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御制历象考成后编

御制历象考成后编
  欽定四庫全書     子部六
  御製歷象考成後編目録  天文算法類一【推之屬】卷一
  日躔數理
  卷二
  月離數理
  卷三
  交食數理
  卷四
  日躔步法
  月離步法
  卷五
  月食步法
  卷六
  日食步法
  卷七
  日躔表
  卷八
  月離表上
  卷九
  月離表下
  卷十
  交食表
  【臣】等謹案
  御定歷象考成後編十卷乾隆二年奉
  撰新法算書推步法數皆仍西史第谷之舊其
  圖表之參差解說之隱晦者
  聖祖仁皇帝歷象考成上下二編研精闡微窮究理數固己極一時推步之精示萬世修明之法矣第測驗漸久而漸精算術亦愈變而愈巧自康熙中西洋噶西尼法蘭德等出又新製墜子表以定時千里鏡以測遠以發第谷未盡之義大端有三其一謂太陽地半徑差舊定為三分今測止有十秒蓋日天半徑甚遠測量所係秪在秒微又有蒙氣雜乎其内最為難定因思日月星之在天惟恒星無地半徑差若以日星相較可得其凖而日星不能兩見是測日不如測五星也土木二星在日上地半徑差愈微金水二星雖有時在日下而其行繞日逼近日光均為難測惟火星繞日而亦繞地能與太陽衝故夜半時火星正當子午線於南北兩處測之同與恒星相較其距恒星若相等則是無地半徑差若相距不等即為有地半徑差其不等之數即兩處地半經差之較且火星衝太陽時其距地較太陽為近則太陽地半徑差以比例算之必更小于火星地半徑差也其一謂清蒙氣差舊定地平上為三十四分高四十五度止有五秒今測地平上止三十二分高四十五度尚有五十九秒其說謂蒙氣繞乎地球之周日月星照乎蒙氣之外人在地面為蒙氣所映必能視之使高而日月星之光線入乎蒙氣之中必反折之使下故光線與視線在蒙氣之内則合而為一蒙氣之外則岐而為二所岐雖有不同而相合則有定處自地心過所合處作線抵圜周則此線即為蒙氣之割線視線與割線成一角光線與割線亦成一角二角相減即得蒙氣差角也其一謂日月五星之本天舊說為平圓今以為圓兩端徑長兩腰徑短蓋太陽之行有盈縮由於本天有高卑春分至秋分行最高半周故行縮而歷日多秋分至春分行最卑半周故行盈而歷日少其說一為不同心天一為本輪而不同心天之两心差即本輪之半徑故二者名雖異而理則同也第谷用本輪推盈縮差惟中距與實測合而最高最卑前後則差因用均輪以消息之然天行不能無差刻白爾以來屢加精測又以均輪所推高卑前後漸有微差乃設本天為撱圓均分撱圓而積為逐日平行之度則卑卑之理既與舊說無異而高卑前後盈縮之行乃俱與實測相符也據此三者則第谷舊法經緯俱有微差雍正八年六月朔日食以新法較之纎微密合是以
  世宗憲皇帝特允監臣戴進賢之請命脩日躔月離二表續於歷象考成之後然有表無說亦無推算之法吏部尚書顧琮恐久而失傳奏請增修表解圖說仰請
  睿裁垂諸永久凡新法與舊不同之處始抉剔底
  藴闡發無餘而其理仍與
  聖祖仁皇帝御製上下二編若合符節益足見聖
  聖相承先後同揆矣乾隆四十六年十月恭校上
  總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
  總校官【臣】陸費墀

  欽定四庫全書
  御製歷象考成後編卷一
  日躔數理
  日躔總論
  歲實
  黄赤距緯
  清蒙氣差
  地半徑差
  用撱圓面積為平行
  求兩心差及撱圓與平圓之比例
  求撱圓大小徑之中率
  撱圓角度與面積相求
  求均數

  日躔總論
  欽若授時以日躔為首務蓋日出而為晝入而為夜與月會而為朔行天一周而為歲歲月日皆於是乎紀故堯典以賓餞永短定治歷之大經萬世莫能易也其推之法三代以上不可考漢晉諸家皆以日行一度三百六十五日四分日之一而一周天自北齊張子信始覺有入氣之差而立損益之率隋劉焯立盈縮躔度與四序為升降厥法加詳至元郭守敬乃分盈縮初末四限較前代為密西法自多禄畝以至第谷則立為本天高卑本輪均輪諸說用三角形推算其術尤精上編言之備矣近世西人刻白爾噶西尼等更相推考又以本天為撱圓均分其面積為平行度與舊法迥殊然以求盈縮之數則界乎本輪均輪所得數之間盖其法之巧合雖若與第谷不同而其理則猶是本天高卑之說也至若歲實之轉增距緯與兩心差之漸近地半徑差蒙氣差之互為大小則亦由於積候損益舊數以成一家之言今用其法並釋其義云



  歲實
