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九章算术 晋 刘徽注 唐 李淳风注释

九章算术 晋 刘徽注 唐 李淳风注释
  御製題九章算術【有序】
  是書雖為晉劉徽注而其名則始見於唐書蓋自李淳風注釋義遂大顯北宋時人罕習者漸以湮晦南宋慶元中鮑澣得其本寫入祕閣世亦莫得而見明初編列永樂大典然依韻分排閱者鮮能究其端委則雖存猶亡也兹以校勘四庫全書詞臣於斷簡零篇中裒輯得九篇悉符鮑澣之舊顧鮑本無圖今諸臣按注意補為之雖未能必其盡合皆可因注推演而知則亦未嘗或紊視澣所傳殆有過之無不及矣算法自
  皇祖表章以來可謂大備是書至今始出或亦顯晦有時固有莫知其然而然者乎夫九章昉於周官六藝教於洙泗余雖未習其事要不得謂非學者所當肄業及之者也系詩題識如左
  算術由來非所學不知難強以為知大成廣集欽皇祖  【皇祖講明算法  欽定數理精藴儀象考成等書實足為萬世算學標準】六藝曾論愧
  仲尼分韻笑他割裂者補圖欣此粹完之時為顯晦晦今顯是用摛毫作弁詞


  欽定四庫全書     子部六
  九章算術       天文算法類二【算書之屬】提要
  【臣】等謹案九章算術九卷蓋周禮保氏之遺法不知何人所傳永樂大典引古今事通曰王孝通言周公制禮有九章之名其理幽而微其形祕而約張蒼刪補殘缺校其條目頗與本術不同云云今攷書内有長安上林之名上林苑在武帝時蒼在漢初何緣預載知述是書者在西漢中葉後矣舊本有注題曰劉徽所作攷晉書稱魏景元四年劉徽注九章然注中所引有晉武庫銅斛則徽入晉之後又有增損矣又有注釋題曰李淳風所作攷唐書稱淳風等奉詔注九章算術為算經十書之首國子監置算學生三十人習九章及海島算經共限三歲蓋即是時作也北宋以來其術罕傳自沈括夢溪筆談以外士大夫少留意者書遂幾於散佚至南宋慶元中鮑澣之始得其本於楊忠輔家因傳寫以入秘閣然流傳不廣迨明又亡故二三百年來算數之家均未嘗得睹其全惟分載於永樂大典者依類裒輯尚九篇具在攷鮑澣之後序稱唐以來所傳舊圖至宋已亡又稱盈不足方程之篇咸缺淳風注文今校其所言一一悉合知即慶元之舊本蓋顯於唐晦於宋亡於明而幸逢
  聖代表章之盛復完於今其隱其見若有數默存於其間非偶然矣謹排纂成編併攷訂訛異各附案語於下方其注中指狀表目如朱實青實黄實之類皆就圖中所列而言圖既不存則其注猝不易曉今推尋注意為之補圖以成完帙唐李籍音義一卷亦併附焉算術莫古於九數九數莫古於是書雖新法屢更愈推愈密而窮源探本要百變不離其宗録而傳之固古今算學之弁冕矣乾隆四十九年十月恭校上
  總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
  總校官【臣】陸費墀


  劉徽九章算術注原序
  昔在庖犧氏始畫八卦以通神明之德以類萬物之情作九九之數以合六爻之變暨于黄帝神而化之引而伸之於是建歷紀協律呂用稽道原然後兩儀四象精微之氣可得而效焉記稱隸首作數其詳未之聞也按周公制禮而有九數九數之流則九章是矣往者暴秦焚書經術散壞自時厥後漢北平侯張蒼大司農中丞耿夀昌皆以善算命世蒼等因舊文之遺殘各稱刪補故校其目則與古或異而所論者多近語也徽幼習九章長再詳覽觀陰陽之割裂總算術之根源探賾之暇遂悟其意是以敢竭頑魯采其所見為之作注事類相推各有攸歸故枝條雖分而同本榦者知發其一端而已又所析理以辭解體用圖庶亦約而能周通而不黷覽之者思過半矣且算在六藝古者以賓興賢能教習國子雖曰九數其能窮纎入微探測無方至于以法相傳亦猶規矩度量可得而共非特難為也當今好之者寡故世雖多通才達學而未必能綜于此耳周官大司徒職夏至日中立八尺之表其景尺有五寸謂之日中說云南戴日下萬五千里夫云爾者以術推之按九章立四表望遠及因木望山之術皆端旁互見無有超邈若斯之類然則蒼等為術猶未足以博盡羣數也徽尋九數有重差之名原其指趣乃所以施于此也凡望極高測絶深而兼知其遠者必用重差句股則必以重差為率故曰重差也立兩表于洛陽之城令高八尺南北各盡平地同日度其正中之時以景差為法表高乘表間為實如法而一所得加表高即日去地也以南表之景乘表間為實實如法而一即為從南表至南戴日下也以南戴日下及日去地為句股為之求弦即日去人也以徑寸之筩南望日日滿筩空則定筩之長短以為股率以筩徑為句率日去人之數為大股大股之句即日徑也雖夫圓穹之象猶曰可度又况泰山之高與江海之廣哉徽以為今之史籍且畧舉天地之物攷論厥數載之于心以闡世術之美輒造重差并為注解以究古人之意綴於句股之下度高者重表測深者累矩孤離者三望離而又旁求者四望觸類而長之則雖幽遐詭伏靡所不入博物君子詳而覽焉


  欽定四庫全書
  九章算術卷一     晉 劉 徽 注
  唐 李淳風 注釋
  方田以御田疇界域
  今有田廣十五步從十六步問為田幾何答曰一畝又有田廣十二步從十四步問為田幾何答曰一百六十八步
  方田術曰廣從步數相乘得積步
  此積為田幂凡廣從相乘謂之幂
  淳風等按經云廣從相乘得積步注云廣從相乘謂之幂觀斯注意積幂義同以理推之固不當爾何則幂是四方單布之名積乃衆數聚居之稱循名責實二者全殊雖欲同之竊恐不可今以據言幂者據廣從之一方其言積者舉衆步之都數經云相乘得積步即是都數之明文注云謂之為幂全乖積步之本意此注前云積為田幂于理得通復云謂之為幂繁而不當今者注釋存善去非畧為科簡遺諸後學
  以畝法二百四十步除之即畝數百畝為一頃
  淳風等按此為篇端故特舉頃畝二法餘數不復言者從此可知一畝之田廣十五步從而疏之令為十五行則每行廣一步而從十六步又横而截之令為十六行則每行廣一步而從十五步此即從疏横截之步各自為方凡有二百四十步一畝之地步數正同以此言之則廣從相乘得積步驗以二百四十步者畝法也百畝者頃法也故以除之即得
  今有田廣一里從一里為田幾何答曰三頃七十五畝又有田廣二里從三里問為田幾何答曰二十二頃五十畝
  里田術曰廣從里數相乘得積里以三百七十五乘之即畝數
  按此術廣從里數相乘得積里方里之中有三頃七十五畝故以乘之即得畝數也
  今有十八分之十二問約之得幾何答曰三分之二又有九十一分之四十九問約之得幾何答曰十三分之七
  約分
  按約分者物之數量不可悉全必以分言之分之為數繁則難用設有四分之二者繁而言之亦可為八分之四約而言之則二分之一也雖則異詞至于為數亦同歸爾法實相推動有參差故為術者先治諸分
  術曰可半者半之不可半者副置分母子之數以少減多更相減損求其等也以等數約之
  等數約之即除也其所以相減者皆等數之重疊故以等數約之
  今有三分之一五分之二問合之得幾何答曰十五分之十一
  又有三分之二七分之四九分之五問合之得幾何答曰得一六十三分之五十
  又有二分之一三分之二四分之三五分之四問合之得幾何答曰得二六十分之四十三
  合分
  淳風等按合分知數非一端分無定準諸分子雜互羣母參差麤細既殊理難從一故齊其衆分同其羣母令可相併故曰合分
  術曰母互乘子并以為實母相乘為法
  母互乘子約而言之者其分麤繁而言之者其分細雖則麤細有殊然其實一也衆非錯雜非細不會乘而散之所以通之通之則可并也凡母互乘子謂之齊羣母相乘謂之同同者相與通同共一母也齊者子與母齊勢不可失本數也方以類聚物以羣分數同類者無遠數異類者無近遠而通體知雖異位而相從也近而殊形知雖同列而相違也然則齊同之術要矣錯綜度數動之斯諧其猶佩觿解結無往而不理焉乘以散之約以聚之齊同以通之此其算之綱紀乎其一術者可令母除為率率乘子為齊
  實如法而一不滿法者以法命之
  今欲求其實故齊其子又同其母令如母而一其餘以等數約之即得知所謂同法為母實餘為子皆從此例
  其母同者直相從之
  今有九分之八減其五分之一問餘幾何答曰四十五分之三十一
  又有四分之三減其三分之一問餘幾何答曰十二分之五
  減分
  淳風等按諸分子母數各不同欲知餘幾減餘為實故曰減分
  術曰母互乘子以少減多餘為實母相乘為法實如法而一
  母互乘子者知以齊其子也以少減多者知齊故可相減也母相乘為法者同其母也母同子齊故如母而一即得
  今有八分之五二十五分之十六問孰多多幾何答曰二十五分之十六多多二百分之三
  又有九分之八七分之六問孰多多幾何答曰九分之八多多六十三分之二
  又有二十一分之八五十分之十七問孰多多幾何答曰二十一分之八多多一千五十分之四十三
  課分
  淳風等按分各異名理不齊一較其相近之數故曰課分也
  術曰母互乘子以少減多餘為實母相乘為法實如法而一即相多也
  淳風等按此術母互乘子以少分減多分與減分義同惟相多之數意與減分有異減分知其餘數有幾課分知其餘數相多也
  今有三分之一三分之二四分之三問減多益少各幾何而平答曰減四分之三者二三分之二者一并以益三分之一而各平于十二分之七
  又有二分之一三分之一四分之三問減多益少各幾何而平答曰減三分之二者一四分之三者四并以益二分之一而各平于三十六分之二十三
  平分
  淳風等按平分知諸分參差欲令齊等減彼之多增此之少故曰平分也
  術曰母互乘子
  齊其子也
  副并為平實
  淳風等按母互乘子副并為平實知定此平實主限衆子所當損益知限為平【案此注有舛誤據首問第二數母三第三數母四互乘第一數子一得十二第一數母三第三數母四互乘第二數子二得二十四第一第二數母各三互乘第三數子三得二十七并之共六十三為平實母三三相乘又與四乘得三十六為法列數凡三即以三乘二十得三十六乘二十四得七十二乘二十七得八十一為列實亦以三乘法三十六得一百八平實六十三減列實三十六少二十七減七十二餘九減八十一餘十八約之九為一則十八為二而二十七為三平實六十三為七法一百八為十二命為十二分之七設以十二作三數三分之一則四也三分之二則八也四分之三則九也定平實七立限八減一九減二皆七所減之一二益于四亦七損多益少適如其限宜云定此平實立限如限為平立訛作主如訛作知遂不可通】
  母相乘為法
  母相乘為法知亦齊其子又同其母
  以列數乘未并者各自為列實亦以列數乘法
  此當副并列數為平實若然則重有分故反以列數乘周齊
  淳風等按問云所平之分多少不定或三或二列位無常平三知置位三重平二知置位二重凡此之例一準平分不可豫定多少故直云列數而已
  以平實減列實餘約之為所減并所減以益于少以法命平實各得其平
  今有七人分八錢三分錢之七問人得幾何答曰人得一錢二十一分錢之四
  又有三人三分人之一分六錢三分錢之一四分錢之三問人得幾何答曰人得二錢八分錢之一
  經分
  淳風等按經分者自合分已下皆與諸分相齊此乃直求一人之分以人數分所分故曰經分也
  術曰以人數為法錢數為實實如法而一有分者通之母互乘子知齊其子母相乘者同其母以母通之者分母乘全内子散全則為積分積分則與子相通故可令相通凡數相與者謂之率率知自相與通有分則可散分重疊則約也等除法實相與率也故散分者必令兩分母相乘為法也
  重有分者同而通之
  又以法分母乘實實分母乘法此謂法實俱有分故令分母各乘全分内子又令分母互乘上下
  今有田廣七分步之四從五分步之三問為田幾何答曰三十五分步之十二
  又有田廣九分步之七從十一分步之九問為田幾何答曰十一分步之七
  又有田廣五分步之四從九分步之五問為田幾何答曰九分步之四
  乘分
  淳風等按乘分者分母相乘為法子相乘為實故曰乘分
  術曰母相乘為法子相乘為實實如法而一
  凡實不滿法者而有母子之名若有分以乘其實而長之則亦滿法乃為全耳又以子所乘乘故母當報除報除者實如法而一也今子相乘則母各當報除因令分母相乘而連除也此田有廣從難以廣諭設有問者曰馬二十匹直金十二斤今賣馬二十匹三十五人分之人得幾何答曰三十五分斤之十二其為之也當如經分術以十二斤金為實三十五人為法設更言馬五匹直金三斤今賣馬四匹七人分之人得幾何答曰人得三十五分斤之十二其為之也當齊其金人之數皆合初問入于經分矣然則分子相乘為實者猶齊其金也母相乘為法者猶齊其人也同其母為二十馬無事于同但欲求齊而已又馬五匹直金三斤完全之率分而言之則為一匹直金五分斤之三七人賣四匹馬一人賣七分馬之四分子與人交互相生所從言之異而計術則三術同歸也
  今有田廣三步三分步之一從五步五分步之二問為田幾何答曰十八步
  又有田廣七步四分步之三從十五步九分步之五問為田幾何答曰一百二十步九分步之五
  又有田廣十八步七分步之五從二十三步十一分步之六問為田幾何答曰一畝二百步十一分步之七大廣田
  淳風等按大廣田知初術直有全步而無餘分次術空有餘分而無全步此術先見全步復有餘分可以廣兼三術故曰大廣
  術曰分母各乘其全分子從之
  分母各乘其全分子從子者通全步内分子如此則母子皆為實矣
  相乘為實分母相乘為法
  猶乘分也
  實如法而一
  今為術廣從俱有分當各自通其分命母入者須還出之故令分母相乘為法而連除之
  今有圭田廣十二步正從二十一步問為田幾何答曰一百二十六步
