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几何原本 明 利玛窦译 徐光启笔受

几何原本 明 利玛窦译 徐光启笔受
  欽定四庫全書     子部六
  幾何原本       天文算法類二【算書之屬】提要
  【臣】等謹案幾何原本六卷西洋歐几里得撰利瑪竇譯而徐光啓所筆受也歐几里得未詳何時人其原書十三卷五百餘題利瑪竇之師丁氏為之集解又續補二卷於後共為十五卷今止六卷者徐光啓自謂譯受是書此其最要者也其書每卷有界說有公論有設題界說者先取所用名目解說之公論者舉其不可疑之理設題則據所欲言之理次第設之先其易者次其難者由淺而深由簡而繁推之至於無以復加而後已又每題有法有解有論有系法言題用解述題意論則發明其所以然之理系則又有旁通者焉卷一論三角形卷二論線卷三論圓卷四論圓内外形卷五卷六俱論比例其餘三角方圓邊線面積體積比例變化相生之義無不曲折盡顯纎微畢露光啓序稱其窮方圓平直之情盡規矩準繩之用非虚語也且此為歐邏巴算學專書前作後述不絶於世至歐几里得而為是書盖亦集諸家之成故自始至終毫無疵纇加以光啓反覆推闡其文句尤為明顯以是弁冕西術不為過矣乾隆四十六年十二月恭校上
  總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
  總校官【臣】陸費墀

  幾何原本序
  唐虞之世自羲和治歷暨司后稷工虞典樂五官者非度數不為功周官六藝數與居一焉而五藝者不以度數從事亦不得工也襄曠之於音般墨之於械豈有他謬巧哉精于用法爾已故嘗謂三代而上為此業者盛有元元本本師傳曹習之學而畢喪於祖龍之漢以來多任意揣摩如盲人射的虚發無效或依儗形似如持螢燭象得首失尾至於今而此道盡廢有不得不廢者矣幾何原本者度數之宗所以窮方圓平直之情盡規矩準繩之用也利先生從少年時論道之暇留意藝學且此業在波中所謂師傳曹習者其師丁氏又絶代名家也以故極精其說而與不佞游久講談餘晷時時及之因請其象數諸書更以華文獨謂此書未譯則他書俱不可得論遂共翻其要約六卷既平業而復之由顯入微從疑得信蓋不用為用衆用所基真可謂萬象之形囿百家之學海雖實未竟然以當他書既可得而論矣私心自謂不意古學廢絶二千年後頓獲補綴唐虞三代之闕典遺義其裨益當世定復不小因偕二三同志刻而傳之先生曰是書也以當百家之用度幾有羲和般墨其人乎猶其小者有大用于此將以習人之靈才令細而確也余以為小用大用實在其人如鄧林伐材棟梁榱桷恣所取之耳顧惟先生之學略有三種大者修身事天小者格物窮理物理之一端别為象數一一皆精實典要洞無可疑其分解擘析亦能使人無疑而余乃亟傳其小者趨欲先其易信使人繹其文想見其意理而知先生之學可信不疑大㮣如是則是書之為用更大矣他所說幾何諸家藉此為用略具其自敘中不備論吳淞徐光啟書
  欽定四庫全書
  幾何原本卷一之首
  西洋利瑪竇譯
  界說三十六則
  凡造論先當分别解說論中所用名目故曰界說凡歷法地理樂律算章技藝工巧諸事有度有數者皆依賴十府中幾何府屬凡論幾何先從一點始自點引之為線線展為面面積為體是名三度第一界
  點者無分
  無長短廣狹厚薄 如下圖【凡圖十干為識干盡用十二支支盡用八卦八音】
  【甲】
  第二界
  線有長無廣
  試如一平面光照之有光無光之間不容一物是線也真平真圓相遇其相遇處止有一點行則止有一線

  線有直有曲
  第三界
  線之界是點【凡線有界者兩界必是點】
  第四界
  直線止有兩端兩端之間上下更無一點
  兩點之間至徑者直線也稍曲則繞而長矣
  直線之中點能遮兩界
  凡量遠近皆用直線
  甲乙丙是直線甲丁丙甲戊丙甲己丙皆是曲線
  第五界
  面者止有長有廣
  體所見為面
  凡體之影極似於面【無厚之極】
  想一線横行所留之迹即成面也
  第六界
  面之界是線
  第七界
  平面一面平在界之内
  平面中間線能遮兩界
  平面者諸方皆作直線
  試如一方面用一直繩施於 角繞面運轉不礙於空是平面也
  若曲面者則中間線不遮兩界
  第八界
  平角者兩直線於平面縱横相遇交接處
  凡言甲乙丙角皆指平角
  如上甲乙乙丙二線平行相遇不能作角

  如上甲乙乙丙二線雖相遇不作平角為是曲線
  所謂角止是兩線相遇不以線之大小較論
  第九界
  直線相遇作角為直線角
  平地兩直線相遇為直線角本書中所論止是直線角但作角有三等今附著於此一直線角二曲線角三雜線角 如下六圖
  第十界
  直線垂於横直線之上若兩角等必兩成直角而直線下垂者謂之横線之垂線
  量法常用兩直角及垂線垂線加於横線之上必不作銳角及鈍角
  若甲乙線至丙丁上則乙之左右作兩角相等為直角而甲乙為垂線
  若甲乙為横線則丙丁又為甲乙之垂線何者丙乙與甲乙相遇雖止一直角然甲線若垂下過乙則丙線上下定成兩直角所以丙乙亦為甲乙之垂線【如今用短尺一縱一横互相為直線互相為垂線】
  凡直線上有兩角相連是相等者定俱直角中間線為垂線
  反用之若是直角則兩線定俱是垂線
  第十一界
  凡角大于直角為鈍角
  如甲乙丙角與甲乙丁角不等而甲乙丙大於甲乙丁則甲乙丙為鈍角
  第十二界
  凡角小於直角為銳角
  如前圖甲乙丁是
  通上三界論之直角一而己鈍角銳角其大小不等乃至無數
  是後凡指言角者俱用三字為識其第二字即所指角也 如前圖甲乙丙三字第二乙字即所指鈍角若言甲乙丁即第二乙字是所指銳角
  第十三界
  界者一物之終始
  今所論有三界點為線之界線為面之界面為體之界體不可為界
  第十四界
  或在一界或在多界之間為形
  一界之形如平圓立圓等物多界之形如平方立方及平立三角六八角等物 圖見後卷
  第十五界
  圜者一形於平地居一界之間自界至中心作直線俱等
  若甲乙丙為圜丁為中心則自甲至丁與乙至丁丙至丁其線俱等
  外圓線為圜之界内形為圜
  一說圜是一形乃一線屈轉一周復於元處所作如上圖甲丁線轉至乙丁乙丁轉至丙丁丙丁又至甲丁復元處其中形即成圜
  第十六界
  圜之中處為圜心
  第十七界
  自圜之一界作一直線過中心至他界為圜徑徑分圜兩平分
  甲丁乙戊圜自甲至乙過丙心作一直線為圜徑
  第十八界
  徑線與半圜之界所作形為半圜
  第十九界
  在直線界中之形為直線形
  第二十界
  在三直線界中之形為三邊形
  第二十一界
  在四直線界中之形為四邊形
  第二十二界
  在多直線界中之形為多邊形【五邊以上俱是】
  第二十三界
  三邊形三邊線等為平邊三角形
  第二十四界
  三邊形有兩邊線等為兩邊等三角形【或銳或鈍】
  第二十五界
  三邊形三邊線俱不等為三不等三角形

  第二十六界
  三邊形有一直角為三邊直角形
  第二十七界
  三邊形有一鈍角為三邊鈍角形
  第二十八界
  三邊形有三銳角為三邊各銳角形
  凡三邊形恒以在下者為底在上二邊為腰
  第二十九界
  四邊形四邊線等而角直為直角方形
  第三十界
  直角形其角俱是直角其邊兩兩相等
  如上甲乙丙丁形甲乙邊與丙丁邊自相等甲丙與乙丁自相等
  第三十一界
  斜方形四邊等俱非直角
  第三十二界
  長斜方形其邊兩兩相等俱非直角
  第三十三界
  以上方形四種謂之有法四邊形四種之外他方形皆謂之無法四邊形
  第三十四界
  兩直線於同面行至無窮不相離亦不相遠而不得相遇為平行線

  第三十五界
  一形每兩邊有平行線為平行線方形
  第三十六界
  凡平行線方形若於兩對角作一直線其直線為對角線又於兩邊縱横各作一平行線其兩平行線與對角線交羅相遇即此形分為四平行線方形其兩形有對角線者為角線方形其兩形無對角線者為餘方形
  甲乙丁丙方形於丙乙兩角作一線為對角線又依乙丁平行作戊己線依甲乙平行作庚辛線其對角線與戊己庚辛兩線
  交羅相遇於壬即作大小四平行線方形矣則庚壬己丙及戊壬辛乙兩方形謂之角線方形而甲庚壬戊及壬己丁辛謂之餘方形
  求作四則
  求作者不得言不可作
  第一求
  自此點至彼點求作一直線
  此求亦出上篇蓋自此點直行至彼點即是直線
  自甲至乙或至丙至丁俱可作直線
  第二求
  一有界直線求從彼界直行引長之
  如甲乙線從乙引至丙或引至丁俱一直行
  第三求
  不論大小以點爲心求作一圜
  第四求
  設一度於此求作彼度較此度或大或小【凡言度者或線或面或體皆是】或言較小作大可作較大作小不可作何者小之至極數窮盡故也此說非是凡度與數不同數者可以長不可以短長數無窮短數有限如百數減半成五十減之又減至一而止一以下不可損矣自百以上增之可至無窮故曰可長不可短也度者可以長亦可以短長者增之可至無窮短者減之亦復無盡嘗見莊子稱一尺之棰日取其半萬世不竭亦此理也何者自有而分不免爲有若減之可盡是有化爲無也有化爲無猶可言也令巳分者更復合之合之又合仍爲尺棰是始合之初兩無能并爲一有也兩無能并爲一有不可言也公論十九則
  公論者不可疑
  第一論
  設有多度彼此俱與他等則彼與此自相等
  第二論
  有多度等若所加之度等則合并之度亦等
  第三論
  有多度等若所減之度等則所存之度亦等
  第四論
  有多度不等若所加之度等則合并之度不等
  第五論
  有多度不等若所减之度等則所存之度不等
  第六論
  有多度俱倍於此度則彼多度俱等
  第七論
  有多度俱半於此度則彼多度亦等
  第八論
  有二度自相合則二度必等【以一度加一度之上】
  第九論
  全大於其分【如一尺大於一寸寸者全尺中十分中之一分也】
  第十論
  直角俱相等【見界說十】
  第十一論
  有二横直線或正或偏任加一縱線若三線之間同方兩角小於兩直角則此二横直線愈長愈相近必至相遇甲乙丙丁二横直線任意作一戊己縱線或正或偏若戊己線同方兩角俱小於直角或并之小於兩直角則甲乙丙丁線愈長
  愈相近必有相遇之處
  欲明此理宜察平行線不得相遇者【界說卅四】加一垂線即三線之間定為直角便知此論兩角小於直角者其行不得不相遇矣
  第十二論
  兩直線不能為有界之形
  第十三論
  兩直線止能於一點相遇
  如云線長界近相交不止一點試於丙乙二界各出直線交於丁假令其交不止一點當引至甲則甲丁乙宜為甲丙乙圜之徑而甲丁
  丙亦如之【界說十七】夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦右半也【界說十七】甲丁乙為全甲丁丙為其分而俱稱右半是全與其分等也【本篇九】
  第十四論
  有幾何度等若所加之度各不等則合并之差與所加之差等
  甲乙丙丁線等于甲乙加乙戊於丙丁加丁己則甲戊大於丙己者庚戊線也而乙戊大
  於丁己亦如之
  第十五論
  有幾何度不等若所加之度等則合并所贏之度與元所贏之度等
  如上圖反說之戊乙己丁線不等於戊乙加乙甲於己丁加丁丙則戊甲大於己丙者戊庚線也而戊乙大於己丁亦如之
  第十六論
  有幾何度等若所減之度不等則餘度所贏之度與減去所贏之度等
  甲乙丙丁線等於甲乙減戊乙於丙丁減己丁則乙戊大於丁己者庚戊也而丙己大於甲戊亦如之
  第十七論
  有幾何度不等若所減之度等則餘度所贏之度與元所贏之度等
  如十四論反說之甲戊丙己線不等於甲戊減甲乙於丙己減丙丁則乙戊長於丁己者亦庚戊也與甲戊長於丙己者等矣
  第十八論
  全與諸分之并等
  第十九論
  有二全度此全倍於彼全若此全所減之度倍於彼全所減之度則此較亦倍於彼較【相减之餘曰較】
  如此度二十彼度十於二十減六於十減三則此較十四彼較七



  幾何原本卷一之首
  欽定四庫全書
  幾何原本卷一
  西洋利瑪竇撰
  第一題
  于有界直線上求立平邊三角形
  法曰甲乙直線上求立平邊三角形先以甲為心乙為界作丙乙丁圜次以乙為心甲為界作丙甲丁圜兩圜相交于丙于丁末自甲
  至丙丙至乙各作直線即甲乙丙為平邊三角形論曰以甲為心至圜之界其甲乙線與甲丙甲丁線等以乙為心則乙甲線與乙丙乙丁線亦等何者凡為圜自心至界各線俱等故【界說十五】既乙丙等于乙甲而甲丙亦等于甲乙即甲丙亦等于乙丙【公論一】三邊等如所求【凡論有二種此以是為論者正論也下倣此】

  其用法不必作兩圜但以甲為心乙為界作近丙一短界線乙為心甲為界亦如之
  兩短界線交處即得丙
  諸三角形俱推前用法作之【詳本篇卄二】
  第二題
  一直線線或内或外有一點求以點為界作直線與元線等