  日行天一周為歲周歲之日分為歲實古法日行一度故周天為三百六十五度四分度之一歲實為三百六十五日四分日之一【周日為一萬分四分之一為二千五百分】堯典曰朞三百有六旬有六日杜預謂舉全數而言則有六日其實五日四分日之一是也漢末劉洪始覺冬至後天以為歲實太強減歲餘分二千五百為二千四百六十二晉虞喜宋何承天祖沖之謂歲當有差乃損歲餘以益天周歲差之法由斯而立元郭守敬取劉宋大明戊寅以來相距之積日時刻求得歲實為三百六十五日二千四百二十五分比四分日之一減七十五分而天周即為三百六十五度二千五百七十五分矣西法周天三百六十度第谷定歲實為三百六十五日五時三刻三分四十五秒以周日一萬分通之得三百六十五日二四二一八七五較之郭守敬又減萬分之三有奇以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纖五十一忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】歲差則謂恒星每年東行五十一秒不特天自為天歲自為歲而星又自為星其理甚明其用尤便上編仍之厥後西人奈端等屢測歲實又謂第谷所減太過酌定歲實為三百六十五日五時三刻三分五十七秒四十一微三十八纖二忽二十六芒五十六塵以周日一萬分通之得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五比第谷所定多萬分之一有奇以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纖四十三忽二十二芒零三塵【即十分度之九分八五六四六九六九三五一二八二二五】比第谷所定少五纖有奇每年少三十微有奇盖歲實之分數增則日行之分數減據今表推雍正元年癸卯天正冬至比第谷舊表遲二刻日躔平行根比舊表少一分一十四秒【見推日躔用數】而第谷去今一百四十餘年以數計之其差恰合是亦取前後兩冬至相距之積日時刻而均分之非意為增損也至於歲實消長統天授時用之新法算書雖為之說而實未用其數兹不具論


  黄赤距緯
  黄赤距緯古今所測不同自漢以來皆謂黄道出入赤道南北二十四度元郭守敬所測為二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分約之得三十三度三十三分三十二秒新法算書用西人第谷所測為二十三度三十一分三十秒康熙五十二年
  皇祖聖祖仁皇帝命和碩莊親王等率同儒臣於暢春園蒙養齋開局測太陽高度得黄赤大距為二十三度二十九分三十秒今監臣戴進賢等歷考西史第谷所測盖在明隆萬時而漢時多禄畝所測為二十三度五十一分三十秒較第谷為多我朝順治年間刻白爾改為二十三度三十分後利酌理噶西尼又改為二十三度二十九分俱較第谷為少其前後多少之故或謂諸家所用蒙氣差地半徑差之數各有不同故所定距緯亦異然合中西考之第谷以前未知有蒙氣差而多禄畝與古為近至郭守敬則與第谷相若而去多禄畝則有十
  數分之多康熙年間所用蒙氣差地半徑差俱仍第谷之舊與刻白爾噶西尼等所用之數不同而所測大距又相去不遠由此觀之則黄赤距度古今實有不同而非由於所用差數之異所當隨時考測以合天也近日西法並宗噶西尼故黄赤大距為二十三度二十九分至於測量之術推算之理上編闡奥發微千古不易故不復載

  清蒙氣差
  清蒙氣差西人第谷始發其義謂地中遊氣上騰能升卑為高映小為大而蒙氣之厚薄升像之高下又隨地不同其所作蒙氣差表謂其國北極出地五十五度測得地平上最大蒙氣差三十四分自地平以上其差漸少至距地高四十五度猶差五秒更高則無蒙氣矣厥後西人又言北極高四十八度太陽高四十五度時蒙氣差尚有一分餘自地平至天頂皆有蒙氣差上編具載其說而表則仍新法算書第谷之舊也今監臣戴進賢等歷考西史第谷所定地平上蒙氣差其門人刻白爾即謂失之稍大而猶未定有確數至噶西尼始從而改正焉其說謂蒙氣繞乎地球之周日月星照乎蒙氣之外人在地面為蒙氣所映必能視之使高而日月星之光線入乎蒙氣之中必反折之使下故光線與視線在蒙氣之内則合而為一蒙氣之外則岐而為二此二線所交之角即為蒙氣差角第谷己悟其理然猶未有算術噶西尼反覆精求謂視線與光線所岐雖有不同而相合則有定處自地心過所合處作線抵圜周則此線即為蒙氣之割線視線與割線成一角光線與割線亦成一角二角相減即得蒙氣差角爰在北極出地高四十四度處屢加精測得地平上最大差為三十二分一十九秒蒙氣之厚為地半徑千萬分之六千零九十五視線角與光線角正弦之比例常如一千萬與一千萬零二千八百四十一用是以推逐度之蒙氣差至八十九度尚有一秒驗諸實測較第谷為密近日西法並宗之具詳圖法於左
  如圖甲為地心乙為地面
  乙甲為地半徑一千萬丙
  乙為蒙氣之厚六千零九
  十五丁為太陽【月星倣此】照於
  蒙氣之戊人自地面乙視
  之則見日於戊者當本天
  之巳巳戊乙為視線丁戊
  乙為光線是視線常高光
  線常卑視線常直光線常
  折在戊點蒙氣之内則光
  線與視線合同為戊乙出
  乎戊點之外則視線己戊
  光線丁戊岐而為二故己
  戊丁角為蒙氣差角試自
  地心甲出線過戊點至庚
  則庚甲即為地平上蒙氣
  之割線己戊庚角為視線
  與割線所成之角丁戊庚
  角為光線與割線所成之
  角而己戊丁蒙氣差角即
  為兩角之較今既測得地
  平上蒙氣差為三十二分
  一十九秒又測定蒙氣之
  厚為六千零九十五則己
  戊庚視線角與丁戊庚光
  線角可以得其比例其術
  用甲乙戊直角三角形以
  甲戊一○○○六○九五
  與甲乙一千萬之比同於
  乙直角正弦一千萬與戊
  角正弦九九九三九○八
