二三相乘以一除之各得第四率為所分子銀數
  一 九百六十【甲母乘甲月】
  二 三百二十【乙得甲三之一】二百四十【丙得甲四之一】三 四十兩 【乙以八除得此】六十兩 【丙以四除得此】右已知乙丙之母銀再測如左
  一 一千五百二十【甲九百六十乙三百二十丙二百四十併此數】二 一百九十
  三 九百六十【甲】  三百二十【乙】  二百四十【丙】
  四 一百二十   四十     三十
  問三商共母一千五百二十兩得子一百九十兩照母分之甲得一百二十兩乙得四十兩則丙所得若干又甲乙丙各母若干法就總子銀内減去甲乙所得子剩三十為丙之子仍以總子為第一率以共母為第二率以各分子銀三宗為第三率二三相乘以一除之得第四率為各母
  一 一百九十
  二 一千五百二十
  三 一百二十【甲之子】四十【乙之子】 三十【丙之子】四 九百六十【甲之母】三百二十【乙之母】二百四十【丙之母】問三商總母一千五百二十兩總得子一千七百十兩子母共分甲分一千八十兩乙分三百六十兩丙分二百七十兩則每人各母若干其法併三人子數為第一率母為第二率以各人所分得三宗為第三率依準測法得四率為各母數就各以四率之數減其第三率之數餘者為各子數
  一 一千七百一十
  二 一千五百二十
  三 一千八十【甲】 三百六十【乙】 二百七十【丙】四 九百六十  三百二十  二百四十
  問二商共得子銀二百兩甲分五十兩乙分一百五十兩其母則乙多甲一倍又零八兩二人各出母幾何其法置甲五十乙倍之該得一百今分一百五十則知已贏母八兩故於一百數外多獲五十也依法列三率知五十之出于八則知一百五十之出於二十四矣一 五十
  二 八
  三 五十【甲】   一百五十【乙】
  四 八     二十四
  問二商共貿甲母一百二十兩乙母一百八十兩共一牙儈每子銀一百兩與牙銀十兩後得子銀一千兩各該分幾何其法于一千内除去牙銀一百兩以實在子銀九百兩為算乃併甲乙母為第一率實在子銀為第二率分甲乙母二宗為第三率
  一 三百
  二 九百
  三 一百二十【甲母】   一百八十【乙母】
  四 三百六十     五百四十
  問三商共得子銀一千五百二十兩其母銀則甲出一千八十兩乙出三百六十兩丙不知所出幾何只言分得子銀二百四十兩今欲知丙母幾何甲乙所得子幾何其法先就總子數内減去丙子一千二百八十為甲乙共得子數乃倂甲乙母為第一率以甲乙共子為第二率分甲乙二母數為第三率法得第四率為甲乙子數
  一 一千四百四十【併甲乙母】
  二 一千二百八十【併甲乙子】
  三 一千八十  【甲母】  三百六十【乙母】
  四 九百六十  【甲子】  三百二十【乙子】
  已知甲乙子母之數即可因丙子以求丙母乃併甲乙子為一率併甲乙母為二率丙子為三率
  一 一千二百八十【倂甲乙子】
  二 一千四百四十【併甲乙母】
  三 二百四十【丙子】
  四 二百七十【丙母】
  問三商母銀各等一年内共得子銀一千兩但甲母閲七月乙母閲六月丙母則滿一年各該分子銀若干其法積甲乙丙總月為第一率以總子為第二率列三人各月數為第三率
  一 二十五月【併甲乙丙】
  二 一千兩
  三 七【甲】    六【乙】    十二【丙】
  四 二百八十兩 二百四十兩 四百八十兩問織絹每疋用絲一斤工價即與絲四兩今有絲四十三斤一十二兩其織絲工絲各若干法當化斤為兩然後歸兩作斤併工絲絹絲共二十兩置首率總絲為七百兩置次率列工絲絹絲置第三率依法乘除
  一 二十兩
  二 七百兩
  三 四兩【工價】       一十六兩【織絹】四 一百四十兩【歸之乃八斤一十二兩】五百六十兩【歸之為三十五斤】問甲乙丙三人以田多寡均應一年差役甲田三百五十畝乙田二百八十畝丙田一百七十畝各役幾時此併三人田【共八百畝】置首率以一年為三百六十日置次率列三人田數置第三率
  一 八百畝
  二 三百六十日
  三 三百五十畝【甲】 二百八十畝【乙】 一百七十畝【丙】四 一百五十七日半 一百二十六日 七十六日半問派糧八百四十石四縣照田地多寡納之甲田三千六百三十五畝乙田二千四百六十六畝丙田三千五百七十七畝丁田四千三百二十二畝各納若干亦併總畝置首率總糧置次率列四縣各田數置第三率一 一萬四千畝
  二 八百四十石
  三 三千六【百三十五畝甲】 二千四【百六十六畝乙】 三千五【百七十七畝丙】 四千三【百二十二畝丁】四 二百一十 一百四十七 二百一十四 二百五十九八石一斗 石九斗六升 石六斗二斗 石三斗二升
  問五縣輸穀二萬石照依人戶多少道里遠近價值上下而均輸之每車載二十五石行一里僦值一錢甲縣二萬零五百二十戶穀石價二兩乙縣一萬二千三百十二戶穀石價一兩遠輸二百里丙縣七千一百八十二戶穀石價一兩二錢遠輸一百五十里丁縣一萬三千三百三十八戶穀石價一兩七錢遠輸二百五十里戊縣五千一百三十戶穀石價一兩三錢遠輸一百五十里各該若干先求各衰【惟甲縣自輸本縣無僦里以穀價二兩為法除甲戶得一千○二十六衰乙丙丁戊俱有僦價各以僦一錢乘所輸里數而以每車二十五石除之得各運價以乘各戶而求各衰乙縣行道二百里乘除之得八錢倂穀價一兩八錢以除乙戶得六百八十四衰丙縣行一百五十里乘除得六錢併價共一兩八錢除丙戶得三百九十九衰丁縣行二百五十里乘除得一兩併價共二兩七錢除戶得四百九十四衰戊縣行一百五十里乘除得六錢併價共一兩九錢除戶得二百七十衰】併五衰【共二千八百七十三】為首率以總穀為次率列各衰為三率一 二千八百七十三
  二 二萬石
  三 一千二百六【甲】六百八十四【乙】三百九十九【丙】四百九十四【丁】二百七十【戊】四 【七千一百 四千七百 二千七百 三千四百 一千八百四十二石 六十一石 七十七石 三十八石 七十九石三斗五升 五斗七升 五斗八升 九斗一升 五斗六升九合九勺 三合二勺 四合四勺 四合零勺 八合三勺】僦價無 二十兩 一十五兩 二十五兩 一十五兩
  問有田一萬八千八十八畝三子遞分伯比仲多一倍仲又比季多一倍各該若干此倍增倍減法也以一二四為衰分【季一仲二伯四】合總為第一率田數為第二率分各衰為三率
  一 七
  二 一萬八千八十八畝
  三 四【伯】    二【仲】    一【季】
  四 一萬三百三十六 五千一百六十八 二千五百八十四問有銀九十二兩四子挨次遞分各幾何併各衰【伯四仲三叔二季一共得一十】為首率銀數為二率各衰為三率
  一 一十
  二 九十二
  三 一【季】  二【叔】   三【仲】   四【伯】
  四 九兩二錢【季】一十八兩四錢【叔】二十七兩六錢【仲】三十六兩八錢【伯】問官銀一千一百零七兩令五等戶減半出辦甲戶一十六乙戶二十五丙戶三十一丁戶四十八戊戶六十二每等每戶各若干亦先以各衰乘各等戶數併【甲衰乘得二百五十六乙衰乘得二百丙衰乘得一百四十二丁衰乘得九十六加戊衰併得七百三】為首率總銀為次率列各衰為三率推得各等共數再以各戶除之得各戶數
  一 七百三十八
  二 一千一百零七兩
  三 二百五十六【十】二百【八】一百四十二【甲】九十六【乙】 六十二【丙】四 三百八十四兩 三百兩一百八十六兩 一百四十四兩 九十三兩二十四兩 一十二兩六兩  三兩  一兩五錢
  問用金八十一兩造杯一套五箇每杯重若干此挨次衰分併各衰【五四三二一共一十五】為首率總金為次率列各衰為三率
  一 一十五
  二 八十一兩
  三 五   四   三  二   一
  四 二十七兩 二十一兩【六錢】一十六兩【二錢】一十兩八錢五兩四錢問派糧一千一百三十四石令五等戶挨次上納甲戶二十四乙戶三十三丙戶四十二丁戶五十一戊戶六十各等各戶各若干法亦以各等戶數乘各衰併為首率糧數為次率分各衰列三率推得各等人戶所納再以戶數乘之得各等共數
  一 五百四十
  二 一千一百三十四石