  法曰有甲點及乙丙線求以甲為界作一線與乙丙等先以丙為心乙為界【乙為心丙為界亦可作】作丙乙圜【第三求】次觀甲點若在丙乙之外則自甲至丙作甲丙線【第一求】如上前圖或甲在丙乙之内則截取甲至丙一分線如上後圖兩法俱以甲丙線為底任于
  上下作甲丁丙平邊三角形【本篇一】次自三角形兩腰線引長之【第二求】其丁丙引至丙乙圜界而止為丙戊線其丁甲引之出丙乙圜外稍長為甲己線末以丁為心戊為界作丁戊圜其甲己線與丁戊圜相交于庚即甲庚線與乙丙線等
  論曰丁戊丁庚線同以丁為心戊庚為界故等【界說十五】于丁戊線減丁丙丁庚線減丁甲其所減兩腰線等則所存亦等【公論三】夫丙戊與丙乙同以丙為心戊乙為界亦等【界說十五】即甲庚與丙乙等【公論一】
  若所設甲點即在丙乙線之一界其法尤易假如點在丙即以丙為心作乙戊圜從丙至戊即所求第三題
  兩直線一長一短求于長線減去短線之度
  法曰甲短線乙丙長線求于乙丙減甲先以甲為度從乙引至别界作乙丁線【本篇二】次以乙為心丁為界作圜【第三求】圜界與乙丙交于
  戊即乙戊與等甲之乙丁等蓋乙丁乙戊同心同圜故【界說十五】
  第四題
  兩三角形若相當之兩腰線各等各兩腰線間之角等則兩底線必等而兩形亦等其餘各兩角相當者俱等
  解曰甲乙丙丁戊己兩三角形之甲與丁兩角等甲丙與丁己兩線甲乙與丁戊兩線各等題言乙丙與戊己兩底線必等而兩三角形亦等甲乙丙與丁戊己兩角甲丙乙與丁己戊兩角俱等
  論曰如云乙丙與戊己不等即令將甲角置
  丁角之上兩角必相合無大小甲丙與丁己甲乙與丁戊亦必相合無大小【公論八】此二俱等而云乙丙與戊己不等必乙丙底或在戊己之上為庚或在其下為辛矣戊己既為直線而戊庚己又為直線則兩線當别作一形是兩線能相合為形也辛倣此【公論十二 此以非為論者駁論也下倣此】
  第五題
  三角形若兩腰等則底線兩端之兩角等而兩腰引出之其底之外兩角亦等
  解曰甲乙丙三角形其甲丙與甲乙兩腰等題言甲丙乙與甲乙丙兩角等又自甲丙線任引至戊甲乙線任引至丁
  其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等
  論曰試如甲戊線稍長即從甲戊截取一分與甲丁等為甲己【本篇三】次自丙至丁乙至己各作直線【第一求】即甲己乙甲丁丙兩三角形必等何者此兩形之甲角同甲己與甲丁兩腰又等甲乙與甲丙兩腰又等則其底丙丁與乙己必等而底線兩端相當之各兩角亦等矣【本篇四】又乙丙己與丙乙丁兩三角形亦等何者此兩形之丙丁乙與乙己丙兩角既等【本論】而甲己甲丁兩腰
  各減相等之甲丙甲乙線即所存丙己乙丁兩腰又等【公論三】丙丁與乙己兩底又等【本論】又乙丙同腰即乙丙丁與丙乙己兩角亦等也則丙之外乙丙己角與乙之外丙乙丁角必等矣【本篇四】次觀甲乙己與甲丙丁兩角既等于甲乙己減丙乙己角甲丙丁減乙丙丁角則所存甲丙乙與甲乙丙兩角必等【公論三】
  增從前形知三邊等形其三角俱等
  第六題
  三角形若底線兩端之兩角等則兩腰亦等
  解曰甲乙丙三角形其甲乙丙與甲丙乙兩角等題言甲乙與甲丙兩腰亦等
  論曰如云兩腰線不等而一長一短試辯之若甲乙為長線即令比甲丙線截去所長之度為乙丁線而乙丁與甲丙等【本篇三】次自丁至丙作直線則本形成兩三角形其一為甲乙丙其一為丁乙丙而甲乙丙全形與丁乙丙分形同也是全與其分等也【公論九】何者彼言丁乙丙分形之乙丁與甲乙丙全形之甲丙兩線既等丁乙丙分形之乙丙與甲乙丙全形之乙丙又同線而元設丁乙丙與甲丙乙兩角等則丁乙丙與甲乙丙兩形亦等也【本篇四】
  是全與其分等也故底線兩端之兩角等者兩腰必等也
  第七題
  一線為底出兩腰線其相遇止有一點不得别有腰線與元腰線等而于此點外相遇
  解曰甲乙線為底于甲于乙各出一線至丙點相遇題言此為一定之處不得于甲上更出一線與甲丙等乙上更出一線與乙丙等
  而不于丙相遇
  論曰若言有别相遇于丁者即問丁當在丙内邪丙外邪若言丁在丙内則有二說俱不可通何者若言丁在甲丙元線之内則如第一圖丁在甲丙兩界之間矣如此即甲丁是甲丙之分而云甲丙與甲丁等也是全與其分等也【公論九】若言丁在甲丙乙三角頂間則如第二圖丁在甲丙乙之間矣即令自丙至丁作丙丁線而乙丁丙甲丁丙又成兩三角形次從乙丁引出至己從乙丙引出至戊則乙丁丙形之乙丁乙丙兩腰等者其底線兩端之兩角乙丁丙乙丙丁宜亦等也其底之外兩角己丁丙戊丙丁宜亦等也【本篇五】而甲丁丙形之甲丁甲丙兩腰等者其底線兩端之兩角甲丙丁甲丁丙宜亦等也【本篇五】夫甲丙丁角本小于戊丙丁角而為其分今言甲丁丙與甲丙丁兩角等則甲丁丙亦小于戊丙丁矣何況己丁丙又甲丁丙之分更小于戊丙丁可知何言底外兩角等乎若言丁在丙外又有三說俱不可通
  何者若言丁在甲丙元線外是丁甲即在丙甲元線之上則甲丙與甲丁等矣即如上第一說駁之若言丁在甲丙乙三角頂外即如上第二說駁之若言丁在丙外而後出二線一在三角形内一在其外甲丁線與乙丙線相交如第五圖即令將丙丁相聯作直線是甲丁丙又成一三角形而甲丙丁宜與甲丁丙兩角等也【本篇五】夫甲丁丙角本小于丙丁乙角而為其分據如彼論則甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣又丙丁乙亦成一三角形而丙丁乙宜與丁丙乙兩角等也【本篇五】夫丁丙乙角本小于甲丙丁角而為其分據如彼論則丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣此二說者豈不自相戾乎
  第八題
  兩三角形若相當之兩腰各等兩底亦等則兩腰間角必等
  解曰甲乙丙丁戊己兩三角形其甲乙與丁戊兩腰甲丙與丁己兩腰各等乙丙與戊己兩底亦等題言甲與丁兩角必等
  論曰試以丁戊己形加于甲乙丙形之上問丁角在甲角上邪否邪若在上即兩角等矣【公論八】或謂不然乃在于庚即問庚當在丁戊
  線之内邪或在三角頂之内邪或在三角頂之外邪皆依前論駁之【本篇七】
  系本題止論甲丁角若旋轉依法論之即三角皆同可見凡線等則角必等不可疑也
  第九題
  有直線角求兩平分之
  法曰乙甲丙角求兩平分之先于甲乙線任截一分為甲丁【本篇三】次于甲丙亦
  截甲戊與甲丁等次自丁至戊作直線次以丁戊為底立平邊三角形【本篇一】為丁戊己形末自己至甲作直線即乙甲丙角為兩平分
  論曰丁甲己與戊甲己兩三角形之甲丁與甲戊兩線等甲己同是一線戊己與丁己兩底又等【何言兩底等初從戊丁底作此三角平形此二線為腰各等戊丁故】則丁甲己與戊甲己兩角必等【本篇八】
  用法如上截取甲丁甲戊即以丁為
  心向乙丙間任作一短界線次用元
  度以戊為心亦如之兩界線交處得己【本篇一】
  第十題
  一有界線求兩平分之
  法曰甲乙線求兩平分先以甲乙為底作甲乙丙兩邊等三角形【本篇一】次以甲丙乙角兩
  平分之【本篇九】得丙丁直線即分甲乙于丁
  論曰丙丁乙丙丁甲兩三角形之丙乙丙甲兩腰等而丙丁同線甲丙丁與乙丙丁兩角又等【本篇九】則甲丁與乙丁兩線必等【本篇四】
  用法以甲為心任用一度但須長于甲乙線之半向上向下各作一短界線次
  用元度以乙為心亦如之兩界線交處即丙丁末作丙丁直線即分甲乙于戊
  第十一題
  一直線任于一點上求作垂線
  法曰甲乙直線任指一點于丙求丙上作垂線先于丙左右任用一度各截一界為丁為戊【本篇二】次以丁戊為底作兩邊等角形【本篇一】為丁己戊末自己至丙作直線即己丙為甲
  乙之垂線
  論曰丁己丙與戊己丙兩角形之己丁己戊兩腰等而己丙同線丙丁與丙戊兩底又等即兩形必等丁與戊兩角亦等【本篇五】丁己丙與戊己丙兩角亦等【本篇八九】則丁丙己與戊丙己兩角必等矣等即是直角直角即是垂線【界說十 此後三角形多稱角形省文也】
  用法于丙點左右如上截取丁與戊即以丁為心任用一度但須長于丙丁線
  向丙上方作短界線次用元度以戊為心亦如之兩界線交處即己
  又用法于丙左右如上截取丁與戊
  即任用一度以丁為心于丙上下方
  各作短界線次用元度以戊為心亦
  如之則上交為己下交為庚末作己庚直線視直線交于丙點即得是用法又為嘗巧之法
  增若甲乙線所欲立垂線之點乃在線末甲界上甲外無餘線可截則于甲乙線上任取一點為丙如前法于丙上立丁丙垂線次以甲丙丁角兩平分之【本篇九】為己丙線次以甲丙為度于丁丙垂線上截戊丙線【本篇三】次于戊上如前法
  立垂線與己丙線相遇為庚末自庚至甲作直線如所求
  論曰庚甲丙與庚丙戊兩角形之甲丙戊丙兩線既等庚丙同線戊丙庚與甲丙庚兩角又等即甲庚戊庚兩線必等【本篇四】而對同邊之甲角戊角亦等【本篇四】戊既直角則甲亦直角是甲庚為甲乙之垂線【界說十】
  用法甲點上欲立垂線先以甲為心向元線上方任抵一界作丙點次用元度
  以丙為心作大半圜圜界與甲乙線相遇為丁次自丁至丙作直線引長之至戊為戊丁線戊丁與圜界相遇為己末自己至甲作直線即所求【此法今未能論論見第三卷第三十一題】
  第十二題
  有無界直線線外有一點求于點上作垂線至直線上法曰甲乙線外有丙點求從丙作垂線至甲乙先以丙為心作一圜令兩交于甲乙線為丁為戊次從丁戊各作直線至丙次
  兩平分丁戊于己【本篇十】末自丙至己作直線即丙己為甲乙之垂線
  論曰丙己丁丙己戊兩角形之丙丁丙戊兩線等丙己同線則丙戊己與丙丁己兩角必等【本篇八】而丁丙己與戊丙己兩角又
  等則丙己丁與丙己戊等皆直角【本篇四】而丙己定為垂線矣
  用法以丙為心向直線兩處各作短
  界線為甲為乙次用元度以甲為心
  向丙點相望處作短界線乙為心亦如之兩界線交處為丁末自丙至丁作直線則丙戊為垂線
  又用法于甲乙線上近甲近乙任取
  一點為心以丙為界作一圜界于丙
  點及相望處各稍引長之次于甲乙
  線上視前心或相望如前圖或進或
  退如後圖任移一點為心以丙為界
  作一圜界至與前圜交處得丁末自
  丙至丁作直線得戊【若近界作垂線無可截取亦用此法】
  第十三題
  一直線至他直線上所作兩角非直角即等于兩直角解曰甲線下至丙丁線遇于乙其甲乙丙與甲乙丁作兩角題言此兩角當是直角若非直角即是一鋭一鈍而并之等于兩直角論曰試于乙上作垂線為戊乙【本篇十一】令戊乙
  丙與戊乙丁為兩直角即甲乙丁甲乙戊兩鋭角并之與戊乙丁直角等矣次于甲乙丁甲乙戊兩鋭角又加戊乙丙一直角并此三角定與戊乙丙戊乙丁兩直角等也【公論十八】次于甲乙戊又加戊乙丙并此鋭直兩角定與甲乙丙鈍角等也次于甲乙戊戊乙丙鋭直兩角又加甲乙丁鋭角并此三角定與甲乙丁甲乙丙鋭鈍兩角等也夫甲乙丁甲乙戊戊乙丙三角既與兩直角等則甲乙丁與甲乙丙兩角定與兩直角等【公論一】
  第十四題
  一直線于線上一點出不同方兩直線偕元線每旁作兩角若每旁兩角與兩直角等即後出兩線為一直線
  解曰甲乙線于丙點上左出一線為丙丁右出一線為丙戊若甲丙戊甲丙丁兩角與兩直角等題言丁丙與丙戊是一直線
  論曰如云不然令别作一直線必從丁丙更引出一線或離戊而上為丁丙己或離戊而下為丁丙庚也若上于戊則甲丙線至丁丙己直線上為甲丙己甲丙丁兩角此兩角宜與兩直角等【本篇十三】如此即甲丙戊甲丙丁兩角與甲丙己甲丙丁兩角亦等矣試減甲丙丁角而以甲丙戊與甲丙己兩角較之果相等乎【公論三】夫甲丙己本
  小于甲丙戊而為其分今曰相等是全與其分等也【公論九】若下于戊則甲丙線至丁丙庚直線上為甲丙庚甲丙丁兩角此兩角宜與兩直角等【本篇十三】如此即甲丙庚甲丙丁兩角與甲丙戊甲丙丁兩角亦等矣試減甲丙丁角而以甲丙戊與甲丙庚較之果相等乎【公論三】夫甲丙戊實小于甲丙庚而為其分今曰相等是全與其分等也【公論九】兩者皆非則丁丙戊是一直線
  第十五題
  凡兩直線相交作四角每兩交角必等
  解曰甲乙與丙丁兩線相交于戊題言甲戊丙與丁戊乙兩角甲戊丁與丙戊乙兩角各等論曰丁戊線至甲乙線上則甲戊丁丁戊乙
  兩角與兩直角等【本篇十三】甲戊線至丙丁線上則甲戊丙甲戊丁兩角與兩直角等【本篇十三】如此即丁戊乙甲戊丁兩角亦與甲戊丁甲戊内兩角等【公論十】試減同用之甲戊丁角其所存丁戊乙甲戊丙兩角必等【公論三】又丁戊線至甲乙線上則甲戊丁丁戊乙兩角與兩直角等【本篇十三】乙戊線至丙丁線上則丁戊乙丙戊乙兩角與兩直角等【本篇十三】如此即甲戊丁丁戊乙兩角亦與丁戊乙丙戊乙兩角【公論十】試
  減同用之丁戊乙角其所存甲戊丁丙戊乙必等一系推顯兩直線相交于中點上作四角與四直角等
  二系一點之上兩直線相交不論幾許線幾許角定與四直角等【公論十八】
  增題一直線内出不同方兩直線而所作兩交角等即後出兩線為一直線
  解曰甲乙線内取丙點出丙丁丙戊兩線而所作甲丙戊丁丙乙兩交角等或
  甲丙丁戊丙乙兩交角等題言戊丙丙丁即一直線
  論曰甲丙戊角既與丁丙乙角等每加一戊丙乙角即甲丙戊戊丙乙兩角必與丁丙乙戊丙乙兩角等【公論二】而甲丙戊戊丙乙與兩直角等【本篇十三】則丁丙乙戊丙乙亦與兩直角等是戊丙丙丁為一直線【本篇十四】
  第十六題
  凡三角形之外角必大于相對之各角
  解曰甲乙丙角形自乙甲線引之至丁題言外角丁甲丙必大于相對之内角
  甲乙丙甲丙乙
  論曰欲顯丁甲丙角大于甲丙乙角試以甲丙線兩平分于戊【本篇十】自乙至戊作直線引長之從戊外截取戊巳與乙戊等【本篇三】次自甲至己作直線即甲戊己戊乙丙兩角形之
  戊己與戊乙兩線等戊甲與戊丙兩線等甲戊己乙戊丙兩交角又等【本篇十五】則甲己與乙丙兩底亦等【本篇四】兩形之各邊各角俱等而己甲戊與戊丙乙兩角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分則丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙而丁甲丙外角不大于相對之甲丙乙内角乎次顯丁甲丙大于甲乙丙試自丙甲線引長之至庚次以甲乙線兩平分于辛【本篇十】自丙至辛作直線引長之從辛外截取辛壬與丙辛等【本篇三】次自甲至壬作直線依前論推顯甲辛壬辛丙乙兩角形之各邊各角俱等則壬甲辛與辛乙丙兩角亦等矣夫壬甲辛乃庚甲乙之分必小于庚甲乙也庚甲乙又與丁甲丙兩交角等【本篇十五】則甲乙丙内角不小于丁甲丙外角乎其餘乙丙上作外角俱大于相對之内角依此推顯
  第十七題
  凡三角形之每兩角必小于兩直角
  解曰甲乙丙角形題言甲乙丙甲丙乙兩角丙甲乙甲乙丙兩角甲丙乙丙甲乙兩角皆小于兩直角
  論曰試用兩邊線丙甲引出至戊丙乙引出至丁即甲乙丁外角大于相對之甲丙乙内角矣【本篇十六】此兩率者每加一甲乙丙角則甲乙丁甲乙丙必大于甲丙乙甲乙丙矣【公論四】夫甲乙丁甲乙丙與兩直角等也【本篇十三】則甲丙乙甲乙丙小于兩直角也餘二倣此第十八題
  凡三角形大邊對大角小邊對小角
  解曰甲乙丙角形之甲丙邊大于甲乙邊乙丙邊題言甲乙丙角大于乙丙甲角乙甲丙
  角
  論曰甲丙邊大于甲乙邊即于甲丙線上截甲丁與甲乙等【本篇三】自乙至丁作直線則甲乙丁與甲丁乙兩角等矣【本篇五】夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相對之丁丙乙内角【本篇十六】則甲乙丁角亦大于甲丙乙角而況甲乙丙又函甲乙丁于其中不又大于甲丙乙乎如乙丙邊大于甲乙邊則乙甲丙角亦大于甲丙乙角依此推顯
  第十九題
  凡三角形大角對大邊小角對小邊
  解曰甲乙丙角形乙角大于丙角題言對乙角之甲丙邊必大于對丙角之甲乙邊
  論曰如云不然令言或等或小若言甲丙與甲乙等則甲丙角宜與甲乙角等矣【本篇五】何設乙角大于丙角也若言甲丙小于甲乙則甲丙邊對甲乙大角宜大【本篇十八】又何言小也如甲角大于丙角則乙丙邊大于甲乙邊依此推顯
  第二十題
  凡三角形之兩邊并之必大于一邊
  解曰甲乙丙角形題言甲丙甲乙邊并之必大于乙丙邊甲丙丙乙并之必大于甲乙甲
  乙乙丙并之必大于甲丙
  論曰試于丙甲邊引長之以甲乙為度截取甲丁【本篇三】自丁至乙作直線令甲丁甲乙兩腰等而甲丁乙甲乙丁兩角亦等【本篇五】即丙乙丁角大于甲乙丁角亦大于丙丁乙角矣夫丁丙邊對丙乙丁大角也豈不大于乙丙邊對丙丁乙小角者乎【本篇十九】又甲丁甲乙兩線各加甲丙線等也則甲乙加甲丙者與丙丁等矣丙丁既大于乙丙則甲乙甲丙兩邊并必大于乙丙邊也餘二倣此
  第二十一題
  凡三角形于一邊之兩界出兩線復作一三角形在其内則内形兩腰并之必小于相對兩腰而後兩線所作角必大于相對角
  解曰甲乙丙角形于乙丙邊之兩界各出一線遇于丁題言丁丙丁乙兩線并必小于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角
  論曰試用内一線引長之如乙丁引之至戊即乙甲戊角形之乙甲甲戊兩線并必大于乙戊線也【本篇二十】此二率者每加一戊丙線則乙甲甲戊戊丙并必大于乙戊戊丙并矣【公論四】又戊丁丙角形之戊丁戊丙線并必大于丁丙線也此二率者每加一丁乙線則戊丁戊丙丁乙并必大于丁丙丁乙并矣【公論四】夫乙甲甲戊戊丙既大于乙戊戊丙豈不更大于丁丙丁乙乎【本篇二十】又乙甲戊角形之丙戊丁外角大于相對之乙甲戊内角【本篇十六】即丁戊丙角形之乙丁丙外角更大于相對之丁戊丙内角矣而乙丁丙角豈不更大于乙甲丙角乎
  第二十二題
  三直線求作三角形其每兩線并大于一線也
  法曰甲乙丙三線其第一第二線并大于第三線【若兩線比第三線或等或小即不能作三角形見本篇二十】求作三角形先任作丁戊線長于三線并次以甲為度從丁截取丁巳線【本篇三】以乙為度從己截取己庚線以丙為度從庚截取
  庚辛線次以己為心丁為界作丁壬癸圜以庚為心辛為界作辛壬癸圜其兩圜相遇下為壬上為癸末以庚巳為底作癸庚癸巳兩直線即得己癸庚三角形【用壬亦可作 若丁壬癸圜不到子辛壬癸圜不到丑即是兩線或等或小于第三線不成三角形矣】
  論曰此角形之丁己己癸線皆同圜之半徑等【界說十五】則己癸與甲等庚辛庚癸線亦皆同圜之半徑等則庚癸與丙等己庚元以乙為度則角形三線與所設三線等
  用法任以一線為底以底之一界為心第二線為度向上作短界線次以又一界為心第三線為度向上作短界線兩界線交處向下作兩腰如所求
  若設一三角形求别作一形與之等亦用此法
  第二十三題
  一直線任于一點上求作一角與所設角等
  法曰甲乙線于丙點求作一角與丁戊己角等先于戊丁線任取一點為庚于戊巳線任取一點為辛自庚至辛作直線次依甲乙線作丙壬癸角形與戊庚辛角形等【本篇卄二】即丙壬丙癸兩腰與戊庚戊辛兩腰等壬癸底
  與庚辛底又等則丙角與戊角必等【本篇八】
  第二十四題
  兩三角形相當之兩腰各等若一形之腰間角大則底亦大
  解曰甲乙丙與丁戊己兩角形其甲乙與丁戊兩腰甲丙與丁巳兩腰各等若乙甲丙角大于戊丁己角題言乙丙底必大于戊巳底論曰試依丁戊線從丁點作戊丁庚角與乙甲丙角等【本篇卄三】則戊丁庚角大于戊丁己角而丁庚腰在丁巳之外矣次截丁庚線與丁巳等【本篇三】即丁庚丁巳俱與甲丙等又自戊至庚作直線是甲乙與丁戊甲丙與丁庚腰線各等乙甲丙與戊丁庚兩角亦等而乙丙與戊庚兩底必等也【本篇四】次問所作戊庚底今在戊巳底上邪抑同在一線邪抑在其下邪若在上即如第二圖自己至庚作直線則丁庚己角形之丁庚丁巳兩腰等而丁庚己與丁己庚兩角亦等矣【本篇五】夫戊庚己角乃丁庚己角之分必小于丁庚己亦必小于相等之丁巳庚而丁巳庚又戊己庚角之分則戊庚己益小于戊巳庚也【公論九】則對戊庚己小角之戊己腰必小于對戊己庚大角之戊庚腰也【本篇十九】若戊巳與戊庚兩底同線即如第四圖戊己乃戊庚之分則戊己必小于戊
  庚也【公論九】若戊庚在戊巳之下即如第六圖自己至庚作直線次引丁庚線出于壬引丁巳線出于辛則丁庚丁巳兩腰等而辛巳庚壬庚己兩外角亦等矣【本篇五】夫戊庚己角乃壬庚己角之分必小于壬庚己亦必小于相等之辛巳庚而辛巳庚又戊己庚角之分則戊庚巳益小于戊己庚也【公論九】則對戊庚己小角之戊巳腰必小于對戊己庚大角之戊庚腰也【本篇十九】是三戊巳皆小于等戊庚之乙丙【本篇四】也
  第二十五題
  兩三角形相當之兩腰各等若一形之底大則腰間角亦大
  解曰甲乙丙與丁戊己兩角形其甲乙與丁戊甲丙與丁巳各兩腰等若乙丙底大于戊巳底題言乙甲丙角大于戊丁巳角
  論曰如云不然令言或小或等若言等則兩
  形之兩腰各等腰間角又等宜兩底亦等【本篇四】何設乙丙底大也若言乙甲丙角小則對乙甲丙角之乙丙線宜亦小【本篇廿四】何設乙丙底大也
  第二十六題【二支】
  兩三角形有相當之兩角等及相當之一邊等則餘兩邊必等餘一角亦等其一邊不論在兩角之内及一角之對
  先解一邊在兩角之内者曰甲乙丙角形之甲乙丙甲丙乙兩角與丁戊己角形之丁戊巳丁巳戊兩角各等在兩角内之乙丙邊與
  戊巳邊又等題言甲乙與丁戊兩邊甲丙與丁巳兩邊各等而乙甲丙角與戊丁巳角亦等
  論曰如云兩邊不等而丁戊大于甲乙令于丁戊線截取庚戊與甲乙等【本篇三】次自庚至己作直線即庚戊巳角形之庚戊戊巳兩邊宜與甲乙乙丙兩邊等矣夫乙角與戊角元等則甲丙與庚巳宜等【本篇四】而庚巳戊角與甲丙乙角宜亦等也【本篇四】既設丁己戊與甲丙乙兩角等今又言庚己戊與甲丙乙兩角等是庚己戊與丁己戊亦等全與其分等矣【公論九】以此見兩邊必等兩邊既等則餘一角亦等
  後解相等邊不在兩角之内而在一角之對者曰甲乙丙角形之乙角丙角與丁戊己角形之戊角丁己戊角各等而對丙之甲乙邊
  與對己之丁戊邊又等題言甲丙與丁己兩邊丙乙與己戊兩邊各等而甲角與戊丁己角亦等