  【小餘七一】之比而得戊角為八
  十八度【小餘百分秒之四二】即己戊
  庚角又以己戊丁蒙氣差
  角三十二分一十九秒與
  之相加得八十八度三十
  二分一十九秒【小餘四二】即丁
  戊庚角其正弦為九九九
  六七四八【小餘二五】夫視線角
  之正弦己辛為九九九三
  九○八【小餘七一】則光線角之
  正弦丁壬為九九九六七
  四八【小餘二五】若設己辛為一
  千萬則丁壬必為一○○
  ○二八四一此兩角正弦
  之比例也既得兩弦之比
  例而蒙氣差之戊角與視
  線交蒙氣割線之戊角同
  以在地平為最大漸近天
  頂則漸小則是二者常相
  因而逐度之蒙氣差皆可
  以兩弦比例而推如求地
  平上高二十度癸己弧之
  蒙氣差則癸戊乙為視線
  子戊乙為光線丑戊甲為
  地平上二十度蒙氣之割
  線戊乙丙角為七十度癸
  戊丑角為視線與割線所
  成之角其正弦為癸寅子
  戊丑角為光線與割線所
  成之角其正弦為子卯先
  用甲戊乙三角形求得戊
  角六十九度五十四分一
  十五秒【小餘五五】即癸戊丑角
  又以一千萬與一○○○
  二八四一之比同於癸寅
  與子卯之比而得子戊丑
  角為六十九度五十六分
  五十五秒【小餘九二】兩角相減
  餘癸戊子角二分四十秒
  【小餘三七】即地平上二十度之
  蒙氣差也餘倣此

  地半徑差
  地半徑差者視高與實高之差也太陽距地平近則差角大漸高則漸小又太陽在最卑距地心近則差角大在最高距地心遠則差角小在中距為適中新法算書用歌白尼所定地半徑與中距日天半徑之比例為一與一千一百四十二地平上最大差為三分上編仍之其測量推算之法言之詳矣自後噶西尼等謂日天半徑甚遠無地半徑差而測量所係只在秒微又有蒙氣雜乎其内最為難定因思日月星之在天惟恒星無地半徑差若以日與恒星相較可得其準而日星不能兩見是測日不如測五星也土木二星在日上去地尤遠地半徑差愈微金水二星雖有時在日下而其行繞日逼近日光均為難測惟火星繞日而亦繞地能與太陽衝故夜半時火星正當子午線於南北兩處測之同與一恒星相較其距恒星若相等則是無地半徑差若相距不等即為有地半徑差其不等之數即兩處地半徑差之較且火星衝太陽時其距地較太陽為近則太陽地半徑差必更小於火星地半徑差也噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半徑差為二十五秒比例得太陽在中距時地平上最大地半徑差為一十秒驗之交食果為脗合近日西法並宗其說今用所定地半徑差求地半徑與日天半徑之比例中距為一與二萬零六百二十六最高為一與二萬零九百七十五最卑為一與二萬零二百七十七以求地平上最大之地半徑差最高為九秒五十微最卑為一十秒一十微測算之法並述於左
  康熙十一年壬子秋分前
  十四日火星與太陽衝西
  人噶西尼於富郎濟亞國
  測得火星距天頂五十九
  度四十分一十五秒利實
  爾於噶耶那島測得火星
  距天頂一十五度四十七
  分五秒同時用有千里鏡
  能測秒微之儀器與子午
  線上最近一恒星測其相
  距噶西尼所測火星較低
  一十五秒【如噶西尼測得火星距恒星下
  四十分一十五秒利實爾測得火星距恒星下四十
  分又逐日細測恒星距天頂噶西尼測得為五十九
  度利實爾測得為一十五度七分五秒各與所測火
  星距恒星之數相加即各得火星距天頂之度】以
  之立法甲為地心乙為富
  郎濟亞國地面丙為天頂
  丁為噶耶那島地面戊為
  天頂己為火星丙戊己庚
  為子午線【如兩地面不同在一子午線則
  須按東西里差求其同一子午線之高度見上編日
  躔歷理】己乙丙角為乙處火
  星視距天頂五十九度四
  十分一十五秒己丁戊角
  為丁處火星視距天頂一
  十五度四十七分五秒【地面
  為視距地心為實距】辛為恒星辛甲
  丙角為乙處恒星距天頂
  之度辛甲戊角為丁處恒
  星距天頂之度因恒星距
  地甚遠地面所視與地心
  無異故無地半徑差假若
  火星亦無地半徑差則乙
  處火星實距天頂當為己
  甲丙角丁處火星實距天
  頂當為己甲戊角而火星
  與恒星之相距即同為己
  甲辛角無高低之異乃乙
  處所測火星距天頂為己
  乙丙角較之實距天頂之
  己甲丙角低一乙己甲角
  是即乙處之地半徑差也
  丁處所測火星距天頂為
  己丁戊角較之實距天頂
  之己甲戊角低一丁己甲
  角是即丁處之地半徑差
  也夫火星之距恒星一也
  因乙處所測火星距天頂
  遠故乙己甲差角大丁處
  所測火星距天頂近故丁
  己甲差角小則乙處所測
  火星距恒星較丁處一
  十五秒即兩差角相減所
  餘之丁己乙角乃兩處地
  半徑差之較也既得地半
  徑差較丁己乙角而欲求
  地平上最大差甲壬乙角
  則以兩處所測火星距天
  頂之正弦相減與地半徑
  差較秒數之比即同於半
  徑一千萬與地平上最大
  差秒數之比盖將己乙線