  三 一【戊】  二【丁】  三【丙】  四【乙】  五【甲】四 二石一斗 四石二斗 六石三斗 八石四斗十一石五斗一百【二十六石】二百【一十四石二斗】二百【六十四石六斗】 二百【七十七石二斗】二百五十二石
  問派糧三百八十五石五斗二升甲乙二等戶四六辦納甲二十六戶乙四十戶各等若干每戶若干凡求四六衰者就身六乘四除【首位四以六乘得二十四即以四除得六後多數倣此】此先以六乘甲戶四乘乙戶【六乘二十六得一百五十六數四乘四十得一百六十數】併為首率總糧為次率列各衰【十六下四】為三率推得每戶應納之數再以甲乙各戶數乘之得各共數【若先以總衰除總糧得一石二斗二升乃以甲乙衰各乘亦同】
  一 三百一十六
  二 三百八十五石五斗二升
  三 六【上】        四【下】
  四 七石三斗二升【甲一戶】 四石八斗八升【乙一戶】一百九十石三斗二升 一百九十五石二斗
  問徵銀一千七百一十六兩以四等人作四六派出各該若干法併各衰【丁四丙六乙九甲一十三零二之一】為首率銀數為次率列各衰為三率求得各衰數【此四六衰是一倍有半加之若先以總衰除總銀得五十二兩八錢後以各衰乘之亦同】
  一 三十二又二之一
  二 一千七百一十六兩
  三 四【丁】   六【丙】   九【乙】   一十三又二之一【甲】四 二百一十【一兩二錢】三百一十【六兩八錢】四百七十【五兩二錢】七百一十【二兩八錢】問徵糧一千二百六十六石令五等人作四六納之各該若干法併各衰【戊四丁六丙九 乙一十三又二之一甲二十又四之一共五十二又八之六】為首率【其甲與乙須用奇零併子母法併之增至多等皆然】總糧數為次率列各衰為三率測得各衰數【若先以總衰除總糧得二十四石後以各衰數乘之亦同】一 五十二又八之六
  二 一千二百六十六石
  三 四【戊】  六【丁】  九【丙】  一十三【又二之一 乙】二十【又四之一 甲】四 九十六石 一百【四十四石】二百【一十六石】三百【二十四石】四百【八十六石】問派糧二百六十一石令三等戶三七出辦甲戶二十一乙戶三十二丙戶四十三各等幾何每戶幾何凡求三七衰分者用三除七乘遞求若零分多者就首衰之數以三因之法消息之如二位者只用三七如三位者首位三就以三因得九為首衰四位者首位三以三因得九又三因得二十七為首衰如五位者又以二十七三因得八十一為首衰凡此皆以省零分也此問法以各等乘各衰併之【甲二十一戶乘甲衰四十九得一千二十九乙三十二戶乘乙衰二十一得六百七十二丙四十三戶乘丙衰九得三百八十七共二千零八十】為首率以總糧為次率列各衰為三衰推得第四率是各戶應出之數再以數乘之得各等共數
  一 二千○八十八
  二 二百六十一石
  三 四十九【甲】  二十一【乙】   九【丙】
  四 六石一斗二升五合二石六斗二升五合 一石一斗二升五合一石二十八石【六斗二升五合】 八十四石   四十【八石三斗七升五合】
  問制錢三萬八千二百八十文四人作三七分之各若干法先併各衰【丁二十七丙六十三乙一百四十七甲三百四十三共五百八十】為首率以總銀為次率列各衰為三率推得四率
  一 五百八十
  二 三萬八千二百八十文
  三 二十七【丁】 六十三【丙】  一百四十七【乙】 三百四十三【甲】四 一千【七百八十二文】四千【一百五十八文】九千七百二文 二萬【二千六百三十八文】問派銀八百二十八兩二錢令五人三七納之每人應若干先倂各衰【戊八十一丁一百八十九丙四百四十一乙一千零二十九甲二千四百零一共四千一百四十一】為首率以總銀為次率列各衰為三率一 四千一百四十一
  二 八百二十八兩二錢
  三 二千四【百○一甲】一千○【二十 九 乙】四百【四十 一 丙】一百【八十 九 丁】八十一【戊】四 四百八【十兩二錢】二百○【五兩八錢】八十【八兩二錢】三十【七兩八錢】一十【六兩二錢】問官銀二千六百三十五兩令四等人二八出之各若干凡求二八衰分者用四乘之遞求次衰比問法先併各衰【丁二丙八乙三十二甲一百二十八共一百七十】為首率總銀為次率列各衰為三率得各銀數【此二八衰分是四倍加之若先以總衰除總銀得一十五兩五錢後以各衰乘之亦同】
  一 一百七十
  二 二千六百三十五兩
  三 二【丁】   八【丙】   三十二【乙】 一百二十八【甲】四 三十一兩【丁】一百二十四兩【丙】四百九十六兩【乙】一千【九百八十四兩 甲】問派糧二千六百五十五石九斗令五等戶二八辦納甲戶三十乙戶四十丙戶五十丁戶六十戊戶七十各等每戶該若干法置五等衰以各戶數乘之併【甲三十戶乘衰五百一十二得一萬五千三百六十乙四十戶乘衰一百二十八得五千一百二十丙五十戶乘衰三十二得一千六百丁六十戶乘衰八得四百八十戊七十戶乘衰二得一百四十併共二萬二千七百】為首率總糧為次率列各衰為三率推得四率是各等每戶納數再以各等戶數乘之得各等共糧數【若先以併衰除總糧得一斗一升七合為最下衰然後以各衰乘之亦同】
  一 二萬二千七百
  二 二千五百六十五石
  三 五百一十二【甲】一百二十八【乙】三十二【丙】八【丁】  二【戊】四 【五十九石九斗一十四石九 三石七斗 九斗三 二斗三○四合   斗七升六合 四升四合 升六合 升四合】
  以上四六三七二八俱增衰法
  問官絹四百七十丈零一尺八寸四分令三等人戶辦納以一十分之六遞減其上等計二十五戶中等三十戶下等四十八戶每等每戶若干法先置各衰以各等戶乘併之【上等戶數乘一百衰得二千五百中等戶數乘六十衰得一千八百下等戶數乘三十六衰得一千七百二十八共六千零二十八】為首率以總絹為次率列各衰為三率推得第四率為各等一戶所出數再以各戶數乘之得各等數
  一 六千零二十八
  二 四百七十丈一尺八寸四分
  三 一百      六十       三十六四 七丈八尺【上等戶】四丈六尺八寸【中等戶】二丈八尺八分【下等戶】一百九十五丈 一百四十丈四寸  【一百三十四丈七尺八寸四分】
  問官糧一百六十八石四斗八升八合令四等戶辦納遞減十分之七甲戶二十二乙戶三十六丙戶四十二丁戶四十八每等每戶各幾何立各衰以各戶數乘併【甲戶數乘一千衰得二萬二千乙戶數乘七百衰得二萬五千二百丙戶數乘四百九十衰得二萬五百八十丁戶數乘三百四十三得一萬六千四百六十四通共八萬四千二百四十四】為首率總糧為次率列各衰為三率推得第四率各等一戶所出數再以戶數乘之得各等數
  一 八萬四千二百四十四
  二 一百六十八石四斗八升四合
  三 一千  七百   四百九十 三百四十三四 二石【甲】 一石四斗【乙】九斗八升【丙】六斗八升六合【丁】四十四石 五十【石零 四十一石 三十二石九四斗 一斗六升 斗二升八合】
  右併衰係減衰法凡十之五十之九之類倣此
  問穀二百四十石作五等分之甲乙二人數與丙丁戊三人數等各幾何此遞差偏多偏寡法先併各衰為二宗較之用餘數增入各衰併甲乙二衰【甲五乙四】得九又併丙丁戊三衰【丙三丁二戊一】得六以減九餘三却于五等衰各增三數【甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四共三十】併之為首率總米為次率推得第四率遞差八石其甲乙二人所分得數與丙丁戊三人正相當【此是以八遞加】
  一 三十
  二 二百四十石
  三 四【戊】  五【丁】  六【丙】  七【乙】  八【甲】四 三十二石 四十石 四十八石 五十六石 六十四石右增衰凡增衰偏多偏寡者倣此如三人分要甲數與乙丙數同者七人分要甲乙丙數與戊己庚辛數同之類
  問四商共得子銀三百四十兩其母以四遞加【如乙五則丙九丙七則丁十一丁九則甲十三是也係衰分遞加】但知甲原母二百八十六兩餘遞減各該若干須知十三之於九與二百八十六之於某數相同按衰母遞測之由甲母以推丁母由丁推丙由丙推乙法以甲衰十三為第一率甲母二百八十六為第二率以丁衰九為第三率依準測法得丁母數餘倣此
  以甲知丁    以丁知丙   以丙知乙
  一 十三【甲衰】    十一【丁衰】   九【丙衰】二 二百八十六【甲母】一百九十八【丁母】一百二十六【丙母】
