2-周髀算經卷上之
周髀算經卷上之一
漢 趙君卿 注
周 甄 鸞 重述
唐 李淳風 注釋
昔者周公問於啇高曰竊聞乎大夫善數也
周公姓姬名旦武王之弟啇高周時賢大夫善算者也周公位居冢宰德則至聖【案聖刻本作高今從永樂大典本】尚卑己以自牧【案卑上刻本衍自字今據永樂大典本刪】下學而上達况其凡乎
請問古者包犧立周天歷度
包犧三皇之一始畫八卦以啇高善數能通乎微妙達乎無方無大不綜無幽不顯聞包犧立周天歷度建章蔀之法【案建刻本作運今據永樂大典本改】易曰古者包犧氏之王天下也仰則觀象於天俯則觀法於地此之謂也
夫天不可階而升地不可得尺寸而度【案得刻本作將今從永樂大典本改】
乎懸廣無階可升蕩乎遐遠無度可量
請問數安從出【案安從刻本訛作從案今據永樂大典本改】
心昧其機請問其目
啇高曰數之法出於圓方
圓徑一而周三方徑一而帀四伸圓之周而為句展方之帀而為殷共結一角邪適弦五此圓方邪徑相通之率【案此刻本訛作政今據永樂大典本改】故曰數之法出於圓方圓方者天地之形隂陽之數然則周公之所問天地也是以啇高陳圓方之形以見其象因奇耦之數以制其法所謂言約指遠微妙幽通矣
圓出於方方出於矩
圓規之數理之以方方周帀也方正之物出之以矩矩廣長也
矩出於九九八十一
推圓方之率通廣長之數當須乘除以計之九九者乘除之原也
故折矩
故者申事之辭也將為句股之率故曰折矩也
以為句廣三
應圓之周【案刻本訛作廣謂之周今據永樂大典本改】横者謂之廣句亦廣廣短也
股脩四
應方之帀從者謂之脩股亦脩脩長
徑隅五
自然相應之率徑直隅角也亦謂之弦
既方外外半之一矩【案各本作既方之外半其一矩訛舛不可通注内引徑作既方其外惟半之訛作半其耳據上云折矩以為句廣三股修四徑隅五謂以十二折之句三股四其弦必五此盖承上所折之形令其外各自成古則句實九股實十六弦實二十五合五十年也為一矩於内減股實開其餘得句減句實開其餘得股若開北一矩則得弦下云環而共盤得成三四五是也弦實二十五為一矩并句實股實亦二十五為一矩故下又云兩矩共長二十有五是謂積矩推䆒上下文可證其字之字互訛今改正】句股之法先知二數然後推一見句股然後求弦先各自乘成其實實成勢化爾乃變通故曰既方其外或并句股之實以求弦弦實之中【案各本脱一弦字今補】乃求句股之分并實不正等更相取與互有所得故曰半之一矩【案之各本亦訛作其今改正】其術句股各自乘三三如九四四一十六并為弦自乘之實二十五減句於弦為股之實一十六減股於弦為句之實九
環而共盤得成三四五
盤讀如盤桓之盤言取其并減之積【案其刻本訛作而今據永樂大典本改】環屈而共盤之【案此下刻本衍謂字今據永樂大典本刪】開方除之得其一面【案刻本脱得字令據永樂大典本補】故曰得成三四五也
兩矩共長二十有五是謂積矩
兩矩者句股各自乘之實共長者并實之數將以施於萬事而此陳其率也
故禹之所以治天下者此數之所生也
禹治洪水決疏江河【案疏刻本訛作流今據永樂大典本改】望山川之形定高下之勢除淊天之災釋昬墊之厄使東注於海而無浸逆【案逆刻本作溺今從永樂大典本】乃句股之所由生也
<子部,天文算法類,推步之屬,周髀算經,卷上之一>
<子部,天文算法類,推步之屬,周髀算經,卷上之一>