  引長至癸自甲作甲癸垂
  線成甲癸乙直角形癸為
  直角乙角與己乙丙為對
  角即乙處火星距天頂之
  度甲癸為地半徑差乙己
  甲角之正弦【甲己為半徑故】甲乙
  為地半徑即最大差甲壬
  乙角之正弦【甲壬為半徑故】其法
  為乙角正弦與甲癸之比
  同於癸直角正弦一千萬
  與甲乙之比檢表而得壬
  角也又將己丁線引長至
  子自甲作甲子垂線成甲
  子丁直角形子為直角丁
  角與己丁戊為對角即丁
  處火星距天頂之度甲子
  為地半徑差丁己甲角之
  正弦甲丁與甲乙等亦為
  最大差甲壬乙角之正弦
  其法為丁角正弦與甲子
  之比同於子直角正弦一
  千萬與甲丁之比亦檢表
  而得壬角也夫兩視距天
  頂之正弦與兩地半徑差
  正弦之比既皆同於一千
  萬與最大差正弦之比則
  兩視距天頂正弦相減之
  較與兩地半徑差正弦相
  減之較之比亦必同於一
  千萬與最大差正弦之比
  又地半徑差角甚小其兩
  正弦之較與兩角度之較
  可以相為比例則兩視距
  天頂正弦相減之較與兩
  地半徑差相減所餘秒數
  之比亦必同於一千萬與
  最大差秒數之比矣故以
  己乙丙角五十九度四十
  分一十五秒之正弦八六
  三一三八六與己丁戊角
  一十五度四十七分五秒
  之正弦二七二○二三六
  相減餘五九一一一五○
  為一率乙己丁角一十五
  秒為二率一千萬為三率
  求得四率二十五秒【小餘三七】即甲壬乙角為火星在地
  平上最大之地半徑差也
  既得火星地半徑差甲壬
  乙角而欲求太陽地半徑
  差甲丑乙角據歌白尼第
  谷測得火星距地甲壬與
  太陽距地甲丑之比如一
  百與二百六十六其法當
  先用甲乙壬形以乙角正
  弦為一率甲壬為二率壬
  角正弦為三率甲乙為四
  率此第一比例也次用甲
  乙丑形以甲丑為一率乙
  角正弦為二率甲乙為三
  率丑角正弦為四率此第
  二比例也然第二比例之
  二率三率即第一比例之
  一率四率而一率四率相
  乘原與二率三率相乘之
  數等故即以甲丑二六六
  為一率甲壬一○○為二
  率壬角二十五秒【小餘三七】為
  三率求得四率九秒【小餘五三】進為一十秒為丑角度【因壬
  丑二角甚小正弦與角度可以相為比例故壬角用
  秒丑角亦得秒】即太陽在地平上
  最大之地半徑差也
  又按上編日躔求地半徑
  差法以兩處恒星距天頂
  相減餘四十三度五十二
  分五十五秒為戊丙弧即
  戊甲丙角先用乙甲丁三
  角形甲乙甲丁二邊俱命
  為一千萬以甲角折半之
  正弦倍之得七四七三○
  二三為乙丁邊又以甲角
  與半周相減餘數半之得
  六十八度三分三十二秒
  三十微為乙角亦即丁角
  次用乙己丁三角形此形
  有乙丁邊有己乙丁角五
  十二度一十六分一十二
  秒三十微【半周内減去甲乙丁角又減去
  己乙丙角餘即己乙丁角】有己丁乙角
  一百二十七度四十三分
  三十二秒三十微【半周内減去甲
  丁乙角加己丁戊角即己丁乙角】有乙己
  丁角一十五秒【乙丁二角相併與半
  周相減餘即己角與前地半徑差較合】求得
  己丁邊八一二七五一二
  五一五四【小餘二九】次用己丁
  甲三角形此形有甲丁邊
  有丁己邊有丁外角一十
  五度四十七分五秒【即丁處火
  星距天頂】將己丁線引長至子
  成甲子丁直角形丁角正
  弦二七二○二三六【小餘五】即甲子邊丁角餘弦九六
  二二九○六即丁子邊以
  丁子與己丁相加得己子
  八一二八四七四八○六
  ○【小餘二九】為股甲子為勾求
  得弦八一二八四七四八
  一一二為甲己邊與甲壬
  等即火星距地心數以地
  半徑較之其比例為一與
  八千一百二十八又以甲
  壬為一率甲乙為二率一
  千萬為三率求得四率一
  二三○【小餘二四】為壬角之正
  弦檢表得二十五秒【小餘三七】為火星在地平上最大差
  與前法所得數同【上編求日纒地
  半徑差亦可用前法算但兩處所測太陽一在天頂
  南一在天頂北其差角為地半徑差總當以兩距天
  頂之正弦相加與地半徑差總秒數之比同於一千
  萬與地平上最大差秒數之比耳】

  用撱圓面積為平行
  太陽之行有盈縮由於本天有高卑春分至秋分行最高半周故行縮而歷日多秋分至春分行最卑半周故行盈而歷日少其說一為不同心天一為本輪而不同心天之兩心差即本輪之半徑故二者名雖異而理則同也第谷用本輪以推盈縮差惟中距與實測合最高前後則失之小最卑前後則失之大又最高之高於本天半徑最卑之卑於本天半徑者非兩心差之全數而止及其半故又用均輪以消息乎其間而後高卑之數盈縮之行與當時實測相合上編言之詳矣然天行不能無差元郭守敬定盈縮之最大差為二度四○一四以周天三百六十度每度六十分約之得二度二十二分新法算書第谷所定之最大差為二度零三分一十一秒刻白爾以來屢加精測盈縮之最大差止有一度五十六分一十二秒又以推逐度之盈縮差最高前後本輪固失之小矣均輪又失之大最卑前後本輪固失之大矣均輪又失之小乃設本天為撱圓均分撱圓面積為逐日平行之度則高卑之理既與舊說無異而高卑前後盈縮之行乃俱與今測相符具詳圖說如左