  又有圭田廣五步二分步之一從八步三分步之二問為田幾何答曰二十三步六分步之五
  術曰半廣以乘正從
  半廣知以盈補虚為直田也亦可半正從以乘廣按半廣乘從以取中平之數故廣從相乘為積步畝法除之即得也
  今有斜田一頭廣三十步一頭廣四十二步正從六十四步問為田幾何答曰九畝一百四十四步
  又有斜田正廣六十五步一畔從一百步一畔從七十步步問為田幾何答曰二十三畝七十步
  術曰并兩斜而半之以乘正從若廣又可半正從若廣以乘并畝法而一
  并而半之者以盈補虚也
  今有箕田舌廣二十步踵濶五步正從三十步問為田幾何答曰一畝一百三十五步
  又有箕田舌廣一百一十七步踵廣五十步正從一百三十五步問為田幾何答曰四十六畝二百三十二步半
  術曰并踵舌而半之以乘正從畝法而一
  中分箕田則為兩斜田故其術相似又可并踵舌半正從以乘之
  今有圓田周三十步徑十步
  淳風等按術意以周三徑一為率周三十步合徑十步今依密率合徑九步十一分步之六
  問為田幾何答曰七十五步
  此于徽術當為田七十步一百五十七分步之一百三
  淳風等按依密率為田七十一步二十二分步之一十三
  今有圓田周一百八十一步徑六十步三分步之一淳風等按周三徑一周一百八十一步徑六十步三分步之一依密率徑五十七步二十二分步之一十三
  問為田幾何答曰十一畝九十步十二分步之一此于徽術當為田十畝二百八步三百一十四分步之一百一十三
  淳風等按依密率當為田十畝二百五步八十八分步之八十七
  術曰半周半徑相乘得積步
  按半周為從半徑為廣故廣從相乘為積步也假令圓徑二尺圓中容六觚之一面【案六觚原本訛作六弧攷六角形其平面亦有六八角形其平面亦有八古人謂之六觚八觚若截圓形為六古人謂之觚背具弧即圓周不得云圓中容六弧之一面後或言弧或言觚義各不同原本觚皆訛作弧遂蒙混不可通今並改正】與圓徑之半其數均等合徑率一而外周率三也【案劉徽以周三徑一乃六觚之率圓内容六觚其觚面適為六弧之弦圓周大于六觚之周為六弧背與六弧弦之差其說非圖莫顯今補圖附于後】


  又按為圓以六觚之一面乘一弧半徑【案一弧二字衍當刪】二因而六之【案此句有訛舛當改云三之上衍二因而三字】得十二觚之幂若又割之次以十二觚之一面乘一弧之半面【案一弧之三字亦衍當刪】四因而六之【案此句亦有訛舛當云六之上衍四因而三字】則得二十四觚之幂割之彌細所失彌少割之又割以至于不可割則與圓周合體而無所失矣觚面之外又有餘徑以面乘徑則幂出觚矣若夫觚之細者與圓合體則表無餘徑表無餘徑則幂不外出矣以一面乘半徑觚而裁之每輒自倍故以半周乘半徑而為圓幂此一周徑謂至然之數非周三徑之一率也周三者從其六觚之環耳以推圓規多少之較【案較原本訛作覺今改正】乃弓之與弦也然世傳此法莫肯精覈學者踵古習其謬失不有明據辯之斯難凡物類形象不圓則方方圓之率誠著于近則雖遠可知也由此言之其用博矣謹按圓驗更造密率恐空設法數昧而難譬故置諸檢括謹詳其記注焉
  割六觚以為十二觚術曰置圓徑二尺半之為一尺即圓裏觚之面也【案觚之而原本訛作弦之面後觚之半面訛作弧之半面今改正】令半徑一尺為弦【案原本訛作為弧今改正】半面五寸為句為之求股以句幂二十五寸減弦幂餘七十五寸開方除之下至秒忽又一退法求其微數微數無各知以為分子以下為分母約作五分忽之二故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二【案二秒原本訛作二絲今改正】以減半徑餘一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三謂之小句【案此下原本衍小句知半面五寸之句九字】觚之半面又謂之小股為之求弦其幂二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽餘分棄之【案此句原本訛作全分并之攷弦幂五忽之下尚有一六餘分無所謂全分也當是傳寫舛誤遂不可通後數條皆云餘分棄之令據以改正】開方除之即十二觚之一面也
  割十二觚以為二十四觚術曰亦令半徑為弦半面為句為之求股置上下弦幂四而一得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽餘分棄之即句幂也以減弦幂其餘開方除之得股六寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四以減半徑餘三分四釐七秒四忽五分忽之一謂之小句觚之半面又謂之小股為之求小弦其幂六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽餘分棄之開方除之即二十四觚之一面也
  割二十四觚以為四十八觚術曰亦令半徑為弦半面為句為之求股置上下弦幂四而一得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽餘分棄之即句幂也以減弦幂其餘開方除之得股九寸九分一釐四毫四秒四忽五分忽之四以減半徑餘八釐五毫五秒五忽五分忽之一謂之小句觚之半面又謂之小股為之求小弦其幂七百七十一億一千二十七萬八千八百一十三忽餘分棄之開方除之得小弦一寸三分八毫六忽餘分棄之即四十八觚之一面以半徑一尺乘之又以二十四乘之得幂三萬一千三百九十三億四千四百萬忽以百億除之得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四即九十六觚之幂也
  割四十八觚以為六十六觚術曰亦令半徑為弦半面為句為之求股置次上弦幂四而一得四十二億七千七百五十六萬九千七百三忽餘分棄之即句幂也以減弦幂其餘開方除之得股九寸九分七釐八毫五秒八忽十分忽之九以減半徑餘二釐一毫四秒一忽十分忽之一謂之小句觚之半面又謂之小股為之求小弦其幂四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽餘分棄之開方除之得小弦六分五釐四毫三秒八忽餘分棄之即九十六觚之一面以半徑一尺乘之又以四十八乘之得幂三萬一千四百一十億二千四百萬忽以百億除之得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四即一百九十二觚之幂也以九十六觚之幂減之餘六百二十五分寸之一百五謂之差幂倍之為分寸之二百一十【為分寸者蒙上省文謂六百二十五分寸之二百一十也】即九十六觚之外弧田所謂以弦乘矢之凡幂也【案弧田下原本衍九千六字今刪】加此幂于九十六觚之幂得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九則出圓之表矣故還就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以為圓幂之定率而棄其餘分以半徑一尺除圓幂倍之得六尺二寸分分即周數令徑自乘為方幂四百寸與圓幂相折圓幂得一百五十七為率方幂得二百為率方幂二百其中容圓幂一百五十七也圓率猶為微少按弧田圖令方中容圓圓中容方内方合外之半半然則圓幂一百五十七其中容方幂一百也【案一百原本訛作二百今改正】又令徑二尺與周六尺二寸八分相約周得一百五十七徑得五十則其相與之率也周率猶為微少也晉武庫中漢時王莽作銅斛其銘曰律嘉量斛内方尺而圓其外庣旁九釐五毫幂一百六十二寸深一尺積一千六百二十寸容十斗以此術求之得幂一百六十一尺有奇其數相近矣此術微少而斛差幂六百二十五分寸之一百五以十二觚之幂為率消息當取此分寸之三十六【案取此分寸亦蒙上省文謂六百二十五分寸之三十六也】以增于一百九十二觚之幂以為圓幂三百一十四寸二十五分寸之四置徑自乘之方幂四百寸令與圓幂通相約圓幂三千九百二十七方幂得五千是為率方幂五千中容圓幂三千九百二十七圓幂三千九百二十七中容方幂二千五百也以半徑一尺除圓幂三百一十四寸二十五分寸之四倍之得六尺二寸八分二十五分寸之八即周數也全徑二尺與周數通相約徑得一千二百五十周得三千九百二十七即其相與之率若此者蓋盡其纎微矣舉而用之上法仍約耳當求一千五百三十六觚之一面得三千七十二觚之幂而裁其微分數亦宜然重其驗耳
  淳風等按舊術求圓皆以周三徑一為率若用之求圓周之數則周少徑多用之求其六觚之田乃與此率合會耳何則假令六觚之田觚間各一尺為面自然從角至角其徑二尺可知【案二尺原本訛作一尺今改正】此則周六徑二與周三徑一已合恐此猶為難曉今更引物為喻設令刻物作圭形者六枚枚别三面皆長一尺攢此六物悉使鋭頭向裏則成六觚之周角徑亦皆一尺更從觚角外畔圍繞為規則六觚之徑盡達規矣當面徑短不至外規若以徑言之則為規六尺徑三尺面徑皆一尺【案此三句有舛誤當云若以言觚言之則為周六尺徑二尺面皆一尺言觚二字訛作徑周訛作規二訛作三面字下又衍徑字遂不可通】面徑股不至外畔定無二尺可知故周三徑一之率于圓周乃是徑多周少徑一周三理非精密蓋術從簡要舉大綱畧而言之劉徽特以為疎遂改張其率但周徑相乘數難契合徽雖出斯一法終不能究其纎毫也祖沖之以其不精就中更推其數今者修撰攈摭諸家攷其是非沖之為密故顯之于徽術之下冀學者知所裁焉【案沖之密率較徽率為密其約率較徽率為踈淳風等所稱密率皆約率以之譏徽似誤】
  又術曰周徑相乘四而一
  此周與上觚同耳周徑相乘各當一半而今周徑兩全【案原本兩訛作田今改正】故兩母相乘為四以報除之于徽術以五十乘周一百五十七而一即徑也以一百五十七乘徑五十而一即周也新術徑率猶當微少據周以求徑則失之長據徑以求周則失之短諸據見徑以求幂者皆失之于微少據周以求幂者皆失之于微多
  淳風等按依密率以七乘周二十二而一即徑以二十二乘徑七而一即周依術求之即得
  又術曰徑自相乘三之四而一
  按圓徑自乘為外方三之四而一者是為圓居外方四分之三也若令六觚之一面乘半徑其幂即外方四分之一也因而三之即亦居外方四分之三也是為圓裏十二觚之幂耳取以為圓失之于微少于徽新術當徑自乘又以一百五十七乘之二百而一淳風等按密率令徑自乘以十一乘之十四而一即圓幂也
  又術曰周自乘十二而一
  六觚之周其于圓徑三與一也故六觚之周自相乘為幂若圓徑自乘者九方九方凡為十二觚者十有二故曰十二而一即十二觚之幂也今此令周自乘非但為圓徑自乘者九方而已然則十二而一所得又非十二觚之幂也若欲以為圓幂失之于多矣以六觚之周十二而一可也于徽新術直令圓周自乘又以二十五乘之三百一十四而一得圓幂其率三百一十四者周自乘之幂也置周數六尺二寸八分令自乘得幂三十九萬四千三百八十四分又置圓幂三萬一千四百分皆以一千二百五十六約之得此率
  淳風等按方面自乘即得其積圓周求其幂假率乃通【案假原本訛作股今改正】但此術所求用三一為率圓田正法半周及半徑以相乘今乃用全周自乘故須以十二為母何者據全周而求半周則須以二為法就全周而求半徑復假六以除之是二六相乘除周自乘之數依密率以七乘之八十八而一
  今有田下周三十步徑十六步問為田幾何答曰一百二十步
  今有田下周九十九步徑五十一步問為田幾何答曰五畝二十六步四分步之一
  術曰以徑乘周四而一
  此術不驗故推方錐以見其形假令方錐下方六尺高四尺四尺為股下方之半三尺為句正面邪為弦弦五尺也令句弦相乘【案句弦原本訛作句股今改正】四因之得六十尺即方錐四面見者之幂若令其中容圓錐圓錐見幂與方錐見幂其率猶方幂之與圓幂也【案圓幂原本訛作圓錐今改正】按方錐下六尺則方周二十四尺以五尺乘而半之則亦方錐之見幂故求圓錐之數折徑以乘下周之半即圓錐之幂也今田上徑圓穹而與圓錐同術則幂失之于少矣然其術難用故畧舉大較施之大廣田也求圓錐之幂猶求圓田之幂也今用兩全相乘故以四為法除之【案原本脱四字今補】亦如圓田矣開立圓術說圓方諸率甚備可以驗此
  今有弧田弦三十步矢十五步問為田幾何答曰一畝九十七步半
  又有弧田弦七十八步二分步之一矢十三步九分步之七問為田幾何答曰二畝一百五十五步八十一分步之五十六
  術曰以弦乘矢矢又自乘并之二而一
  方中之圓圓裏十二觚之幂合外方之幂四分之三也方中合外方之半則朱實合外方四分之一也弧田半圓之幂也故依半圓之體而為之術以弦乘矢而半之【案弦原本訛作弧今改正】則為黄幂矢自乘而半之則為二青幂青黄相連【案注文此書舊有圖而缺又上圓田注内亦引弧田圖詳攷其說非圖不顯今補圖于後】為弧體法當用規今觚面不至外畔【案原本訛作令弧而不至外畔今改正】失之于少矣圓舊術以周三徑一為率俱得十二觚之幂【案原本訛作十二弧之弧今改正】亦失之子少也與此相似指驗半圓之幂耳若不滿半圓者益復疎濶宜句股鋸圓材之術以弧弦為鋸道長以矢為句深而求其徑【案此謂弧矢形求圓徑其術以弧弦折半自乘矢除之加矢為圓徑】既知圓徑則弧可割分也割之者半弧田之弦以為股其矢為句為之求弦即小弧之弦也以半小弧之弦為句半圓徑為弦為之求股以減半徑其餘即小弦之矢也割之又割使至極細但舉弦矢相乘之數則必近密率矣然于算數差繁必欲有尋究也若但度田取其大舊術為約耳