  三 九【丁衰】    七【丙衰】    五【乙衰】四 一百九十八【丁之母】一百二十六【丙之母】七十【乙母】右法已知各母再欲知其應分子銀以四遞加之數則併甲乙丙丁母為第一率總子為第二率分四母為第三率
  一 六百八十【倂母】
  二 三百四十【總子】
  三 二百八十六【甲】七十【乙】 一百二十六【丙】一百九十八【丁】四 一百四十三  三十五  六十三  九十九問三商共銀七百六十兩分之則甲得十分乙得七分丙得二分各若干其法併甲乙丙衰為第一率以銀數為第三率
  一 一十九【甲一十乙七丙二共此數】
  二 七百六十
  三 一十【甲】     七【乙】     二【丙】
  四 四百      二百八十   八十問應徵糧七十三石二斗派令三等人戶照分攤出上等二十五戶每戶作五分辦中等四十戶每戶三分辦下等六十戶每戶一分辦各戶若干各等共若干法以各分各戶相乘倂之【以五乘二十五得一百二十五以三乘四十得一百二十下等六十無乘共三百零五】為一率以總粮為二率以各衰【五三一】為三率推得三等戶所應出分數再以各戶數乘之得各等共數
  一 三百零五
  二 七十三石二斗
  三 五       三      一
  四 一石二斗    七斗二升   二斗四升三十石【上】   二十八石八斗【中】一十四石四斗【下】
  問硃砂每斤三兩六錢石青每斤二兩四錢今有銀一千二百兩議買硃青二色硃數比青增一倍各斤數與價若干法因硃砂加倍即倍其價【三兩六錢】為七兩二錢倂青價【二兩四錢】共九兩六錢為一率以總銀為二率以各價為三率推得斤數為四率再各以價乘之
  一 九兩六錢
  二 一千二百兩
  三 三兩六錢       二兩四錢
  四 二百五十斤價九百兩  一百二十五斤價三百兩問綾每尺價銀九分二釐羅每尺八分五釐絹每尺三分六釐今有銀一百二十一兩一錢七分五釐買綾一停羅二停絹三停各實數與價若干法用二乘羅價【一錢七分】三乘絹價【一錢八釐】併綾價共三錢七分為一率總銀為二率各價為三率得四率為各實數各以原價乘之一 三錢七分
  二 一百二十一兩一錢七分五釐
  三 九分二釐    八分五釐    三分六釐四 三十二丈七【尺五寸綾】六十五丈五尺【羅】九十八丈二【尺五寸絹】三十兩一錢三分 五十五兩六錢【七分五釐】三十五兩【三錢七分】
  問芝蔴每三斗換米五斗每米五斗抵豆七斗今有芝蔴四百五十石換米豆共九百一十石各用芝蔴若干所換米豆各若干法用重準先併米五豆七共一十二為首率以芝蔴總數為二率分列米五豆七為三率求得芝蔴合換米 各數以為重準之第三率以米 共數為二率芝蔴總數為首率求得米 各數
  一 一十二         四百五十石
  二 四百五十石       五      七
  三 五    七   一百 【八十七石五斗】二百 【六十二石五斗】四 一百八十七【石五斗以換米】二百六十二【石五斗以換豆】二百九十【七石五斗】六百一十【二石五斗】問銀一千零八兩買絲三停綿二停綫一停共三百六十兩其價綫一兩抵綿一兩六錢抵絲二兩欲知三色併價各若干者併各衰【絲三綿二綫一共六】置第一數以總銀為第二率分各衰列第三率推得第四率是各色數乃照前價取絲【一百八十兩】以二十除之得九十衰取綿【一百二十兩】以一十六除之得七十五衰併綫六十衰共二百二十五為法除總銀得綫價以一十六除綫價得綿價以二十除綫價得絲價
  一 六
  二 三百六十兩
  三 三【絲】     二【綿】     一【綫】
  四 一百八十兩  一百二十兩  六十兩二兩二錢四分【絲價】二兩八錢【綿價】 四兩四錢八分【綫價】
  問氷片每兩價二兩七錢五分沉香每兩價銀三錢五分奇南每兩價銀八錢有人以沉香一十七斤三兩又有人以奇南一十三斤十二兩各欲換氷片若干法置氷片價為首率化沉香奇南斤數為兩置次率各價為三率
  一 二兩七錢五分
  二 二百七十五兩    二百二十兩
  三 三錢五分      八錢
  四 三十五兩【沉香所換】  六十四兩【奇南所換】問養軍二萬五千二百名月糧米麥豆兼支米每四名支三石麥每九名支五石豆每七名支八石各幾何即以七九四各列第一率以軍總數為二率以八五三列三率
  一 七      九     四
  二 二萬五千二百名
  三 八【豆】     五【麥】    三【米】
  四 二萬八千八百石 一萬四千石 一萬八千八百石問刻漏一壺貯水令漏開三孔其一孔最大漏水二時而盡一孔次之三時而盡一孔最細六時而盡假如三孔俱洩則幾刻水盡其法先以三孔與時刻相較以各時為第一率以一壺為二率以最小時為第三率要見大孔二時漏盡一壺則六時漏盡三壺其餘倣此而推
  一 二時【大】    三時【次】    六時【小】二 一壺
  三 六時
  四 三壺     二壺     一壺
  又法總而計之凡六時漏盡六壺知三孔俱開則其水一時漏盡只以分數算之
  一 二時     三時     六時
  二 一壺
  三 一時
  四 二分水之一  三之一  六之一【積之共一壺即是一時盡一壺也】右三數偶滿一時其法易算若併有奇零者另法求之假如纍臺一座甲六年完工乙九年完工丙十八年方完今三人同纍須幾時可完此先知每人每年所為之工得若干而總算之六年者每年得六分之一其九年者每年得九分之一其十八年者每年得十八分之一依併法每年共得三分之一約計三年通完三年之内甲成二分之一乙成三分之一丙成六分之一共足十分之數
  問漏壺一座上有渇烏注水下有天池水今塞其下竅注水于壺四時而水滿開其下竅洩水壺外六時而洩盡若使上注下洩相併則此壺須幾時可滿法以四時為一率以一壺為二率以一時為三率測之而得一時之所注【四分壺之一】又以六時為一率一壺為二率一時為三率亦得一時之注【六分壺之一】乃以四之一減六之一得十二之一於是又以十二之一為第一率以一時為第二率以一壺為第三率得四率【以十二時注滿】凡用準測法者三
  一 四時    六時    十二分壺之一
  二 一壺    一壺    一時
  三 一時    一時    一壺
  四 四分壺之一 六分壺之一 十二時
  問塞下竅四時水滿通下竅六時水盡今上注下泄則四箇時滿幾分曰六時盡者四時泄三分之二以除全壺餘三分之一為水滿數又問如此則幾時可滿一壺曰依前法當以十二時滿又問假如塞下竅注上竅三時而滿塞上竅開下竅八時而盡若上注下洩須幾時可滿曰以三時滿者一時之率三之一以八時盡者一時之率八之一就三之一減八之一餘二十四之五為一時之率則全壺得四時零五分時之四也又問一壺既以三時而滿假如四時又五分時之三可滿幾壺曰滿一壺又十五分壺之八又問八時盡一壺若四時又五分時之四該幾何曰此五分壺之三即於前數一時滿一壺者除之便得問八時盡一壺三時得幾何曰三時泄得八分之三以除前壺餘八分之五是三時滿八分之五又問三時滿八分之五則全壺幾時滿曰四時零五分時之四
  同文算指通編卷二
<子部,天文算法類,算書之屬,同文算指__通編>
  欽定四庫全書
  同文算指通編卷三
  明 李之藻 撰
  合數差分法第四下
  問四人共分金七百八十五兩多寡不同乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九各實數幾何其法先併各衰雜數【甲一十則乙七乙十四則丙三丙十二則丁九】併各子以乘各母從小數併起除丁九無併其丙衰係十二又係三則以十二併三依約法三四一十二且作四以乘乙之十四得五十六為乙衰乙係五十六又係七則以五十六併七依約法七八五十六且作八以乘甲衰之十得八十為甲衰已得各衰併數【丁九丙十二乙五十六甲八十共一百五十七數】為第一率以銀總數為第二率以各衰為第三率一 一百五十七數【併衰】
  二 七百八十五兩【總銀】