  如圖甲為地心乙丙丁戊
  為黄道己為不同心天之
  心庚辛壬癸為不同心天
  乙庚為本輪半徑與甲己
  兩心差等以本輪之法論
  之最卑時本輪心在乙太
  陽在庚中距時本輪心在
  丙太陽在辛乙丙為平行
  九十度辛甲丙角為平行
  實行之最大差以不同心
  天之法論之太陽自最卑
  庚行至辛亦九十度己辛
  甲角為平行實行之最大
  差與辛甲丙角等故本輪
  之法與不同心天之法相
  同以均輪之法論之最卑
  時本輪心在乙均輪心在
  子太陽在丑中距時本輪
  心在丙均輪心在卯太陽
  在辛最高時本輪心在丁
  均輪心在辰太陽在巳辛
  甲丙角最大差仍當甲己
  之全而丑乙之卑於本天
  半徑巳丁之高於本天半
  徑者止及甲己之半與甲
  寅等故以推盈縮差惟中
  距與本輪同最高半周比
  之本輪則大【距地近故角大】最卑
  半周比之本輪則小【距地遠故
  角小】此其所以消息乎本輪
  之行度者當時必有所據
  而自刻白尔以來則謂高
  卑之數均輪所定誠是但
  其數漸減耳至以推盈縮
  差則均輪之所消息者又
  屬太過惟以寅為不同心
  天之心作撱圓形自地心
  甲瓜分之計太陽在撱圓
  周右旋其所行之分撱圓
  面積日日皆相等而用以
  推黄道實行之盈縮則在
  本輪均輪所得數之間而
  與實測脗合試以寅為心
  與己丑作十字線又取寅
  丑之度從甲截横線於午
  使午甲午己皆與寅丑半
  徑等乃以甲己兩點各為
  心午為界各用一針釘之
  圍以絲線末以鉛筆代午
  針引而旋轉即成丑午己
  未撱圓形寅丑寅己為撱
  圓大半徑寅午寅未為撱
  圓小半徑則撱圓不以甲
  己為心而以寅為心丑乙
  之卑於黄道巳丁之高於
  黄道者止及甲己之半與
  寅甲等是高卑之理與均
  輪合矣又將撱圓面積以
  甲為心均分為三百六十
  分每分之積皆為一度每
  一度積為六十分太陽每
  日右旋當每一度積之五
  十九分有奇是為平行在
  最卑半周甲心至撱圓界
  之線短則角度必寛是為
  行盈在最高半周甲心至
  撱圓界之線長則角度必
  狹是為行縮故太陽循撱
  圓周行惟所當之面積相
  等而角不等其角度與積
  度之較即平行實行之差
  中距平行至申甲申丑積
  為撱圓四分之一為平行
  九十度與寅午丑積等【申午
  酉積微大于酉寅甲積然所差無多故為相等】亦
  與申己甲角等而自地心
  甲計之己當黄道之戌戌
  甲丑角為實行己申甲角
  為平行實行之差是中距
  之盈縮差與本輪均輪皆
  合矣用是以推逐度之盈
  縮差在最高半周比之本
  輪固大比之均輪又微小
  最卑半周比之本輪固小
  比之均輪又微大驗諸實
  測庶為近之推算之法具
  詳後篇

  求兩心差及撱圓與平圓之比例
  新法算書日躔中距之盈縮差為二度零三分零九秒四十微檢其正切得兩心差為三五八四一六上編仍之今測中距之盈縮差得一度五十六分一十二秒折半得五十八分零六秒檢其正弦得一六九○○○為兩心差倍之得三三八○○○比舊數少千分之二有奇乃以兩心差一六九○○○為勾平圓半徑一千萬為弦求得股九九九八五七一【小餘八四八○一九一】即撱圓之小半徑而凡撱圓之正弦角度面積與平圓之比例皆同於撱圓之小半徑與平圓半徑之比例焉
  如圖甲為地心乙為本天
  心甲乙為兩心差甲丙為
  倍差丁戊己庚撱圓為本
  天乙丁為大半徑一午萬
  乙戊為小半徑丙戊甲戊
  皆與乙丁等太陽行至戊
  甲戊丁分撱圓面積八十
  九度一分五十四秒為平
  行其小於九十度之五十
  八分六秒即甲乙戊勾股
  積【乙戊丁積為撱圓四分之一必九十度故甲戊
  丁積小於九十度之積即甲乙戊勾股積】亦即
  乙戊甲角【甲乙戊勾股積甲戊邊即大徑
  乙戊邊即小徑其積介乎大小徑之間與分平圓面
  相似故積度即角度若近甲丁則邊短而角大近甲
  己則邊長而角小詳後篇】戊甲丁角九
  十度五十八分零六秒為
  實行其大於九十度者亦
  五十八分六秒即戊甲辛
  角與乙戊甲角等亦與丙
  戊乙角等平行實行之差
  一度五十六分一十二秒
  即甲戊丙角折半得五十
  八分零六秒即乙戊甲角
  甲戊既為一千萬則甲乙
  即乙戊甲角之正弦故檢
  表得一六九○○○即甲
  乙兩心差以甲乙為勾甲
  戊為弦求得乙戊股九九
  九八五七一【小餘八四八○一九一】即撱圓小半徑也既得撱
  圓小徑則凡撱圓之面線
  及角度皆可以得其比例
  以正弦之比例言之試以
  乙為心乙丁為半徑作丁
  壬己癸平圓則撱圓乙丁
  大半徑與平圓乙壬半徑
  相等戊乙小半徑之小於
  平圓半徑者即壬戊撱圓