  今有環田中周九十二步外周一百二十二步徑五步此欲令與周三徑一之率相應故言徑五步也據中外周以徽術言之當徑四步一百五十七分步之一百二十二也
  淳風等按依密率合徑四步二十二分步之十七
  問為田幾何答曰二畝五十五步
  于徽術當為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三
  淳風等按依密率為田二畝三十步二十二分步之十五
  術曰并中外周而半之以徑乘之為積步
  此田截而中之周則為長【案此處有脱誤當云截齊中外之周周則為長】并而半之知亦以盈補虚也此可令中外周各自為圓田以中圓減外圓餘則環實也
  又有環田中周六十二步四分步之三外周一百一十三步二分步之一徑十二步三分步之二
  此田環而不通匝故徑十二步三分步之二若據上周求徑者此徑失之于多過周三徑一之率蓋為疎矣于徽術當徑八步六百二十八分步之五十一淳風等按依周三徑一攷之合徑八步二十四分步之一十一依密率合徑八步一百七十六分步之一十三
  問為田幾何答曰四畝一百五十六畝四分步之一于徽術當為田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也依周三徑一為田三畝二十五步六十四分步之三十五
  淳風等按密率為田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也
  術曰置中外周步數分母子各居其下【案原本脱母字今據注補】母互乘子通全步内分子【案此句上下皆有脱文當云分母相乘通全步内分子并而半之】以中周減外周餘半之【案此别記術之小異亦有脱文當云又可以中周減外周餘半之以益中周】徑亦通分内子以乘周為實分母相乘為法除之為積步餘積步之分【案此句下有脱文當云餘積步之分等數約之】以畝法除之即畝數也
  按此術并中外周步數于上以分母子置于下母互乘子者為中外周俱有餘分故以互乘齊其子母相乘同其母子齊母同故通全步内分子半之 【二字上有脱文當云并而半之】知以盈補虚得中平之周周則為從徑則為廣故廣從相乘而得其積既合分母還須分母出之故令周徑分母相乘而連除之即得積步不盡以等數除之而命分以畝法除積步得畝數也


  九章算術卷一
  欽定四庫全書
  九章算術卷二     晉 劉 徽 注
  唐 李淳風 注釋
  粟米以御交質變易
  凡此諸率相與大通其時相求各如本率可約者約之别術然也
  粟率五十
  糲米三十
  粺米二十七
  糳米二十四
  御米二十一 【詩大雅鄭箋云米之率糲十粺九糳八侍御七疏云九章粟米之法粟率五十糲米三十粺二十七鑿二十四御二十一言粟五升爲糲米三升已下則米漸細故數益少今攷鑿糳古多通用】小䵂十三半
  大䵂五十四
  糲飯七十五
  粺飯五十四
  糳飯四十八
  御飯四十二
  菽荅麻麥各四十五
  稻六十
  豉六十三
  飧九十
  熟菽一百三半
  糱一百七十五
  今有 【今有即下文稱所有率是也】
  此都術也凡九數以爲篇名可以廣施諸率所謂告往而知來舉一隅而三隅反者也誠能分詭數之紛雜通彼此之否塞因物成率審辨名分平其偏頗齊其参差則終無不歸于此術也
  術曰以所有數乘所求率爲實以所有率爲法
  少者多之始一者數之母故爲率者必等之於一據粟率五糲率三是粟五而爲一糲米三而爲一也欲化粟爲米者糲當先本是一【案下舉粟率五令五為一則此不得云糲當先本是一糲字應改作粟】一者謂以五約之令五而為一也訖乃以三乘之令一而爲三如是則率至于一 【至字誤上云爲率者必等之于一至乃等字之誤】以五為三矣然先除後乘或有餘分故術反之又究言之知粟五升爲糲米三升以分言之知粟一斗為糲米五分斗之三以五為母三為子以粟求糲米者乘其母報除也【案此句有脱誤當云以子乘其母報除也】然則所求之率常為母也
  淳風等按宜云所求之率常為子所有之率常為母今乃云所求之率常為母知脱錯也
  實如法而一
  今有粟一斗欲爲糲米問得幾何答曰爲糲米六升術曰以粟求糲米三之五而一
  淳風等按都術以所求率乘所有數以所有率為法此術以粟求米故粟爲所有數三是米率故三為所求率五為粟率故五為所有率粟率五十米率三十退位求之故惟云三五也
  今有粟二斗一升欲爲粺米問得幾何答曰爲粺米一斗一升五十分升之十七
  術曰以粟求粺米二十七之五十而一
  淳風等按粺米之率二十有七故直以二十七之五十而一也
  今有粟四斗五升欲為糳米問得幾何答曰為糳米二斗一升五分升之三
  術曰以粟求糳米十二之二十五而一
  淳風等按糳米之率二十有四以為率太繁故因而半之半所求之率以乘所有之數所求之率既減半所有之率亦減半是故十二乘之二十五而一也
  今有粟七斗九升欲為御米問得幾何答曰為御米三斗三升五十分升之九
  術曰以粟求御米二十一之五十而一
  今有粟一斗欲為小䵂問得幾何答曰爲小䵂二升一十分升之七
  術曰以粟求小䵂二十七之百而一
  淳風等按小䵂之率十三有半半者二為母以二通之得二十七為所求率又以母二通其粟率得一百為所有率凡本率有分者須即乘除也他皆倣此
  今有粟九斗八升欲為大䵂問得幾何答曰為大䵂一十斗五升二十五分升之二十一
  術曰以粟求大䵂二十七之二十五而一
  淳風等按大䵂之率五十有四因其可半故二十七之亦如粟求糳米半其二率
  今有粟二斗三升欲為糲飯問得幾何答曰爲糲飯三斗四升半
  術曰以粟求糲飯三之二而一
  淳風等按飯之率七十有五粟求糲飯合此此數乘之今以等數二十有五約其二率所求之率得三所有之率得二故以三乘二除
  今有粟三斗六升欲為粺飯問得幾何答曰為粺飯三斗八升二十五分升之二十二
  術曰以粟求粺飯二十七之二十五而一
  淳風等按此術與大䵂多同
  今有粟八斗六升欲為糳飯問得幾何答曰為糳飯八斗二升二十五分升之一十四
  術曰以粟求糳飯二十四之二十五而一
  淳風等按糳飯率四十八此亦半二率而乘除
  今有粟九斗八升欲為御飯問得幾何答曰為御飯八斗二升二十五分升之八
  術曰以粟求御飯二十一之二十五而一
  淳風等按此術半率亦與糳飯多同
  今有粟三斗少半升欲為菽問得幾何答曰為菽二斗七升一十分升之三
  今有粟四斗一升太半升欲為荅問得幾何答曰為荅三斗七升半
  今有粟五斗太半升欲為麻問得幾何答曰為麻四斗五升五分升之三
  今有粟一十斗八升五分升之二欲為麥問得幾何答曰為麥九斗七升二十五分升之一十四
  術曰以粟求菽荅麻麥皆九之十而一
  淳風等按四術率竝四十五【案竝原本訛作并今改正】皆是為粟所求俱合以此率乘其本粟術欲從省先以等數五約之所求之率得九所有之率得十故九乘十除義由于此
  今有粟七斗五升七分升之四欲為稻問得幾何答曰為稻九斗三十五分斗之二十四
  術曰以粟求稻六之五而一
  淳風等按稻率六十六約二率而乘除
  今有粟七斗八升欲為豉問得幾何答曰為豉九斗八升二十五分升之七
  術曰粟求豉六十三之五十而一
  今有粟五斗五升欲為飧問得幾何答曰為飧九斗九升
  術曰以粟求飧九之五而一
  淳風等按飧率九十退位與求稻多同
  今有粟四斗欲為熟菽問得幾何答曰為熟菽八斗二升五分升之四
  術以粟求熟菽二百七之百而一
  淳風等按熟菽之率一百三半半者其母二故以母二通之所求之率既被二乘所有之率随而俱長故以二百七之百而一
  今有粟二斗欲為糱問得幾何答曰為糱七斗
  術曰以粟求糱七之二而一
  淳風等按糱率一百七十有五合以此數乘其本粟術欲從省先以等數二十五約之所求之率得七所有之率得二故七乘二除
  今有糲米十五斗五升五分升之二欲為粟問得幾何答曰為粟二十五斗九斗
  術曰以糲米求粟五之三而一
  淳風等按上術以粟求米故粟為所有數三為所求率五為所有率今此以米求粟故米為所有數五為所求率三為所有率準都術求之各合其數以下所有反求多同皆準此
  今有粺米二斗欲為粟問得幾何答曰為粟斗斗七升二十七分升之一
  術曰以粺米求粟五十之二十七而一
  今有糳米斗求半升欲為粟問得幾何答曰為粟二斗三升三十六分升之七
  術曰以糳米求粟二十五之十二而一
  今有御米十四斗欲為粟問得幾何答曰為粟三十三斗三升少半升
  術曰以御米求粟五十之二十一而一【案原本作二十二而一今改正】今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四欲為粟問得幾何答曰為粟一十斗五升九分升之七
  術曰以稻求粟五之六而一
  今有糲米一十九斗二升七分升之一欲為粺米問得幾何答曰為粺米一十七斗二升一十四分升之一十三
  術曰以糲米求粺九之十而一
  淳風等按粺米率二十七合以此數乘糲米術欲從省先以等數三約之所求之率得九所有之率得十故九乘而十除
  今有糲米六斗四升五分升之三欲為糲飯問得幾何答曰為糲飯一十六斗一升半
  術曰以糲米求糲飯五之二而一
  淳風等按糲飯之率七十有五宜以本糲飯乘以率數【案此句舛誤當云宜以本糲米乘此率】術欲從省先以等數十五約之所求之率得五所有之率得二故五乘二除義由於此
  今有糲飯七斗六升七分升之四欲為飧問得幾何答曰為飧九斗一升三十五分升之三十一
  術曰以糲飯求飧六之五而一
  淳風等按飧率九十為糲飯所求宜以飧乘此率【案此句誤當云宜以糲飯乘此率】術欲從省先以等數十五約之所求之率得六所有之率得五以此故六乘五除也
  今有菽一斗欲為熟菽問得幾何答曰為熟菽二斗三升
  術曰以菽求熟菽二十三之十而一
  淳風等按熟菽之率一百三半 【率原本訛作粟今改正】因其有半各以母二通之宜以熟菽數乘此率【案此句誤當云宜以菽數乘此率衍熟字】術欲從省先以等數九約之所求之率得一十一半所有之率得五也
  今有菽二斗欲為豉問得幾何答曰為豉二斗八升術曰以菽求豉七之五而一
  淳風等按豉率六十三為菽所求宜以豉乘此率【此句誤當云宜以菽乘此率】術欲從省先以等數九約之所求之率得七而所有之率得五也
  今有麥八斗六升七分升之三欲為小䵂問得幾何答曰為小䵂二斗五升一十四分升之一十三
  術曰以麥小䵂三之十而一
  淳風等按小䵂之率十三半宜以母二通之以乘本麥之數術欲從省先以等數九約之所求之率得三所有之率得十也
  今有麥一斗欲為大䵂問得幾何答曰為大䵂一斗二升
  術曰以麥求大䵂六之五而一
  淳風等按大䵂之率五十有四合以大䵂數乘此率【此句誤當云合以麥數乘此率】術欲從省先以等數九約之所求
  之率得六所有之率得五也
  今有出錢一百六十買瓴甓十八枚
  瓴甓甎也
  問枚幾何答曰一枚八錢九分錢之八
  今有出錢一萬三千五百買竹二千三百五十箇問箇幾何答曰一箇五錢四十七分錢之三十五
  經率術曰以所買率為法所出錢數為實實如法得一此術猶經分
  淳風等按今有之義以所求率乘所有數合以瓴甓一枚乘錢一百六十為實【案此句原本脱乘字今補】但以一乘不長故不復乘是以徑將所買之率與所出之錢為法實也又按此今有之義出錢為所有數一枚為所求率所買為所有率而今有之即得所求數【案原本訛作即得所求率今改正】一乘不長故不復乘是以徑將所買之率為法以所出之錢為實實如法得一枚錢不盡者等數而命分
  今有出錢五千七百八十五買漆一斛六斗七升太半升欲斗率之問斗幾何答曰一斗三百四十五錢五百二分錢之一十五
  今有出錢七百二十買縑一匹二丈一尺欲丈率之問丈幾何答曰一丈一百一十八錢六十一分錢之二今有出錢二千三百七十買布九匹二丈七尺欲匹率之問匹幾何答曰一匹二百四十四錢一百二十九分錢之一百二十四
  今有出錢一萬三千六百七十買絲一石二鈞一十七斤欲石率之問石幾何答曰一石八千三百二十六錢一百九十七分錢之百七十八
  術曰以所求率乘錢數為實以所買率為法實如法得一
  淳風等按今有之義錢為所求率物為所有數故以乘錢又以分母乘之為實實如法而一有分者通之所買通分内子為所有率故以為法得錢【案此已上舛誤不可通攷書内列數問淳風等多據首一問為言此當云今有之義一斗為所求率出錢為所有數故以一斗乘錢數有分者通之又以分母乘之為實所買通分内子為所有率故以為法實如法而一得錢】數不盡而命分者因法為母實餘為子實見不滿故以命之
  今有出錢五百七十六買竹七十八箇欲其大小率之問各幾何答曰其四十八箇箇七錢其三十箇箇八錢今有出錢一千一百二十買絲一石二鈞十八斤欲其貴賤斤率之問各幾何答曰其二鈞八斤斤五錢其一石一十斤斤六錢
  今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤石率之問各幾何答曰其一鈞九兩一十二銖石八千五十一錢其一石一鈞二十七斤九兩一十七銖石八千五十二錢