  論曰如云兩邊不等而戊己大于乙丙令于戊己線截取戊庚與乙丙等【本篇三】次自丁至庚作直線即丁戊庚角形之丁戊戊庚兩邊宜與甲乙乙丙兩邊等矣夫乙角與戊角元等則甲丙與丁庚宜等【本篇四】而丁庚戊角與甲丙乙角宜亦等也既設丁巳戊與甲丙乙兩角等今又言丁庚戊與甲丙乙兩角等是丁庚戊外角與相對之丁巳戊内角等矣【本篇十六】可乎以此見兩邊必等兩邊既等則餘一角亦等
  第二十七題
  兩直線有他直線交加其上若内相對兩角等即兩直線必平行
  解曰甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交于庚于辛而甲庚辛與丁辛庚兩角等題言甲乙丙丁兩線必平行
  論曰如云不然則甲乙丙丁兩直線必至相
  遇于壬而庚辛壬成三角形則甲庚辛外角宜大于相對之庚辛壬内角矣【本篇十六】乃先設相等乎若設乙庚辛角與丙辛庚角等亦依此論若言甲乙丙丁兩直線相遇于癸亦依此論
  第二十八題【二支】
  兩直線有他直線交加其上若外角與同方相對之内角等或同方兩内角與兩直角等即兩直線必平行先解曰甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交于庚于辛其戊庚甲外角與同方相對之庚辛丙内角等題言甲乙丙丁兩線必平行論曰乙庚辛角與相對之内角丙辛庚等【本篇】
  【卄七】戊庚甲與乙庚辛兩交角亦等【本篇十五】即兩直線必平行
  後解曰甲庚辛丙辛庚兩内角與兩直角等題言甲乙丙丁兩線必平行
  論曰甲庚辛丙辛庚兩角與兩直角等而甲庚戊甲庚辛兩角亦與兩直角等【本篇十三】試減同用之甲庚辛即所存甲庚戊與丙辛庚等矣既外角與同方相對之内角等即甲乙丙丁必平行【本題】
  第二十九題【三支】
  兩平行線有他直線交加其上則内相對兩角必等外角與同方相對之内角亦等同方兩内角亦與兩直角等先解曰此反前二題故同前圖有甲乙丙丁二平行線加他直線戊巳交于庚于辛題言甲庚辛與丁辛庚内相對兩角必等
  論曰如云不然而甲庚辛大于丁辛庚則丁辛庚加辛庚乙宜小于辛庚甲加辛庚乙矣【公論四】夫辛庚甲辛庚乙元與兩直角等【本篇十三】據如彼論則丁辛庚辛庚乙兩角小于兩直角而甲乙丙丁兩直線向乙丁行必相遇也【公論十一】可謂平行線乎
  次解曰戊庚甲外角與同方相對之庚辛丙内角等論曰乙庚辛與相對之丙辛庚兩内角等【本題】則乙庚辛交角相等之戊庚甲【本篇十五】與丙辛庚必等【公論一】後解曰甲庚辛丙辛庚兩内角與兩直角等
  論曰戊庚甲與庚辛丙兩角既等【本題】而每加一甲庚辛角則庚辛丙甲庚辛兩角與甲庚辛戊庚甲兩角必等【公論二】夫甲庚辛戊庚甲本與兩直角等【本篇十三】則甲庚辛丙辛庚兩内角亦與兩直角等
  第三十題
  兩直線與他直線平行則元兩線亦平行
  解曰此題所指線在同面者不同面線後别有論如甲乙丙丁兩直線各與他線戊巳平行題言甲乙與丙丁亦平行
  論曰試作庚辛直線交加于三直線甲乙于壬戊巳
  于子丙丁于癸其甲乙與戊巳既平
  行即甲壬子與相對之己子壬兩内
  角等【本篇廿九】丙丁與戊巳既平行即丁
  癸子内角與己子壬外角亦等【本篇廿九】
  丁癸子與甲壬子亦為相對之内角亦等【公論一】而甲乙丙丁為平行線【本篇廿七】
  第三十一題
  一點上求作直線與所設直線平行
  法曰甲點上求作直線與乙丙平行先從甲點向乙丙線任指一處作直線為甲丁即乙丙線上成甲丁乙角次于甲點上作一角與甲丁乙等【本篇】
  【廿三】為戊甲丁從戊甲線引之至己即己戊與乙丙平行論曰戊己乙丙兩線有甲丁線聯之其所作戊甲丁與甲丁乙相對之兩内角等即平行線【本篇廿七】
  增從此題生一用法設一角兩線求作有法四邊形有角與所設角等兩兩邊線與所設線等法曰先作己丁戊角與丙等次截丁戊線與甲等己丁線與乙等末依丁戊平行作己庚依己丁平行作庚戊即所求
  本題用法于甲點求作直線與乙丙平行先作甲丁線次以丁為心任作戊己圜界次用元度以甲為心作庚辛圜界稍長于
  戊己次取戊己圜界為度于庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直線各引長之即所求
  又用法以甲點為心于乙丙線近乙處任指一點作短界線為丁次用元度以丁為心于乙丙上向丙截取一分作短界線為
  戊次用元度以戊為心向上與甲平處作短界線又用元度以甲為心向甲平處作短界線後兩界線交處為己自甲至己作直線各引長之即所求
  第三十二題【二支】
  凡三角形之外角與相對之内兩角并等凡三角形之内三角并與兩直角等
  先解曰甲乙丙角形試從乙丙邊引至丁題言甲丙
  丁外角與相對之内兩角甲乙并等
  論曰試作戊丙線與甲乙平行【本篇三一】令甲丙為甲乙戊丙之交加線則乙甲丙角與相對
  之甲丙戊角等【本篇卄九】又乙丁線與兩平行線相遇則戊丙丁外角與相對之甲乙丙内角等【本篇廿九】既甲丙戊與乙甲丙等而戊丙丁與甲乙丙又等則甲丙丁外角與内兩角甲乙并等矣
  後解曰甲乙丙三角并與兩直角等
  論曰既甲丙丁角與甲乙兩角并等更于甲丙丁加甲丙乙則甲丙丁甲丙乙兩角并與甲乙丙内三角并等矣【公論二】夫甲丙丁甲丙乙并元與兩直角等【本篇十三】則甲乙丙内三角并亦與兩直角等
  增從此推知凡第一形當兩直角第二形當四直角第三形當六直角自此以上至于無窮每命形之數倍之為所當直角之數【凡一線二線不能為形故三邊為第一形四邊為第二形五邊為第三形六邊為第四形倣此以至無窮】又視每形邊數減二邊即所存邊數是本形之數論曰如上四圖第一形三邊減二邊存一邊即是本形一數倍之當兩直角【本題】第二形四邊減二邊存二邊即是本形二數倍之當四
  直角欲顯此理試以第二形作一對角線成兩三角形每形當兩直角并之則當四直角矣第三形五邊減二邊存三邊即是本形三數倍之當六直角欲顯此理試以第三形作兩對角線成三三角形每形當兩直角并之亦當六直角矣其餘依此推顯以至無窮
  又一法每形視其邊數每邊當兩直角而減四直角其存者即本形所當直角
  論曰欲顯此理試于形中任作一點從此點向各角俱作直線令每形所分角形之數如其邊數每一分形三角當二直角【本題】其近點之處不論幾角皆當四直角【本篇十五之系】次減近點諸角即是減四直角其存者則本形所當直角如上第四形六邊中間任指一點從點向各角分為六三角形每一分形三角六形共十八角今于近點處減當四直角之六角所存近邊
  十二角當八直角餘倣此
  一系凡諸種角形之三角并俱相等【本題增】
  二系凡兩腰等角形若腰間直角則餘兩角每當直角之半腰間鈍角則餘兩角俱小于半直角腰間鋭角則餘兩角俱大于半直角
  三系平邊角形每角當直角三分之二
  四系平邊角形若從一角向對邊作垂線分為兩角形此分形各有一直角在垂線之下兩旁則垂線之上兩旁角每當直角三分之一其餘兩角每當直角三分之二
  增從三系可分一直角為三平分其法任于一邊立平邊角形次分對直角一邊為
  兩平分從此邊對角作垂線即所求如上圖甲乙丙直角求三分之先于甲乙線上作甲乙丁平邊角形【本篇一】次平分甲丁于戊【本篇九】末作乙戊直線
  第三十三題
  兩平行相等線之界有兩線聯之其兩線亦平行亦相等
  解曰甲乙丙丁兩平行相等線有甲丙乙丁兩線聯之題言甲丙乙丁亦平行相等線論曰試作甲丁對角線為甲乙丙丁之交加
  線即乙甲丁丙丁甲相對兩内角等【本篇卄九】又甲丁線上下兩角形之甲乙丙丁兩邊既等甲丁同邊則對乙甲丁角之乙丁線與對丙丁甲角之甲丙線亦等【本篇卄九】而乙丁甲與丙甲丁兩角亦等也【本篇四】此兩角者甲丙乙丁之内相對角也兩角既等則甲丙乙丁兩線必平行【本篇廿七】
  第三十四題
  凡平行線方形每相對兩邊線各等每相對兩角各等對角線分本形兩平分
  解曰甲乙丁丙平行方形【界說三五】題言甲乙與丙丁兩線甲丙與乙丁兩線各等又言乙與丙兩角乙甲丙與丙丁乙兩角各等又言若
  作甲丁對角線即分本形為兩平分
  論曰甲乙與丙丁既平行則乙甲丁與丙丁甲相對之兩内角等【本篇廿九】甲丙與乙丁既平行則乙丁甲與丙甲丁相對之兩内角等【本篇廿九】甲乙丁角形之乙甲丁乙丁甲兩角與甲丁丙角形之丙丁甲丙甲丁兩角既各等甲丁同邊則甲乙與丙丁甲丙與乙丁俱等也而丙角與相對之乙角亦等矣【本篇廿六】又乙丁甲角加丙丁甲角與丙甲丁角加乙甲丁角既等即乙甲丙與丙丁乙相對兩角亦等也【公論二】又甲乙丁甲丁丙兩角形之甲乙乙丁兩邊與丁丙丙甲兩邊各等腰間之乙角與丙角亦等則兩角形必等【本篇四】而甲丁線分本形為兩平分
  第三十五題
  兩平行方形若同在平行線内又同底則兩形必等解曰甲乙丙丁兩平行線内有丙丁戊甲與丙丁乙巳兩平行方形同丙丁底題言此兩形等等者不謂腰等角等謂所函之地等後
  言形等者多倣此
  先論曰設己在甲戊之内其丙丁戊甲與丙丁乙己皆平行方形丙丁同底則甲戊與丙丁巳乙與丙丁各相對之兩邊各等【本篇三四】而甲戊與己乙亦等【公論一】試于甲戊己乙兩線各減己戊即甲己與戊乙亦等【公論三】而甲丙與戊丁元等【本篇三四】乙戊丁外角與己甲丙内角又等【本篇廿九】則乙戊丁與己甲丙兩角形必等矣【本篇四】次于兩角形每加一丙丁戊己無法四邊形則丙丁戊甲與丙丁乙己兩平行方形等也【公論二】次論曰設己戊同點依前甲戊與戊乙等乙戊丁與戊甲丙兩角形等【本篇四】而每加一戊丁丙角形則丙丁戊甲與丙丁乙戊兩平行方形必等【公論二】
  後論曰設己點在戊之外而丙己與戊丁兩線交于庚依前甲戊與己乙兩線等而每加一戊己線即戊乙與甲己兩線亦等【公論二】因顯己甲丙與乙戊丁兩角形亦等【本篇四】次每減一己戊庚角形則所存戊庚丙甲與乙己庚丁兩無法四邊形亦等【公論三】次于兩無法形每加一庚丁丙角形則丙丁戊甲與丙丁
  乙己兩平行方形必等【公論二】
  第三十六題
  兩平行線内有兩平行方形若底等則形亦等
  解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙戊己與庚辛丁乙兩平行方形而丙戊與辛丁兩底等題言兩形亦等
  論曰試自丙至庚戊至乙各作直線相聯其
  丙戊庚乙各與辛丁等則丙戊與庚乙亦等【本篇卅四】庚乙與丙戊既平行線則庚丙與乙戊亦平行線【本篇卅三】而甲丙戊己與庚丙戊乙兩平行方形同丙戊底者等矣【本篇三五】庚辛丁乙與庚丙戊乙兩平行方形同庚乙底者亦等矣【本篇三五】既爾則庚辛丁乙與甲丙戊己亦等【公論一】
  第三十七題
  兩平行線内有兩三角形若同底則兩形必等
  解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙丁乙丙丁兩角形同丙丁底題言兩形必等
  論曰試自丁至戊作直線與甲丙平行次自
  丁至己作直線與乙丙平行【本篇三一】夫甲丙丁戊乙丙丁己兩平行方形在甲乙丙丁兩平行線内同丙丁底既等【本篇三五】則甲丙丁角形為甲丙丁戊方形之半與乙丙丁角形為乙丙丁己方形之半者【甲丁乙丁兩對角線平分兩方形見本篇卅四】亦等【公論七】
  第三十八題
  兩平行線内有兩三角形若底等則兩形必等
  解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙戊與乙己丁兩角形而丙戊與己丁兩底等題言兩形必等
  論曰試自庚至戊辛至丁各作直線與甲丙乙己平行【本篇卅一】其甲丙戊庚與乙己丁辛兩平行方形既等【本篇卅六】則甲丙戊與乙己丁兩角形為兩方形之半者【本篇卅四】亦等【公論七】
  增凡角形任于一邊兩平分之向對角作直線即分本形為兩平分
  論曰甲乙丙角形試以乙丙邊兩平分于丁【本篇十】自丁至甲作直線即甲丁線分本形為兩平分何者試于甲角上作直線與乙丙平行【本篇卅一】則甲乙丁甲丁丙兩角形在兩平行線内兩底等兩形亦等【本題】
  二增題凡角形任于一邊任作一點求從點分本形為兩平分
  法曰甲乙丙角形從丁點求兩平分先自
  丁至相對甲角作甲丁直線次平分乙丙線于戊【本篇十】作戊己線與甲丁平行【本篇卅一】末作己丁直線即分本形為兩平分
  論曰試作甲戊直線即甲戊己己丁戊兩角形在兩平行線内同己戊底者等而每加一己戊丙形則己丁丙與甲戊丙兩角形亦等【公論二】夫甲戊丙為甲乙丙之半【本題增】則己丁丙亦甲乙丙之半
  第三十九題
  兩三角形其底同其形等必在兩平行線内
  解曰甲乙丙與丁丙乙兩角形之乙丙底同其形復等題言在兩平行線内者蓋云自甲至丁作直線必與乙丙平行
  論曰如云不然令從甲别作直線與乙丙平行【本篇卅一】必在甲丁之上或在其下矣設
  在上為甲戊而乙丁線引出至戊即作戊丙直線是甲乙丙宜與戊丙乙兩角形等矣【本篇卅七】夫甲乙丙與丁丙乙既等而與戊丙乙復等是全與其分等也【公論九】設在甲丁下為甲己即作己丙直線是己丙乙與丁丙乙亦等如前駁之
  第四十題
  兩三角形其底等其形等必在兩平行線内
  解曰甲乙丙與丁戊己兩角形之乙丙與戊己兩底等其形亦等題言在兩平行線内者蓋云自甲至丁作直線必與乙己平
  行
  論曰如云不然令從甲别作直線與乙己平行【本篇卅一】必在甲丁之上或在其下矣設在上為甲庚而戊丁線引出至庚即作庚己直線是甲乙丙宜與庚戊己兩角形等矣【本篇三八】夫甲乙丙與丁戊己既等而與庚戊己復等是全與其分等也【公論九】設在甲丁下為甲辛即作辛己直線是辛戊己與丁戊己亦等如前駁之第四十一題
  兩平行線内有一平行方形一三角形同底則方形倍大于三角形
  解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙丁戊方形乙丁丙角形同丙丁底題言方形倍大于角形
  論曰試作甲丁直線分方形為兩平分則甲丙丁與乙丁丙兩角形等矣【本篇卅七】夫甲丙丁戊倍大于甲丙丁【本篇卅三】必倍大于乙丁丙
  第四十二題
  有三角形求作平行方形與之等而方形角有與所設角等
  法曰設甲乙丙角形丁角求作平行方形與甲乙丙角形等而有丁角先分一邊為兩平分如乙丙邊平分于戊【本篇十】次作丙戊己角
  與丁角等【本篇廿】次自甲作直線與乙丙平行【本篇卅一】而與戊己線遇于己末自丙作直線與戊己平行為丙庚【本篇卅一】而與甲己線遇于庚則得己戊丙庚平行方形與甲乙丙角形等
  論曰試自甲至戊作直線其甲戊丙角形與己戊丙庚平行方形在兩平行線内同底則己戊丙庚倍大于甲戊丙矣【本篇四一】夫甲乙丙亦倍大于甲戊丙【本篇卅八增】即與己戊丙庚等【公論六】
  第四十三題
  凡方形對角線旁兩餘方形自相等
  解曰甲乙丙丁方形有甲丙對角線題言兩旁之乙壬庚戊與庚己丁辛兩餘方形【界說卅六】必等
  論曰甲乙丙甲丙丁兩角形等【本篇卅四】甲戊庚甲庚辛兩角形亦等【本篇卅四】而于甲乙丙減甲戊庚于甲丙丁減甲庚辛則所存乙丙庚戊與庚丙丁辛兩無法四邊形亦等矣【公論三】又庚壬丙己角線方形之庚丙己庚丙壬兩角形等【本篇三四】而于兩無法四邊形每減其一則
  所存乙壬庚戊與庚己丁辛兩餘方形安得不等【公論三】第四十四題
  一直線上求作平行方形與所設三角形等而方形角有與所設角等
  法曰設甲線乙角形丙角求于甲線上作平行方形與乙角形等而有丙角先作丁戊己庚平行方形與乙角形等而戊己庚角與丙角等【本篇四二】次于庚己線引長之作己辛線與甲等次作辛壬線與戊己平行【本篇三一】次于丁戊引長之與辛壬線遇于壬
  次自壬至己作對角線引出之又自丁庚引長之與對線角遇于癸次自癸作直線與庚辛平行又于壬辛引長之與癸線遇于子末于戊己引長之至癸子線得丑即己丑子辛平行方形如所求
  論曰此方形之己辛線與甲等而辛己丑角為戊己庚之交角【本篇十五】則與丙等又本形與戊己庚丁同為餘方形等【本篇四三】則與乙角形等
  第四十五題
  有多邊直線形求作一平行方形與之等而方形角有與所設角等
  法曰設甲乙丙五邊形丁角求作平行方形與五邊形等而有丁角先分五邊形為甲乙丙三三角形次作戊己庚辛平行方形與甲等而有丁角【本篇四二】次于
  戊辛己庚兩平行線引長之作庚辛壬癸平行方形與乙等而有丁角【本篇四四】末復引前線作壬癸子丑平行方形與丙等而有丁角【本篇四四】即此三形并為一平行方形與甲乙丙并形等而有丁角自五以上可至無窮俱倣此法
  論曰戊己庚與辛庚癸兩角等而每加一己庚辛角即辛庚癸己庚辛兩角定與己庚辛戊己庚兩角等夫己庚辛戊己庚是兩平行線内角與兩直角等也【本篇廿九】則己庚辛辛庚癸亦與兩直角等而己庚庚癸為一直線也【本篇十四】又戊辛庚與戊己庚兩對角等而辛壬癸與辛庚癸兩對角亦等則戊己庚辛庚辛壬癸皆平行方形也【本篇卅四】壬癸子丑依此推顯【本篇三十】即與戊己癸壬并為一平行方形矣
  增題兩直線形不等求相減之較幾何
  法曰甲與乙兩直線形甲大于乙以乙減甲求較幾何先任作丁丙己戊平行方形與甲等次于丙丁線上依丁角作丁丙辛庚平行方形與乙等【本題】即得辛
  庚戊己為相減之較矣何者丁丙己戊之大于丁丙辛庚較餘一辛庚戊己也則甲大于乙亦辛庚戊己也
  第四十六題
  一直線上求立直角方形
  法曰甲乙線上求立直角方形先于甲乙兩界各立垂線為丁甲為丙乙皆與甲乙線等
  【本篇十一】次作丁丙線相聯即甲乙丙丁為直角方形論曰甲乙兩角俱直角則丁甲丙乙為平行線【本篇廿八】此兩線自相等則丁丙與甲乙亦平行線【本篇三三】而甲乙丙丁四線俱平行俱相等又甲乙俱直角則相對丁丙亦俱直角【本篇卅四】而甲乙丙丁定為四直角方形第四十七題
  凡三邊直角形對直角邊上所作直角方形與餘兩邊上所作兩直角方形并等
  解曰甲乙丙角形于對乙甲丙直角之乙丙邊上作乙丙丁戊直角方形【本篇四六】題言此形與甲乙邊上所作甲乙己庚及甲丙邊上所作甲丙辛壬兩直角方形并等論曰試從甲作甲癸直線與乙戊丙丁平行【本篇卅一】分乙丙邊于子次自甲至丁至戊各作直線末自乙至辛自丙
  至己各作直線其乙甲丙與乙甲庚既皆直角即庚甲甲丙是一直線【本篇十四】依顯乙甲甲壬亦一直線又丙乙戊與甲乙己既皆直角而每加一甲乙丙角即甲乙戊與丙乙己兩角亦等【公論二】依顯甲丙丁與乙丙辛兩角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊兩邊與丙乙己角形之己乙乙丙兩邊等甲乙戊與丙乙己兩角復等則對等角之甲戊與丙己兩邊亦等而此兩角形亦等矣【本篇四】夫甲乙己庚直角方形倍大于同乙己底同在平行線内之丙乙己角形【本篇四一】而乙戊癸子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行線内之甲乙戊角形則甲乙己庚不與乙戊癸子等乎【公論六】依顯甲丙辛壬直角方形與丙丁癸子直角形等則乙戊丁丙一形與甲乙己庚甲丙辛壬兩形并等矣
  一增凡直角方形之對角線上作直角方形倍大于元形如甲乙丙丁直角方形之
  甲丙線上作直角方形倍大于甲乙丙丁形二增題設不等兩直角方形如一以甲為邊一以乙為邊求别作兩直角方形自相等而并之又與元設兩形并等
  法曰先作丙戊線與甲等次作戊丙丁直角而丙丁線與乙等次作戊丁線相聨末
  于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半于直角己戊己丁兩腰遇于己【公論十一】而等【本篇六】即己戊己丁兩線上所作兩直角方形自相等而并之又與丙戊丙丁上所作兩直角方形并等
  論曰己丁戊己戊丁兩角既皆半于直角則丁己戊為直角【本篇卅二】而對直角之丁戊線上所作直角方形與兩腰線上所作兩直角方形并等矣【本題】己戊與己丁既等則其上所作兩直角方形自相等矣又丁戊線上所作直角方形與丙丁丙戊線上所作兩直角方形并既等則己戊己丁上兩直角方形并與丙戊丙丁上兩直角方形并亦等三增題多直角方形求并作一直角方形與之等法曰如五直角方形以甲乙丙丁戊為邊任等不等求作一直角方形與五形并等先作己庚辛直角而己庚線與甲等庚辛線與乙等次作己辛線旋作己辛壬直角而辛壬與丙等次作己壬線
  旋作己壬癸直角而壬癸與丁等次作己癸線旋作己癸子直角而癸子與戊等末作己子線題言己子線上所作直角方形即所求
  論曰己辛上作直角方形與甲乙兩形并等【本題】己壬上作直角方形與己辛及丙兩形并等餘倣此推顯可至無窮
  四增三邊直角形以兩邊求第三邊長短之數
  法曰甲乙丙角形甲為直角先得甲乙甲
  丙兩邊長短之數如甲乙六甲丙八求乙丙邊長短之數其甲乙甲丙上所作兩直角方形并既與乙丙上所作直角方形等【本題】則甲乙之羃【自乘之數曰羃】得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙之羃亦百百開方得十即乙丙數十也又設先得甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之數其甲乙甲丙上兩直角方形并既與乙丙上直角方形等則甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百減三十六得甲丙之羃六十四六十四開方得八即甲丙八也求甲乙倣此 此
  以開方盡實者為例其不盡實者自具筭家分法
  第四十八題
  凡三角形之一邊上所作直角方形與餘邊所作兩直角方形并等則對一邊之角必直角
  解曰此反前題如甲乙丙角形其甲丙邊上所作直角方形與甲乙乙丙邊上所作兩直
  角方形并等題言甲乙丙角必直角
  論曰試于乙上作甲乙丁直角而乙丁與乙丙兩線等次作丁甲線相聯其甲乙丁既直角則甲丁上直角方形與甲乙乙丁上兩直角方形并等【本篇四七】而甲乙乙丁上兩直角方形并與甲乙乙丙上兩直角方形并又等【甲乙同乙丁乙丙等故】即丁甲上直角方形與甲丙上直角方形必等夫甲乙丁角形之甲乙乙丁兩腰與甲乙丙角形之甲乙乙丙兩腰既等而丁甲甲丙兩底又等則對底線之兩角亦等【本篇八】甲乙丁既直角即甲乙丙亦直角