  差若逐度割之則撱圓之
  餘弦必與平圓之餘弦相
  等而撱圓之正弦必小於
  平圓之正弦然平圓正弦
  與撱圓正弦之比例必同
  於平圓半徑與撱圓小半
  徑之比例也如丁點為初
  度無正弦丁乙為初度之
  餘弦平圓與撱圓等丁壬
  弧為九十度無餘弦壬乙
  為平圓九十度之正弦即
  大半徑戊乙為撱圓九十
  度之正弦即小半徑壬戊
  即九十度之撱圓差丁子
  弧為三十度丑乙為三十
  度之餘弦平圓與撱圓等
  子丑為平圓三十度之正
  弦寅丑為撱圓三十度之
  正弦子寅為三十度之撱
  圓差丁卯弧為六十度辰
  乙為六十度之餘弦平圓
  與撱圓等卯辰為平圓六
  十度之正弦巳辰為撱圓
  六十度之正弦卯巳為六
  十度之撱圓差則子丑與
  寅丑之比卯辰與巳辰之
  比皆同於壬乙與戊乙之
  比而子丑與子寅之比卯
  辰與卯巳之比皆同於壬
  乙與壬戊之比也奚以明
  其然也盖撱圓之與平圓
  處處皆有一小半徑藏乎
  其内試取壬戊之分於乙
  心作圜則午乙未乙申乙
  酉乙皆與壬戊等壬午卯
  未子申丁酉皆與戊乙等
  是推而抵於平圓之界各
  有一小半徑在也又自甲
  丙二點出線合於戊則小
  徑之端在戊而末在乙自
  甲丙二點出線合於丁則
  小徑之端在丁而末在酉
  若自甲丙出二線合於寅
  則小徑必端在寅而末在
  戌合於巳則小徑必端在
  巳而末在亥是引而歸於
  平圓之徑又各有一小半
  徑在也夫寅戌巳亥既皆
  為小徑而申戌未亥又與
  子丑卯辰為平行則寅戌
  與子申巳亥與卯未亦必
  為平行而申戌與子寅未
  亥與卯巳必各相等故乙
  子丑與戌寅丑及乙申戌
  為同式形乙卯辰與亥巳
  辰及乙未亥亦為同式形
  而子丑與寅丑之比同於
  子乙【即壬乙】與寅戌【即戊乙】之
  比卯辰與巳辰之比同於
  卯乙【即壬乙】與巳亥【即戊乙】之
  比又子丑與申戌【即子寅】之
  比同於子乙【即壬乙】與申乙
  【即壬戊】之比卯辰與未亥【即卯
  巳】之比同於卯乙【即壬乙】與
  未乙【即壬戊】之比是平圓與
  撱圓正弦之比例同於大
  徑與小徑之比例也以角
  度之比例言之設卯乙辰
  角為平圓六十度【即丁卯弧】求
  撱圓之巳乙辰角試以乙
  辰為半徑作弧則卯辰為
  卯乙辰角之正切巳辰為
  巳乙辰角之正切夫卯辰
  與巳辰之比既同於壬乙
  與戊乙之比則卯乙辰角
  之正切與巳乙辰角正切
  之比亦必同於壬乙與戊
  乙之比故以壬乙一千萬
  為一率戊乙九九九八五
  七一【小餘八五】為二率卯乙辰
  角六十度之正切一七三
  二○五○八為三率求得
  四率一七三一八○三四
  為巳乙辰角之正切檢表
  得五十九度五十九分四
  十七秒即巳乙辰角而卯
  乙巳角一十三秒為撱圓
  差角【卯乙辰角内減巳乙辰角餘即卯乙巳角】又設巳甲辰角六十度五
  十分三十二秒求卯甲辰
  角試以甲辰為半徑作弧
  則巳辰為巳甲辰角之正
  切卯辰為卯甲辰角之正
  切夫卯辰與巳辰之比既
  同於壬乙與戊乙之比則
  巳辰與卯辰之比必同於
  戊乙與壬乙之比而已甲
  辰角之正切與卯甲辰角
  正切之比亦必同於戊乙
  與壬乙之比故以戊乙九
  九九八五七一【小餘八五】為一
  率壬乙一千萬為二率巳
  甲辰角之正切一七九二
  三八九七為三率求得四
  率一七九二六四五七為
  卯甲辰角之正切檢表得
  六十度五十分四十五秒
  即卯甲辰角而卯甲巳角
  一十三秒為撱圓差角是
  平圓與撱圓角度之比例
  亦同於大徑與小徑之比
  例也再以面積之比例言
  之凡平圓面積與撱圓面
  積之比例同於平圓外切
  正方面積與撱圓外切長
  方面積之比例亦即同於
  撱圓大徑與小徑之比例
  【撱圓大徑即平圓徑見幾何原本八卷第十二節】如求撱圓六十度之面積
  則先設丁卯弧六十度求
  乙卯丁六十度之平圓面
  積以比之法以半周率三
  一四一五九二六五【定率圓徑
  一千萬則圓周為三一四一五九二六五今一千萬
  為半徑故周率為半周】用三分之得
  一○四七一九七五五為
  卯丁弧線【因卯丁弧六十度為半周三分
  之一故三分半周率而得卯丁弧線若有奇零則須
  用比例法】與乙卯半徑一千萬
  相乘折半得五二三五九
  八七七五○○○○○即
  乙卯丁分平圓六十度之
  面積而為丁壬己癸平圓
  全積六分之一又以壬乙
  大半徑一千萬為一率戊
  乙小半徑九九九八五七
  一【小餘八五】為二率乙卯丁積
  為三率求得四率五二三
  五二三九九七二四○九
  五即乙己丁分撱圓六十
  度之面積而為丁戊己庚
  撱圓全積六分之一也【此所
  得六十度積較之全積六分之一尾數稍大因小徑
  之小餘為八四八進為八五之故然於圓度只差纎
  忽可不計也】蓋將平圓撱圓二