  今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤鈞率之問各幾何答曰其七斤一十兩九銖鈞二千一十二錢其一石二鈞二十斤八兩二十銖鈞二千一十三錢
  今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤斤率之問各幾何答曰其一石二鈞七斤十兩四銖斤六十七錢其二十斤九兩一銖斤六十八錢
  今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤兩率之問各幾何答曰其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖兩四錢其一鈞一十斤五兩四銖兩五錢
  其率術曰各置所買石鈞斤兩以為法以所率乘錢數為實實如法而一不滿法者反以實減法法賤實貴其求石鈞斤兩以積銖各除法實各得其積數餘各為銖其率如欲令差分按出錢五百七十六買竹七十八箇以除錢得七實餘三十是以三十箇復可增一錢然則實餘之數即是貴者之數故曰實貴也本以七十八箇為法今以貴者減之則其餘悉是賤者之數故曰法賤也其求石鈞斤兩以積銖各除法實各得其積數餘各為銖者謂石鈞斤兩積銖除實又以石鈞斤兩積銖除法餘各為銖即合所問
  今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤銖率之問各幾何答曰其一鈞二十斤六兩十一銖五銖一錢其一石一鈞七斤一十二兩一十八銖六銖一錢
  今有出錢六百二十買羽二千一百翭
  翭羽本也數羽稱其本猶數草木稱其根株
  欲其貴賤率之問各幾何答曰其一千一百四十翭三翭一賤其九百六十翭四翭一錢
  今有出錢九百八十買矢榦五千八百二十枚欲其貴賤率之問各幾何答曰其三百枚五枚一錢其五千五百二十枚六枚一錢
  反其率術曰以錢數為法所率為實實如法而一不滿法者反以實減法法少實多二物各以所得多少之數乘法實即物數
  按其率出錢六百二十買羽一千二百翭反之當二百四十錢一錢四翭其三百八十錢一錢三翭【案以上舛誤不可通参攷上注當云按其率錢多物少反之錢少物多出錢六百二十買羽二千一百翭當以除羽得三實餘二百四十是為三翭復可增一翭然則實餘之數即是多者之錢故曰實多本以六百二十錢為法今以多者減之則其餘三百八十悉是少者之錢故曰法少也二百四十錢一錢四翭乘得九百六十其三百八十錢一錢三翭乘得一千一百四十】是錢有二價物有貴賤故以羽乘反二率也
  淳風等按其率者錢多物少反其率知錢少物多多少相反故曰反其率也其率者以物數為法錢數為實反之知以錢數為法物數為實不滿法知實餘也當以餘物化為錢矣法為凡錢而今以化錢減之故以實減法法少知經分之所得故曰法少實多者餘分之所益故曰實多乘實宜以多乘法宜以少故曰各以其所得多少之數乘法實即物數

  九章算術卷二
  欽定四庫全書
  九章算術卷三     晋 劉 徽 注
  唐 李淳風 注釋
  衰分以御貴賤稟税
  術曰各置列衰
  列衰相與率也重疊則可約
  副并為法以所分乘未并者各自為實實如法而一法集而衰别數本一也今以所分乘上别以下集除之一乘一除適相足消故所分猶存且各應率而别也于今有術列衰各為所求率副并為所有率所分為所有數又以經分言之假令甲家三人乙家二人丙家一人并六人共分十二為人得二也欲復作逐家者則當列置人數以一人所得乘之今此術先乘而後除也
  不滿法者以法命之
  今有大夫不更簪褭上造公士凡五人共獵得五鹿欲以爵次之分問各得幾何答曰大夫得一鹿三分鹿之二不更得一鹿三分鹿之一簪褭得一鹿上造得三分鹿之二公士得三分鹿之一
  術曰列置爵數各自為衰
  爵數者謂大夫五不更四簪褭三上造二公士一也墨子號令篇以爵級為賜然則戰國之初有此名也
  副并為法以五鹿乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一鹿衍鹿字攷古算凡以法除實得所求之數多云實如法而一所有率恒為法所求率通所有數恒為實準所有率以剖實取其一為所求數故曰如法而一或變言實如法得某數篇内有云實如法得絲數及得銀數得粟數之類是也一乃該舉得所求之數為言此云得一亦該舉得所求數之辭不知者妄加鹿字得一鹿便不足該舉與後妄加斗字錢字尺字斛字升字作得一斗得一錢得一尺得一斛得一升者皆不可通今竝為之訂正冊去】
  于今有術【案原本脱于字今㨿後注文之例補】列衰各為所求率副并為所有率今有鹿數為所有數而今有之卽得
  今有牛馬羊食人苗苗主責之粟五斗羊主曰我羊食半馬馬主曰我馬食半牛今欲衰償之問各出幾何答曰牛主出二斗八升七分升之四馬主出一斗四升七分升之二羊主出七升七分升之一
  術曰置牛四馬二羊一各自為列衰副并為法以五斗乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一斗乃後人妄加斗字今刪】淳風等按此術問意羊食半馬馬食半牛是謂四羊當一牛二羊當一馬今術置羊一馬二牛四者通其率以為列衰
  今有甲持錢五百六十乙持錢三百五十丙持錢一百八十凡三人俱出關關税百錢欲以錢數多少衰出之問各幾何答曰甲出五十一錢一百九分錢之四十一乙出三十二錢一百九分錢之一十二丙出一十六錢一百九分錢之五十六
  術曰各置錢數為列衰副并為法以百錢乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一錢亦後人妄加錢字今刪】
  淳風等按此術甲乙丙持錢數以為列衰副并爲所有率未并者各為所求率百錢為所有數而今有之即得
  今有女子善織日自倍五日織五尺問日織幾何答曰初日織一寸三十一分寸之十九次日織三寸三十一分寸之七次日織六寸三十一分寸之十四次日織一尺二寸三十一分寸之二十八次日織二尺五寸三十一分寸之二十五
  術曰置一二四八十六為列衰副并為法以五尺乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一尺亦後人妄加尺字今刪】今有北鄉算八千七百五十八西鄉算七千二百三十六南鄉算八千三百五十六凡三鄉發徑三百七十八人欲以算數多少衰出之問各幾何答曰北鄉遣一百三十八人一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百三十七西鄉遣一百一十二人一萬二千一百七十五分人之四千四南鄉遣一百二十九人一萬二千二一百七十五分之之八千七百九
  術曰各置算數為列衰
  淳風等按三鄉算數約可半者為列衰
  副并為法以所發徭人數乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一人亦後人妄加人字今刪】
  按此術今有之義也【案此注有脱誤㨿注文之例當云亦今有之義以列衰各為所求率副并為所有率所發徭人數為所有數而今有之即得】
  今有稟粟大夫不更簪褭上造公士凡五人一十五斗今有大夫一人後來亦當稟五斗倉無粟欲以衰出之問各幾何答曰大夫出一斗四分斗之一不更出一斗簪褭出四分斗之三上造出四分斗之二公士出四分斗之一
  術曰各置所稟粟斛斗數爵次均之以為衰列副并而加後來大夫亦五斗得二十以為法以五斗乘末并者各自為實實如法得一【案原本作得一斗亦後人妄加斗字今刪】
  稟前五人十五斗者大夫得五斗不更得四斗簪褭得三斗上造得二斗公士得一斗欲令五人各依所得粟多少減與後來大夫即與前來大夫同據前來大夫已得五斗故言亦也各以所得斗數為衰并得十五而加後來大夫亦五斗凡二十為法也是為六人共出五斗後來天子亦俱損折于今有術【案原本脱于字今補】副并為所有率未并者各為所求率五斗為所有數而今有之即得
  今有稟粟五斛五人分之欲令三人得三二人得二問各幾何答曰三人人得一斛一斗五升十三分升之五二人人得七斗六升十三分升之十二
  術曰置三人人三二人人二為列衰副并為法以五斛乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一斛亦後人妄加斛字今刪】今有大夫不更簪褭上造公士凡五人共出百錢欲令高爵出少以次漸多問各幾何答曰大夫出八錢一百三十七分錢之一百四不更出一十錢一百三十七分錢之一百三十簪褭出一十四錢一百三十七分錢之八十二上造出二十一錢一百三十七分錢之一百二十三公士出四十三錢一百三十七分錢之一百九反衰術曰列置衰而令相乘動者為不動者哀置爵數各自為衰而反衰之副并為法以百錢乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一錢亦後人妄加錢字今刪】
  以爵次言之大夫五不更四欲令高爵得多者者使大夫愛五分不更一人愛四分人數為母分為子為子同母則子齊齊卽衰也故上衰分宜以五四為列焉今此令高爵出少則當大夫五人共出一人分不更四人共出一人分故謂之反衰人不同則分數不齊當令母互乘子母互乘子則動者為不動者衰也亦可先同其母各以分母約其子為反衰副并為法以所分乘未并者各為實實如法而一
  今有甲持粟三升乙持糲米三升丙持糲飯三升欲令合而分之問各幾何答曰甲二升一十分升之七乙四升一十分升之五丙一升一十分升之八
  術曰以粟率五十糲米率三十糲飯率七十五為衰而反衰之副并為法以九升乘未并者各自為實實如法得一【案原本作得一升亦後人妄加升字今刪】
  按此術三人所持升雖等論其本率精麤不同米率雖少令最得多飯率得多反使得少故令反之使精得多而麤得少于今有術副并為所有率未并者各為所求率九升為所有數而今有之即得
  今有絲一斥價直二百四十今有錢為實定二十八問得絲幾何答曰五斤八兩一十二銖五分銖之四術曰以一斤價數為法以一斤乘今有錢數為實實如法得絲
  按此術亦今有之義以一斤價為所有率一斤為此求率今有錢為所有數而今有之即得
  今有絲一斤價直三百四十五今有絲七兩一十二銖問得錢幾何答曰一百六十一錢三十二分錢之二十三
  術曰以一斤銖為法以一斤價乘七兩一十二銖為實實如法得錢
  按此術亦今有之義以絲一斤銖數為所有率【案原本脱銖字今補】價錢為所求率今有絲為所有數而今有之即得
  今有縑一丈價直一百二十八今有縑一匹九尺五寸問得幾何答曰六百三十三錢五分錢之三
  術曰以一丈寸數為法以價錢數乘今有縑寸數為實實如法得錢數
  淳風等按此術亦今有之義以縑一丈寸數為所有率價錢為所求率今有縑寸數為所有數而今有之即得
  今有布一匹價直一百五十五今有布二丈七尺問得錢幾何答曰八十四錢八分錢之三
  術曰以一匹尺數為法今有布尺數為乘錢為實實如法得錢數
  按此術亦今有之義以一匹尺數為所有率價錢為所求率今有布所有數而今有之即得
  今有素一匹一丈價直六百二十五今有錢五百問得幾何答曰得素一匹
  術曰以價直為法以一匹一丈尺數乘今有錢數為實實如法得素數
  按此術亦今有之義以價錢為所有率以丈尺數為所求率今有錢為所有數而今有之即淂
  今有與人絲一十四斤約淂縑一十斤今與人絲四十斤八兩問得縑幾何答曰三十二斤八兩
  術曰一十四斤兩數為法以十一斤乘今有絲兩為數實實如法得縑數
  按此術亦今有之義以十四斤兩數為所有率以十一斤為所求率今有絲為所有數而今有之即得
  今有絲一斤耕七兩今有絲二十三斤五兩問耗幾何答曰一百六十三兩四銖半
  術以曰以一斤展十六兩為法以七兩乘今有絲數為實實如法得耗數
  按此術亦今有之義以一斤為十六兩為所有率七兩為所求率今有絲為所有數而今有之即得
  今有生絲三十斤乾之耗三斤十二兩今有乾絲一十二斤問生絲幾何答曰一十三斤一十一兩十銖七分銖之二
  術曰置生絲兩數除耗數餘以為法
  餘四百二十兩即乾絲率
  三十斤乘乾絲兩數為實實如法得生絲數
  凡所得率如細則俱細麤則俱麤兩數相抱而已故品物不同如上縑絲之比相與乘為三十斤凡四百八十兩今生絲率四百八十兩今乾絲率四百二十兩則其數相通可俱為銖可俱為兩可俱為斤無所歸滯也若然宜以所有乾絲斤數乘生絲兩數為實今以斤兩錯互而亦同歸者使乾絲以兩數為率生絲以類為率譬之異類亦各有一定之勢
  淳風等按此術置生絲兩數除耗數餘即乾絲之率于今有術為所有率三十斤為所求率乾絲兩數為所有數凡所為率者細則俱細麤則俱麤今有一斤乘兩知乾絲即以兩數為率生絲即以斤數為率譬之異物各有一定之率也
  今有田一畝收粟六升大半升今有田一頃二十六畝一百五十九步問收粟幾何答曰八斛四斗四升一十二分升之五
  術曰以畝二百四十步為法以六升太半升乘今有田積步為實實如法得粟數
  按此術亦今有之義以一畝步數為所有率六升太半升為所求率今有田積步為所有數而今有之即得
  今有取保一歲價錢二千五百今先取一千二百問當作日幾何答曰一百六十九日二十五分日之三十二為實實如法為法以一歲三百五十四日乘先取錢數為實實如法得日數
  按此術亦今有之義以價為所有率一歲日數為所求率取錢為所有數而今有之即得