  幾何原本卷一
  欽定四庫全書
  幾何原本卷二之首
  西洋利瑪竇譯
  界說二則
  第一界
  凡直角形之兩邊函一直角者為直角形之矩線如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此兩邊即知直角形大小之度今别作戊線已線與甲乙乙丙各等亦即知甲乙丙丁直角形大小之度則戊偕已兩線為直角形之矩線此例與筭法通如上圖一邊得三一邊得四相乘得十二則三偕四兩邊為十二之矩數
  凡直角諸形之内四角皆直故不必更言四邊及平行線止名為直角形省文也
  凡直角諸形不必全舉四角止舉對角二字即指全形如甲乙丙丁直角形止舉甲丙或乙丁亦省文也第二界
  諸方形有對角線者其兩餘方形任偕一角線方形為磬折形
  甲乙丙丁方形任直斜角作甲丙對角線從庚點作戊己辛壬兩線與方形邊平行而分本形為四方形其辛己庚乙兩形為餘方形辛戊己壬兩形為角線方形【一卷界說三六】兩餘方形任偕一角線方形為磬折形如辛己庚乙兩餘方形偕己壬角線方形同在癸子丑圜界内者是癸子丑磬折形也用辛戊角線方形倣此
  幾何原本卷二之首
  欽定四庫全書
  幾何原本卷二
  西洋利瑪竇撰
  第一題
  兩直線任以一線任分為若干分其兩元線矩内直角形與不分線偕諸分線矩内諸直角形并等
  解曰甲與乙丙兩線如以乙丙三分之為乙丁丁戊戊丙題言甲偕乙丙矩線内直
  角形與甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩線内直角形并等
  論曰試作乙己直角形在乙丙偕等甲之己丙矩線内【作法于乙界作庚乙丙界作己丙兩垂線俱與甲等為平行次作庚己直線與乙丙平行】次于丁戊兩點作辛丁壬
  戊兩垂線與庚乙己丙平行【一卷卅三】其辛丁與庚乙壬戊與己丙既平行則辛丁與壬戊亦平行而辛丁壬戊與己丙等即亦與甲等【一卷卅四】如此則乙辛直角形在甲偕乙丁矩線内丁壬直角形在甲偕丁戊矩線内戊己直角形在甲偕戊丙矩線内并之則三矩内直角形與甲偕乙丙兩元線矩内直角形等
  注曰二卷前十題皆言線之能也【能者謂其上能為直角形也如十尺線其上能為百尺方形之類】其說與筭數最近故九卷之十四題俱以數明此十題之理今未及詳因題意難顯畧用數明之如本題設兩數當兩線為六為十以十任三分之為五為三為二六乘十為六十之一大實與六乘五為三十及六乘三為十八六乘二為十二之三小實并等
  第二題
  一直線任兩分之其元線上直角方形與元線偕兩分線兩矩内直角形并等
  解曰甲乙線任兩分于丙題言甲乙上直角方形與甲乙偕甲丙甲乙偕丙乙兩矩線内直角形并等
  論曰試于甲乙線上作甲丁直角方形從丙點作己丙垂線與甲戊乙丁平行【一卷卅一】其甲戊與甲乙既等【一卷卅四】則甲己直角形在甲乙甲丙矩線内乙丁與甲乙既等則丙丁直角形在甲乙丙乙矩線内而此兩形并與甲丁直角方形等
  又論曰試别作丁線與甲乙等其甲乙線既任分于丙則甲乙偕丁矩線内直角形【即甲乙上直角方形】與甲丙偕丁丙乙偕丁兩矩線内直角形并等
  【本篇一】
  注曰以數明之設十數任兩分之為七為三十乘七為七十及十乘三為三十之兩小實與十自之百一大羃等
  第三題
  一直線任兩分之其元線任偕一分線矩内直角形與分餘線偕一分線矩内直角形及一分線上直角方形并等
  解曰甲乙線任兩分于丙題言元線甲乙任偕一分線如甲丙矩内直角形【不論甲丙為長分為短分】與分餘丙乙偕甲丙矩線内直角形及甲丙上直角方形并等論曰試作甲丁直角方形從乙界作乙巳垂線與甲戊平行【一卷卅一】而于戊丁引
  長之遇于己其甲戊與甲丙等則甲己直角形在元線甲乙偕一分線甲丙矩内丙丁與甲丙等則丙己直角形在一分線甲丙偕分餘線丙乙矩内而甲己直角形與甲丙丙乙矩線内丙己直角形及甲丙上甲丁直角方形并等
  又論曰試别作丁線與一分線甲丙等其甲乙線既任分于丙則甲乙偕丁矩線内直角形【即甲乙偕甲丙矩線内直角形】與丁偕丙乙【即甲丙偕丙乙】丁偕甲丙【即甲】
  【丙上直角方形】兩矩線内直角形并等【本篇一】
  注曰以數明之設十數任兩分之為七為三如前圖則十乘七為七十與七乘三之實二十一及七自之羃四十九并等如後圖十乘三為三十與七乘三之實二十一及三之羃九并等
  第四題
  一直線任兩分之其元線上直角方形與各分上兩直角方形及兩分互偕矩線内兩直角形并等
  解曰甲乙線任兩分于丙題言甲乙線上直角方形與甲丙丙乙線上兩直角方形及甲丙偕丙乙丙乙
  偕甲丙矩線内兩直角形并等
  論曰試于甲乙線上作甲丁直角方形次作乙戊對角線次從丙作丙己線與乙丁
  平行遇對角線于庚末從庚作辛壬線與甲乙平行而分本形為四直角形即甲乙戊角形之甲乙甲戊兩邊等而甲乙戊與甲戊乙兩角亦等【一卷五】夫甲乙戊形之三角并與兩直角等【一卷卅二】而甲為直角即甲乙戊甲戊乙皆半直角【一卷卅之二系】依顯丁乙戊角形之丁乙戊丁戊乙兩角亦皆半直角則戊己庚外角與内角丁等為直角【一卷卅九】而己戊度既半直角則己庚戊等為半直角矣角既等則己庚己戊兩邊亦等【一卷六】庚辛辛戊亦等【一卷卅四】而辛巳為直角方形也依顯丙壬亦直角方形也又庚辛與甲丙兩對邊等【一卷卅四】而乙丙與庚丙俱為直角方形邊亦等則辛己為甲丙線上直角方形丙壬為丙乙線上直角方形也又甲庚及庚丁兩直角形各在甲丙丙乙矩線内也則甲丁直角方形與甲丙丙乙兩線上兩直角方形及兩線矩内兩直角形并等矣
  系從此推知凡直角方形之角線形皆直角方形又論曰甲乙線既任分于丙則元線甲乙上直角方形與元線偕各分線矩内兩直角形并等【本篇二】又甲乙偕甲丙矩線内直角形與甲丙偕
  丙乙矩線内直角形及甲丙上直角方形并等【本篇三】甲乙偕丙乙矩線内直角形與丙乙偕甲丙矩線内直角形及丙乙上直角方形并等【本篇三】則甲乙上直角方形與甲丙丙乙上兩直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙矩線内兩直角形并等
  注曰以數明之設十數任兩分之為七為三十之羃百與七之羃四十九三之羃九及三七互乘之實兩二十一并等
  第五題
  一直線兩平分之又任兩分之其任兩分線矩内直角形及分内線上直角方形并與平分半線上直角方形等
  解曰甲乙線兩平分于丙又任兩分于丁其丙丁為分内線【丙丁線者丙乙所以大于丁乙之較又甲丁所以大于甲丙之較故曰分内線】題言甲丁丁乙矩線内直角形及分内線丙丁上直角方形并與丙乙線上直角方形等
  論曰試于丙乙線上作丙己直角方形次作乙戊對角線從丁作丁庚線與乙己平行遇對角線于辛次從辛作壬癸線與丙乙平行次從甲作甲子線與丙戊平行末從壬癸線引長之遇于子夫丁壬癸庚皆直角方形【本篇四之系】而辛丁與丁乙兩線等【一卷卅四】癸辛
  與丙丁兩線等則甲辛直角形在任分之甲丁丁乙矩線内而癸庚為分内線丙丁上直角方形也今欲顯甲辛直角形及癸庚直角方形并與丙己直角方形等者于丙辛辛己相等之兩餘方形【一篇四三】每加一丁壬直角方形即丙壬及丁己兩直角形等矣而甲癸與丙壬兩形同在平行線内又底等即形亦等【一卷卅六】則甲癸與丁巳亦等也即又每加一丙辛直角形則丑寅卯罄折形豈不與甲辛等次于罄折形又加一癸庚直角方形豈不與丙巳直角方形等也而甲辛癸庚兩形并亦與丙己等也則甲丁丁乙矩線内直角形及丙丁上直角方形并與丙乙上直角方形等
  注曰以數明之設十數兩平分之各五又任分之為八為二則三為分内數【三者五所以大于二之較又八所以大于五之較】二八之實十六三之羃九與五之羃二十五等
  第六題
  一直線兩平分之又任引增一直線共為一全線其全線偕引增線矩内直角形及半元線上直角方形并與半元線偕引增線上直角方形等
  解曰甲乙線兩平分于丙又從乙引長之增乙丁與甲乙通為一全線題言甲丁偕乙丁矩線内直角形及半元線丙乙上直角方形并與丙丁上直角方形等
  論曰試于丙丁上作丙戊直角方形次作丁己對角線從乙作乙庚線與丁戊平行遇對角線于辛次從辛作壬癸線與丙丁平行次從甲作甲子線與丙己平行末從壬癸線引長之遇于子夫乙壬癸庚皆直角方形【本篇四之系】而乙丁與丁壬兩線等【一卷卅四】癸辛與丙乙兩線等則甲壬直角形在甲丁偕乙丁矩線内而癸庚為丙乙上直角方形也今欲顯甲壬直角形及癸庚直角方形并與丙戊直角方形等者試觀甲癸與丙辛兩直角形同在平行線内又底等即形亦等【一卷卅六】而丙辛與辛戊等【一卷四三】則辛戊與甲癸亦等即又每加一丙壬直角形則丑寅卯磬折形與甲壬等夫磬折形加一癸庚形本與丙戊直角方形等也即甲壬癸庚兩形并亦與丙戊等也則甲丁乙丁矩線内直角形及丙乙上直角方形并豈不與丙丁上直角方形等
  注曰以數明之設十數兩平分之各五又引增二共十二二乘之為二十四及五之羃二十五與七之羃四十九等
  第七題
  一直線任兩分之其元線上及任用一分線上兩直角方形并與元線偕一分線矩内直角形二及分餘線上直角方形并等
  解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙上及任用一分線如甲丙上兩直角方形并【不論甲丙為長分為短分】與甲乙偕甲丙矩内直角形二及分餘線丙乙上直角方形并等論曰試于甲乙上作甲丁直角方形次作乙戊對角線從丙作丙己線與乙丁平行
  遇對角線于庚末從庚作辛壬線與甲乙平行夫辛己丙壬皆直角方形【本篇四之系】而辛庚與甲丙等【一卷卅四】即辛己為甲丙上直角方形也又甲戊與甲乙等即甲己直角形在甲乙偕甲丙矩線内也又戊丁丁壬與甲乙甲丙各等即辛丁直角形亦在甲乙偕甲丙矩線内也夫甲己己壬兩直角形【即癸子丑罄折形】及丙壬直角方形并本與甲丁直角方形等今于甲己辛丁兩直角形并加一丙壬直角方形即與甲丁直角方形加一辛巳直角方形等矣則甲乙甲丙矩線内直角形二及丙乙上直角方形并與甲乙上直角方形及甲丙上直角方形并等也
  注曰以數明之設十數任分之為六為四如前圖十之羃百及六之羃三十六并與
  十六互乘之兩實百二十及四之羃十六等如後圖十之羃百及四之羃十六并與十四互乘之兩實八十及六之羃三十六等
  第八題
  一直線任兩分之其元線偕初分線矩内直角形四及分餘線上直角方形并與元線偕初分線上直角方形等
  解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙偕初分線丙乙矩内直角形四【不論丙乙為長分為短分】及分餘線甲丙上直角方形并與甲乙偕丙乙上直角方形等
  論曰試以甲乙線引增至丁而乙丁與丙乙等于全線上作甲戊直角方形次作丁巳對角線從乙作乙庚線與丁戊平行遇對角線于辛次從丙作丙壬線與甲巳平行遇對角線于癸次從辛作子丑線與甲丁平行遇丙壬于寅末從癸作卯辰線與戊己平行遇乙庚于巳其卯壬寅巳乙丑俱角線方形【一卷卅四之系】而卯癸與甲丙兩線等【一卷卅四】即卯壬為甲丙上直角方形又寅辛與丙乙兩線
  等【一篇卅四】即寅巳為丙乙上直角方形與乙丑等【丙乙與乙丁等故】又乙辛辛巳兩線亦各與丙乙等而甲辛子巳兩直角形各在甲乙丙乙矩線内即等【子辛與甲乙等故】寅庚辛戊兩直角形亦各在甲乙丙乙矩線内即又等【寅辛辛丑與丙乙乙丁等辛庚丑戊與等甲乙之子辛等故】寅巳既與乙丑等而每加一癸庚即乙丑癸庚并與寅庚又等是甲辛一子巳二辛戊三乙丑四癸庚五五直角形并為午未申磬折形與元線甲乙偕初分線丙乙矩内直角形四等而午未申磬折形及卯壬直角方形本與甲戊直角方形等則甲乙乙丙矩線内直角形四及甲丙上直角方形并與甲乙偕丙乙上直角方形等注曰以數明之設十數任分之為六為四如前圖十六互乘之實四為二百四十及四之羃十六共二百五十六與十六之羃等如後圖十四互乘之實四為一百六十及六之羃三十六共一百九十六與十四之羃等
  第九題
  一直線兩平分之又任兩分之任分線上兩直角方形并倍大于平分半線上及分内線上兩直角方形并解曰甲乙線平分于丙又任分于丁題言甲丁丁乙上兩直角方形并倍大于平分半線甲丙上分内線
  丙丁上兩直角方形并
  論曰試于丙上作丙戊垂線與甲丙等次作甲戊戊乙兩腰次從丁作丁己垂線遇戊乙于己從己作己庚線與甲乙平行遇
  戊丙于庚末作甲己線其甲丙戊角形之甲丙丙戊兩腰等即丙戊甲丙甲戊兩角亦等【一卷五】而甲丙戊為直角即餘兩角皆半直角【一卷卅二之系】依顯丙戊乙亦半直角又戊庚己角形之戊庚己角為戊丙乙之外角即亦直角【一卷廿九】而庚戊己半直角即庚己戊亦半直角【一卷卅二之系】又庚戊己庚己戊兩角等即庚戊庚己兩腰亦等【一卷六】依顯丁乙己角形之丁乙丁己兩腰亦等夫甲丙戊角形之丙為直角即甲戊線上直角方形與甲丙丙戊線上兩直角方形并等【一卷四七】而甲丙丙戊上兩直角方形自相等即甲戊上直角方形倍大于甲丙上直角方形矣又戊庚己角形之庚為直角即戊己線上直角方形與庚戊庚己線上兩直角方形并等【一卷四七】而庚戊庚己上兩直角方形自相等即戊己上直角方形倍大于等庚己之丙丁上直角方形矣【庚己丙丁為丙己直角形之對邊故見一卷卅四】則是甲戊戊己上兩直角
  方形并倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并也又甲己上直角方形既等于甲戊戊己上兩直角方形并又等于甲丁丁己上兩直角方形并【一篇四七】則甲丁丁己上兩直角方形并亦倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并矣而丁己與丁乙等則甲丁丁乙上兩直角方形并豈不倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并也注曰以數明之設十數兩平分之各五又任分之為七為三分内數二其七之羃四十九及三之羃九倍大于五之羃二十五及二之羃四
  第十題
  一直線兩平分之又任引增一線共為一全線其全線上及引增線上兩直角方形并倍大于平分半線上及分餘半線偕引增線上兩直角方形并
  解曰甲乙直線平分于丙又任引增為乙丁題言甲丁線上及乙丁線上兩直角方形并倍大于甲丙線上及丙丁線上兩直角方形并
  論曰試于丙上作丙戊垂線與甲丙等自戊至甲至乙各作腰線次從丁作己丁垂線引長之又從戊乙引長之遇于庚次作戊己線與丙丁平行末作甲庚線依前題論推顯甲戊乙為直角丙戊乙為半直角即相對之戊庚己亦半直角【一卷廿九】又己為直角【一卷卅四】即己戊庚亦半直角【一卷卅二】而己戊己庚兩腰必等【一卷六】依顯乙丁丁庚兩腰亦等夫甲戊上直角方形等于甲丙丙戊上兩直角方形并【一卷四七】必倍大于甲丙上直角方形而戊庚上直角方形等于戊己己庚上兩直角方形并【一卷四七】必倍大于對戊己邊之丙丁上直角方形【一卷卅四】則甲戊戊庚上兩直角方形并倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并也又甲庚上直角方形等于甲戊戊庚上兩直角方形并亦等于甲丁丁庚上兩直角方形并則甲丁丁庚上兩直角方形并亦倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并也而甲丁乙丁上兩直角方形并倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并矣【丁庚與乙丁等故】
  注曰以數明之設十數平分之各五又任增三為十三十三之羃一百六十九及三之羃九倍大于五之羃二十五及八之羃六十四也
  第十一題
  一直線求兩分之而元線偕初分線矩内直角形與分餘線上直角方形等
  法曰甲乙線求兩分之而元線偕初分小線矩内直角形與分餘大線上直角方形等先于甲乙上作甲丙直角方形
  次以甲丁線兩平分于戊次作戊乙線次從戊甲引增至己而戊己線與戊乙等末于甲乙線截取甲庚與甲己等即甲乙偕庚乙矩線内直角形與甲庚上直角方形等如所求
  論曰試于庚上作壬辛線與丁己平行次作己辛線與甲庚平行其壬庚與丙乙等即與甲乙等而庚丙直角形在甲乙偕庚乙矩線内也又甲庚與甲己等而甲為直角即己庚為甲庚上直角方形也【一卷卅四】今欲顯庚丙直角形與己庚直角方形等者試觀甲丁兩平分于戊而引增一甲己是丁己偕甲己矩線内直角形【即丁辛直角形】及甲戊上直角方形并與等戊己之戊乙上直角方形等【本篇六】夫戊乙上直角方形等于甲戊甲乙上兩直角方形并【一卷四七】即丁辛直角形及甲戊上直角方形并與甲戊甲乙上兩直角方形并等矣次各減同用之甲戊上直角方形即所存丁辛直角形不與
  甲乙上甲丙直角方形等乎此二率者又各減同用之甲壬直角形則所存己庚直角方形與庚丙直角形等而甲乙偕庚乙矩線内直角形與甲庚上直角方形等也
  注曰此題無數可解說見九卷十四題
  第十二題
  三邊鈍角形之對鈍角邊上直角方形大于餘邊上兩直角方形并之較為鈍角旁任用一邊偕其引增線之與對角所下垂線相遇者矩内直角形二
  解曰甲乙丙三邊鈍角形甲乙丙為鈍角從餘角如甲下一垂線與鈍角旁一邊如丙乙之引增線遇于丁為直角題言對鈍角之甲丙邊上直角方形大于甲乙乙丙邊上兩直角方形并之較為丙乙偕乙丁
  矩線内直角形二反說之則甲乙乙丙上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并與甲丙上直角方形等
  論曰丙丁線既任分于乙即丙丁上直角方形與丙乙乙丁上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并等【本篇四】此二率者每加一甲丁上直角方形即丙丁甲丁上兩直角方形并與丙乙乙丁甲丁上
  直角方形三及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并等也夫甲丙上直角方形等于丙丁甲丁上兩直角方形并【一卷四七】即亦等于丙乙乙丁甲丁上直角方形三及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并也又甲乙線上直角方形既等于乙丁甲丁上兩直角方形并【一卷四七】即甲丙上直角方形與甲乙丙乙上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并等矣
  第十三題
  三邊鋭角形之對鋭角邊上直角方形小于餘邊上兩直角方形并之較為鋭角旁任用一邊偕其對角所下垂線旁之近鋭角分線矩内直角形二
  解曰甲乙丙三邊鋭角形從一角如甲向對邊乙丙下一垂線分乙丙于丁題言對甲丙乙鋭角之甲乙邊上直角方形小于乙丙甲丙邊上兩直角方形并之較為乙丙偕丁丙矩線内直角形二反說之則乙
  丙甲丙上兩直角方形并與甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩線内直角形二并等
  論曰乙丙線既任分于丁即乙丙丁丙上兩直角方形并與乙丙偕丁丙矩線内直角形二及乙丁上直角方形并等【本篇七】此二率者每加一甲丁上直角方形即乙丙丁丙甲丁上直角方形三與乙丙偕丁丙矩線内直角形二及乙丁甲丁上兩直角方形并等
  也又甲丙上直角方形等于丁丙甲丁上兩直角方形并【一卷四七】即乙丙甲丙上兩直角方形并與乙丙偕丁丙矩線内直角形二及乙丁甲丁上兩直角方形并等也又甲乙上直角方形等于乙丁甲丁上兩直角方形并【一卷四七】即乙丙甲丙上兩直角方形并與乙丙偕丁丙矩線内直角形二及甲乙上直角方形并等反說之則甲乙上直角方形小于乙丙甲丙上兩直角方形并者為乙丙偕丁丙矩線内直角形二也注曰題中止論鋭角形不言直角鈍角形而直角鈍角形中俱有兩鋭角【一卷十七卅二】即對鋭角邊上形亦同此論【如第二第三圖是】但三鋭角形所作垂線任用一角而直角形必用直角鈍角形必用鈍角此為異耳【直角鈍角形不用直角鈍角不能作垂線】
  第十四題
  有直線形求作直角方形與之等
  法曰甲直線無法四邊形求作直角
  方形與之等先作乙丁形與甲等而
  直角【一卷四五】次任用一邊引長之如丁
  丙引之至己而丙己與乙丙等次以
  丁巳兩平分于庚其庚點或在丙點或在丙點之外若在丙即乙丁是直角方形與甲等矣【蓋丙己與乙丙等又與丙丁等而餘邊俱相等故乙丁為直角方形見一卷卅四】若庚在丙外即以庚為心丁巳為界作丁辛巳半圜末從乙丙線引長之遇圜界于辛即丙辛上直角方形與甲等
  論曰試自庚至辛作直線其丁巳線既兩平分于庚又任兩分于丙則丁丙偕丙巳矩内直角形【即乙丁直角形蓋丙己與乙丙等故】及庚丙上直角方形并與等庚巳之庚辛上直角方形等【本篇五】夫庚辛上直角方形等于庚丙丙辛上兩直角方形并【一卷四七】即乙丁直角形及庚丙上直角方形并與庚丙丙辛上兩直角方形并等次各減同用之庚丙上直角方形則丙辛上直角方形與乙丁直角形等
  增題凡先得直角方形之對角線所長于本形邊之較而求本形邊
  法曰直角方形之對角線所長于本形邊之較為甲乙而求本形邊先于甲乙上作甲丙直角方形次作乙丁對角線又引長之為丁戊線而丁戊與甲丁等即得乙戊
  線如所求
  論曰試于乙戊作戊己垂線從乙甲線引長之遇于己其乙戊己既直角而戊乙己為半直角【一卷卅二】即戊己乙亦半直角而戊乙與戊己兩邊等【一卷六】次作己庚與戊乙平行作乙庚與戊己平行即戊庚形為戊乙邊上直角方形也末作戊甲線即丁戊甲丁甲戊兩角等也【一卷五】夫乙戊己丁甲己既兩皆直角試每減一相等之丁戊甲丁甲戊角即所存己戊甲己甲戊兩角必等而己戊己甲兩邊必等【一卷六】則乙己對角線大于乙戊邊之較為甲乙矣 此增不在本書因其方形故類附于此