  面積依壬癸横徑縷析之
  則皆成線矣其線與線之
  比既同於大徑與小徑之
  比則面與面之比亦同於
  大徑與小徑之比故分之
  丁卯辰弧矢積與丁巳辰
  弧矢積之比卯辰乙勾股
  積與巳辰乙勾股積之比
  皆同於大徑與小徑之比
  而合之乙卯丁分平圓面
  積與乙巳丁分撱圓面積
  之比亦必同於大徑與小
  徑之比也既得撱圓與平
  圓之各比例則面線角度
  皆可得而求至於撱圓正
  弦以平圓命度而角度不
  同分撱圓面積與全積相
  當而角不相應則撱圓差
  之所生而與平圓之所以
  别也

  求撱圓大小徑之中率
  凡平圓面積自中心分之其所分面積之度即其心角之度以圜界為心角之規而半徑俱相等也若撱圓有大小徑角與積巳不相應矣【見前篇】况實行之角平行之積皆不以本天心為心而以地心為心太陽距地心線自最卑以漸而長逐度俱不等又何以知積之為度而與角相較乎然以大小徑之中率作平圓其面積與撱圓等將平圓面積逐度遞析之則度分秒皆可按積而稽撱圓之全積既與平圓全積等則其遞析之面積亦必相等故分撱圓面積雖非度亦可以度命之而度分秒亦可按積而稽也
  如圖甲為地心乙為本天
  心乙甲為兩心差丙甲為
  倍差丁戊己庚撱圓為本
  天乙丁為大半徑一千萬
  乙戊為小半徑九九九八
  五七一【小餘八四八○一九一】試以
  乙丁大半徑作丁辛己壬
  平圓則平圓與撱圓二面
  積之比例同於平圓外切
  癸子丑寅正方積與撱圓
  外切卯辰巳午長方積之
  比例又試以乙丁大半徑
  為首率乙戊小半徑為末
  率求得乙申中率九九九
  九二八五【小餘八九】作平圓則
  大半徑所作丁辛己壬平
  圓與中率所作申酉戌亥
  平圓二面積之比例亦同
  於大徑平圓外切癸子丑
  寅正方積與中率平圓外
  切乾坎艮震正方積之比
  例此二比例既同而乾坎
  艮震正方積原與卯辰巳
  午長方積等【首率末率相乘與中率自
  乘等】則申酉戌亥平圓積亦
  必與丁戊己庚撱圓積相
  等矣乃以己丁大徑二千
  萬與戊庚小徑一九九九
  七一四三【小餘六九六○三八二】相
  乘得卯辰巳午長方積與
  乾坎艮震正方積等以方
  與圓之比例定率七八五
  三九八一六二五通之得
  三一四一一四三九八二
  八二三三七為申酉戌亥
  平圓面積與丁戊己庚撱
  圓面積等將申酉戌亥平
  圓面積以三百六十度除
  之得八七二五三九九九
  五二二九為一度之面積
  其形為分平圓面其兩腰
  皆為中率半徑與乙申等
  其弧其角皆為一度若將
  丁戊己庚撱圓面積自甲
  心亦平分為三百六十分
  則其形為分撱圓面其兩
  腰自甲丁極短以漸而長
  逐度俱不等其弧其角亦
  不等然其每分之面積則
  皆與一度之面積等故凡
  分一段撱圓面積以一度
  之面積為法而一則面積
  即可以度分命之然後以
  面積之度與角度相較而
  平行實行之差出焉如以
  甲為心以中率為半徑作
  平圓則甲巽丁分撱圓面
  積為太陽距最卑後之平
  行度與甲離申分平圓面
  積等亦即與離甲申角等
  巽甲離角為平行實行之
  差其實行在平行前甲坤
  己分撱圓面積為太陽距
  最高後之平行度與甲兑
  戌分平圓面積等亦即與
  兑甲戌角等兑甲坤角為
  平行實行之差其實行在
  平行後也

  撱圓角度與面積相求
  前篇言以面積之度與角度相較而平行實行之差以出盖太陽距最卑後平行之度必與太陽距地心線所分之撱圓面積等故可以平行度為面積而求實行也然實行固角度也以實測言之則先得實行後求平行以角而求積也易以推步言之則先設平行後求實行以積而求角也難故先設以角求積之法可以知數理之實次設以積求角之法可以知比例之術次設借積求積借角求角之法可以知巧合補凑之方反覆參稽而數之離合乃纖悉畢呈焉圖說詳著於左
  先設以角求積法如圖甲
  為地心乙為本天心甲乙
  為兩心差丙甲為倍差丁
  戊己庚為本天丁為最卑
  己為最高設太陽在辛辛
  甲丁角為實行距最卑後
  六十度求甲辛丁分撱圓
  面積平行若干度分先將
  甲辛線引長至壬作丙壬
  垂線成甲丙壬辛丙壬兩
  勾股形乃以半徑一千萬
  為一率甲角六十度之正
  弦八六六○二五四為二
  率【丙甲壬角與辛甲丁角為對角其度相等】丙
  甲倍兩心差三三八○○
  ○為三率求得四率二九
  二七一六【小餘五九】為丙壬邊
  又以半徑一千萬為一率
  甲角六十度之餘弦五○
  ○○○○○為二率丙甲
  邊為三率求得四率一六
  九○○○為甲壬邊次以
  丙壬為勾自乘以甲壬與
  甲辛丙辛兩邊和二千萬
  相加得二○一六九○○
  ○為股弦和除之得四二
  四八【小餘二五】為股弦較與股
  弦和相加折半得一○○
  八六六二四【小餘一三】為丙辛
  邊與二千萬相減餘九九
  一三三七五【小餘八七】為甲辛
  邊即太陽距地心線次以