  今有貨人千錢月息三十今有貨人七百五十錢九日歸之問息幾何答曰六錢四分錢之三
  術曰以月三十日乘千錢為法
  以三十日乘千錢為法者得三萬是為貨人錢三萬一日息三十也
  以息三十乘今所貨錢數又以九日乘之為實實如法得一【案原本作淂一錢亦後人妄加錢字今刪】
  以九日乘今所貨錢為今日一所有錢于今有術為所有數息三十日為所求率三萬錢為所有率又可以又月三十日約息三十錢為十分一日以乘今日日所有錢為實千錢為法為率者當等之于一也故三十日或可乘本或可約息皆所以等之也

  九章算術卷三
<子部,天文算法類,算書之屬,九章算術>
  欽定四庫全書
  九章算術卷四     晉 劉 徽 注
  唐 李淳風 注釋
  少廣以御積幂方圓
  淳風等按一畝之田廣一步長二百四十步今欲截取其從少以益其廣故曰少廣
  術曰置全步反分母子以最下分母徧乘諸分子及全步
  淳風等按以分母乘全少者通其分也以母乘子者齊其子也
  各以其母除其子置之子左命通分者又以分母徧乘諸分子反已通者皆通而同之并之為法
  淳風等按諸子悉通故可并之為法亦宜用合分術列數尤多若用乘則算數至繁故别置此術從省約
  置所求步數以全步積分乘之為實實如法而一得從步【案此句實如法之上原水以劉幾總注列入求注又誤截為三中間法有分者至子如母而一凡三十五字訛作正攵語意遂横隔不句通今改正】
  此以田廣為法以畝積步為實【案此十二字原本截作置所求步數以全步積分乘之為實下注又今攷其文意乃劉注總解田廣求從之術定以田廣為廣以畝積步為實非專釋二語也】法有分者當同其母齊其子以同乘法實而使齊子法今以分母乘全步及子子如母而一【案此三十五字原本訛作正文今改正攷注有分者言田廣既有分母子須令母同子齊也以同乘法實言母相乘為同既以子來法通其子母又必以之乘實則實齊子法也今以分母乘全步及子之如母而一即正文所云以孜下分母偏乘諸分子及全步也以其母除其子也】竝以并全法則法實俱長意亦等也故如法而一得從步數【案此二十三字原本截作上文法有分者已下之注今攷竝以并全法即此文所云并之為法也則法寶俱長意亦等也承土法既以分母通之而長畝積步為實者亦以通之而長實與法方相等此二句始專釋置所求步數以余步積分乘之為實二語前後文意相貫自中間訛作正立截首尾而三遂不可通】
  今有田廣一步半求田一畝間從幾何答曰一百六十步
  術曰下有半是二分之一以一為二半為一并之得三為法置田二百四十步亦以一為二乘之為實實如法得從步
  今有田廣一步半三分步之一求田一畝問從幾何答曰一百三十步一十一分步之一十
  術曰下有三分以一為六半為三三分之一為二并之得一十一為法置田二百四十步亦以一為六乘之為實實如法得從步
  今有田廣一步半三分步之一四分步之一求田一畝問從幾何答曰一百一十五步五分步之一
  術曰下有四分以為一十二半為六三分之一為四四分之一為二并之得二十五以為法置田二百四十步亦以一為一十二乘之為實實如法而一得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一求田一畝問從幾何答曰一百五步一百三十七分步之一十五
  術曰下有五分以一為六十半為三十三分之一為二十四分之一為一十五五分之一為一十二并之得一百三十七以為法置田二百四十步亦以一為六十乘之為實實如法得從步
  今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一求田一畝問從幾何答曰九十七步四十九分步之四十七
  術曰下有六分以一為一百二十半為六十三分之一為四十四分之一為三十五分之一為二十四六分之一為二十并之得二百九十四以為法置田二百四十步亦一為一百二十乘之為實實如法得從步
  今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一求田一畝問從幾何答曰九十二步一百二十一分步之六十八
  術曰下有七分以一為四百二十半為二百一十三分之一為一百四十四分之一為一百五五分之一為八十四六分之一為七十七分之一為六十并之得一千八十九以為法置田二百四十步亦以一為四百二十乘之為實實如法得從步
  今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一求田一畝問從幾何答曰八十八步七百六十一分步之二百三十二
  術曰下有八分以一為八百四十半為四百二十三分之一為二百八十四分之一為二百一十五分之一為一百六十八六分之一為一百四十七分之一為一百二十八分之一為一百五并之得二千二百八十三以為法置四二百四十步亦以一為八百四十乘之為實實如法得從步
  今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一求田一畝問從幾何答曰八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四
  術曰下有九分以一為二千五百二十半為一千二百六十三分之一為八百四十四分之一為六百三十五分之一為五百四六分之一為四百二十七分之一為三百六十八分之一為三百一十五九分之一為二百八十并之得七千一百二十九以為法置四二百四十步亦以一為二千五百二十乘之為實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一求田一畝問從幾何答曰八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九
  術曰下有一十分以一為二千五百二十半為一千二百六十三分之一為八百四十四分之一為六百三十五分之一為五百四六分之一為四百二十七分之一為三百六十八分之一為三百一十五九分之一為二百八十十分之一為二百五十二并之得七千三百八十一以為法置田二百四十步亦以一為二千五百二十乘之為實實如法得從步
  今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一十一分步之一求田一畝問從幾何答曰七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一
  術曰下有一十一分以一為二萬七千七百二十半為一萬三千八百六十三分之一為九千二百四十四分之一為六千九百三十五分之一為五千五百四十四六分之一為四千六百二十七分之一為三千九百六十八分之一為三千四百六十五九分之一為三千八十一十分之一為二千七百七十二十一分之一為二千五百二十并之得八萬三千七百一十一以為法置田二百四十步亦以一為二萬七千七百二十乘之為實實如法得從步
  今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一十一分步之一十二分步之一求田一畝問從幾何答曰七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三
  術曰下有一十二分以一萬八萬三千一百六十半為四萬一千五百八十三分之一為二萬七千七百二十四分之一為二萬七百九十五分之一為一萬六千六百三十二六分之一為一萬三千八百六十七分之一為一萬一千八百八十八分之一為一萬三百九十五九分之一為九千二百四十一十分之一為八千三百一十六十一分之一為七千五百六十十二分之一為六千九百三十并之得二十五萬八千六十三以為法置田二百四十步亦以一為八萬三千一百六十乘之為實實如法得從步
  淳風等按凡為術之意約省為善宜云下有一十二分以一為二萬七千七百二十半為一萬三千八百六十三分之一為九千二百四十四分之一為六千九百三十五分之一為五千五百四十四六分之一為四千六百二十七分之一為三千九百六十八分之一為三千四百六十五九分之一為三千八十十分之一為二千七百七十二十一分之一為二千五百二十十二分之一為二千三百一十并之得八萬六千二十一以為法置田二百四十步亦以一為二萬七千七百二十乘之以為實實如法得從步其術亦得如不繁也
  今有積五萬五千二百二十五步問為方幾何答曰二百三十五步
  今有積二萬五千二百八十二步問為方幾何答曰一百五十九步
  今有積七萬一千八百二十四步問為方幾何答曰二百六十八步
  今有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一問為方幾何答曰七百五十一步半
  今有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步問為方幾何答曰六萬三千二十五步
  開方
  求方幂之一面也
  術曰置積為實借一算步之超一位
  言百之面十也言萬之面百也
  議所得以一乘所借一算為法而以除
  先得黄甲之而上下相命是自乘而除也【案注而有黄甲黄乙朱青幂之文則知舊有圖而缺今補鬬方圖附于後】
  除已倍法為定法
  倍之者豫張兩面求幂定袤以待復除故曰定法
  其復除折法而下
  欲除朱幂者本當副置所得成方倍之為定法以折議乘而以除如是當復步之而止乃得相命故使就上折下
  復置借算步之如初以復議一乘之
  欲除朱幂之角黄乙之幂其意如初之所得也
  所得副以加定法以除以所得副從定法
  以黄乙之面加定法是則張兩青幂之袤
  復除折下如前若開之不盡者為不可開當以面命之術或有以借算加定法而命分者雖粗相近不可用也凡開積為方方之自乘當還復有積分令不加借算而命分則常微少其加借算而命分則又微多其數不可得而定故惟以面命之為不朱耳譬猶以三除十以其餘為三分之一而復其數可以舉不以面命之加定法如前求其微數微數無名者以為分子其一退以十為母其退以百為母退之彌下其分彌細則朱幂雖有所乘之數不足言之也
  若實有分者通分内子為定實乃開之訖開其母報除淳風等按分母可開者竝通之積先合二母既開之後一母尚存故開分母求一母為法以報除也
  若母不可開者又以母乘定實乃開之訖令如母而一
  淳風等按分母不可開者本一母也又以母乘之乃合二母既開之後亦一母存焉故令如母而一得全面也
  又按此術開方者求方幂之一面也借一算者假借一算空有列位之名而無除積之實方隅得面是故借算列之于下也步之超一位者方十自乘其積有百方百自乘其積有萬故超位至百而言十至萬而言百也議所得以一乘所借一算為法而以除者先得黄甲之面以方為積者兩相乘故開方除之還令呐面上下相命是自乘而除之也除已倍法為定法者實積未盡當復更除故豫張兩面朱幂定袤以待復除故曰定法也其復除折法而下者欲除朱幂本當副置所得成方倍之為定法以折議乘之而以除如是當復步之而止乃得相命故使就上折之而下也復置借算步之如初以復議一乘之所得副以加定法以除之欲除朱幂之角黄乙之幂以所得副從定法者再以黄乙之幂加定法是則張兩青幂之袤故如前開之即合所問



  今有積一千五百一十八步四分步之二問為圓周幾何答曰一百三十五步
  于徽術當周一百三十八步一十分步之一
  淳風等按此依密率為周一百三十八步五十分步之九
  今有積三百步問為圓周幾何答曰六十步
  于徽術當周六十一步五十分步之十九
  淳風等按依密率為周六十一步一百分步之四十一
  術曰置積步數以十二乘之以開方除之即得周此術以周三徑一為率與舊圓田術相反覆也于徽術以三百一十四乘積如二十五而一所得開方除之即周也開方除之即徑是為據見幂以求周猶失之于微少其以二百乘積一百五十七而一開方除之即徑猶失之于微多
  淳風等按此注于徽術求周之法其中不用開方除之即徑六字今木有者衍賸也依密率八十八乘之七而一按周三徑一之率假令周三徑二半周半徑相乘得幂三周六自乘得三十六俱以等數除得幂一周之數十二也其積本周自乘合以二乘之十二而一得積三也術為一乘不長故以十二而一得此積今還原置此積三以方二乘之者復其本周自乘之數凡物自乘開方除之復其本數故開方除之耶周
  今有積一百八十六萬八百六十七尺
  此尺謂立方尺也凡物有高深深而言積者曰立方
  問為立方幾何答曰一百二十三尺
  今有積一千九百五十三尺八分尺之一問為立方幾何答曰一十二尺半
  今有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七問為立方幾何答曰三十九尺八分尺之七今有積一百九十三萬七千五百四十一尺三十七分尺之一十七問為立方幾何答曰一百二十四尺太半尺
  開立方
  立方適等求其一面也
  術曰置積為實借一算步之超二位
  言千之面十言百萬之面百
  議所得以乘所借一算為法而以除
  乘者亦求為方幂以上議命而除之則立方等也
  除已三之為定法
  為當復除故豫張三面已定方幂為定法也
  復除折而下