  三 九【丁衰】  十二【丙衰】 五十六【乙衰】八十【甲衰】四 四十五兩 六十兩  二百八十兩 四百兩問發兵百人外有領隊四人旗牌六人共破一寨得器械七萬二千四百件即以充犒旗牌比領隊得八分之五兵比旗牌得五分之三各該得若干其法衰作八五三【兵三旗牌五又合三五成八得領隊之衰】各以本數乘本衰【領隊四乘八得三十二旗牌六乘五得三十兵百乘三得三百】合總數為第一率所獲數為第二率各衰所乘三宗為第三率
  一 三百六十二【併各衰乘數】
  二 七萬二千四百
  三 三十二【領隊】  三十【旗牌】   三百【兵】
  四 六千四百   六千     六萬
  問三人共拾得遺錢三千四十二文甲欲得二之一乙得三之一丙得四之一各該若干【此問併其分數反浮總數盖曰甲視乙則二一之視三一乙視丙則三一之視四一也】其法當先併母尋其通四分三分二分之一者為主依法二三乘得六又乘四併得二十四約之得十二以甲乙丙分之其數皆通【甲二之一則用六乙三之一則用四丙四之一則用三】乃併甲乙丙衰【甲六乙四丙三】共十三為第一率以錢數為第二率分甲乙丙衰作三宗為第三率乘除得數乙得甲三之二丙得甲二之一
  一 十三
  二 三千四十二文
  三 六【甲衰】    四【乙衰】    三【丙衰】四 一千四百四  九百三十六  七百二問三縣共派糧一千四百七石小縣????二分之一次縣????五分之三大縣????十一分之八各該納若干【衰法同前】其法亦以各母相乘以求通數以二乘五又乘十一得一百一十【二五乘得十又十乘十一得一百一十也于是小縣分得五十五次分得六十六大分得八十】則三縣之母數皆通而併之為第一率以糧數為第二率分三縣各衰為第三率
  一 二百一【併各衰】
  二 一千四百七石
  三 五十五【甲衰】  六十六【乙衰】  八十【丙衰】四 三百八十五石 四百六十二石 五百六十石問四人共分銀三百九十六兩甲得二分之一外加十兩乙得五分之三内欠二十兩丙得三分之一外加八兩丁得四分之一内欠六兩每人實數幾何此將總數内除去加數【實在三百七十八兩】加上欠數【共得四百零四兩】乃依前法併其母數【二乘五得一十以乘三得三十又以乘四得一百二十】約之得六十為通數而各以其所得子數通之【甲二之一為三十乙五之三為三十六丙二之一為二十丁四之一為一十五】併為第一率以加除所得銀數為第二率以甲乙丙丁各衰四宗為第三率依準測法得第四率再照數或加或減其所分即總合前數矣
  一 一百一兩【併各衰】
  二 四百四兩
  三 三十【甲】  三十六【乙】 二十【丙】  一十五【丁】四 一百二十 一百四十四 八十   六十問兄弟三人不知歲數但云季得伯四之三仲得伯六之五仲多季只八歲各幾何此帶母子差分也已知兩母為伯衰用併法先併其母四六相乘得二十四為伯衰之實乃用母子互乘以求仲季之衰以四乘五得二十為仲衰以六乘三得一十八為季衰列三率而仲季相去較八歲為二率以仲季二衰之較【一十八減二十餘二】為首率【此以所已知之衰較及歲較求各衰之歲實故用較為首率後皆倣此】
  一  二
  二 八歲
  三 二十四   二十    一十八
  四 九十六歲【伯】  八十歲【仲】   七十二歲【季】問四人分錢不知數但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丁與丙差四文每人幾何此同上法已知三母即甲衰用併母法四乘六得二十四又自乘得五百七十六為甲衰之實乃以乙丙丁之原母除原子乘以求其子而得四百八十為乙衰四百三十二為丙衰四百零八為丁衰列三率以丙丁較四為二率以丙丁二衰之較二十四為首率【不用約法覽之易曉】一 二十四
  二 四
  三 五百七十六【甲】四百八十【乙】四百三十二【丙】四百零八【丁】四 九十六   八十  七十二   六十八右二法以借衰互徵求之亦同
  問大小船數相等共載鹽四千三百五十引大船每三隻載鹽五百小船每四隻載鹽三百該船幾隻每船載幾引此用重準測法以四之三百及三之五百子母互乘【一得九百一得二千】併得二千九百為首率兩母相乘得十二為次率總鹽為三率求得四率是大小船數即以為第三率分置所載率【五百三百】為次率與相乘又分置兩母【三四】為首率除之得各鹽數
  一 二千九百    三      四
  二 一十二     五百     三百三 四千三百五十  一十八
  四 一十八【大小各船數】二千     一千三百五十問鼇燈一座大小燈毬二等大燈三琖油四兩小燈四盞油三兩其小燈多大燈二之一共用油十八斤七兩大小燈各若干此用重準測法因有二之一立大母二小母三通斤為兩【共二百九十五兩】又通兩為銖【每兩二十四銖共七千八十銖】以先求大小每琖油數取每三每四為首率二十四銖為次率分四兩三兩為三率得第四率為大小每琖油數
  一 三       四
  二 二十四銖
  三 四【大】      三【小】
  四 三十二銖    一十八銖
  乃以母二乘三十二得六十四銖為大總以母三乘一十八得五十四為小總併得一百一十八為首率以總油【七千八十】為次率分母二母三為三率得第四率是大小琖各數而各以油銖數乘之又以每斤三百八十四銖除之
  一  一百一十八
  二  七千八十銖
  三  二【大】          三【小】
  四 一百二十琖【三十二銖乘得三千八百四十銖是十斤】一百八十琖【一十八乘得三千二百四十銖是八斤七兩】問大船三桅六槳小船一桅八槳今望見桅五十七槳二百零四其大小船各幾艘法併大小船每艘桅槳凡九共一十八為第一率以大小共二艘為第二率併桅槳全數得二百六十一為第三率推得大小船共二十九艘減小船之一補大船合問
  一 一十八
  二 二艘
  三 二百六十一
  四 二十九艘【内大船一十五小船一十四】
  問有銀一萬七千六百九十兩買騾三百匹馬七百匹其每匹價馬多于騾七兩七錢各價幾何此匿價差分法當先除所差而後凖測之以所多七兩七錢乘七百匹得五千三百九十兩以減原銀餘一萬二千三百兩乃併騾三百馬七百共一千匹置首率以減餘銀數置次率一匹為三率推得四率為騾價加七兩七錢即馬價再以各匹數乘之合總
  一 一千匹
  二 一萬二千三百兩
  三 一匹
  四 十二兩三錢【騾價】   二十兩【馬價】
  又法以所差七兩七錢乘三百匹得二千三百一十兩加入總銀共得二萬兩為次率如法凖測得二十兩為馬每匹之價減較七兩七錢亦得騾價
  一 一千匹
  二 二萬兩
  三 一匹
  四 二十兩【馬價】     十二兩三錢【騾價】問以銀二萬九千二百八十兩買上田三百畝中田一百五十畝下田四百五十畝其上價比中價每畝多四兩七錢中價比下價每畝多一十三兩五錢各幾何此亦匿價差分法當除兩差之積而後算之以一十三兩五錢乘三百得四千○五十兩以一十八兩二錢乘一百五十得二千七百三十兩併得六千七百八十兩以減原銀餘二萬二千五百兩即以置次率却併三等田數得九百畝置首率一畝為第三率推得每畝二十五兩為第四率是下田價加一十三兩五錢為中田價再加四兩七錢為上田價再以各數乘之合總
  一 九百
  二 二萬二千五百兩
  三 一畝
  四 二十五兩【下】
  又法增差積算之以四兩七錢乘三百得一千四百一十兩又以兩差一十八兩二錢乘四百五十得八千一百九十兩併得九千六百兩加入原總銀得三萬八千八百八十兩為次率與三率一畝相乘首率九百除之得上田每畝價四十三兩二錢減十三兩五錢即中田價再減四兩七錢即下田價
  問官銀一萬七百七十八兩六錢五釐糴米麥豆三色均平其每一石價米二兩三錢五分麥一兩九錢五分豆一兩四錢五分各價幾何各石幾何併三價共五兩七錢五分為法置第一率總銀為第二率列三色每石價為第三率推得第四率是各價數其各石數以法徑除總銀即得
  一 五兩七錢五分
  二 一萬○七百七十八兩六錢○五釐
  三 二兩三錢五分 一兩九錢五分 一兩四錢五分四 四千四百○五兩 三千六百五十五兩 二千七百一十八兩 一錢六分九釐【米】 三錢五分三釐【麥】 兩○八分三釐【豆】三色共一千八百七十四石五斗四升
  和較三率法第五
  凡數分合不離三率而互和難測則立較以測之立中率以較之凡兩數三數多數悉與中率相較而互置較位為第三率以較積為第一率諸如前