句股圓方圖句股各自乘并之為弦實開方除之即弦按弦圖又可以句股相乘為朱實二倍之為朱實四以句股之差自相乘為中黄實加差實亦成弦實以差實減弦實半其餘以差為從法開方除之復得句矣加差于句即股凡并句股之實即成弦實或矩于外或方于内【案各本訛作或矩于内或方于外與下云句實之矩股實方其裏股實之矩句實方其裏適相反據劉徽注九章算術云裏者則成方冪其居表者則成矩冪可證外内二字互訛今改正】形詭而量均體殊而數齊句實之矩以股弦差為廣股弦并為袤而股實方其裏減矩句之實于弦實開其餘即股倍股在兩邊為從法開矩句之角即股弦差加股為弦以差除句實得股弦并以并除句實亦得股弦差令并自乘與句實為實倍并為法所得亦弦句實減并自乘如法為股股實之矩以為弦差為廣【案弦各本訛作股今改正】句弦并為袤而句實方其裏減矩股之實于弦實開其餘即句倍句在兩邊為從法開矩股之角即句弦差加句為弦以差除股實得句弦并以并除股實亦得句弦差令并自乘與股實為實倍并為法所得亦弦股實減并自乘如法為句兩差相乘倍而開之所得以股弦差增之為句以句弦差增之為股兩差增之為弦倍弦實列句股差實減弦實者以圖攷之倍弦實滿外大方而多黄實黄實之多即句股差實以差實減之開其餘得外大方大方之面即句股并也令并自乘倍弦實乃減之開其餘得中黄方黄方之面即句股差以差減并而半之為句加差于并而半之為股其倍弦為廣袤合令句股見者自乘為其實四實以減之開其餘所得為差以差減合半其餘為廣減廣于弦即所求也觀其迭相規矩共為反覆互與通分各有所得然則統敘羣倫宏紀衆理貫幽入微鉤深致遠故曰其裁制萬物惟所為之也
臣鸞釋曰按君卿注云句股各自乘并之為弦實開方除之即弦臣鸞曰假令句三自乘得九股四自乘得一十六并之得二十五開方除之得五為弦也注云按弦圖又可以句股相乘為朱實二倍之為朱實四以句股之差自相乘為中黄實臣鸞曰以句弦差二倍之為四自乘得一十六為左圖中黄實也臣淳風等謹按注云以句股之差自乘為中黄實鸞云倍句弦差自乘者苟求異端雖合其數于率不通注云加差實亦成弦實臣鸞曰加差實一并外矩青八得九并中黄一十六得二十五亦成弦實也臣淳風等謹按注云加差實一亦成弦實鸞云加差實并外矩及中黄者雖合其數于率不通
注云以差實減弦實半其餘以差為從法開方除之復得句矣臣鸞曰以差實九減弦實二十五餘一十六半之得八以差一加之得九開之得句三也臣淳風等謹按注宜云以差實一減弦實二十五餘二十四半之為一十二以差一為從開方除之得句三鸞云以差實九減弦實者雖合其數于率不通注云加差于句即股臣鸞曰加差一于句三得股四也
注云凡并句股之實即成弦實臣鸞曰句實九股實一十六并之得二十五也
注云或矩于外或方于内【案外内二字各本亦互訛今改正】形詭而量均體殊而數齊句實之矩以股弦差為廣股弦并為袤臣鸞曰以股弦差一為廣股四幷弦五得九為袤左圖外青也
注云而股實方其表臣鸞曰為左圖中黄十六注云減矩句之實于弦實開其餘即股臣鸞曰減矩句之實九于弦實二十五餘一十六開之得四股也注云倍股在兩邊為從法開矩句之角即股弦差臣鸞曰倍股四得八在圖兩邊以為從法開矩句之角九得一也
注云加股為弦臣鸞曰加差一于股四則弦五也注云以差除句實得股弦并臣鸞曰以差一除句實九得九即股四弦五幷為九也
注云以幷除句實亦得股弦差臣鸞曰以九除句實九得股弦差一
注云令并自乘與句實為實臣鸞曰令并股弦得九自乘為八十一又以句實九加之得九十為實注云倍并為法臣鸞曰倍股弦并九得一十八為法注云所得亦弦臣鸞曰除之得五為弦
注云句實減并自乘如法為股臣鸞曰以句實九減并自乘八十一餘七十二以法一十八除之得四為股也
注云股實之矩以句弦差為廣句弦并為袤臣鸞曰股實之矩以句弦差二為廣句弦并八為袤
注云而句實方其裏減矩股之實于弦實開其餘即句臣鸞曰句實有九方在右圖裏以減矩股之實一十六于弦實二十五餘九開之得三句也
注云倍句在兩邊臣鸞曰各三也
注云為從法開矩股之角即句弦差加句為弦臣鸞曰加差二于句三則弦五也
注云以差除股實得句弦并臣鸞曰以差二除股實一十六得八句三弦五并為八也
注云以并除股實亦得句弦差臣鸞曰以并除股實一十六得句弦差二
注云令并自乘與股實為實臣鸞曰令并八自乘得六十四以股實一十六加之得八十為實
注云倍并為法臣鸞曰倍句弦并八得一十六為法注云所得亦弦臣鸞曰除之得弦五也