  幾何原本卷二
  欽定四庫全書
  幾何原本卷三之首
  西洋利瑪竇譯
  界說十則
  第一界
  凡圜之徑線等或從心至圜界線等為等圜
  三卷將論圜之情故先為圜界說此解圜之等者如上圖甲乙乙丙兩徑等或丁己戊庚從心至圜界等即甲己乙乙庚丙兩圜等若下圖甲乙乙丙兩徑不
  等或丁己戊庚從心至圜界不等則兩圜亦不等矣第二界
  凡直線切圜界過之而不與界交為切線
  甲乙線切乙己丁圜之界乙又引長之至丙而不與界交其甲丙線全在圜外為切線若戊己線先切圜界而引之至庚入圜内則交線也
  第三界
  凡兩圜相切而不相交為切圜
  甲乙兩圜不相交而相切于丙或切于外如第一圖
  或切于内如第三圖其第二
  第四圖則交圜也
  第四界
  凡圜内直線從心下垂線其垂線大小之度即直線距心遠近之度
  凡一點至一直線上惟垂線至近其他即遠垂線一而已遠者無數也故欲知點與線相去遠近必用垂線為度試如前圖甲點與乙丙線相去遠近必以甲丁垂線為度為甲丁一線獨去直線至近他若甲戊甲己諸線愈大愈遠乃至無數故如後圖
  說甲乙丙丁圜内之甲乙丙丁兩線其去戊心遠近等為己戊庚戊兩垂線等故若辛壬線去戊心近矣為戊癸垂線小故
  第五界
  凡直線割圜之形為圜分
  甲乙丙丁圜之乙丁直線任割圜之一分如甲乙丁及乙丙丁兩形皆為圜分凡分
  有三形其過心者為半圜分函心者為圜大分不函心者為圜小分又割圜之直線為弦所割圜界之一分為弧
  第六界
  凡圜界偕直線内角為圜分角
  以下三界論圜角三種本界所言雜
  圜也其在半圜分内為半圜角在大
  分内為大分角在小分内為小分角
  第七界
  凡圜界任于一點出兩直線作一角為負圜分角甲乙丙圜分甲丙為底于乙點出兩直線作甲乙丙角形其甲乙丙角為負甲乙丙圜分
  角
  第八界
  若兩直線之角乘圜之一分為乘圜分角
  甲乙丙丁圜内于甲點出甲乙甲丁兩線其乙甲丁角為乘乙丙丁圜分角
  圜角三種之外又有一種為切邊角或直線切圜或兩圜相切其兩圜相切者又或内或外如上圖甲乙線切丙丁戊圜于丙即甲丙丁乙丙戊兩角為切邊角又丙丁戊己戊庚兩圜外相切于戊及己戊庚己辛壬兩
  圜内相切于己即丙戊己戊己辛壬己庚三角俱為切邊角
  第九界
  凡從圜心以兩直線作角偕圜界作三角形為分圜形甲乙丙丁圜從戊心出戊甲戊丙兩線偕甲丁丙圜界作角形為分圜形
  第十界
  凡圜内兩負圜分角相等即所負之圜分相似
  甲乙丙丁圜内有甲乙己與丁丙戊兩負圜分角等則所負甲乙丁己與丁丙甲戊兩圜分相似
  又有兩圜或等或不等其負圜分角等即圜分俱
  相似如上三圖三
  圜之甲乙丙丁戊
  己庚辛壬三負圜分角等即所負甲乙丙丁戊己庚辛壬三圜分相似【相似者如云同為幾分圜之幾也】