  復除者三面方幂已皆自乘之數須得折議定其厚薄耳開平幂者方百之面十開立幂者方千之面十據定法也有成方之幂故復除當以千為百折下一等也
  以三乘所得數置中行
  設三亷之定長
  復借一算置下行
  欲以為隅方立方等未有定數且置一算定其位
  步之中超一下超二位
  上方法長自乘而折中亷法但有長故除一等下隅法無面長故又降一等也
  復置議以一乘中
  為三亷借幂也
  乘下
  令隅自乘為方幂也
  皆副以加定法以定法除
  三面三亷一隅皆已有幂以上議命之而除去三袤之厚也
  除已倍下并中從定法
  凡以中三以下加定法者三亷各當以兩面之幂連于兩方之面一隅連于三亷之端【案原本脱兩方之面一隅連于凡八字今據李淳風注釋所舉此文補入】以待復除也言不盡意解此要當以棊乃得明耳
  復除折下如前開之不盡者亦為不可開
  術亦有以定法命分者不如故幂開方以微數為分也
  若積有分者通分内子為定實定實乃開之託開其母以報除
  淳風等按分母可開者竝通之積先合三母既開之後一母尚存故開分母求一母為法以報除也
  若母不可開者又以母乘定實乃開之訖令如母而一
  淳風等按分母不可開者本一母也又以母再乘之今合三母既開之後一母猶存故令如母而一得全面也
  又按開立方者立方適等求其一面之數也借一算步之超二位者立方求積方再自乘就積開之故超二位言千之面十言百萬之面百也議所得以再乘所借一算為法而以除者求為方幂以議命之而除則立方等也除已三之為定法者為積米盡當復更除故豫張三面已定方幂為定法也復除折而下者三面方幂皆已有自乘之數須得折議定其厚薄據開平方百之面十其開立方則千之面十而定法已有成方之幂故復除之當以千為百折下一等也以三乘所得數置中行者設三亷之定長也復借一算置下行者欲以為隅方立方等未有數且置一算定其位也步之中超一下超二者上方法長自乘而一折中亷法但有長故降一等下隅法無面長故又降一等也復置議以一乘中者為三亷借幂也再乘下者當令隅自乘為方幂也皆副以加定法以定法除者三面三亷一隅皆已有幂以上議命之而除去三袤之厚也除已倍下并中從定法者三亷各當以兩面之幂連于兩方之面一隅連于三亷之端以待復除也其開之不盡者折下如前開方即合所問有分者通分納子開之訖開其母以報除可開者竝適之積先令三母既開之後一母尚存故開分母者求一母為法以報除若母不可開者又以母乘定實乃開之訖令如母而一分母不可開者本一母又以母乘今合三母既開之後亦一母尚存故令如母而一得全面也
  今有積四千五百尺
  亦謂立方之尺也
  問為立圓徑幾何答曰二十尺
  淳風等按依密率立圓徑二十八尺計積四千一百九十尺二十一分尺之一十
  今有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺問為立圓徑幾何答曰一萬四千三百尺淳風等按依密率為徑一萬四千六百四十三尺四分尺之三
  術曰置積尺數以十六乘之九而一所得開立方除之即圓徑
  立圓即丸也為術者蓋依周三徑一之率令圓幂居方幂四分之三圓囷居立方亦四分之三更令圓囷為方率十二為丸率九凡居圓囷又四分之三也置四分自乘得十六三分自乘得九故丸居立方十六分之九也故以十六乘積九而一得立方之積丸徑與立方等故開立方而除得徑也然此意非也何以驗之取立方棊八枚皆令立方一寸積之為立方二寸規之為圓囷徑二寸高二寸又復横因之【案此句有舛誤後李淳風注釋亦以立方棊為喻有從規横規之語此當云又復横規之】則其形有似牟合方蓋矣八棊皆然似陽馬圓然也按合蓋者方率也丸居其中即圓率也推此言之謂夫圓囷為方率豈不闕哉以周三徑一為圓率則圓幂傷少令圓囷為方率則九積傷多互相通補是以九與十六之率偶與實相近而丸猶傷多耳觀立方之内合蓋之外雖哀殺有漸而多少不揜判合總結方圓相纒濃纎詭互不可等正欲陋形措意懼失正理敢不關疑以俟能言者
  黄金方寸重十六兩金丸徑寸重九兩率生于此未曾驗也周官考工記㮚氏為量改煎金錫則不耗不耗然後權之權之然後凖之凖之然後量之言鍊金使極精而後分之則可以為率也命丸徑自乘三而一開方除之即丸中之立方也微令丸中立方立尺五尺為句句自乘幂二十五尺倍之得五十尺以為股幂謂平面方五尺之弦也以此弦幂為股亦以五尺為句并句股幂得七十五尺是為大弦幂開方除之則大弦可知也大弦即中立方之長邪邪即丸徑故中立方自乘之幂于丸徑自乘之幂三分之一也今大弦還乘其幂即丸外立方之積也大弦幂開之不盡令囷幂七十五【案七十五即大弦幂是為外立方一面自乘之幂非囷幂也囷幂當是具幂之誤】自乘之為面命得外立方積四十二萬一千八百七十五尺之面又令中立方五尺自乘又以方乘之得積一百二十五尺一百二十五尺自乘為面句得積一萬五千六百二十五尺之面【案句字誤彼上云命得外立方積之面此乃命得中立方積之面也句當作命】皆以六百二十五約之外立方積六百七十五尺之面中立方積二十五尺之面也
  張衡算又謂立方為質立圓為渾衡言質之與中外之渾六百七十五尺之面開方除之不足一謂外質積二十六也内渾二十五之面謂積五尺也今徽令質言中渾渾又言質則二質相與之率猶衡二渾相與之率也衡蓋亦先二質之率推以言渾之率也衡又言質六十四之面渾二十五之面質復言渾謂居質八分之五也又云方八之面圓【案此下有脱文據前言丸居圓圖四分之三此當作方八之面圓六之面故斷之云圖渾相推知其復以圓圖為方率渾為圓率脱六之而三字】圓渾相推知其復以圓囷為方率渾為圓率也失之遠矣衡說之自然欲協其陰陽奇偶之說而不顧疎密矣雖有文辭斯亂道破義病也置外質積二十六以九乘之十六而一得積十四尺八分之五即質中之渾也以分母乘全内子得一百一十七又置内質積五以分母乘之得四十是謂質居渾一百一十七分之四十【案此言渾圓内所客之立方是謂質當作是内質】而渾率猶為傷多也假令方二尺方四面并得八尺也謂之方周其中令圓徑與方等亦二尺也丸半徑以乘圓周之半即圓幂也半方以乘方周之半即方幂也然則方周知方幂之率也圓周知圓幂之率也按如衡術方周率八之面圓周率五之面也令方周六十四又之面則圓周四十尺之面也又令徑二尺自乘得徑四尺之面【案上言張衡術立方内容五圓者止圓積居立方積八分之五以此通之立間外非周之幂亦居立方外六面之幂八分之五故設立方幂六七四尺則立圓幂四十尺也此言又令徑二尺白乘得徑四尺之而二語無從得其解據下云是為圓周率十二之面而徑率一之面也謂周自乘得十二耆徑自乘得一置十二開方除之得圓周三四六四三五弱由此言之衡所定平方與平圓周徑之率古周四其面一内容圓之周三四六四三五弱其徑亦一劉徽所定方圓周徑之率則方周四圓周三一四一六其徑一故下言衡增周人多過其實然則當云又令徑一尺分周四尺自乘得十六尺之面不得言徑二尺自乘得徑四尺之而或傳寫舛誤校是書者又有竄改遂致不可通】是為圓周率十二之面而徑率一之面也衡亦以周三徑一之率為非是故更著此法然僧周太多過其實矣
  淳風等按祖一之謂劉徽張衡二人皆以圓囷為方率丸為圓率乃設新法祖暅之開立圓術曰以二乘積【案此句有脱誤據淳風中明祖暅之所定立圓術以徑司乘十一乘之二十一而一得圓積反是以求徑當云以二十一乘積十一而一蓋立圓積約居同徑之立方積二十一分之十一也君以二乘積則立圓居立方之半疏謬甚矣復云今欲求其本清故二十一乘之十一而一正承此申明其說】開立方除之即立□徑其意何也取立方棊一枚令立樞子左後之下隅從規去其右上之亷又合而横規之去其前上之亷【案此下有脱文據上去立相于左後之下隅則其隅正與右前之上隅相對成内外而外之亷皆連于右前之上隔一為右上之亷一為前上之亷一為右前之亷三亷皆當規去方是外棊三内慕一不得僅言規去二亷也疑脱及右前之亷五字】于是立方之慕分而為四規内棊一謂之内棊規外棊三謂之外棊規【案上言規内棊一規外棊三以内棊列棊稱之此規字不得連上句當是衍文】更合四棊復横斷之以句股言之令餘高為句内棊斷上方為股本方之數其弦句股之法以句幂減弦幂則餘為股幂若令餘高自乘減本方之幂餘即内減其斷上方之幂也本方之幂即外四棊之斷上幂然則餘高自乘即外三棊之斷上幂矣不問卑勢加然也【案此句舛誤不可通反上文借立方棊以論立圓而所言一及句脱竝與乎幂不足見圓術當行脱誤】然固有所歸同而途殊者耳而乃控遠以演類借況以析微按陽馬方高數参等者列而立之横截去上則高自乘與斷上幂數亦等馬夫疊棊成立積緣幂勢既同則積不容異由此觀之規之外三棊旁蹙為一即一陽馬也三分立方則陽馬居一内棊居二可知矣合八小方成一大方合八内棊成一合蓋内棊居小方三分之二則合蓋居立方亦三分之二較然驗矣置三分之二以圓幂率三率之如方幂率四而一約而定之以為九率故曰九居立方三分之一也【案此句舛誤據上言置三分之二以三乘之如四而一乃九居立方二分之一非三分之一况已上明祖氏圓術其率乃丸居立方二十一分之十一下云圓徑自乘十一乘之如二十一而一是也君二分之一可祖氏術不隅矣又祖氏方幂率下四圓幂率十一亦不得用方幂四圓幂三之疎率以解祖氏說自祖暅之開立方圓術曰至此似因傳寫既訛後又妄亦一改遂不可通今攷立方與圓圈猶之平方與平圓也其率亦立方積十四圓囷積十一而丸居圓囷三分之二與十四分之十一通之分母乘分母得四十二分子乘分子得二十一是為丸居立方四十二分之二十二即二十二分之十一也祖氏求圓囷立圓平圖三法本係貫為一】等數既密心亦昭晰張衡倣舊貽哂于後劉徽循故未暇校新夫豈難哉柳未之思也依率立此圓積本以圓徑自乘十一乘之二十一而一約此積今欲求其本積故二十一乘之十一而一凡物自乘開立方除之復其本數故立方除之即丸徑也

  九章算術卷四
  欽定四庫全書
  九章算術卷五     晋 劉 徽 注
  唐 李淳風 注釋
  商功以御功程積實
  今有穿地積一萬尺問為堅壤各幾何答曰為堅七千五百尺為壤一萬二千五百尺
  術地穿地四為壤五
  壤謂息土
  為堅三
  堅謂築土
  為墟四
  墟謂穿坑此皆其常率
  以穿地求壤五之求堅三之皆四而一
  今有術也
  以壤求穿四之求堅三之皆五而一以堅求穿四之求壤五之皆三而一
  淳風等按此術竝今有之義也重張穿地積一萬尺為所有數堅率三壤率五各為所求率墟率四為所有率而今有之即得
  城垣隄溝壍渠皆同術
  今有穿地袤一丈六尺深一丈上廣六尺為垣積五百七十六尺問穿地下廣幾何答曰三尺五分尺之三術曰置垣積尺四之為實
  穿地四為堅三垣堅也以堅求穿地當四之三而一也
  以深袤相乘
  為深袤之立實也
  又三之為法
  以深袤乘之立實除垣積即阬廣又三之者與堅率并除之
  所得倍之
  為阬有兩廣先并而半之即為廣狹之中平今先得其中平故又倍之知兩廣全也
  減上廣餘即下廣
  按此術穿地四為堅三垣即堅也今以堅求穿地當四乘之三而一深袤相乘者為深袤立幂以深袤立幂除積即阬廣又三之為法與堅率并除所得倍之者為阬有兩廣先并而半之為中平之廣今此得中平之廣故倍之還為兩廣并故減上廣餘即下廣也
  今有城下廣四丈上廣二丈高五丈袤一百二十六丈五尺問積幾何答曰一百八十九萬七千五百尺今有垣下廣三尺上廣二尺高一丈二尺袤二十二丈五尺八寸問積幾何答曰六千七百七十四尺
  今有隄下廣二丈上廣八尺高四尺袤一十二丈七尺問積幾何答七千一百一十二尺
  冬程人功四百四十四尺問用徒幾何答曰一十六人一百一十一分人之二
  術曰并上下廣而半之
  損廣補狹
  以高若深乘之又以袤乘之即積尺
  按此術并上下廣而平之者以盈補虚得中平之廣以高若深乘之【案此下原本衍堅率三壤率五各為所求墟墟率四為所有率而今有之凡二十二字係上注重見於此今删正】得一頭之五幂又以袤乘之者得立實之積故為積尺
  以積尺為實積功尺數為法實如法而一即用徒人數【案此節之上原木有術曰二字上兩節并注原本誤入上城垣隄溝塹渠皆同術之丅今訂正合為一條】今有溝上廣一丈五尺下廣一丈深五尺袤七丈問積幾何答曰四千三百七千五尺
  春程人功七百六十六尺并出土功五分之四定功六百一十二尺五分尺之四問用徒幾何答曰七人三千六十四分人之四百二十七
  術曰置本人功去其五分之一餘為法
  去其五分之一者謂以四乘五除也
  以溝積尺為實實如法而一得用徒人數
  按此術置本人功去其五分之一者謂以四求之五而一除去出土之功取其定功乃道分内子以為法以分母乘溝積尺為實者法裏有分實裏通之故實如法而一即用徒人數此以一人之積尺除其衆尺故用徒人數不盡者等數約之而命分也
  今有壍上廣一丈六尺三寸下廣一丈深六尺三寸袤一十三丈二尺一寸問積幾何答曰一萬九百四十三尺八寸
  八寸者謂穿地方尺深八寸此積餘有方尺中二分四釐五毫棄之文欲從易非其常定也
  夏程人功八百七十一尺并出土功五分之一沙礫水石之工作太半定功二百三十二尺一十五分尺之四問用徒幾何答曰四十七人三千四百八十四分人之四百九
  術曰置本人功去其出土功五分之一又去沙礫水石之功太半餘為法以壍積尺為實實如法而一即用徒人數
  按此術置本人功去其出土功五分之一者謂以四乘五除又去沙礫水石作太半者一乘三除存其少半取其定功乃通分内子以為法以分母乘壍積尺為實者為法裏有分實裏通之故實如法而一即用徒人數不盡者等數約之而命分也