注云股實減并自乘如法為句臣鸞曰以股實一十六減并自乘六十四餘四十八以法一十六除之得三為句也
注云兩差相乘倍而開之所得以股弦差增之為句臣鸞曰以股弦差一乘句弦差二得二倍之為四開之得二以句弦差一增之得三句也
注云以句弦差增之為股臣鸞曰以句弦差二【案各本脱句字今補】增之得四股也
注云兩差增之為弦臣鸞曰以股弦差一句弦差二增之得五弦也
注云倍弦實列句股差實減弦實者以圖攷之倍弦實滿外大方而多黄實黄實之多即句股差實臣鸞曰倍弦實二十五得五十滿外大方七七四十九而多黄實黄實之多即句股差實一也【案各本脱一字今據上下文補】注云以差實減之開其餘得外大方大方之面即句股并臣鸞曰以差實一減五十餘四十九開之即大方之面七也亦是句股幷也
注云令并自乘倍弦實乃減之開其餘得中黄方黄方之面即句股差臣鸞曰并七自乘得四十九倍弦實二十五得五十以減之餘即中黄方差實一也故開之即句股差一也
注云以差減并而半之為句臣鸞曰以差一減并七餘六半之得三句也
注云加差于并而半之為股臣鸞曰以差一加并七得八而半之得四股也
注云其倍弦為廣袤合臣鸞曰倍弦二十五為五十為廣袤合
臣淳風等謹按列廣袤術宜云倍弦五得十為廣袤合今鸞云倍弦二十五者錯也
注云令句股見者自乘為其實四實以減之開其餘所得為差臣鸞曰令自乘為其實四實乘得四十九四實者大方句股之中有四方一方之中有方一十二四實有四十八減上四十九餘一也開之得一即句股差一
臣淳風等謹按注意令自乘者十自乘得一百四實者大方廣袤之中有四方若據句實而言一方之中有實九四實有三十六減上一百餘六十四開之得八即廣袤差此是股弦差減股弦并餘數若據股實而言之一方之中有實十六四實有六十四減上一百餘三十六開之得六即廣袤差此是句弦差【案弦刻本訛作股今改正】減句弦并餘數也鸞云令自乘者以七七自乘得四十九四實者大方句股之中有四方一方之中有方一十二四實有四十八減上四十九餘一也開之得一即句股差一者錯也
注云以差減合半其餘為廣臣鸞曰以差一減合七餘六半之得三廣也
臣淳風等謹按注意以差八六各減合十餘二四半之得一二一即股弦差二即句弦差以差減弦即各袤廣也鸞云以差一減合七餘六半之得三廣者錯也
注云減廣于弦即所求也臣鸞曰以廣三減弦五即所求差二也
臣淳風等謹按注意以廣一二各減弦五即所求股四句三也鸞云以廣三減弦五即所求差二者錯也
周公曰大哉言數
心逹數術之意故發大哉之歎
請問用矩之道
謂用表之宜測望之法
商高曰平矩以正繩
以水繩之正定平懸之體將欲慎毫氂之差防千里之失
偃矩以望高覆矩以測深臥矩以知遠
言施用無方曲從其事術在九章
環矩以為圓合矩以為方
既已追尋情理又可造製圓方言矩之于物無所不至
方屬地圓屬天天圓地方
物有圓方數有奇耦天動為圓其數奇地靜為方其數耦此配陰陽之義非寔天地之體也天不可窮而見地不可盡而觀豈能定其圓方乎又曰北極之下高人所居六萬里滂沱四隤而下天之中央亦高四旁六萬里是為形狀同歸而不殊塗隆高齊軌而易以陳故曰天似蓋笠地法覆槃
方數為典以方出圓
夫體方則度影正形圓則審實難蓋方者有常而圓者多變故當制法而理之理之法者半周半徑相乘則得方矣又可周徑相乘十而一又可徑自乘三之四而一又可周自乘十二而一故曰圓出于方
笠以寫天
笠亦如蓋其形正圓戴之所以象天寫猶象也言笠之體象天之形詩云何蓑何笠此之義也
天青黑地黄赤天數之為笠也青黑為表卅黄為裏以象天地之位
既象其形又法其位言相方類不亦似乎
是故知地者智知天者聖
言天之高大地之廣遠自非聖智其孰能與于此乎
智出于句
句亦影也察句之損益知物之高遠故曰智出于句
句出于矩
矩謂之表表不移亦為句為句將正故曰句出于矩焉
夫矩之于數其裁制萬物惟所為耳
言包含幾微轉通旋環也
周公曰善哉
善哉言明曉其意所謂問一事而萬事逹
周髀算經卷上之一