  幾何原本卷三之首
  欽定四庫全書
  幾何原本卷三
  西洋利瑪竇撰
  第一題
  有圜求尋其心
  法曰甲乙丙丁圜求尋其心先于圜之兩界任作一甲丙直線次兩平分之于戊【一卷】
  【十】次于戊上作乙丁垂線兩平分之于己即己為圜心
  論曰如云不然令言心何在彼不得言在己之上下何者乙丁線既平分于己離平分不能為心故必言心在乙丁線外為庚即令自庚至丙至戊至甲各作直線則甲庚戊角形之甲戊既與丙庚戊角形之丙戊兩邊等戊庚同邊而庚甲庚
  丙兩線俱從心至界宜亦等即對等邊之庚戊甲庚戊丙兩角宜亦等【一卷八】而為兩直角矣【一卷界說十】夫乙戊甲既直角而庚戊甲又為直角可不可也
  系因此推顯圜内有直線分他線為兩平分而作直角即圜心在其内
  第二題
  圜界任取二點以直線相聯則直線全在圜内
  解曰甲乙丙圜界上任取甲丙二點作直線相聨題言甲丙線全在圜内
  論曰如云在外若甲丁丙線令尋取甲乙丙圜之戊心【本篇一】次作戊甲戊丙兩直線次于甲丁丙線上作戊乙丁線而與圜界遇于乙即戊甲丁丙當為三角形以甲丁丙為底戊甲戊丙兩腰等其戊甲丙戊丙甲兩角宜等【一卷五】而戊丁甲為戊丙丁之外角宜大于戊丙丁角即亦宜大于戊甲丁角【一卷十六】則對戊丁甲大角之戊甲線宜大于戊丁線矣【一卷十九】夫戊甲與戊乙本同圜之半徑等據如所論則戊乙亦大于戊丁不可通也若云不在圜外而
  在圜界依前論令戊甲大于戊乙亦不可通也第三題
  直線過圜心分他直線為兩平分其分處必為兩直角為兩直角必兩平分
  解曰乙丙丁圜有丙戊線過甲心分乙丁線為兩平分于己題言甲己必是垂線而
  己旁為兩直角又言己旁既為兩直角則甲己分乙丁必兩平分
  先論曰試從甲作甲乙甲丁兩線即甲乙己角形之乙己與甲丁己角形之丁己兩邊等甲己同邊甲乙甲丁兩線俱從心至界又等即兩形等則其對等邊之甲己乙甲己丁亦等【一卷八】而為兩直角矣
  後論曰如前作甲乙甲丁兩線甲乙丁角形之甲乙甲丁兩邊既等則甲乙丁甲丁乙兩角亦等【一卷五】又甲乙己角形之甲己乙甲乙己兩角與甲丁己角形之甲己丁甲丁己兩角各等而對直角之甲乙甲丁兩邊又等則己乙己丁兩邊亦等【一卷廿六】
  欲顯次論之旨又有一說如甲丁上直角方形與甲己己丁上兩直角方形并等【一卷四七】而甲乙上直角方形與甲己乙己上兩直角方形并亦等即甲己己乙上兩直角方形并與甲己己丁
  上兩直角方形并亦等此二率者每減一甲己上直角方形則所存乙己己丁上兩直角方形自相等而兩邊亦等
  第四題
  圜内不過心兩直線相交不得俱為兩平分
  解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁兩直線俱不過己心【若一過心一不過心即兩線不得俱為兩平分其理易顯】
  而交于戊題言兩直線或有一線為兩平分不得俱為兩平分
  論曰若云不然而甲乙丙丁能俱兩平分于戊試令尋本圜心于己【本篇一】從己至戊作甲乙之垂線其己戊既分甲乙為兩平分即為兩直角【本篇三】而又能分丙丁為兩平分亦宜為兩直角是己戊甲為直角而己戊丙亦直角全與其分等矣
  第五題
  兩圜相交必不同心
  解曰甲乙丁戊乙丁兩圜交于乙于丁題言兩圜不同心
  論曰若言丙為同心令自丙至乙至甲各作直線其丙乙至圜交而丙甲截兩圜之界于戊于甲夫丙既為戊乙丁圜之心則丙乙與丙
  戊等而又為甲乙丁圜之心則丙乙與丙甲又等是丙戊與丙甲亦等而全與其分等也
  第六題
  兩圜内相切必不同心
  解曰甲乙丙乙兩圜内相切于乙題言兩圜不同心
  論曰若言丁為同心令自丁至乙至丙各作直線其丁乙至切界而丁丙截兩圜之界于甲于丙夫丁既為甲乙圜之心則丁乙與丁甲等而又為丙乙圜之心則丁乙與丁丙又等是丁甲與丁丙亦等而全與其分等也
  第七題
  圜徑離心任取一點從點至圜界任出幾線其過心線最大不過心線最小餘線愈近心者愈大愈近不過心線者愈小而諸線中止兩線等
  解曰甲丙丁戊乙圜其徑甲乙其心己離心任取一點為庚從庚至圜界任出幾線為庚丙庚丁庚戊題先言從庚所出諸線惟過心庚甲最大次言不過心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小後言庚乙兩旁止
  可出兩線等
  先論曰試從已心出三線至丙至丁至戊其丙己庚角形之丙己己庚兩邊并大于丙庚一邊【一卷二十】而丙己己庚等于甲己己庚則庚甲大于庚丙依顯庚丁庚戊俱小于庚甲是庚甲最大
  次論曰己庚戊角形之己戊一邊小于己庚庚戊兩邊并【一卷二十】而己戊與己乙等則己乙小于己庚庚戊并矣次各減同用之己庚則庚乙小于庚戊依顯庚戊小于庚丁庚丁小于庚丙是庚乙最小
  三論曰丙己庚角形之丙己與丁己庚角形之丁己兩邊等己庚同邊而丙己庚角大于丁己庚角【全大于分】則對大角之庚丙邊大于對小角之庚丁邊【一卷廿四】依顯庚丁大于庚戊而愈近心愈大愈近庚乙愈小後論曰試依戊己乙作乙己辛相等角而抵圜界為己辛線次從庚作庚辛線其戊己庚角形之戊己腰與庚己辛角形之辛巳腰既等己庚同腰兩腰間角又等則對等角之庚戊庚辛兩底亦等【一卷四】而庚乙兩旁之庚戊庚辛等矣此外若有從庚出線在辛之上即依第三論大于庚辛在辛之下即小于庚辛故云庚乙兩旁止可出庚戊庚辛兩線等
  第八題
  圜外任取一點從點任出幾線其至規内則過圜心線最大餘線愈離心愈小其至規外則過圜心線為徑之餘者最小餘線愈近徑餘愈小而諸線中止兩線等
  解曰乙丙丁戊圜之外從甲點任
  出幾線其一為過癸心之甲壬其
  餘為甲辛為甲庚為甲己皆至規
  内【規内線者如車輻之指牙】題先言過心之甲
  壬最大次言近心之甲辛大于離心之甲庚甲庚又大于甲己三反上言規外之甲乙為乙壬徑餘者【規外線者如車輻之湊轂】最小四言甲丙近徑餘小于甲丁甲丁又小于甲戊後言甲乙兩旁止可出兩線等
  先論曰試從癸心至丙丁戊己庚辛各出直線其甲癸辛角形之甲癸癸辛兩邊并大于甲辛一邊【一卷二十】而甲癸癸辛與甲壬等則甲壬大于甲辛依顯甲壬更大于甲庚甲己而過心之甲壬最大
  次論曰甲癸辛角形之癸辛與甲癸庚角形之癸庚兩邊等甲癸同邊而甲癸辛角大于甲癸庚角【全大于分】則對大角之甲辛邊大于對小角之甲庚邊【一卷廿四】依顯甲庚大于甲己而規内線愈離心愈小
  三論曰甲癸丙角形之甲癸一邊
  小于甲丙丙癸兩邊并【一卷二十】次每
  減一相等之乙癸丙癸則甲乙小
  于甲丙矣依顯甲乙更小于甲丁
  甲戊而規外甲乙最小
  四論曰甲丁癸角形之内從甲與癸出甲丙丙癸兩邊并小于甲丁丁癸兩邊并【一卷廿一】此二率者每減一相等之丙癸丁癸則甲丙小于甲丁矣依顯甲丙更小于甲戊而愈近徑餘甲乙者愈小
  後論曰試依乙癸丙作乙癸子相等角抵圜界次作甲子線其甲子癸角形之甲癸癸子兩腰與甲癸丙角形之甲癸癸丙兩腰各等而兩腰間角又等則對等角之甲子甲丙兩底亦等也【一卷四】此外若有從甲出線在子之上即依第四論小于甲丙在子之下即大于甲丙故云甲乙兩旁止可出甲丙甲子兩線等第九題
  圜内從一點至界作三線以上皆等即此點必圜心解曰從甲點至乙丙丁圜界作甲乙甲丙甲丁三直線若等題言甲點為圜心三以上等者更不待論
  論曰試于乙丙丙丁界作乙丙丙丁兩直線相聨此兩線各兩平分于戊于己從甲出兩直線為甲戊為甲己其甲乙戊角形
  之甲乙與甲戊丙角形之甲丙兩腰既等甲戊同腰乙戊戊丙兩底又等即甲戊乙與甲戊丙兩角亦等【一卷八】為兩直角依顯甲己丙甲己丁亦等為兩直角則甲戊甲己之分乙丙丙丁俱平分為直角而此兩線俱為函心線【本篇一之系】定相遇于甲甲為圜心矣又論曰若言甲非心心在于戊者令戊甲相聨引作己庚徑線即甲是戊心外所取一點而從甲所出線愈近心者宜愈大矣
  【本篇七】則甲丁宜大于甲丙而先設等何也
  第十題
  兩圜相交止于兩點
  論曰若言甲乙丙丁戊己圜與甲庚乙丁辛戊圜三相交于甲于乙于丁令作甲乙乙丁兩直線相聯此兩線各兩平分于壬于癸次從壬癸作子壬子癸兩垂線其子
  壬分甲乙子癸分乙丁既皆兩平分而各為兩直角即子壬子癸兩線俱為甲庚乙丁辛戊圜之函心線【本篇一之系】而子為其心矣依顯甲乙丙丁戊己圜亦以子為心也夫兩交之圜尚不得同心【本篇五】何緣得有三交
  又論曰若言兩圜三相交于甲于乙于丁令先尋甲庚乙丁辛戊圜之心于壬【本篇一】次從心至三交界作壬甲壬乙壬丁三線此三線等也【一卷界說十五】又甲乙丙丁戊己圜内有從壬出之壬甲壬乙壬丁三相等線
  則壬又為甲乙丙丁戊己圜之心【本篇九】不亦交圜同心乎【本篇五】
  第十一題
  兩圜内相切作直線聯兩心引出之必至切界
  解曰甲乙丙甲丁戊兩圜内相切于甲而己為甲乙丙之心庚為甲丁戊之心題言作直線聨庚己兩心引抵圜界必至甲
  論曰如云不至甲而截兩圜界于乙丁及丙戊令從甲作甲己甲庚兩線其甲己庚角形之庚己己甲兩邊并大于庚甲一邊【一卷二十】而同圜心所出之庚甲庚丁宜等即庚己己甲大于庚丁矣此二率者各減同用之庚己即己甲亦大于己丁矣夫己甲與己乙是内圜同心所出等線則己乙亦大于己丁而分大于全也可乎若曰庚為甲乙丙心己為甲丁戊心亦依前轉說之甲己庚角形之己庚庚甲兩邊并大于甲己一邊【一卷二十】而同圜心所出之己甲己戊宜等即己庚庚甲大于己戊矣此二率者各減同用之己庚即庚甲大于庚戊矣夫庚甲與庚丙是内圜同心所出等線則庚丙
  亦大于庚戊而分大子全也可乎
  第十二題
  兩圜外相切以直線聯兩心必過切界
  解曰甲乙丙丁乙戊兩圜外相切于乙其甲乙丙心為己丁乙戊心為庚題言作己庚直線必過乙論曰如云不然而己庚線截兩圜界于戊于丙令于切界作乙己乙庚兩線其乙己庚角形之己乙乙庚兩邊并大于己庚一邊而乙
  庚與庚戊乙己與己丙俱同心所出線宜各等即庚戊丙己兩線并亦大于庚己一線矣【一卷二十】夫庚己線分為庚戊丙己尚餘丙戊而云庚戊丙己大于庚己則分大于全也故直線聨己庚必過乙
  第十三題【二支】
  圜相切不論内外止以一點
  先論曰甲乙丙丁與甲戊丙己兩圜内相切若云有兩點相切于甲又于丙令作直線函兩圜心庚辛引出之如前圖宜至相切之甲之丙【本篇十一】則甲丙為兩圜之同徑矣而此徑線者兩平分于庚又兩平分于辛何也【一直線止以一點兩平分】若云庚辛引出直線
  一抵甲一截兩圜之界于癸于壬即如後圖令從兩心各作直線至又相切之丙次問之甲乙丙丁圜之心為庚邪辛邪如曰庚也而辛為甲戊内己之心則丙庚辛角形之庚辛辛丙兩邊并大于庚丙一邊【一卷二十】而庚辛辛丙與庚癸宜等【辛癸辛丙同圜心所出故】即庚癸亦大于庚丙矣夫庚丙與庚壬者外圜同心所出等線也將庚癸亦大于庚壬可乎如曰辛也而庚為甲戊丙己之心則丙庚辛角形之辛庚庚丙兩邊并大于辛丙一邊【一卷二十】而辛丙與辛甲宜等即辛庚庚丙亦大于辛甲矣此二率者各減同用之辛庚即庚丙亦大于庚甲也夫庚甲與庚丙者亦同圜心所出等線也而安有大小
  後論曰甲乙與乙丙兩圜外相切于已從甲乙之丁心丙乙之戊心作直線相聨必過已【本篇十三】若云又相切于乙令自乙至丁至戊各
  作直線其丁乙乙戊并宜與丁戊等而為角形之兩腰又宜大于丁戊【一卷二十】則兩圜相切安得兩點又後論曰更令于兩相切之乙之己作直線相聨其直線當在甲乙圜内【本篇二】又當在乙丙圜内何所置之
  第十四題【二支】
  圜内兩直線等即距心之遠近等距心之遠近等即兩直線等
  先解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙兩線等題言兩線距戊心遠近亦等
  論曰試從戊心向甲乙作戊己向丁丙作戊庚各垂線次自丁自甲至戊各作直線其戊己戊庚既各分甲乙丁丙線為兩平
  分【本篇三】而甲乙丁丙等則平分之甲己丁庚亦等夫甲戊上直角方形與甲己己戊上兩直角方形并等【一卷四七】等甲戊之丁戊上直角方形與丁庚庚戊上兩直角方形并等而甲己丁庚上兩直角方形既等即戊己戊庚上兩直角方形亦等則戊己戊庚兩線亦等是甲乙丁丙兩線距心之度等【本卷界說四】
  後解曰甲乙丁丙兩線距戊心遠近等題言甲乙丁丙兩線亦等
  論曰依前論從戊作戊己戊庚兩垂線既等【本卷界說四】而分甲乙丁丙各為兩平分【本篇三】其甲戊上直角方形與甲己己戊上兩
  直角方形并等【一卷四七】等甲戊之丁戊上直角方形與丁庚庚戊上兩直角方形并等即甲己己戊上兩直角方形并與丁庚庚戊上兩直角方形并亦等此二率者每減一相等之己戊戊庚上直角方形即所存甲己丁庚上兩直角方形亦等是甲己丁庚兩線等也夫甲乙倍甲己丁丙倍丁庚其半等其全必等第十五題
  徑為圜内之大線其餘線者近心大于遠心
  解曰甲乙丙丁戊己圜其心庚其徑甲己其近心線為辛壬遠心線為丙丁題言甲乙最大辛壬近心大
  于丙丁遠心
  論曰試從庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚子各垂線其丙丁距心遠于辛壬即庚癸
  大于庚子【本卷界說四】次于庚癸線截庚丑與庚子等次從丑作乙戊為庚癸之垂線末于庚乙庚丙庚丁庚戊各作直線相聯其庚丑既等于庚子即乙戊與辛壬各以垂線距心遠近等【本卷界說四】而兩線亦等【本篇十四】夫庚乙庚戊并大于乙戊【一卷二十】而與甲己等即甲己大于乙戊亦大于辛壬矣依顯甲己大于他線則甲己最大又乙庚戊角形之乙庚庚戊兩腰與丙庚丁角形之丙庚庚丁兩
  腰等而乙庚戊角大于丙庚丁角則乙戊底大于丙丁底【一卷廿四】故等乙戊之辛壬亦大于丙丁也是近心線大于遠心線也
  第十六題【三支】
  圜徑末之直角線全在圜外而直線偕圜界所作切邊角不得更作一直線入其内其半圜分角大于各直線鋭角切邊角小于各直線鋭角
  先解曰甲乙丙圜丁為心甲丙為徑從甲作甲丙之垂線題言此線全在圜外論曰若言在内如甲乙令自丁至乙作
  直線即丁甲乙與丁乙甲兩角等【一卷五】丁甲既為直角丁乙又為直角乎夫角形三角并等兩直角【一卷十七】豈得形内自有兩直角也則垂線必在圜外若己戊必不在圜内若甲乙又不在圜界之上【如云在界亦依此論】故曰全在圜外
  次解曰題又言戊甲垂線偕乙甲圜界所作切邊角不得更作一直線入其内
  論曰若云可作如庚甲令從丁心向庚甲作丁辛為庚甲之垂線【一卷十二】夫丁甲辛角形之丁甲辛丁辛甲兩角并小于
  兩直角【一卷十七】而丁辛甲為直角即對小角之丁辛線小于對大角之甲丁線矣【一卷十九】甲丁者與丁壬為同圜相等者也將丁壬亦大于丁辛乎則戊甲乙角之内不得更作一直線而戊甲之下但有直線必入本圜之内也
  後解曰題又言丁甲垂線偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角大于各直線鋭角而戊甲垂線偕乙甲圜界所作切邊角小于各直線鋭角
  論曰依前論甲戊下有直線既云必入圜内即此直線偕戊甲所作各直線鋭角皆小于圜分角而切邊角小于各直線鋭角
  系己甲線必切圜以一點
  增先解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲
  丙從甲作戊甲為甲丙之垂線題言
  戊甲全在圜外
  增正論曰試于甲戊線内任取一點為庚自庚至丁作直線其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲兩角小于兩直角【一卷十七】而丁甲庚為直角即丁庚甲小于直角對大角之丁庚線大于對小角之丁甲線矣【一卷十九】則庚點在圜之外也凡戊甲以内作點皆
  依此論故戊甲線全在圜外
  增次解曰從甲作甲辛線在戊甲之
  下題言甲辛必割圜為分
  增正論曰試作甲丁壬角與戊甲辛角等其甲丁壬辛甲丁兩角并等于戊甲丁直角必小于兩直角而丁壬甲辛兩線必相遇【分論十一】其相遇又必在圜之内如壬何者壬甲丁壬丁甲兩角既與一直角等即甲壬丁必為直角【一卷卅二】而對大角之甲丁線必大于對小角之丁壬線矣【一卷十九】夫甲丁線僅至圜界則丁壬不能抵圜界必在圜之内也後支前已正論
  或難曰切邊角有大有小何以畢不得兩分向者聞幾何之分不可窮盡如莊子尺棰之義深著明矣今切邊之内有角非幾何乎此幾何何獨不可分邪又十卷第一題言設一小幾何又設一大幾何若從大者半減之減之又減必至一處小于所設小率此題最明無可疑者今言切邊之角小于直線鋭角是亦小幾何也彼直線鋭角是亦大幾何也若從直線鋭角半減之減之又減何以終竟不得小于切邊角邪既本題推顯切邊角中不得容一直線如此著明便當并無切邊角無角則無幾何此則不可得分耳且幾何原本書中無有至大不可加之率無有至小不可減之率若切邊角不可分豈非至小不可減乎答曰謬矣子之言也有圜有線安得無切邊角且既言直線鋭角大于切邊角即有切邊角矣苟無角安所較大小哉且
  子言直線與圜界并無切邊角
  則兩圜外相切亦無角乎曰然
  曰試如作甲己乙圜其心丙而
  丁戊為切線即丁甲己為切邊角次移心于庚又作甲辛癸圜即丁甲辛為切邊角而小于丁甲己次移心于子又作甲丑寅圜即丁甲丑為切邊角而又小于丁甲辛如是小之又小疑無角焉次又于切線之外以辰為心作甲己午圜而與前圜外相切于甲依子所說疑無角焉然兩圜外相切而以丁戊線分之不可分乎更自辰至寅作直線截兩圜之界而分丁戊為兩平分不可分乎兩圜兩直線交羅相遇于甲也能不皆以一點乎如以一點也即此一點之外不能無空即不能不為四切邊角矣子所據尺棰之分無盡又言幾何原本書中無至小不可減之率也是也夫切邊角但不可以直線分之耳若用圜線則可分矣如甲乙庚圜與丙甲丁直線相切于甲作丁甲庚切邊大角若移一心作甲戊辛
  圜又得丁甲辛切邊角即小于丁甲庚也又移一心作甲己壬圜又得丁甲壬切邊小角即又小于丁甲辛也如此以至無窮則切邊角分之無盡何謂不可減邪若十卷第一題所言元無可疑但以圜角分圜角則與其說合矣彼所言大小兩幾何者謂夫能相較為大能相較為小者也如以直線分直線角以圜線分圜線角是已此切邊角與直線角豈能相較為大小哉
  增題有兩種幾何一大一小以小率半增之遞增至于無窮以大率半減之遞減至于無窮其元大者恒大元小者恒小
  解曰戊甲乙切邊角為小率壬庚辛直線鋭角為大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己線于甲其切邊角愈增愈大如前論别以庚癸庚子線作角分壬庚辛角于庚愈分愈小然直線角恒大切
  邊角恒小乃至終古不得相比
  又增題舊有一說以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相離逐線漸移之必至一相等之處又一說有率大于此率者有率小于此率者則必有率等于此率者昔人以為皆公論也若用以律本題即不可得故今斥不為公論解曰甲乙丙圜其徑甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙線逐線漸移之向已其所經丁戊己及中間逐線所經無
  數然依本題論則甲丙所經凡割圜時皆為鋭角即小于半圜分角纔離鋭角便為直角即大于半圜分角是所經無數線終無有相等線可見前一舊說未為公論又直線鋭角皆小于半圜分角直角與鈍角皆大于半圜分角是有大者有小者終無等者可見後一舊說未為公論也
  第十七題
  設一點一圜求從點作切線
  法曰甲點求作直線切乙丙圜其圜心丁先從甲作甲丁直線截乙丙圜于乙次以丁為心甲為界作甲戊圜次從乙作甲丁
  之垂線而遇甲戊圜于戊次作戊丁直線而截乙丙圜于丙末作甲丙直線即切乙丙圜于丙
  論曰乙戊丁角形之戊丁丁乙兩腰與甲丙丁角形之甲丁丁丙兩腰各等【一卷界說十五】丁角同即甲丙乙戊兩底亦等【一卷四】而戊
  乙丁為直角即甲丙丁亦直角則甲丙偕乙丙圜之半徑丁丙為一直角矣豈非圜之切線【本篇十六之系】第十八題
  直線切圜從圜心作直線至切界必為切線之垂線解曰甲乙直線切丙丁圜于丙從戊心至切界作戊丙線題言戊丙為甲乙之垂線論曰如云不然令從戊别作垂線如至已
  而截丙丁圜于丁其丙戊己角形之戊己丙既為直角即宜大于己丙戊角【一卷十七】而對大角之戊丙邊宜大于對小角之戊己邊矣【一卷十九】夫戊丙與戊丁等也戊丙大于戊已則戊丁亦大于戊己乎
  又論曰若云丙非直角即其兩旁角一鋭一鈍令乙丙戊為鋭角則鋭角乃大于半圜分角乎【本篇十六】第十九題
  直線切圜圜内作切線之垂線則圜心必在垂線之内解曰甲乙線切丙丁戊圜于丙圜内作戊丙為甲乙
  之垂線題言圜心在戊丙線内
  論曰如云不然心在于已令從已作己丙直線即己丙亦為甲乙之垂線【本篇十八】而已
  丙甲與戊丙甲等為直角是全與其分等矣
  第二十題
  負圜角與分圜角所負所分之圜分同則分圜角必倍大于負圜角
  解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙負圜角同以乙丙圜分為底題言乙丁丙角倍大于乙甲丙角
  先論分圜角在乙甲甲丙之内者曰如上圖試從甲過丁心作甲戊線其甲丁乙角形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲兩角
  等【一卷五】而乙丁戊外角與内相對兩角并等【一卷卅二】即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依顯丙丁戊亦倍大于丙甲丁則乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
  次論分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙線過丁心者曰如上圖依前論推顯乙丁丙外角等于内相對之丁甲丙丁丙甲兩
  角并【一卷卅二】而丁甲丁丙兩腰等即甲丙兩角亦等【一卷五】則乙丁丙角倍大于乙甲丙角
  後論分圜角在負圜角線之外而甲乙截丁丙者曰如上圖試從甲過丁心作甲戊線其戊丁丙分圜角與戊甲丙負圜角同
  以戊乙兩圜分為底如前次論戊丁丙角倍大于戊甲丙角依顯戊丁乙分圜角亦倍大于戊甲乙負圜角次于戊丁丙角減戊丁乙角戊甲丙角減戊甲乙角則所存乙丁丙角必倍大于乙甲丙角
  增若乙丁丁丙不作角于心或為半圜或小于半圜則丁心外餘地亦倍大于同底之負圜角
  論曰試從甲過丁心作甲戊線即丁心外餘地分為乙丁戊戊丁丙兩角依前論推顯此兩角倍大于乙甲丁丁甲丙兩角
  第二十一題
  凡同圜分内所作負圜角俱等
  解曰甲乙丙丁圜其心戊于丁甲乙丙圜分内任作丁甲丙丁乙丙兩角題言此兩角等
  先論函心大分所作曰試從戊作戊丁戊丙線其丁戊丙分圜角既倍大于丁甲丙角丁乙丙角【本篇十二】即
  甲乙兩角自相等【公論七】
  後論半圜分不函心小分所作曰丁甲乙丙或為半圜分或為不函心小分俱從甲從乙過戊作甲己乙庚兩線若不函心更從戊作戊丁戊丙兩線其丁戊己分圜角既倍大于丁甲己負圜角【本篇二十】依顯丙戊
  己分圜角亦倍大于丙甲己負圜角而丁戊庚庚戊己兩角與丁戊己一角等則丁戊庚庚戊己己戊丙三角必倍大于丁甲丙依顯此三角亦倍大于丁乙丙則丁甲丙丁乙丙兩角自相等
  又後論曰二十題增言分圜不作角其心外餘地倍
  大于同底各負圜角即各角自相等又後論曰甲丙乙丁線交羅相遇為已試作甲乙線相聯其甲丁己角形之三角并與乙丙己角形之三角并等【一卷卅二】次每減一交角相等之甲己丁乙己丙【一卷十五】即己甲丁己丁甲兩角并與己丙乙己乙丙兩角并等矣而甲丁乙乙丙甲兩角同在甲丁丙乙函心大分内又等【本題第一論】則丁甲丙與丙乙丁亦等
  又後論曰丁丙之外任取一界為已作丁己丙己兩線令俱函心而丁甲乙丙己與丙乙甲丁己俱為大分次于甲己乙己各作直線相聨其丁甲已與丁乙己兩角同負于甲乙丙己圜界即等【本題第一論】依顯丙乙己與丙甲已兩角同負丙乙甲丁己圜界又等此二相等率并之則丁甲丙丁乙丙兩全角亦等
  第二十二題
  圜内切界四邊形每相對兩角并與兩直角等
  解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有甲乙丙丁四邊形題言甲乙丙丙丁甲兩角并乙丙丁丁甲乙兩角并各與兩直角等
  論曰試作甲丙乙丁兩對角線其甲乙丁甲丙丁兩角同負甲乙丙丁圜分即等【本篇廿一】依顯丙甲丁丙乙丁兩角亦等則甲乙丁丙乙丁兩角并為甲乙丙一角與甲丙
  丁丙甲丁兩角并等次每加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲并與甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三角并元與兩直角等【一卷卅二】則甲乙丙丙丁甲相對兩角并與兩直角等依顯乙丙丁丁甲乙并亦與兩直角等
  第二十三題
  一直線上作兩圜分不得相似而不相等
  論曰如云不然令于甲乙線上作同方兩圜分相似而不相等必作甲丙乙又作甲丁乙其兩圜相交止于甲乙兩點【本篇十】即
  一圜分全在内一圜分全在外矣次令作甲丁線截甲丙乙圜于丙末令作丙乙丁乙兩線相聨夫兩圜分相似者其負圜角宜等【本卷界說十】則乙丙甲外角與相對之乙丁甲内角等乎【一卷十六】
  第二十四題
  相等兩直線上作相似兩圜分必等
  解曰甲乙丙丁兩線上作甲丙乙丙己丁相似兩圜分題言兩圜分等
  論曰甲乙丙丁兩線既等試以甲乙線加丙丁線上兩線必相合即甲丙乙丙己丁兩圜分相加亦相合如云不然必兩圜分相加或在内或在外或半在内半在外矣若在内在外即一直線上有兩圜分相似而不相等也【本篇廿三】若半在内半在外即兩圜三相交也【本篇十】兩俱不可故相似者必
  等
  第二十五題
  有圜之分求成圜
  法曰甲乙丙圜分求成圜先于分之兩端作甲丙線次作乙丁為甲丙之垂線次作甲乙線相聯其丁乙甲角或大于丁甲乙角或等
  或小若大即甲乙丙當為圜之小分何也乙丁分甲丙為兩平分即知圜之心必在乙丁線内【本篇一之系】而心在丁點之外則從丁點所出丁乙為不過心徑線至小【本篇七】故對小邊之丁甲乙角小于對大邊之丁乙甲角也【一卷十八】即作乙甲戊角與丁乙甲角等次從乙丁引出一線與甲戊線遇于戊即戊為圜心論曰試從戊作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁戊兩皆直角即對直角之甲戊與戊丙兩線等【一卷四】夫甲戊與乙戊以對角等故既等【一卷六】戊丙與甲戊又等則從戊至界三線皆等而戊為心【本篇九】
  次法兼論曰若丁乙甲丁甲乙兩角等即甲乙丙為半圜而甲丙為徑丁為心何也丁乙丁甲兩邊等然後丁乙甲丁甲乙兩角等【一卷】
  【五】今丁乙甲丁甲乙兩角既等即丁乙丁甲兩線必等【一卷六】丁丙元與丁甲等則從丁所出三線等而丁
  為圜心【本篇九】
  後法曰若丁乙甲小于丁甲乙即甲乙丙當為圜大分何也乙丁分甲丙為兩平分
  即知圜心在乙丁線内【本篇一之系】而丁點在心之外則所出丁乙為過心徑線至大【本篇七】故對大邊之丁甲乙大于對小邊之丁乙甲也【一卷十八】即作乙甲戊角與丁乙甲角等而甲戊線與乙丁線遇于戊即戊為圜心
  論曰試從戊作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁戊兩皆直角即對直角之甲戊戊丙兩線亦等【一卷四】夫乙戊與甲戊以對角等故既等【一卷五】戊丙與甲戊亦等則從戊至界三線皆等而戊為心【本篇九】
  增求圜分之心有一簡法于甲乙丙圜分任取三點于甲于乙于丙以兩直線聯之各兩平分于丁于戊從丁從戊作
  甲乙乙丙之各垂線為己丁為己戊而相遇于己即已為圜心
  論曰己丁己戊既各以兩直角平分甲乙乙丙兩線即圜之心當在兩垂線内【本篇一】而相遇于已即已為圜心
  其用法圜界上任取四點為甲為乙為丙為丁每兩點各自為心相向各任作圜分四圜分兩兩相交于戊于己于庚于辛從戊己從庚辛各作直線引長之
  交于壬即壬為圜心
  論曰試作甲戊戊乙乙己己甲四直線此四線各為同圜等圜之半徑各等即甲戊己角形之甲戊己甲己戊兩角等而乙戊己角形之乙戊己乙己戊兩角亦等次作甲乙直線分戊己于癸即甲己癸角形之甲己邊與乙己癸角形之乙己邊等己癸同邊而對甲己癸角之甲癸邊與對乙己癸角之乙癸邊亦等【一卷八】則甲癸己乙癸己俱為直角而戊己線必過心【本篇一】依顯庚辛線亦過心而相遇于壬為圜心
  第二十六題【二支】
  等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦等
  先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩圜等其心為庚為辛有甲庚丙與丁辛己兩乘圜角等題言所乘之甲丙丁己兩圜分亦等論曰試于甲乙丙丁戊己兩圜分之上任取兩點于乙于戊從乙作乙甲乙丙從戊作戊丁戊己各兩線次作甲丙丁己兩線相聯其乙與戊兩角既各半于庚辛兩角即乙與戊自相等【本篇二十】而所負甲乙丙與丁戊己兩圜分相似【本卷界說十】又甲庚丙角形之甲庚庚丙兩邊與丁辛己角形之丁
  辛辛己兩邊各等庚角與辛角又等即甲丙與丁己兩邊亦等【一卷四】而相似之甲乙丙與丁戊己兩圜分在等線上亦等【本篇卄四】夫相等圜減相等圜分則所存甲丙丁己兩圜分亦等故云等角所乘之圜分等後解在界者曰兩圜之乙與戊兩乘圜角等題言所乘之甲丙丁己兩圜分亦等
  論曰乙戊兩角既等而庚辛兩角各倍于乙戊即庚辛自相等【本篇二十】依前論甲丙丁己兩邊亦自相等而甲乙丙與丁戊己兩圜分亦等【本篇廿四】今于相等圜減相等圜分則所存甲丙丁己兩圜分亦等
  注曰後解極易明蓋庚辛角既各倍于乙戊則依先論甲丙丁己自相等【在心之乘圜角即分圜角隨類異名】
  第二十七題【二支】
  等圜之角所乘圜分等則其角或在心或在界俱等
  先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩
  圜等其心為庚為辛若甲庚丙乘
  圜角所乘之甲丙分與丁辛己所乘之丁己分等題言甲庚丙丁辛己兩角等
  論曰如云不然而庚大于辛令作甲庚壬角與丁辛己角等即甲壬圜分宜與丁己圜分等【本篇廿六】而甲丙與丁己元等則甲壬與甲丙亦等乎
  後解在界者曰甲丙丁己兩圜分等題言其上乙戊兩角亦等
  論曰如云不然而乙大于戊令作甲乙壬角與戊角等其甲乙壬與丁戊己若等即所乘之甲壬丁己宜等【本篇廿六】而甲丙與丁己元等則甲壬與甲丙亦等乎增題從此推顯兩直線不相交而在一圜之内若兩線界相去之圜分等則兩線必平行若兩線平行則兩線界相去
  之圜分等
  先解曰甲乙丙丁圜内有甲丁乙丙兩線其相去之甲乙丁丙兩圜分等題言兩線必平行
  論曰試自甲至丙作直線相聯其甲乙丁丙既等即甲丙乙與丙甲丁兩乘圜角亦等【本題】既内相對之兩角等即兩線必平行【一卷廿七】
  後解曰甲丁乙丙為平行線題言甲乙丁丙兩圜分必等
  論曰試作甲丙線其甲丁乙丙既平行
  即内相對之兩角甲丙乙丙甲丁必等【一卷廿七】而所乘圜分甲乙丁丙亦等【本篇廿六】
  第二十八題
  等圜内之直線等則其割本圜之分大與大小與小各等
  解曰甲乙丙丁戊己兩圜等其心為庚為辛圜内有甲丙丁己兩直線等題言甲乙丙與丁戊己兩大分甲丙與丁己兩小分各等
  論曰試于甲庚庚丙丁辛辛己各作直線其甲庚丙角形之甲丙與丁辛己角形之
  丁己兩底既等而甲庚庚丙兩腰與丁辛辛己兩腰又等即庚辛兩角亦等【一卷八】其所乘之甲丙丁己兩小分必等【本篇廿六】次減相等之甲丙丁己兩小分則所存甲乙丙丁戊己兩大分亦等
  第二十九題
  等圜之圜分等則其割圜分之直線亦等
  解曰依前題兩圜之甲乙丙丁戊
  己兩圜分等而甲丙丁己兩圜分
  亦等題言甲丙丁己兩線必等
  論曰依前題作四線其甲庚丙角形之甲庚庚丙兩腰與丁辛己角形之丁辛辛己兩腰等而庚辛兩角所乘之甲丙丁己兩圜分等即庚辛兩角亦等【本篇廿七】而對等角之甲丙丁己兩線必等【一卷四】
  注曰第二十六至二十九四題所說俱等圜其在同圜亦依此論
  第三十題
  有圜之分求兩平分之
  法曰甲乙丙圜分求兩平分先于分之兩界作甲丙線次兩平分于丁從丁作乙丁為甲丙之垂線即乙丁分甲乙丙圜分為
  兩平分
  論曰從乙作乙甲乙丙兩線其甲乙丁角形之甲丁與丙乙丁角形之丙丁兩腰等丁乙同腰而甲丁乙與丙丁乙兩直角又等即對直角之甲乙乙丙兩底亦等【一卷四】而甲乙與乙丙兩圜分亦等【本篇十八】則甲乙丙圜界兩平分于乙矣
  第三十一題【五支】
  負半圜角必直角負大分角小于直角負小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角負甲乙丙半圜分乙甲丙角負乙甲丙
  大分又任作乙戊丙角負乙戊丙小分題先言負半圜之甲乙丙為直角二言負大分之乙甲丙角小于直角三言負小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙甲大圜分角大于直角後言丙乙戊小圜分角小于直角
  先論曰試作乙丁線次以甲乙線引長之至已其丁乙丁甲兩線等即丁乙甲丁甲乙兩角等【一卷五】依顯丁乙丙丁丙乙兩角亦等而甲乙丙全角與乙甲丙甲丙乙兩角并等又己乙丙外角亦與相對之乙甲丙甲丙乙兩内角并等【一卷卅二】則己乙丙與甲乙丙等為直角
  二論曰甲乙丙角形之甲乙丙既為直角則乙甲丙小于直角【一卷十七】
  三論曰甲乙戊丙四邊形在圜之内其乙甲丙乙戊丙相對兩角并等兩直角【本篇廿二】而乙甲丙小于直角則乙戊丙大于直角
  四論曰甲乙丙直角為丙乙甲大圜分角之分則大于直角
  後論曰丙乙戊小圜分角為己乙丙直角之分則小于直角
  此題别有四解四論先解曰甲乙丙半圜其心丁其上任作甲乙丙角題言此為直角論曰試作乙丁線其丁乙丁甲兩線既等即
  丁乙甲丁甲乙兩角亦等【一卷五】而乙丁丙外角既與丁乙甲丁甲乙相對之兩内角并等【一卷卅二】即倍大于丁乙甲角依顯乙丁甲外角亦倍大于丁乙丙角即乙丁甲乙丁丙兩角并亦倍大于甲乙丙角夫乙丁甲乙丁丙并等兩直角【一卷十三】則甲乙丙為直角二解曰甲乙丙大圜分其心丁任作甲乙丙角題言此小于直角
  論曰試作甲丁戊徑線次作乙戊線相聯
  其甲乙戊既為直角【本題一論】即甲乙丙為其分而小于直角
  三解曰甲乙丙小圜分其心丁任作甲乙丙角題言此大于直角
  論曰試作甲丁戊徑線而引乙丙圜界至
  戊次作乙戊線其甲乙戊既負半圜之直角而為甲乙丙角之分則甲乙丙大于直角
  四五合解曰甲乙丙大圜分丙丁甲小圜分其心戊題言丙甲乙大圜分角大于直角丙甲丁小圜分角
  小于直角
  論曰試作乙戊丙徑線次作乙甲線引長之至己其乙甲丙直角為丙甲乙大
  圜分角之分而丙甲丁小圜分角又為己甲丙直角之分則大分角大于直角小分角小于直角
  一系凡角形之内一角與兩角并等其一角必直角何者其外角與内相對之兩角等則與外角等之内交角豈非直角
  二系大分之角大于直角小分之角小于直角終無有角等于直角又從小過大從大過小非大即小終無相等依此題四五論甚明與本篇十六題增注互相發也
  第三十二題
  直線切圜從切界任作直線割圜為兩分分内各任為負圜角其切線與割線所作兩角與兩負圜角交互相等
  解曰甲乙線切丙丁戊圜于丙從丙任作丙戊直線割圜為兩分兩分内任作丙丁戊丙庚戊兩負圜角題言甲丙戊角與丙庚戊角乙丙戊角與丙丁戊角交互相等
  先論割圜線過心者曰如前圖甲丙戊乙丙戊兩皆直角【一卷十八】而丙庚戊丙丁戊兩負半圜角亦皆直角【本篇卅一】則交互相等後論割圜線不過心者曰如後圖試作丙己過心直線次作戊己線相聯其己丙為甲乙之垂線【一卷十八】而丙戊己為直角【本篇卅一】即戊丙己戊己丙兩角并等于一直角亦
  等于甲丙己角矣此兩率者各減同用之戊丙己角即所存戊己丙與甲丙戊等也夫戊己丙與丙庚戊元等【本卷廿一】則甲丙戊與丙庚戊交互相等又丙丁戊庚四邊形之丙丁戊丙庚戊兩對角并等兩直角【本篇廿二】而甲丙戊乙丙戊兩交角亦等兩直角【一卷十三】此二率者各減一相等之甲丙戊丙庚戊則所存丙丁戊乙丙戊亦交互相等
  第三十三題
  一線上求作圜分而負圜分角與所設直線角等先法曰設甲乙線丙角求線上作圜分而負圜分角與丙等其丙角或直或鋭或鈍若直角先以甲乙兩平分于丁次以丁為心甲乙
  為界作半圜圜分内作甲戊乙角即負半圜角為直角【本篇卅一】如所求
  次法曰若設丙鋭角先于甲點上作丁甲乙鋭角與丙等次作戊甲為甲丁之垂線于甲乙之上次作己乙甲角與己甲乙角等而乙己線與甲戊線遇于己
  即己乙己甲兩線等【一卷六】末以己為心甲為界作甲庚圜必過乙即甲庚乙圜分内甲乙線上所作負圜角必為鋭角而與丙等
  論曰試作甲庚乙角其甲己戊線過己心而丁甲又為戊甲之垂線即丁甲線切甲庚乙圜于甲【本篇十六之系】則丁甲乙與甲庚乙兩角交互相等【本篇卅二】如所求後法曰若設辛鈍角依前作壬甲乙鈍角與辛等次作戊甲為壬甲之垂線餘倣第二法而于甲乙線上作甲癸乙等即與辛等
  後論同次
  第三十四題
  設圜求割一分而負圜分角與所設直線角等
  法曰設甲乙丙圜求割一分而負圜分角與丁等先作戊己直線切圜于甲【本篇十七】次作已甲乙角與丁等即割圜之甲乙線上所作甲丙乙角負甲丙乙圜分而與丁等
  何者已甲乙角與丁等亦與甲丙乙交互相等故【本篇卅二】
  第三十五題
  圜内兩直線交而相分各兩分線矩内直角形等解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁兩線交而相分于戊題言甲戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩内直角形等其兩線或俱過心
  或一過心一不過心或俱不過心若俱過心者其各分四線等即兩矩内直角形亦等
  先論曰圜内線獨丙丁過己心者又有二種其一丙丁平分甲乙線于戊即丙戊線在甲乙上為兩直角【本篇三】試作已乙線相聯其丙丁線既兩平分于己又任兩分于戊即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并與等已
  丁之已乙上直角方形等【二卷五】夫已乙上直角方形與已戊戊乙上兩直角方形并等【一卷四七】即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并與已戊戊乙上兩直角方形并亦等矣次每減同用之已戊上直角方形則所存丙戊偕戊丁矩内直角形不與戊乙上直角方形等乎戊乙與甲戊既等即甲戊偕戊乙矩内直角形與丙戊偕戊丁矩内直角形亦等次論曰若丙丁任分甲乙線于戊即以甲乙線兩平分于庚次于庚已已乙各作直線相聯即已庚為甲乙之垂線而成兩直角【本篇三】其丙戊偕戊丁矩内直角形及巳戊上直角方形并與等已丁之已乙上直角方形等【二卷五】而已戊上直角方形與已
  庚庚戊上兩直角方形并等【一卷四七】已乙上直角方形與已庚庚乙上兩直角方形并亦等則丙戊偕戊丁矩内直角形及已庚庚戊上兩直角方形并與已庚庚乙上兩直角方形并等次每減同用之已庚上直角方形即所存丙戊偕戊丁矩内直角形及庚戊上直角方形不與庚乙上直角方形等乎夫甲戊偕戊乙矩内直角形及庚戊上直角方形并亦與庚乙上直角方形等【二卷五】此二相等率者每減同用之庚戊上直角方形則丙戊偕戊丁與甲戊偕戊乙兩矩内直角形等矣
  後論曰圜内兩線俱不過心者又有二種或一線平分或兩俱任分皆從已心與戊相聨作直線引長之為庚辛線依上論甲戊偕戊乙矩内直角形不論甲乙線平分任分皆與過心之庚戊偕戊辛矩内直角形等又依上論丙戊偕戊丁矩内直角形
  不論丙丁線平分任分亦與過心之庚戊偕戊辛矩内直角形等則甲戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩内直角形等
  第三十六題
  圜外任取一點從點出兩直線一切圜一割圜其割圜之全線偕規外線矩内直角形與切圜線上直角方形等
  解曰甲乙丙圜外任取丁點從丁作丁乙線切圜于乙【本篇十七】作丁甲線截圜界于丙題言甲丁偕丙丁矩内直角形與丁乙上直角方形等
  先論丁甲過戊心者曰試作乙戊線為丁乙之垂線【本篇十八】其甲丙線平分于戊又引出一丙丁線即甲丁偕丙丁矩内直角形
  及等戊丙之戊乙上直角方形并與戊丁上直角方形等【二卷六】而戊丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等【一卷四七】即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊乙上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等此兩率者每減同用之戊乙上直角方形則所存甲丁偕丙丁矩内直角形與丁乙上直角方形等
  後論丁甲不過戊心者曰試
  以甲丙線兩平分于已次從
  戊心作戊已戊丙戊丁戊乙
  四線即戊乙為丁乙之垂線【本篇十八】戊已為甲丙之垂線【本篇三】其甲丙線既兩平分于已又引出一丙丁線即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙上直角方形并與已丁上直角方形等【二卷六】次每加一戊已上直角方形即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙戊已上兩直角方形并與己丁戊己上兩直角方形并等夫己丙戊己上兩直角方形并與等戊丙之戊
  乙上直角方形等【一卷四七】而戊丁上直角方形與己丁戊己上兩直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形與戊丁上直角方形等矣又戊丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并與戊乙丁乙上兩直角方形并等次每減同用之戊乙上直角方形則所存甲丁偕丁丙矩内直角形與
  丁乙上直角方形等
  一系若從圜外一點作數線至規内各全線偕規外線矩内直角形俱等如從甲作
  甲丙甲丁甲戊各線截圜界于己于庚于辛其甲丙偕己甲甲丁偕庚甲甲戊偕辛甲各矩内直角形俱等何者試作甲乙切圜線則各矩線内直角形與甲乙上直角方形俱等故【本題】
  二系從圜外一點作兩直線切圜此兩線等如甲點作甲乙甲丙兩切圜線即甲丙與甲乙等何者試從甲作甲丁線截圜界
  于戊其甲乙甲丙上兩直角方形各與甲丁偕甲戊矩内直角形等【本題】則此兩直角方形自相等
  三系從圜外一點止可作兩直線切圜若言從甲既作甲乙甲丙兩線切圜又可作甲丁線亦切圜令從戊心作戊乙戊丁兩
  線即甲乙戊為直角而甲丁戊亦宜等為直角【本篇十八】試作甲戊直線則甲乙戊角形内有甲丁戊角應大于甲乙戊角【一卷廿一】安得為直角也又甲乙甲丁若俱切圜即兩線宜等【本題二系】試作甲戊線截圜于己則甲丁為近己線甚小當小于遠己之甲乙線【本篇八】又安得相等也故一點上止可作切圜線兩也
  第三十七題
  圜外任于一點出兩直線一至規外一割圜至規内而割圜全線偕割圜之規外線矩内直角形與至規外之線上直角方形等則至規外之線必切圜
  解曰甲乙丙圜其心戊從丁點作丁乙至規外之線遇圜界于乙又作丁甲割圜至規内之線而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内直角形與丁乙上直角方形等題言丁乙為切圜線論曰試從丁作丁己線切圜于己【本篇十七】次作戊乙戊己兩線相聯若丁甲不過戊心者又作丁戊直線其丁己上直角方形與丁甲偕丁丙矩内直角形等【本篇卅六】而丁乙
  上直角方形與丁甲偕丁丙矩内直角形亦等則丁乙丁己上兩直角方形自相等而丁乙丁己兩線亦等夫丁乙戊角形之丁乙乙戊與丁己戊角形之丁己己戊各兩腰等丁戊同底即兩角形之三角各等【一卷八】而對丁戊底之丁己戊為直角【本篇十八】即丁乙戊亦直角故丁乙為切圜線【本篇十六之系】