  問上酒每斗價二錢中酒每斗價一錢二分今雜併二酒每斗立價一錢五分則此斗酒内有上酒若干中酒若干其法先定三等之程列所立價【一錢五分】次連列上中二價與較而列上差數于中左列中差數于上左互對次併兩差列左下而以併差為第一率以一斗為第二率以各差為第三率
  【一十五】上中二價上【二十】中【十二】
  相較差 中【三】 上【五】  差積【八】
  一 八
  二 一斗
  三 三【上】        五【中】
  四 八分斗之三     八分斗之五
  問甲金一兩准銀一十五兩乙金一兩准銀一十二兩今欲鎔為一處使母金一兩准銀一十四兩則甲乙金各該幾兩亦列法如左較之併差為首率一兩為次率各差為三率
  【一十四】價甲【十五】 乙【十二】
  較  【二    一】 差積【三】
  一 三
  二 一兩
  三 二【甲】       一【乙】
  四 三分兩之二    三分兩之一
  問玉率方寸重七兩石率方寸重六兩今有璞方三寸重一百七十六兩内玉石各若干法以見方三寸自乘再乘得立方二十七寸以通玉石【玉該一百八十九兩石該一百六十二兩】各列右立總重數互較得數列左併差為首率開方寸為二率分差為三率
  【一百七十六】玉【一百八十九】石【一百六十二】
  【一十四 一十三】 差積【二十七】
  一 二十七【差】
  二 二十七【寸】
  三 一十四【玉】     一十三【石】
  四 一十四【乘重九十八兩】一十三【乘重七十八兩】問銀裹金方四寸共重九百零四兩每銀方寸重十二兩金方寸重十六兩各若干以四寸自乘再乘得開方六十四寸以通金銀【銀一千二十四兩金七百六十八兩】以總重互較三率如前
  【九百四】銀【一千二十四】金【七百六十八】
  【一百三 一百二十六  十】 差積【二百五十六】
  一 二百五十六
  二 六十四【寸】
  三 一百三十六【銀】    一百二十【金】
  四 三十四【乘得五百四十四兩】三十【乘得三百六十兩】問椒一斤價四錢丁香一斤價三錢桂皮一斤價六錢阿魏一斤價一兩縮砂一斤價八錢今以銀七錢買上五色共一斤則每色該得若干列法如左立七錢為主餘物以次列之較其所差而依次互列須易其位大抵有對者對互【椒砂互丁魏互】無對者另求一對【桂無對借砂作對而互又列桂較之一于砂較三之旁】而增系之凡相對互位者務取一大于立價一小于立價如砂數大對椒數之小亦以差倂為第一率一斤為第二率併各物較為三率
  【七錢】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】
  【一 三 一 四 三乙】 差積【十三】
  一 一十三
  二 一斤
  三 一【椒】  三【丁香】 一【桂皮】 四【阿魏】 四【砂】四 十三【分斤之一】十三之三 十三之一 十三之四 十三之四又列法但取一大一小雜互更位【椒砂互椒魏又互丁砂互桂砂又互丁魏互桂魏又互】凡六互得差積二十八【椒丁桂俱四魏砂俱八】若俱大數俱小數者則不可互耳【椒丁桂俱小魏砂俱大】其與立數等者亦可互但作○以倒其所互乃以二十八為第一率分各差積為第
  三率          【七錢】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】
  【一 一 三 三 三三 三 一 四 四】 差積【二十八】
  一 二十八         【一 一】
  二 一斤
  三 四【椒】  四【丁】  四【桂】  八【魏】  八【砂】四 二十八【分斤之四】二十八【之四】二十八【之四】二十八【之八】二十八【之八】又法隨意易位亦以大數互小數比前稍異亦得差積十三
  【七錢】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】
  【三 一 一 三 四一】 差積【十三】
  一 十三
  二 一斤
  三 三【椒】  一【丁】   一【桂】  三【魏】  五【砂】四 十三【分斤之三】十三之一 十三之一 十三之三十三之五問鵝氄段大綠者每丈四兩天青每丈六兩大紅每丈十兩今以銀四百八十兩買氄八十丈則各色各該幾丈其法先以總價和總丈之數而匀之【每丈得六兩】立六為中數依前互法列之
  【四 六 一十四十互六十又互六兩四 四  二】差積
  一 一十
  二 八十丈
  三 四【綠】     四【青】    二【紅】
  四 三十二丈   三十二丈  一十六丈問有酒四等甲酒每瓶二錢一分乙酒每瓶二錢七分丙酒三錢丁酒四錢今有酒共三百瓶每瓶立價三錢三分則每酒若干瓶依法列之但此以三十三為主數【即三錢三分】而其餘惟四十【即四錢】為大其二十一【即二錢一分】二十七【即二錢七分】三十【即三錢】皆小數則此三小數皆與四十之大數相互云共積四十二為第一率
  【二錢 二錢 三錢 四三錢三分 一分 七分】
  【七  七  七 十二六】差積【四十二】
  一 四十二           【三】
  二 三百瓶
  三 七    七    七    二十一四 五十瓶  五十   五十   一百五十問銀四百兩買藥四百斤内丁香每斤該六錢胡椒每斤該七錢桂九錢蘇合一兩一錢辰砂一兩二錢阿魏一兩六錢每色各該幾斤方合總數其法亦先折中價如四百斤需四百兩則每一兩得一斤其中價乃依互法參之
  【一十】丁【六】椒【七】桂【九】合【十一】砂【十二】魏【十六此以丁魏互又丁合互椒砂互又椒魏互】
  【六 二 二 四  三  四 桂砂互一 六      一  三 差積三十二】
  一 三十二
  二 四百斤
  三 七【丁】 八【椒】 二【桂】 四【合】 四【砂】 七【魏】四 【八十七斤又二之一】一百  二十五 五十 五十 八十【七斤又二之一】又法
  【一十】丁【六】椒【七】桂【九】合【十一】砂【十二】魏【十六此以丁互合又互砂又互魏以】
  【一 一 一 四  四  四 椒互合亦互砂二 二 二 三  三  三 互魏以桂互合六 六 六 一  一  一 亦互砂互魏以上三位徧互下】
  一 五十一              【三位差積五十一】二 四百斤
  三 九  九  九  八  八  八
  四 【七十斤又五十一分斤之三十】同上 同上 【六十二斤又五十一之三十八】同上 同上【右五十一分斤之三十以求兩者化一斤為一千六百分以子數三十乘之以母數五十一除之得九兩四錢一分又五十一之九也】


  問金鑄編鐘一口計重三百兩俱九六成色今見有九九成色及九三成色二等金約該每用若干此以九六為中價依法互之
  【九六】甲金【九九】 乙金 【九一】
  【五     三】差積【八】
  一 八
  二 三百兩
  三 五【甲】        三【乙】
  四 一百七十七兩五錢  一百一十二兩五錢問米麥五百石共價四百零五兩七錢米每石價八錢六分麥每石價七錢二分五其各石數價數若干先以米麥每石之價乘五百石【米得四百三十兩麥得三百六十二兩五錢】即以總價立為中率先得石數次得價數
  【四百三四百五 十兩】麥【三百六十二兩五錢】
  【兩七錢 四十三 二十四兩兩二錢 三錢】差積【六十七兩五錢】
  一 六十七兩五錢
  二 五百石
  三 四十三兩二錢【米】   二十四兩三錢【麥】四 三百二十石【乘石價得二百七十五兩二錢】一百八十石【乘石價得一百三十兩五錢】問銀二十八兩二錢買銅錫鐵共重三百斤其價銅一斤銀一錢五分錫一斤銀九分鐵一斤銀四分此三物各該若干此貴賤衰分三色者以總物歸總銀立九分四為中價

  總疋除總銀立五錢八分一二毫五絲為中價
  一 一十六萬
  二 一百六十疋
  三 三千六百二十五【綾羅同】 四千三百七十五【紗絹同】四 三十六疋又四之一  四十三疋又四之三【以各疋價乘之合總】又法【先以四約總疋得羅紗各四十疋以減總疋餘八十疋為綾絹共數又于總價内減羅價二十八兩紗價二十兩餘四十五兩為綾絹共價乃以疊借互徵之法推之前銅錫鐵三色亦然】