  今有穿渠上廣一丈八尺下廣三尺六寸深一丈八尺袤五萬一千八百二十四尺問積幾何答曰一十七萬四千五百八十五尺六寸
  秋程人功三百尺問用徒幾何答曰三萬三千五百八十二人功内少一十四尺四寸
  一千人先到問各當受袤幾何答曰一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八
  術曰以一人功尺數乘先到人數為實
  以一千人一日功為實立實為功【案此四字不可通當是衍文攷下注有立幂為法四字幂訛作實後人更移而加之于此蓋因訛致衍耳】
  并渠上下廣而半之以深乘之為法
  以渠廣深之立實為功【案此四字舛誤據廣深相乘得立幂故以除于人一日功得袤當作以渠廣深之立幂為法】實如法得袤尺
  今有方堢壔
  堢者堢城也壔音丁老反又音纛謂以土擁木也
  方一丈六尺高一丈五尺問積幾何答曰三千八百四十尺
  術曰方自乘以高乘之即積尺
  今有圓堢壔周四丈八尺高一丈一尺問積幾何答曰二千一百一十二尺
  于徽術當積二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一
  淳風等按依密率積二千一十六尺
  術曰周自相乘以高乘之十二而一
  此章諸術亦以周三徑一為率皆非也于徽術當以周自乘以高乘之又以二十五乘之三百一十四而一此之圓幂亦如圓田之幂也求幂亦如圓田而以高乘幂也
  淳風等按依密率以七乘之八十八而一
  今有方亭下方五丈丄方四丈高五丈問積幾何答曰一十萬一千六百六十六尺太半尺
  術曰上下方相乘又各自乘并之以高乘之三而一此章有壍堵陽馬皆合而成立方蓋說算者乃立棊三品以效高深之積假令方亭上方一尺下方三尺高一尺其用棊也中央立方一四面壍堵四四角陽馬四上下方相乘為三尺以高乘之約積三尺是為得中夾立方一四面壍堵各一上方自乘亦得中央立方一【案此十一字錯誤不可通據上方自乘所得者平幂耳非立方也又下云上方自乘以高乘之得積一尺又為中央立方一合前中央方方一四面壍堵各一及中央立方一四面壍堵各二四角陽馬各三共二十七棊則此二句乃衍文應刪去】下方自乘為九以高乘之得積九尺是為中央立方一四面壍堵各二四角陽馬各三也上方自乘以高乘之得積一尺又為中央立方一凡三品棊皆一而為三故三而一得積尺用棊之數立方三壍堵陽馬各十二凡二十七棊十三更差次之【案此句有脱誤據壍堵陽馬各十二分配立方三則一立方適得四壍堵四陽馬當云十二與三更差次之】而成方亭者三驗矣為術又可命方差自乘以高乘之三而一卽四陽馬也上下方相乘以高乘之卽中央立方及四面壍堵也并之以為方亭積數也
  今有圓亭下周三丈上周二丈高一丈問積幾何答曰五百二十七尺九分尺之七
  于微術當積五百四百七百七十一分尺之一百一十六也
  淳風等按依密率為積五百三尺三十三分尺之二十六
  術曰上下周相乘又各乘并之以高乘之三十六一而一
  此術周三徑一之義合以三除上下周各為上下徑以相乘又各自乘并以高乘之三而一為方亭之積假命三約上下周俱不盡還通之即各為上下徑令上下徑分母相乘【案此句舛誤據上云還通之卽各為上下徑則是既以分母通上下徑納分子矣此乘即各爲上下徑言之當云令上下徑相乘其語便足分母二字乃衍文應删】又各自乘并以高乘之為三方亭之積分此合分母分相乘得九為法除之【案此句有脱誤據上下徑分母同為三則上下徑相乘之數應以兩分母相乘得九報除而丄下徑各自乘之數應各以分母自乘得九報除是相乘為法及自乘為法者同用九也當云此合分母相乘得九分母各自乘亦得九為法除之不得遺去自乘一邊言之蓋後人傳寫脱落耳】又三而一得方亭之積 【此下有脱文據後委粟依垣條注云從方錐中求圓錐之積亦猶方幂求圓幂以彼例此似應有從方亭求圓亭之積八字】亦猶方幂中求圓幂乃令圓率三乘之方率四而一得圓亭之積前求方亭之積乃以三而一今求圓亭之積亦合三乘之二母既同故相準折准以方幂四乘分母九得三十六而連除之于徽術當上下周相乘又各自乘并以高乘之又二十五乘之九百四十二而一此方亭四角圓殺比于方亭二百分之一百五十七為術之意先作方亭三而一則此據上下徑為之者當又以一百五十七乘之六百而也也今據周為之若干圓堢壔又以二十五乘之三百一十四而一則先得三圓亭矣故以三百一十四為九百四十二而一併除之
  淳風等按依密率以七乘之二百六十四而一
  今有方錐下方二丈七尺高二丈九尺問積幾何答曰七千四十七尺
  術曰下方自乘以高乘之三而一
  按此術假令方錐下方二尺高一尺即四陽馬如術為之用十二陽馬成三方錐故三而一得陽馬也
  今有圓錐下周三丈五尺高五丈一尺問積幾何答曰一千七百三十五尺一十二分尺之五
  于徽術當積一千六百五十八尺三十一十四分尺之十三
  淳風等按依密率為積一千六百五十六尺八十八分尺之四十七
  術曰下周自乘以高乘之三十六而一
  按此術圓錐下周以為方錐下方方錐下方令自乘以高乘之合三而一得大錐方之積大錐方之積合十二圓矣今求一圓復合十二除之故令三乘十二得三十六而連除于徽術當下周自乘以高乘之又以二十五乘之九百四十二而一圓錐此于方錐亦二百分之一百五十七令徑自乘者亦當以一百五十七乘之六百而一其說如圓亭也
  淳風等按依密率以七乘之二百六十四而一
  今有壍堵下廣二丈袤一十八丈六尺高二丈五尺問積幾何答曰四萬六千五百尺
  術曰廣袤相乘以高乘之二而一
  斜斛立方得兩壍堵雖復橢方亦為壍堵故二而一此則合所規幂推其物體蓋為壍上疊也其形如城而無上廣與所規棊形異而同實未開所以名之為壍堵之說也
  今有陽馬廣五尺袤七尺高八尺問積幾何答曰九十三尺少半尺
  術曰廣袤相乘以高乘之三而一
  按此術陽馬之形方錐一隅也今謂四柱屋隅為陽馬假令廣袤各一尺高一尺相乘得立方積一尺斜解立方得兩壍堵斜斛壍堵其一為陽馬一為鼈臑陽馬居二鼈臑居一不易之率也合兩鼈臑成一陽馬合三陽馬而成一立方故三而一驗之以棊其形露矣悉割陽馬凡為六鼈臑觀其割分則體勢互通蓋易了也其棊或脩短或廣狹立方不等者分割分以為六鼈臑其形不悉相似然見數同積實均也鼈臑殊形陽馬異體則不純合不純合則難為之矣何則按斜解方棊以為壍堵者必當以半為分斜解壍堵以為陽馬者亦必當以半為分一從一横耳設以陽馬為分内鼈臑為分外棊雖或隨脩短廣狹猶有此分常率知殊形異體亦同也者以此而已其使鼈臑廣袤高各二尺【案原本訛作廣袤各高二尺今改正】用壍堵鼈臑之棊各二皆用赤棊又使陽馬之廣袤高各二尺用立方之棊一壍堵陽馬之棊各二皆用黑棊棊之赤黑接為壍堵廣袤高各二尺于是中效其廣又中分其高令赤黑壍堵各自適當一方高二尺方二尺每二分鼈臑則一陽馬也其餘兩端各積本體合成一方焉是為别種而方者率居二通其體而方者率居一雖方隨棊改而固有常然之勢也按餘數具而可知者有一二分之别則一二之為率定矣其于理也豈虚矣若為數而窮之置餘廣袤高之數各半之則四分之三又可知也半之彌少其餘彌細至細曰微微則無形由是言之安取餘哉數而求窮之者謂以情推不用籌算鼈臑之物不同器用陽馬之形或隨脩短席狹然不有鼈臑無以審陽馬之數不有陽馬無以知錐亭之數功寔之主也
  今有鼈臑下廣五尺無袤上袤四尺無廣高七尺問積幾何答曰二十三尺少半尺
  術曰廣袤相乘以高乘之六而一
  按此術臑者背節也或曰半陽馬其形有似鼈肘故以名云中破陽馬得兩鼈臑鼈臑之見數卽陽馬之半數數同而寔據半故云六而一即得
  今有羨除下廣六尺土廣一丈深三尺末廣八及無深袤七尺問積幾何答曰八十四尺
  術曰并三廣以深乘之又以袤乘之六而一
  按此術羨除寔隧道也其所穿地上半下斜似兩鼈臑夾一壍堵即羨除之形假令用此棊上廣三尺深一尺下廣一尺末廣一尺無深袤一尺下廣即壍堵上廣者兩鼈臑與一壍堵相連之廣也以深袤乘得積五尺鼈臑居二壍堵居三其于本棊皆一為六故六而一合四陽馬以為方錐斜畫方錐之底亦令為中方就中方削而上合全為中方錐之半于是陽馬之棊悉中解矣中錐離而為四鼈臑焉故外錐之半亦為四鼈臑雖背正異形與常所謂鼈臑参不相似寔則同也所云夾壍堵者中錐之鼈臑也凡壍堵上袤短者連陽馬也下袤短者與鼈臑連也下兩袤相等知亦與鼈臑連也并三廣以高袤乘六而一皆其積也今此羨除之廣即壍堵之袤也按此本是三廣不等即與鼈臑連者别而言之中央壍堵廣六尺高三尺袤七尺末廣之兩旁各一小鼈臑皆與壍堵等令小鼈臑居裏大鼈臑居表則大鼈臑出撱皆方錐下廣三尺袤六尺高七尺分取其半則為袤三尺以高廣乘之三而一即半錐之積也斜解半錐得此兩大鼈臑求其積亦當六而一合于常率矣按陽馬之棊兩斜棊底方當其方也不問旁角而割之相半可知也推此上連無成不方故方錐與陽馬同寶角而割之者相半之勢此大小鼈臑可知更相表裏但體有背正也
  今有芻甍下廣三丈袤四丈上袤二丈無廣高一丈問積幾何答曰五十尺
  術曰倍下袤上袤從之以廣乘之又以高乘之六而一推明義理者舊說云凡積芻甍有上下廣曰童甍謂其屋蓋之苫也是故甍之下廣袤與童之上廣袤等正解方亭兩邊合之即芻甍之形也假令下廣二尺袤三尺上袤一尺無廣高一尺其用棊也中央壍堵二兩端陽馬各二倍下袤上袤從之為七尺以高廣乘之得幂十四尺陽馬之幂各居一壍堵之幂各居三以高乘之得積十四尺其于本棊也皆一而為六故六而一即得亦可令上下袤差乘廣以高乘之三而一即四陽馬也下廣乘上袤而半之高乘之即二壍堵并之以為甍積也
  芻童曲池盤池冥谷皆同術
  術曰倍上袤下袤從之亦倍下袤一袤從之各以其廣乘之并以高若深乘之皆六而一
  按此術假令芻童上廣一尺袤二尺下廣三尺袤四尺高一尺其用棊也中央立方二四面壍堵六四角陽馬四倍下袤為八上袤從之為十以高廣乘之得積三十尺是為得中央立方各三兩邊壍堵各四兩旁壍堵各六四角陽馬亦各六復倍上袤下袤從之為八以高廣乘之得積八尺是為得中央立方亦各三兩端壍堵各二并兩旁三品棊皆一而為六故六而一即得為術又可令上下廣袤差相乘以高乘之三而一亦四陽馬上下廣袤互相乘并而半之以高乘之即四而六壍堵與二立方并之為芻童積又可令上下廣袤互相乘而半之上下廣袤又各自乘并以高乘之三而一即得也
  其曲池者并上中外周而半之以為上袤亦并下中外周而半之以為下袤
  此池環而不通帀形如盤蛇而曲之亦云周者謂如委穀依垣之周耳引而伸之周為袤求袤之意環田也
  今有芻童下廣二丈袤三丈上廣三丈袤四丈高三丈積幾何答曰一萬六千五百尺
  今有曲池上中周二丈外周四丈廣一丈下中周一丈四尺外周二丈四尺廣五尺深一丈問積幾何答曰一千八百八十三尺三寸少半寸
  今有盤池上廣六丈袤八丈下廣四丈袤六丈深二丈問積幾何答曰七萬六百六十六尺太半尺
  負土往來七十步其二十步上下棚除棚除二當平道五踟蹰之間十加一載輸之間三十步定一返一百四十步土籠積一尺六寸秋程人功行五十九里半問人到積尺及用徒各幾何答曰人到二百四尺用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二
  術曰以一籠積尺乘程行步數為實往來上下棚除二當平道五
  棚閣除斜道有上下之難故使二當五也
  置定往來步數十加一及載輸之間三十步以為法除之所得即一人所到尺以所到約積尺即用徒尺數按此術棚閣除斜道有上下之難故使二當五置定往來步數十加一及載輸之間三十步是為往來求一返凡用一百四十步于今有術為所有行率籠積一尺六寸為所求到土率程行五十九里半為所有數而今有之即所到尺數所到約積尺即用徒人數者此一人之積除其衆積尺故得用徒人數為術又可令往乘一返所用之步約程行為返數乘籠積為一人所到以此術與今有術相反覆則乘除之或先後意各有所在而同歸耳
  今有冥谷上廣二丈袤七丈下廣八尺袤四丈深六丈五尺問積幾何答曰五萬二千尺
  載土往來二百步載輸之間一里程行五十八步六人共車車載三十四尺七寸間人到積尺及用徒各幾何答曰人到二百一尺五十分尺之十三用徒二百五十八人一萬六十三分人之三千七百四十六
  術曰以一車積尺乘程行步數為實置今往來步數加載輸之間一里以車六人乘之為法除之所得即一人所到尺以所到約積尺即用徒人數
  按此術今有之義以載輸及往來并得五百步為所有行率車載三十四尺七寸為所求到土率程行五十八里通之為步為所有數而今有之所得即一車所到欲得人到者當以六人除之即得術有分故亦更令法而并除者亦用以半尺數以為一人到土率【案此二十五字訛舛不可通據下文云術恐有分故令乘法而并除又云亦可令六人約半積尺數為一人到土率此即下殘缺字句之誤入于前者應删去以免重複】六人乘五百步為行率也又亦可五百步為行率令六人約半積尺數【此句舛誤當云約車載尺數】為一人到上率以載土術入之入之者亦可求返數也要其會通而矣【案此二十一字訛舛不可通據下云術恐有分故令乘法而并除總承上六人除一車所到及交約車載尺數二術也中間衍前二十五字及此此十一字蓋由傳寫失真後人復妄意竄改耳】術恐有分故令乘法而并除以所到為積尺即用徒人數者以一人所積尺除其衆積故得用徒人數也
  今有幾粟平地下周一十二丈高二丈問積及為粟幾何答曰積八千尺