  幾何原本卷三
  欽定四庫全書
  幾何原本卷四之首
  西洋利瑪竇譯
  界說七則
  第一界
  直線形居他直線形内而此形之各角切他形之各邊為形内切形
  此卷將論切形在圜之内外及作圜在形之内外故解形之切在形内及切在形外者先以直線形為例如前圖丁戊己角形之丁戊己三角切甲乙丙角形之甲乙乙丙丙甲三邊則丁戊己為甲乙丙之形内切形如後圖癸子丑角形雖癸子兩角切庚辛壬角形之庚辛壬庚兩邊而丑角不切辛壬邊
  則癸子丑不可謂庚辛壬之形内切形
  第二界
  一直線形居他直線形外而此形之各邊切他形之各角為形外切形
  如第一界圖甲乙丙為丁己戊之形外切形 其餘各形倣此二例
  第三界
  直線形之各角切圜之界為圜内切形
  甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙是也
  第四界
  直線形之各邊切圜之界為圜外切形
  甲乙丙形之三邊切圜界于丁于己于戊是也
  第五界
  圜之界切直線形之各邊為形内切圜
  同第四界圖
  第六界
  圜之界切直線形之各角為形外切圜
  同第三界圖
  第七界
  直線之兩界各抵圜界為合圜線
  甲乙線兩界各抵甲乙丙圜之界為合圜線若丙抵圜而丁不至及戊之兩俱不至不為合圜線