  借衰互徵法第六
  數有隱伏非衰分可得者則别借虚數以類徵之或合率增減或母子射覆如藏鬮然借彼徵此借虚徵實大抵即三率之法而觸類長之
  問三人共買宅一區用價二千七百兩其捐價則乙視甲加倍丙視甲乙又加倍各若干此倍增法也隨意立一數為甲衰但用小數而以乙丙衰遞加之【如甲衰一則乙衰二丙衰六也如甲衰六則乙衰十二丙衰三十六也餘倣此】并各衰為第一率【甲衰一者一二六共九也甲衰六者六及十二及三十六共五十四也餘倣此】隨取一衰為第二率【且用甲】以總價為第三率依互測法得甲數倍之得乙數二倍之得丙數
  一 五十四
  二 六【此只借甲衰用乙用丙皆同】
  三 二千七百
  四 三百【甲】  六百【乙】   一千八百【丙 乙丙皆從甲倍出】問貯絹不知幾何但云其三之一其四之一其五之一併得四千七百疋其實數幾何曰此尋一通數可以兼三之一及四之一及五之一者而測之如用六十以通各分【三之一是二十也四之一是十五也五之一是十二也】併之【共四十七】為第一率即以六十為第二率【四十七出于六十】絹總數為第三率一 四十七
  二 六十
  三 四千七百
  四 六千疋
  問廐馬不知幾匹但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百十二匹今算實幾匹可用前法否曰此有最後所加一數即不同前法當先減一數只以一百十一算之次立通數可兼各衰者如用十二為通數加一倍【二十四】又加二之一【六】及三之一【四】四之一【三】共得三十七為第一率即以十二為第二率就前一百十二數内減一為第三率【一百十一】凖而測之知三十七出于十二則知一百十一出于何數矣再加一合問
  一 三十七
  二 一十二
  三 一百一十一
  四 三十六 再加一乃三十七匹
  問牧羊不知數但云加一倍又加二之一又加四之一外加一得一百其原數若干此亦除去加一數只用九十九為第三率而另借一數為通數如用一十二為次率以加一倍【二十四】加二之一【六】四之一【三】併得三十三為首率依法推之知一十二出于十三則知九十九所出也再加一合問
  一 三十三
  二 一十二
  三 九十九
  四 三十六【倍之為七十二加二之一得九十加四之一得九十九外加一得一百】問價銀五千兩買駿馬一匹園宅一區園價比馬多三倍宅比園多四倍各價幾何此與首問法同隨意立一數通各衰假如立馬衰三十園宅以次增衰【園多三倍得一百二十宅又多園四倍該六百】併為第一率【七百五十】於各衰隨取一數為第二率【且用馬衰】總銀為第三率【五千兩】如凖測法得第四率【如用馬則得馬價餘依倍推之】
  一 七百五十兩
  二 三十【馬】   一百二十【園】  六百【宅】
  三 五千兩
  四 二百【馬】   八百【園】   四千【宅】
  問入園摘瓜摘過三分之二又五分之一尚剩三十六瓜此園原有幾瓜法先求一通數内除三之二及五之一而剩三十六數者假如借立三百内減三之二除二百亦于三百内減五之一除六十通減二數只餘四十為第一率以三百為第二率知四十出于三百則知三十六出于何數矣
  一 四十 【右所云三之二又五之一者倂之未滿原數故可以右法推之若云三之一又五之三則】二 三百 【浮于原數知為虚設不必算矣】
  三 三十六
  四 二百七十【原瓜數】
  問二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共併得五百二十二數其原數幾何先立一通數可剖為二分之一以至四五六分皆可者如借六十為主依法分之【其二之一為三十其三之一為二十其四之一為十五其五之一為十二其六之一為一十】併各率【共八十七】為第一率以六十為第二率知八十七出于六十則五百二十二出于何數可推也以五百二十二為第三率
  一 八十七
  二 六十
  三 五百二十二【其二之一乃一百八十其三之一乃一百二十其四之一乃九十其五之】四 三百六十 【一乃七十二其六之一乃六十其五百二十二數】問倉中有粟幾石不言其數但言外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石此其原粟幾何其法先減一百石在外只就二百起算乃隨借一數可以通二之一及三之一及四之一者如借二十四為通數外加二之一【一十二】又加三之一【八】四之一【六】併之【五十】為第一率所借二十四為第二率知五十出于二十四則二百出于何數可推也以二百為第三率而得第四率外加所減【一百】合問
  一 五十
  二 二十四
  三 二百
  四 九十六石【外加二之一為四十八加三之一為三十二加四之一為二十四又加一百共三百】問水碓五副大小不等共舂麥五十石甲碓每一時舂七斗乙碓每一時舂五斗丙四斗丁三斗戊一斗五碓齊舂須幾時可完完時每碓各舂得幾何其法隨意立一時數假如借四箇時畢之以計各碓所舂【甲二十八乙二十丙一十六丁十二戊四共得八十】併為第一率四時為第二率知八石畢于四時則五十石可推也以五十石為第三率
  一 八石
  二 四時
  三 五十石
  四 二十五時【以各碓乘甲以七乘得一十七石五斗乙五乘得一十二石五斗丙四乘得一十石丁三乘得七石五斗戊一乘得二石五斗共五十石】
  問貸貲商販三次俱獲倍息每次歸還三百兩三次母子適盡原貸若干先借一為母貲以加三次倍息【初一次二其三得四】併得八為首率減母貲之一只併三次倍息【一二四】併得七為次率知七出於八則知三百原母所出矣以三百為第三率
  一 八
  二 七
  三 三百兩
  四 二百六十二兩五錢
  問商販四次俱獲倍息每次費銀九十六兩四次子母俱盡原母若干亦借一為母加四次倍息【一二四八】併得一十六為首率減母貲之一只併四次倍息【一二四八】併得一十五為次率知十五原於十六則知九十六原於何數也以九十六為三率
  一 一十六
  二 一十五
  三 九十六兩
  四 九十兩
  問有商挾貲赴集初次所獲比母銀多三之二以併入母銀再往獲五之四三次往又獲四之三實計所獲併母銀共四百兩所原挾貲若干其法先借一數以遞乘各母而例推之假如借一十為通數以乘各母【乘三得三十以三十乘五得一百五十以一百五十乘四得六百】併之為第一率以所借一十為第二率知六百出于一十而四百之所從出可知也以四百為第三率【按此條法誤置子數不用只以母數逓乘與題問不合】
  一 六百
  二 一十兩
  三 四百
  四 六兩又三分兩之二【此係初販原貲三乘得二十兩又五乘得一百兩又四乘得四百兩】問攜酒郊遊三入肆中俱飲酒一斗九升每飲添酒輒倍餘酒至三次酒盡原攜若于法借一為原酒加三次倍率【一二四】併得八為首率減原酒之一只三次倍率七為次率以所飲一斗九升為三率知七出于八則知一斗九升所自出矣
  一 八
  二 七
  三 一斗九升
  四 一斗六升八之五【即六合二勺五抄】
  又法併三次倍率七以乘所飲【一斗九升】得一石三斗三升減半三次得原攜數同前
  問載米賑濟不言其數每次散米一千五百石亦每次糴增俱倍餘米之數五賑恰盡無餘原米若干法立一為原數加五次倍率【一二四八十六】併得三十二為首率減原數一只併五倍率三十一為次率知三十一之原于三十二即知一千五百之原
  一 三十二
  二 三十一 【二三相乘得四萬六千五百石以減半五次亦同四率】三 一千五百石
  四 一千四百五十三石三十二之四【即一斗二升五合】問立一虚數以乘四得數又以乘三得數又以乘六得數外加一十共八百前所立虚數幾何其法先除所加一十只以七百九十起算亦借一通數假如借一十為主以遞乘得數【乘四得四十又乘三得一百二十又乘六得七百二十】併之為第一率【七百二十】以所借為第二率【一十】知七百二十之出于一十而七百九十之所從出可知也以七百九十為第三率而得第四率乃以一十加之【按此條内併之二字衍末六字應刪】一 七百二十
  二 一十
  三 七百九十
  四 一十又三十六之三十五【以乘四得四十三又九之八再以乘三得一百三十