  于徽術當積七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九
  淳風等按依密率為積七千六百三十六尺十一分尺之四
  為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六于徽術當粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十
  淳風等按依密率為粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八
  今有委米依垣内角下周八尺高五尺問積及為米幾何答曰積三十五尺九分尺之五
  于徽術當積三十三尺四百七十一分尺之四百五十七
  淳風等按依密率當積三十三尺三十三分尺之三十一
  為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一于徽術當米二十斛三萬八千一百五十一分斛之三萬六千九百八十
  淳風等按依密率為米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十
  今有委菽依垣下周三大高七尺問積及為菽各幾何答曰積三百五十尺
  依徽術當積三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六
  淳風等按依密率為積三百三十四尺十一分尺之一
  為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八
  依徽術當菽一百三十七斛一萬二于七百一十七分斛之七千七百七十一
  淳風等按依密率為菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三
  術曰下周自乘以高乘之三十六而一
  此猶圖錐也于徽術亦當下周自乘以高乘之又以二十五乘之九百四十二而一也
  其依垣者
  居圖錐之半也
  十八而一
  于徽術當令此下周自乘以高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依垣之周半于全周其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一故半全周之法以為法也
  其依垣内角者
  角隅也居圓錐四分之一也
  九而一
  于徽術當令此下周自乘而倍之以高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依隅之周半于依垣其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一當半依垣之法以為法法不可半故倍其實又此術亦用周三徑一之率假令以三除周得徑若不盡通分内子即為徑之積令自乘以高乘之為三方錐之積分母自相乘得九為法又當三而一約方錐之積從方錐中求圓錐之積亦猶方幂求圓幂乃當二乘之四而一方錐得圓幂之積 【此句衍方錐二字又圓幂當作圓錐】前乘方積乃以三而一今求圓錐之積復合三乘之二母既同故相凖折惟以四乘分母九得三十六而運除圓錐之積其圓錐之積與平地聚粟同故三十六而一
  淳風等按依密率以七乘之其平地者二百六十四而一依垣者一百三十二而一依隅者六千六而一也
  程粟一斛積二尺七寸
  二尺七寸者謂方一尺深二尺七寸凡積二千七百寸
  其米一斛積一尺六寸五分寸之一
  謂一千六百二十寸
  其菽荅麻麥一斛皆二尺四寸十分寸之三
  謂積二千四百三十寸此為以精粗為率而不等其㮣也粟率五米率二故米一斛于粟一斛五分之三菽答麻麥亦如本率云故謂此三一器為㮣而皆不合于今斛當今大司農斛圓徑一尺三寸五分五釐正深一尺于徽術為積一十四百四十一寸排成餘分又有十分寸之三王莽銅斛于今尺為深九寸五分五釐徑一尺三寸六分八釐二毫以徽術計之于余斛為容九斗七升四合有奇周官考工記桌氏為量深二尺内方一尺而圓外其實一鬴于徽術此圓周積一千五百七十六寸左氏傳曰齊舊四量且區釡鍾四升曰豆各自其四以登于釡大十則鍾鍾六斛四斗釡六斗四升方一尺深一尺其積一千寸若此方積容四斗二升則通外圓積成旁客十斗四合一龠五分之三也以數相乘之則斛之制方一尺而圓其外庣旁一釐七毫幂一百五十六寸四分寸之一深一尺積一千五百六十二寸半容十斗王莽銅斛與漢書律歷志所論斛同
  今有倉廣三丈袤四丈五尺容粟一萬斛問高幾何答曰二丈
  術曰置粟一萬斛積尺為寶廣袤相乘為法寶如法而一得高
  以廣袤之幂除積故得高按此術本以廣袤相乘以高乘之得此積今還元置此廣袤相乘為法除之故得高也
  今有圓囷
  圓囷廪也亦云圓囷也
  高一丈三尺三寸少半寸容米一十斛問周幾何荅曰五丈四尺
  于徽術當周五丈五尺二寸二十分寸之九
  淳風等按依密率為用五丈五尺一百分尺之二十七
  術曰置米積尺
  此積猶圓堢壔之積
  以十二乘之令高而一所得開方除之即周
  于徽術當置米積尺以三百一十四米之為實二十五乘囷為為法所得開方除之即周也一亦披見幂以求周失之千微少也晉武庫中有漢時王莽所作銅斛其篆書字題斛旁云律嘉量斛方一尺而圓其升庣旁九釐五毫幂一百六十二寸而一尺積一千六百二十寸容十斗及斛底云律嘉量斗方尺而圓其外庣旁九釐五毫幂一百六十二寸【案原本紀作幂一尺六寸二分于數不合當是後人因下文積一百六十二寸與此適圓妄改此以别于下不知幂一百六十二寸者平方寸也其深僅一才故積仍為一百六十二寸積乃立方才與幂自别沉斗與斛之方圖庣旁既同則幂亦同斛深十倍于斗故積十倍之今據上下文訂正】深一寸【案原本訛作深一尺今改正】積一百六十二寸容一斗合龠皆有文字升居斛旁合龠在斛耳上後有讚文與今律歷志同亦魏晋所常用今粗疏王莽銅斛文字尺寸分數然不盡得升合寸之文字按此術本周自相乘以高乘之十二而一得此積今還元置此積以十二乘之令高而一即復本周自乘之數凡一自乘開方除之復其本周自乘之數故開方除之即得也
  淳風等按依密率以八十八乘之為實七乘囷高為法實如法而一開方除之即周也

  九章算術卷五
  欽定四庫全書
  九章算術卷六     晋 劉 徽 注
  唐 李淳風 注釋
  均輸以御遠近勞費
  今有均輸粟甲縣一萬戶行道八日乙縣九千五百戶行道十日丙縣一萬三千三百五十戶行道十三日丁縣一萬二千二百戶行道二十日各到輸所凡四縣賦當輸二十五萬斛用車一萬乘欲以道里遠近戶數多少衰出之問粟車各幾何答曰甲縣粟八萬三千一百斛車三千三百二十四乘乙縣粟六萬三千一百七十五斛車二千五百二十七乘丙縣粟六萬三千一百七十五斛車二千五百二十七乘丁縣粟四萬五百五十斛車一千六百二十二乘
  術曰令縣戶數各如其本行道日數而一以為衰按此均輸猶均運也令戶率出車以行道日數為均發粟為輸據甲行道八日因使八戶其出一車乙行道十日因使十戶共出一車計其在道則皆戶一日出一車【案原本作出車脱一字今補】故可為均平之率也
  甲衰一百二十五乙丙衰各九十五丁衰六十一副并為法以賦粟車數乘未并者各自為實
  衰分科率
  實如法得一【案原本作得一車亦後人妄加車字今刪】
  各置所當出車以其行道日數乘之如戶數而一得率戶用車二日四十七分日之三十一故謂之均求此戶以率當各計車之錢分也【案此二句舛誤當云求此率以戶當各計車之衰分也】
  淳風等按縣戶有多少之差行道有遠近之異欲其均等故各令行道日數約戶為衰【案原本脱道字令補】行道多者少其戶行道少者多其戶故各令約戶為衰以八日約除甲縣得一百二十五乙丙各九十五丁六十一于今有術副并為所有率未并者各為所求率以賦粟車數為所有數而今有之各得車數一旬除乙十三除丙各得九十五二旬除丁得六十一也【案淳風等至此原本訛在前接故可為均平之率也下于術意前後失次今訂正】
  有分者上下輩之
  輩配也車牛人之數不可分裂推少就多均賦之宜今按甲分既少宜從于乙滿法除之有餘從丙丁分又少亦宜就丙除之適盡加乙丙各一上下輩益以少從多也
  以二十五斛乘車數即粟數
  今有均輸卒甲縣一千二百人薄塞乙縣一千五百五十人行道一日丙縣一千二百八十人行道二日丁縣九百九十人行道三日戊縣一千七百五十人行道五日凡五縣賦輸卒一月一千二百人欲以遠近戶率多少衰出之問縣各幾何答曰甲縣二百二十九人乙縣二百八十六人丙縣二百二十八人丁縣一百七十一人戊縣二百八十六人
  術曰令縣卒各如其居所及行道日數而一以為衰按此亦以日數為均居所為輸甲無行道日但以居所三十日為率言欲為均平之率者當使甲三十人而出一人出一人者計役則皆一人一日是以可為均平之率
  甲衰四乙衰五丙衰四丁衰三戊衰五副并為法以人數乘未并者各自為實實如法而一
  各置所當出人數以其居所及行道日數乘之如縣人數而一【案此二十四字原本又重見于後接故存之也下今刪彼存此】得戶率人役五日七分日之五【案此十二字原本接注文重見者之下今據徽說前後體例訂正】
  淳風等按為衰于今有術副并為所有率未并者各為所求率以賦卒人數為所有數此術以别攷則意同以廣異聞故存之也【案此條原本訛入上注接如縣人數而一之下脱淳風等按四字今據淳風等所釋前後體例訂正又為衰二字上有脱文當云各令居所及行道日數約縣卒為衰】
  有分者上下輩之
  輩配也今按丁分最少宜就戊除不從乙者丁近戊故也滿法除之有餘從乙丙分又少亦就乙除有餘從甲除之適盡從甲丙二分其數正等二者于乙遠近皆同不以甲從乙者方以下從上也
  今有均賦粟甲縣二萬五百二十戶粟一斛二十錢自輸其縣乙縣一萬二千三百一十二戶粟一斛一十錢至輸所二百里丙縣七千一百八十二戶粟一斛一十二錢至輸所一百五十里丁縣一萬三千三百三十八戶粟一斛一十七錢至輸所二百五十里戊縣五千一百三十戶粟一斛一十三錢至輸所一百五十里凡五縣賦輸粟一萬斛一車載二十五斛與僦一里一錢欲以縣戶輸粟令費勞等問縣各粟幾何答曰甲縣三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七乙縣二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十丙縣一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六丁縣一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三戊縣九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三術曰以一里僦價乘至輸所里
  此以出錢為均也問者曰一車載二十五斛與僦一里一錢一錢即一里僦價也以乘里數者欲知僦一車到輸所所用錢也甲自輸其縣則無取僦價也
  以一車二十五斛除之
  欲知僦一斛所用錢
  加一斛粟價【案原本一訛作以注同今據淳風等所釋竝改正】則致一斛之費加一斛之價于一斛僦直即凡餘粟取僦錢也甲一斛之費二十乙丙各十八丁二十七戊十九也
  各以約其戶數為衰
  言使甲二十戶共出一斛乙丙十八戶共出一斛計其所費則皆戶一錢故可為均賦之率也
  甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十副并為法所賦粟乘未并者各自為實實如法得一
  各置所當出粟以其一斛之費乘之如戶數而一得率戶出三錢二千八百七十三分錢之一千三百八十一
  淳風等按此以出錢為均問者曰一車載二十五斛與僦一里一錢一錢即一里僦價也【案原本脱價字今據注文補入】以乘里數者【案原本脱數字今據注文補入】欲知僦一車到輸所用錢甲自輸其縣則無取僦之價以一車二十五斛除之者欲知僦一斛所用錢加一斛之價于一斛僦直即凡餘粟取僦錢甲一斛之費二十乙丙各十八丁二十七戊一十九各以約其戶為衰甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十言使甲二十戶共出一斛乙丙十八戶共出一斛計其所費則皆戶一錢故可為均賦之率也【案率字下原本衍計字今刪】于今有術副并為所有率未并者各為所求率賦粟一萬斛為所有數此今有衰分之義也【案此條原本誤連上劉徽注脱淳風等三字攷其文義多與徽所注重複應是淳風等更舉注文以總解術意書内此䫫甚多今改正】計經賦之率既有戶算之率亦有遠近貴賤之率此二率者各自相與通功則甲二十乙十二丙七丁十三戊五一斛之費謂之錢率錢率約戶率者則錢為母戶為子子不齊令母互乘為齊則衰也若其不然以一斛之費約戶數取衰竝有分當通分内子約之于算甚繁此一章皆相與通功共率畧相依似以上二率下一率亦可放此從其簡易而已又以分言之使甲一戶出二十分


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