  幾何原本卷四之首
  欽定四庫全書
  幾何原本卷四
  西洋利瑪竇撰
  第一題
  有圜求作合圜線與所設線等此設線不大于圜之徑線法曰甲乙丙圜求作合線與所設丁線等其丁線不大于圜之徑線【徑為圜内之最大線更大不可合見三卷十五】先作甲乙圜徑為乙丙若乙丙與
  丁等者即是合線若丁小于徑者即于乙丙上截取乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙合線即與丁等何者甲乙與乙戊等則與丁等
  第二題
  有圜求作圜内三角切形與所設三角形等角
  法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先作庚辛線切圜于甲【三卷十七】次作庚甲乙角與設形之己角等次作辛甲丙角與設形之戊角等末作乙丙線即圜内三角切形與所設丁戊己形等角論曰甲丙乙與庚甲乙兩角等甲乙丙與
  辛甲丙兩角亦等【三卷卅二】而庚甲乙辛甲丙兩角既與所設己戊兩角各等即甲丙乙甲乙丙亦與己戊各等而乙甲丙必與丁等【一卷卅二】則三角俱等
  第三題
  有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角
  法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先于戊己一邊引長之為庚辛次于圜界抵心作甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚等次作乙壬丙角與丁己辛等末于甲乙丙上作
  癸子子丑丑癸三垂線此三線各切圜于甲于乙于丙【三卷十六之系】而相遇于子于丑于癸【若作甲丙線郎癸甲丙癸丙甲兩角小于兩直角而子癸丑癸兩線必相遇餘二倣此】此癸子丑三角與所設丁戊己三角各等
  論曰甲壬乙子四邊形之四角與四直角等【一卷卅二題内】而壬甲子壬乙子兩為直角即甲壬乙甲子乙兩角并等兩直角彼丁戊
  庚丁戊己兩角并亦等兩直角【一卷十三】此二等率者每减一相等之丁戊庚甲壬乙則所存丁戊己與甲子乙等依顯丑角與丁己戊等則癸與丁亦等【一卷卅二】而癸子丑與丁戊己兩形之各三角俱等
  第四題
  三角形求作形内切圜
  法曰甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各兩平分之【一卷九】作乙丁丙丁兩直線相遇于丁次自丁至角形之三邊各作垂線為丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形
  之丁戊乙丁乙戊兩角與乙丁己角形之丁己乙丁乙己兩角各等乙丁同邊即丁戊丁己兩邊亦等【一卷廿六】依顯丁丙己角形與丁庚丙角形之丁己丁庚兩邊亦等即丁戊丁己丁庚三線俱等末作圜以丁為心戊為界即過庚己為戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邊于戊于己于庚【三卷十六之系】此為形内切圜
  第五題
  三角形求作形外切圜
  法曰甲乙丙角形求作形外切圜先平分兩邊【若形是直角鈍角則分直角鈍角之兩旁邊】于丁于戊次于丁戊上各作垂線為己丁己戊而相遇于己【若自丁至戊作直線即己丁戊角形之己丁戊己戊丁兩角小于兩直角故丁己戊己兩線必相遇】其己點或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三線或在乙丙邊上止作己甲線其甲丁己角形之甲丁與乙丁己角形之乙丁兩腰等丁己同腰而丁之兩旁角俱直角即甲己己乙兩底必等【一卷四】依顯甲己戊丙己戊兩形之甲己己丙兩底亦等則己甲己乙己丙三線俱等末作圜以己為心甲
  為界必切丙乙而為角形之形外切圜
  一系若圜心在三角形内即三角形為銳角形何者每角在圜大分之上故若在一邊之上即為直角形若在形外即為鈍角形
  二系若三角形為銳角形即圜心必在形内若直角形必在一邊之上若鈍角形必在形外
  增從此推得一法任設三點不在一直線可作一過三點之圜其法先以三點作三直線相聯成三角形次依前作
  其同法甲乙丙三點先以甲乙兩點
  各自為心相向各任作圜分令兩圜
  分相交于丁于戊次甲丙兩點亦如
  之令兩圜分相交于己于庚末作丁
  戊己庚兩線各引長之令相交于辛即辛為圜之心 論見三卷二十五增
  第六題
  有圜求作内切圜直角方形
  法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交于
  戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四線即甲乙丙丁為内切圜直角方形
  論曰甲乙戊角形之甲戊與乙戊丙角形之戊丙兩腰等乙戊同腰而腰間角兩為直角即其底甲乙乙丙等【一卷四】依顯乙丙丙丁亦等則四邊形之四邊俱等而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上又皆直角【三卷卅一】是為内切圜直角方形
  第七題
  有圜求作外切圜直角方形
  法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切圜直角方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四線為兩
  徑之垂線而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛為外切圜直角方形
  論曰甲戊乙己乙戊既皆直角即己辛甲丙平行【一卷廿八】依顯甲丙庚壬亦平行則己庚辛壬亦平行【一卷三十】又甲丙辛己既直角形即甲丙己辛必等【一卷卅四】而甲丙辛甲己辛兩角亦等甲丙辛既直角即甲己辛亦直角依顯庚壬辛亦直角而辛壬壬庚庚己三邊俱等于甲丙乙丁兩徑既四邊俱等于兩徑則己庚壬辛為直角方形而四邊各切圜【三卷十六之系】
  第八題
  直角方形求作形内切圜
  法曰甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邊各兩平分于戊于己于庚于辛而作
  辛己戊庚兩線交于壬其甲丁與乙丙既平行相等即半減線之甲辛乙己亦平行相等而甲乙與辛己亦平行相等【一卷卅三】依顯丁丙與辛己亦平行相等甲丁乙丙戊庚俱平行相等而甲壬乙
  壬丙壬丁壬四俱直角形壬戊壬己壬庚壬辛四線與甲辛戊乙丁辛甲戊四線各等夫甲辛戊乙丁辛甲戊各為等線之半即與之等者壬戊壬己壬庚壬辛亦自相等次作圜以壬為心戊為界必過己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邊【三卷十六】是為形内切圜第九題
  直角方形求作形外切圜
  法曰甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作對角兩線為甲丙乙丁而交于戊其甲乙丁
  角形之甲乙甲丁兩腰等即甲乙丁甲丁乙兩角亦等【一卷五】而乙甲丁為直角即甲乙丁甲丁乙俱半直角【一卷卅二】依顯丙乙丁丙丁乙亦俱半直角而四角俱等又戊甲丁戊丁甲兩角等即戊甲戊丁兩邊亦等【一卷六】依顯戊甲戊乙兩邊亦等而戊乙戊丙兩邊戊丙戊丁兩邊各等次作圜以戊為心甲為界必過乙丙丁而為形外切圜
  第十題
  求作兩邊等三角形而底上兩角各倍大于腰間角法曰先任作甲乙線次分之于丙其分法須甲乙偕丙乙矩内直角形與甲丙上直角方形等【二卷十一】次以甲為心乙為界作乙
  丁圜次作乙丁合圜線與甲丙等【本篇一】末作甲丁線相聯其甲乙甲丁等即甲乙丁為兩邊等角形而甲乙丁甲丁乙兩角各倍大于甲角
  論曰試作丙丁線而甲丙丁角形外作甲丙丁切圜【本篇五】其甲乙偕丙乙矩内直角形與甲丙上直角方形等即亦與至規外之乙丁上直角方形等而乙丁線切甲丙丁圜于丁【三卷卅七】即乙丁切線偕丁丙割線所作乙丁丙角與負丁甲丙圜分之甲角交互相等【三卷卅二】此二率者每加一丙丁甲角即甲丁乙全角與丙甲丁丙丁甲兩角并等夫乙丙丁外角亦與丙甲丁丙丁甲相對之兩内角等【一卷卅二】即乙丙丁角與甲丁乙全角等而與相等之甲乙丁亦等丙丁與乙丁兩線亦等【一卷六】夫乙丁元與甲丙等即丙丁與甲丙亦等丙甲丁丙丁甲兩角亦等而甲角既與乙丁丙角等即乙丁丙與丙丁甲兩角亦等是甲丁乙倍大于丙丁甲必倍大于相等之甲角也而相等之甲乙丁亦倍大于甲也
  第十一題
  有圜求作圜内五邊切形其形等邊等角
  法曰甲乙丙丁戊圜求作五邊内切圜形等邊等角先作己庚辛兩邊等角形而庚辛兩角各倍大于己角【本篇十】次于圜内作甲丙丁角形與己庚辛角形各等角【本篇二】
  次以甲丙丁甲丁丙兩角各兩平分【一卷九】作丙戊丁乙兩線末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聯即甲乙丙丁戊為五邊内切圜形而五邊五角俱自相等
  論曰甲丙丁甲丁丙兩角皆倍大于丙甲丁角而兩角又平分即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等而五角所乘之甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五圜分亦等【三卷廿六】即甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線亦等【三卷廿九】是五邊形之五邊等又甲乙戊丁兩圜分等而各加一乙丙丁圜分即甲乙丙丁與戊丁丙乙兩圜分等乘兩圜分之甲戊丁乙甲戊兩角亦等依顯餘三角與兩角俱等是五邊形之五角等
  第十二題
  有圜求作圜外五邊切形其形等邊等角
  法曰甲乙丙丁戊圜求作五邊外切圜形等邊等角先作圜内甲乙丙丁戊五邊等邊等角切形【本篇十一】次從己心作己甲己乙
  己丙己丁己戊五線次從此五線作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五埀線相遇于庚于辛于壬于癸于子【庚戊甲庚甲戊兩角小于兩直角故甲庚戊庚線必相遇餘四倣此】五埀線既切圜【三卷十六】即成外切圜五邊形而等邊等角
  論曰試從己心作己庚己辛己壬己癸己子五線其己甲甲辛上兩直角方形己乙乙辛上兩直角方形之兩并各與己辛上直角方形等【一卷四七】即兩并自相等此兩并率者每減一相等之甲己己乙上直角方形即所存甲辛辛乙上兩直角方形等則甲辛辛乙兩線等也又甲己辛角形之甲己與乙己辛角形之乙己兩腰等己辛同腰而甲辛辛乙兩底又等即甲己辛辛己乙兩角等【一卷八】而甲辛己乙辛己兩角亦等【一卷四】則甲己乙角倍大于辛己乙角也依顯乙己丙角亦倍大于乙己壬角乙壬丙角亦倍大于乙壬己角也又甲己乙乙己丙兩角乘甲乙乙丙相等之兩圜分【線等故圜分等見三卷廿八】即兩角自相等【三卷廿七】半減之辛己乙乙己壬兩角亦等 乙己辛角形之乙己辛辛乙己兩角與乙己壬角形之乙己壬壬乙己兩角各等而乙己同邊是辛乙乙壬兩邊亦等也【一卷廿六】乙辛己乙壬己兩角亦等也則辛壬線倍大于辛乙線也依顯庚辛線亦倍大于辛甲線也前己顯甲辛辛乙兩線等則倍大之庚辛辛壬兩線亦等也依顯壬癸癸子子庚與庚辛
  辛壬俱等也是為庚辛壬癸子形之五邊等又依前所顯乙辛己與乙壬己兩角等是乙辛甲之減半角與乙壬丙之減半角等即倍大之乙辛甲與乙壬丙亦等也依顯辛壬癸壬癸子癸子庚子庚辛與庚辛壬俱等也是為庚辛壬癸子形之五角等
  第十三題
  五邊等邊等角形求作形内切圜
  法曰甲乙丙丁戊五邊等邊等角形求作内切圜先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分【一卷九】其線為己甲己乙而相遇于己【己甲乙己乙甲兩角小于兩直角故己甲己乙兩線必相遇】自己作己丙己丁己戊三線其甲己乙角形之甲乙腰與乙己丙角形之乙
  丙腰等乙己同腰而兩腰間之甲乙己丙乙己兩角等即甲己己丙兩底亦等乙甲己乙丙己兩角亦等【一卷四】又乙甲戊與乙丙丁兩角等而乙甲己為乙甲戊之半即乙丙己亦乙丙丁之半則乙丙丁角亦兩平分于己丙線矣依顯丙丁戊丁戊甲兩角亦兩平分于己丁己戊兩線矣次從己向各邊作己庚己辛己壬己癸己子五埀線其甲己庚角形之己甲庚己庚甲兩角與甲己子
  角形之己甲子己子甲兩角各等甲己同邊即兩形必等【一卷廿六】己子與己庚兩線亦等依顯己辛己壬己癸三埀線與己庚己子兩埀線俱等末作圜以己為心庚為界必過辛壬癸子而為甲乙丙丁戊五邊形之内切圜【三卷十六】
  第十四題
  五邊等邊等角形求作形外切圜
  法曰甲乙丙丁戊五邊等邊等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線為己甲己乙而相遇于己【說見前】次從己作己丙己丁己戊三線依前題論推顯乙丙丁
  丙丁戊丁戊甲三角各兩平分于己丙己丁己戊三線夫五角既等即其半減之角亦等而甲乙己角形之己甲乙己乙甲兩角等即甲己與己乙兩線亦等【一卷六】依顯己丙己丁己戊三線與己甲己乙俱等末作圜以己為心甲為界必過乙丙丁戊而為甲乙丙丁戊五邊形之外切圜
  第十五題
  有圜求作圜内六邊切形其形等邊等角
  法曰甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邊内切圜形等邊等角先作甲丁徑線次以丁為心庚為界作圜兩圜相交于丙于戊次從庚心作丙庚戊庚兩線各引長之為丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相
  聨即成甲乙丙丁戊己内切圜六邊形而等邊等角論曰庚丙庚丁兩線等而丁丙與丁庚亦等【依圜界說】三邊俱等即庚丙丁為平邊角形而庚丁丙丁丙庚丙庚丁三角俱等【一卷五】此三角元與兩直角等【一卷卅二】即每角為兩直角三分之一而丙庚丁角為兩直角三分之一也依顯丁庚戊角亦兩直角三分之一而丙庚丁丁庚戊戊庚己三角又等于兩直角【一卷十三】即戊庚己角亦兩直角三分之一矣則丙庚丁丁庚戊戊庚己三角亦自相等而此三角與己庚甲甲庚乙乙庚丙三角亦等【一卷十五】是輳庚心之六角俱自相等而所乘之六圜分【三卷廿六】及甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線俱自相等【三卷廿九】則甲乙丙丁戊己形之六邊等乂乙丙與甲己兩圜分等而各加一丙丁戊己圜分即乙丙丁戊己與甲己戊丁丙兩圜分等而所乘之乙甲己與甲乙丙兩角等【三卷廿七】依顯乙丙丁丙丁戊丁戊己戊己甲四角與乙甲己甲乙丙兩角俱等則甲乙丙丁戊己形之六角等
  一系凡圜之半徑為六分圜之一之分弦何者庚丁與丁丙等故故一開規為圜不動而可六平分之二系依前十二十三十四題可作六邊等邊等角形在圜之外又六邊等邊等角形内可作切圜又六邊等邊等角形外可作切圜
  第十六題
  有圜求作圜内十五邊切形其形等邊等角
  法曰甲乙丙圜求作十五邊内切圜形等邊等角先作甲乙丙内切圜平邊三角形與丁等角【本篇二】即三邊等而甲乙乙丙丙甲三圜分亦等【三卷廿八】夫甲乙丙圜十正分之則甲乙三分圜之一當為十五分之五
  次從甲作甲戊己庚辛内切圜五邊形等角【本篇十一】即甲戊戊己己庚庚辛辛甲五圜分等【三卷廿八】夫甲乙丙圜十五分之則甲戊五分圜之一當為十五分之三而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分兩平分于壬【三卷卅】則壬乙得十五分之一次作壬乙線依壬乙共作十五合圜線【本篇一】則成十五邊等邊形而十五角所乘之圜分等即各角亦等【三卷廿七】
  一系依前十二十三十四題可作外切圜十五邊
  形又十五邊形内可作切圜又十五邊
  形外可作切圜
  注曰依此法可設一法作無量數形
 


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