  一又三之二又乘六得七百九十加一十合問】
  問老人不知其年但云加二之一又減四之一得九十九歲實年幾何其法借一虚數外加二之一又減四之一而例之假如借八十為算依法加減【加二之一得一百二十又減四之一得九十】得數為第一率八十為第二率知九十之出於八十而九十九之所從出可凖也以九十九為第三率一 九十
  二 八十
  三 九十九
  四 八十八
  問遠望一塔上露出二丈四尺其下有樹遮之云尚有三分之一又五分之二共該高幾何亦借立一數以其三之一及五之二類凖之如借立三十為主酌減餘分【三之一乃一十五之二乃一十二】以其所剩數【該剩八即所露】為第一率以三十為第二率知八之出于三十而二十四尺可測也以二十四為第三率
  一 八尺
  二 三十尺
  三 二十四尺
  四 九十尺 【此塔高之數内減三之一乃三丈減五之二乃三丈六尺此外露二丈四尺】問旗竿一根其三之一是白色五之一是黑色九之二是青色外尚餘十二尺紅色竿長幾何亦借一數以通各數而觀其所剩以類徵之假如借四十五數以減各分【減三之一得十五減五之一得九減九之二得一十】其餘【四十五内減前各數剩十一】為第一率以所借為第二率【四十五】知十一之出於四十五而十二之所從出可推也
  一 一十一
  二 四十五
  三 一十二尺
  四 四十九尺又十一分尺之一【其白色三之一乃十六尺又十一之四黑色五之一乃九
  尺又十一之九青色九之二乃十尺又十一之十也】
  問白布三十疋青布四十疋共價六百六十兩青布每疋比白布價多一倍各價幾何法借一虚數為白價倍之為青價而以前疋數乘之假如借立四兩倍得八各乘青白【四乘白得一百二十八乘青得三百二十】併之【四百四十】為第一率以所借四為第二率知四百四十之出于四而六百六十之所出可知也以六百六十為第三率
  一 四百四十
  二 四兩
  三 六百六十
  四 六兩   【此係白價倍之得青價十二兩各乘疋數白得一百八十兩青得四百八十兩】



  同文算指通編卷三
  欽定四庫全書
  同文算指通編卷四
  明 李之藻 撰
  疊借互徵第七【附盈朒】
  借虚徵實其術精矣又有子母雜互隱奥難知者則兩借虚數以徵之徵之于實尚遠也或兩浮而盈或兩縮而不足或一盈一不足俱以借數列上以較原數以多寡之差列下而左右互乘焉其法有二凡俱盈俱不足者以差數相減餘為法以乘數相減餘為實若一盈一不足者以差數相併為實而以法除實則二法相同舊有盈朒一章大都類此而此則於未有盈朒之先借數推出盈朒以求隱數故曰借徵其顯有盈不足實數者但依舊法求之諸盈不足者兩盈者兩不足者盈適足者不足適足者及疊互母子者各具數條見例
  問設一虚數以其半為用内除三之一又除四之一尚餘三百其原總數幾何其法先另借一通數以分其半而通各分先借二十四為數列左上【其半為十二其三之一為四其四之一為三尚餘五】以比三百則不足二百九十五列左下另借九十六為數列右上【其半為四十八其三之一為十六其四之一為十二尚餘二十】以比三百不足二百八十列右下次以左上乘右下又以右上乘左下各得數附註其下以少減多其餘為實而以左下右下相減其餘為法除之
  除得一千四百四十合原總以減半為七百二十其三之一乃二百四十其四之一乃一百八十加三百合一半七百二十之數
  假如借四千八百為通數列左上【其半為二千四百其三之一為八百其四之一為六百餘一千】以比三百則盈七百列左下又借二千四百為通數列右上【其半為一千二百其三之一為四百其四之一為三百餘五百】以比三百盈二百列右下亦以二數相減餘為法而以左上乘右下以右上乘左下相減餘為實而以法除之
  以法除實亦得一千四百四十合原總數
  又假如借二千四百為通數列左上【即前第二式右上者尚餘五百】盈二百列左下再借九十六列右上【即前第一右上者餘二十】不足二百八十列右下此係一盈一不足者相併為法次以左上乘右下以右上乘左下亦相併為實以法除實仍得一千四百四十

  問三人共銀四十四兩乙多甲一倍外又多四兩丙兼甲乙之數外又多六兩每人實數幾何【此大約當以四分分之而算】先借一十為通數列左上【甲一十乙倍得二十又加四共二十四丙兼二數又加六得四十】共七十四以比四十四盈三十列左下又借六列右上【甲六乙倍之加四得十六丙兼二數加六得二十八】共五十以比四十四盈六列右下以相減餘為法乃以左上乘右下以右上乘左下亦以相減餘為實以法除之得五為所求之甲數倍之又加四得一十四為乙數兼之又加六得二十五

  右圖以甲之左數一十乘六及以右數六乘三十者固除得甲五若以乙之二十四乘六及一十六乘三十亦得乙數以丙之四十乘六及二十八乘
  三十者亦得丙數以
  共數七十四乘六及
  五十乘三十者亦得
  共數
  問甲乙各不知數取乙九與甲則甲倍于乙取甲九與乙則甲乙正等原數各若干借一百為等數乙既得甲九則甲原一百九列左上而乙九十一列其次甲若取乙九則甲一百十八而乙八十二以視甲之半盈二十三【因甲取乙九當倍乙數故】列左下另借五十為等數乙既得甲九則甲原五十九列右上而乙四十一列其次甲又取乙九則甲得六十八而乙三十三以視甲之半不足二列右下盈不足相併二十五為法左上乘右下右上乘左下相併為實以法除實係甲乘者除得六十三為甲數係乙乘者除得四十五為乙數

  問攜酒遊山到處沽增一倍俱飲六升至第四處飲訖無餘原攜若干借五升四合列左上倍之【一斗八合】減六【四升八合】又倍之【九升六合】減六【三升六合】三次倍之【七升二合】減六【一升二合】四次倍之【二升四合】以減六不足三升六合列左次另借六升二合列右上倍之【一斗二升四合】減六【六升四合】又倍減至四次【倍得一斗二升八合減存六升八合復倍得一斗三升六合減存七升六合又倍得一斗五升二合減存九升二合】盈九升二合列右次盈不足相併為法以左上乘右下右上乘左下併為實以法除實得五升六合二勺五抄

  問貸穀不知數每年加息一倍一年還穀五斗至五年本利俱完其原貸若干先借四十三石列左上倍之【八十六】減所還【餘三十六】又倍之【七十二】又減【餘二十二】仍倍之【四十四】不足六石列左下又借四十四石列右上倍之【八十八】减所還【餘三十八】又倍之【七十六】又減【餘二十六】仍倍之【五十二】盈二石列右下併盈不足為法左上乘石下右上乘左下得數併為實以法除實得原穀四十三石七斗五升
  或依三率置五十為實置
  三年之倍【一二四】併得七乘
  之加母【一】為法除之亦同
  問逐兔百隻每三人得四隻該幾人先借七十二人列左上以四乘三除【九十六】盈四隻列下另借九十人列右上以四乘三除【一百二十】不足二十列下盈不足併為法左上乘右下右上乘左下得數併為實以法除實得七十五人
  此問依三率三
  乘四除即得
  借此見例云
  問甲乙丙共數六十乙多甲一倍外加四丙兼甲乙數外加六各該幾何先借六為甲通乙丙數列左上【甲六乙十六丙二十八】共得五十比正數不足一十列左下又借八為甲通乙丙數列右上【甲八乙二十丙三十四】共六十二比正數盈二列右下相併為法次以左上乘右下以右上乘左下亦相併為實依法除得七零三之二為甲數倍之加四得十九零三之一為乙數兼甲乙加六得三十三為丙數總合六十數

  問試以三十數隨手剖為二以其一加六十以其一加二十而加六十者為加二十者之三之二其剖分之數各幾何此取三十而隨意剖之且借二十為甲數列左上列乙一十于次而各如問加焉察其數【甲二十加六十得八十乙一十加二十得三十】甲視乙固不足三之二【乙三十則甲之三分二者該九十今却八十】以不足一十列左下又借二十四為甲數列右上亦列乙六于其次各加如問而察其數【甲二十四加六十得八十四乙六外加二十得二十六】甲又盈乙三之二【乙二十六則甲之三分二者該七十八今却八十四】以盈六列右下盈不足積併為法次以左上乘右下以右上乘左下併為實以法除實得二十二又二之一為甲數然後求三之一則七零二之一為乙數也

  問甲乙丙三數甲加七十三得為乙丙數者二乙加七十三得為甲丙數者三丙加七十三得為甲乙數者四其實數各幾何此因有三之二及四之三當借奇數為通數以求甲數而又因乙丙之加牽連難析則疊用前法以徵之且如借一乃奇數也以當甲列左上【左圖】加七十三【共七十四】當兼乙丙而倍之【既以七十四為兼乙丙且倍之則乙丙當僅得其半共得三十七】因以折半三十七為乙丙數而乙與丙又衰分焉【乙加七十三又得甲丙三之二因尋乙所衰于丙者】依前法隨意衰之為兩如借二為乙衰另列于左上【右圖】則丙係三十五矣列左次乃以二加七十三【得七十五】以較甲丙合數未足三之二【甲一丙三十五共三十六則其三之二乃該一百零八今乙衰二加七十三只有七十五】尚縮三十三列左下又借五當乙【三十七中之五】列右上則丙係三十二矣列右次乃以五加七十三【得七十八】以較甲丙有三之二否不足二十一【甲一丙三十二共三十三則其三之二該九十九今乙衰五加七十三只七十八】列右下兩不足相減餘為法而以左上乘右下以右上乘左下相減餘為實法除實得一十零四之一為乙實乃列乙實于左圖初借立一之次既已得乙實即得丙實【乙丙共三十七也乙得一十零四之一則丙得二十六零四之三】列于又次
  又另借三為甲衰列右上加七十三【共七十六】以其半為乙丙衰【得三十八】而隨意分之為兩另作一法如前焉如以二為乙衰列左上其餘三十六乃丙衰列左次即以乙衰之二加其七十三【得七十五】與甲丙相較是三之二否不足四
  十二【甲三丙三十六共三】
  【十九其三分之二乃一百十七】
  【也今乙衰加之只七十五】即
  以不足列左下
  另借二十三為乙衰列右上其半十五為丙衰列右次以乙衰二十三加七十三【得九十六】與甲丙相較是三之二否又盈四十二【甲三丙十五共十八其三分之二當是五十四今乙衰之數與加數却有九十六】以盈列右下盈與不足相併為法仍以左上乘右下以右上乘左下而相併為實以法除實得一十二零二分之一為乙實乃列乙實于前所借甲三之次因得丙實【乙丙共三十八乙既得一十二又二分之一則丙得二十五零二分之一】亦列于又次俱照前式
  乃依所問察之甲加七十三要兼乙丙數又多一倍乙加七十三要得甲丙數者三丙加七十三要得甲乙數者四

  如右圖左上甲衰及所加【共七十四】已兼乙丙之數與其倍數【乙丙共三十七兼而倍之則七十四也】左次乙衰所加【共八十三又四之一】亦兼甲丙數之三【甲丙共二十七又四之三以加二倍合乙衰】俱合原問惟左又次丙衰及所加【共九十九零四之三】以合甲乙【共十一零四之一】如原問但欲得甲乙數者四只須四十五今却九十九零四之三乃盈五十四零四之三到此不合矣仍依互乘之法求之右上甲衰及所加【共七十六】亦合乙丙兼數與倍數【乙丙共三十八兼倍之則七十六也】右次乙衰及所加【共八十五半】合甲丙亦具三因【甲丙共二十八半三因之得八十五半】惟右又次之丙衰及所加【共九十八零半】以合甲乙【共十五又二之一】以四因之當得六十二今却九十八零二之一乃盈三十二零二之一也不合原問仍依互乘之法求之 于是以左上甲衰乘右下以右上甲衰乘左下相減餘為實以左下右下相減餘為法除之得七為甲衰如欲得乙衰則以乙之左右上下互乘相減以法除之得一十七為乙衰如欲得丙衰亦以丙之左右上下互乘減除得二十三為丙衰
  問設有一數以與三相乘外加一十又以此乘四外加二十又乘五外加三十又乘六外加四十即共得六千七百此其原設數幾何其法先借二為主列左上以乘三【得六】外加十【共十六】又與四相乘【六十四】加二十【共八十四】又與五相乘【四百二十】加三十【共四百五十】又與六相乘【二千七百】加四十【共二千七百四十】以此所問數【六千七百】不足三千九百六十列左下次借三列右上以乘三【九】外加十【共十九】又乘四【七十六】外加二十【共九十六】又乘五【四百八十】外加三十【五百一十】又乘六【三千六十】外加四十【共三千一百】以比所問數【六千七百】不足三千六百列右下兩不足相減餘為法除之得一十三係原設

  右法已除得十三者與三相乘【三十九】加一十【四十九】又與四相乘【一百九十六】加二十【共二百一十六】以乘五【一千八十】加三十【共一千一百一十】以乘六【六千六百六十】加四十實得六千七百合問問二人共分銀一百兩不得其均若均分則每人當五十兩然須甲還所得銀三之一乙又還所得銀五之一方得每人五十兩其不均之分各得若干先借三十兩為甲衰列左上亦列乙衰七十于次乃減甲三之一【減一十存二十】亦減乙五之一【一十四】而以乙減歸甲【甲二十加乙十四共三十四】以比五十不足一十六列左下另借六十為甲衰列右上亦列乙衰四十于其次乃減甲三之一【減二十存四十】亦減乙五之一【八】而以乙減歸甲【甲四十加乙八共四十八】不足二列右下兩不足相減餘為法以左上乘右下以右上乘左下相減餘為實以法除實得六十四兩零七分兩之二為甲衰就一百兩内減甲衰餘三十五兩又七分兩之五為乙衰合原分不均
  之數

  問二人共分銀一百兩未得其均須甲損所得三之一乙亦捐所得四之一和合平分乃各得五十兩其未均之數各若干先借六十為甲衰列左上亦列乙四十于左次乃減甲三之一【減二十存四十】減乙四之一【減一十存三十】和所減【甲二十乙一十共三十】而均分之【各得十五】以甲所得十五合減存四十之數【甲原存四十加十五得五十五】以比五十盈五數列左下另借二十四為甲衰列右上亦列乙衰七十六于右次乃減甲三之一【減八存一十六】減乙四之一【減一十九】和所減【甲八乙一十九共二十七】而均分之【各得十三零二之一】以甲所得一十三半之數合減存一十六數【共二十九半】以比五十不足二十半列右下盈不足相併為法右上乘左下左上乘右下相併為實以法除實得五十二兩零十七分兩之一十六為甲衰其餘四十七
  兩又十七分
  兩之一為乙衰
  問以一千剖為二甲多于乙四十九作何剖之其法借六百為甲衰列左上亦列乙四百于次相較差二百以比四十九則盈一百五十一列左下另借五百五十為甲衰列右上亦列乙四百五十于次相較差一百以比四十九則盈五十一列右下兩盈相減餘為法以左上乘右下右上乘左下相減餘為實以法除實得五百二十四零二分兩之一為
  甲衰餘
  為乙衰

  問香罏二座其蓋重一百五十斤以蓋加甲罏則多于乙二倍以蓋加乙罏則與甲罏正等此二罏各重若干其法借三十為甲衰列左上蓋一百五十列左次共一百八十又列其次以三之一為乙衰得六十以乙加蓋【得二百一十】比甲衰三十盈一百八十列左下另借九十為甲衰列右上蓋一百五十列左次共二百四十又列其次取其三之一為乙衰得八十以乙加蓋【二百三十】比甲衰九十盈一百四十列右下兩盈相減餘為法左右上下互乘仍相減餘為實以法除實得三百斤為甲罏以加蓋得四百五十斤其三之一得一百五十斤為乙罏
  問香罏二座有一蓋其蓋重百兩加甲罏則其重比乙多二倍加乙罏則其重比甲多一倍此二罏各重若干其法借五十為甲衰列左上蓋數一百列左次共一百五十又列其次而以其三之一五十為一衰【因甲加蓋多乙二倍故】加蓋【得一百五十】比甲衰【五十】盈五十列左下【既倍甲五十只該一百今却一百五十故盈五十】另借一百一十為甲衰列右上蓋數一百列右次共二百一十又列其次而以其三之一為乙衰【七十】加蓋【一百七十】比甲衰【一百一十】不足五十列右下【倍甲一百一十即該二百二十今却一百七十故不足五十】盈不足相積為法左右互乘積為實以法除實得八十兩為甲罏其加蓋三分之一得六
  問有人買鵪鶉不知其數但云以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百此是幾何其法借一通數可以二三四分之者為主先借十二列左上而以二之一【六】三之一【四】四之一【三】併之得十三再加二十二共得三十五以比一百不足六十五列所不足于左下另借六十列右上而以二一【三十】三一【二十】四一【十五】併之得六十五加二十二共得八十七以比一百不足一十三列所不足于右下兩不足相減為法左右互乘相減為實以法除實得七十二為所問之數以其二之一【三十六】三之一【二十四】
  四之一【一十八】再加
  二十二共一百隻
  問二商各擕毋銀未知其數但云取乙十二兩與甲則乙有甲六之一取甲十五兩與乙則甲有乙十之一其實數若干法從乙起算先借二十兩為乙衰列左上内減十二【餘八】以當甲六之一用


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