  半徑一千萬為一率甲角
  六十度之正弦八六六○
  二五四為二率甲辛邊為
  三率求得四率八五八五
  二三五【小餘三○】即辛癸邊次
  以撱圓小徑九九九八五
  七一【小餘八五】為一率大徑一
  千萬為二率辛癸邊為三
  率求得四率八五八六四
  六一【小餘五八】即子癸邊檢正
  弦得五十九度九分五十
  三秒【小餘六九】即乙角度亦即
  子丁弧度次以半周天一
  百八十度化作六十四萬
  八千秒為一率半圓周定
  率三一四一五九二六【小餘
  五】為二率乙角度分化作
  二十一萬二千九百九十
  三秒【小餘六九】為三率求得四
  率一○三二六二二五【小餘
  四七八四○○九】為子丁弧線與
  乙丁半徑一千萬相乘折
  半得五一六三一一二七
  三九二○○五為乙子丁
  分平圓面積次以撱圓大
  徑一千萬為一率小徑九
  九九八五七一【小餘八五】為二
  率乙子丁積為三率求得
  四率五一六二三七五三
  六九二五四六為乙辛丁
  分撱圓面積次以乙甲一
  六九○○○與辛癸八五
  八五二三五【小餘三○】相乘折
  半得七二五四五二八八
  二八五○為辛乙甲三角
  積【辛乙甲三角積以乙甲為底辛癸為高故與同
  底同高折半之積等】與乙辛丁積相
  減餘五○八九八三○○
  八○九六九六即甲辛丁
  分撱圓面積以一度之面
  積定率八七二五三九九
  九五二二九除之得五十
  八度三三三四【小餘八七】收作
  五十八度二十分○秒三
  十三微即實行距最卑後
  六十度時之平行度也
  又法求甲辛太陽距地心
  線將甲辛線引長至壬使辛
  壬與丙辛等又自丙至壬作
  丙壬線成甲丙壬三角形此
  形知丙甲倍兩心差三三八
  ○○○知甲壬二千萬知甲
  外角六【甲辛丙辛共二千萬辛壬既與丙辛
  等故甲壬亦二千萬】十度用切線分
  外角法求得壬角四十九分
  五十三秒又求得丙壬邊二
  【小餘三六】○一七一○八○次
  將丙壬邊折半【小餘二九】於癸
  作辛癸垂線成壬癸辛直角
  形以半徑一千萬為一率壬
  角正割線一○○○一○五
  三為二率癸壬邊一○○八
  五【小餘三五】五四○為三率求
  得四率一○○甲辛【小餘一四五】丙辛共二千萬辛壬既與丙
  八六六○二【小餘六一】為辛壬
  邊與甲壬二千萬相減餘
  九九一三三九七【小餘三九】即
  甲辛太陽距地心線也此
  法所得甲辛線較前法多
  二十二盖因壬角甚小比
  例易差耳然其角度自不
  爽故後借角求角之法則
  用之且以甲為心以二千
  萬為半徑作圜【如甲壬】又取
  兩心差之倍度截直徑於
  丙自丙出線至圜周【如丙壬】折半作垂線【如癸辛】所抵圜
  徑之點即撱圓界【如辛點】依
  法逐度作點連之即成撱
  圓周以此發明撱圓之理
  最為精巧故附於此
  又設太陽在壬壬甲己角
  為實行距最高後六十度
  求甲壬己分撱圓面積平
  行若干度分則以半徑一
  千萬為一率甲角六十度
  之正弦八六六○二五四
  為二率丙甲三三八○○
  ○為三率求得四率二九
  二七一六【小餘五九】為丙癸垂
  線又以半徑一千萬為一
  率甲角六十度之餘弦五
  ○○○○○○為二率丙
  甲邊為三率求得四率一
  六九○○○為甲癸分邊
  次以丙癸為勾自乘以甲
  癸與甲壬丙壬兩邊和二
  千萬相減餘一九八三一
  ○○○為股弦和除之得
  四三二○【小餘六六】為股弦較
  與股弦和相加折半得九
  九一七六六○【小餘三三】為丙
  壬邊與二千萬相減餘一
  ○○八二三三九【小餘六七】為
  甲壬邊即太陽距地心線
  次以半徑一千萬為一率
  甲角六十度之正弦八六
  六○二五四為二率甲壬
  邊為三率求得四率八七
  三一五六二【小餘二五】即壬子
  邊次以撱圓小徑九九九
  八五七一【小餘八五】為一率大
  徑一千萬為二率壬子邊
  為三率求得四率八七三
  二八○九【小餘四二】即丑子邊
  檢正弦得六十度五十分
  三十一秒【小餘八三】即乙角度
  亦即己丑弧度次以半周
  天一百八十度化作六十
  四萬八千秒為一率半周
  率三一四一五九二六【小餘
  五】為二率乙角度分化作
  二十一萬九千零三十一
  秒【小餘八三】為三率求得四率
  一○六一八九六二【小餘七六
  六一一一九】為已丑弧線與已
  乙半徑一千萬相乘折半
  得五三○九四八一三八
  三○五五九為乙丑已分
  平圓面積次以撱圓大徑
  一千萬為一率小徑九九
  九八五七一【小餘八五】為二率
  乙丑己積為三率求得四
  率五三○八七二三一○
  九四七二二為乙壬已分
  撱圓面積次以甲乙一六
  九○○○與壬子八七三
  一五六二【小餘二五】相乘折半
  得七三七八一七○一○
  一二五為壬乙甲三角積
  與乙壬己積相加得五三
  八二五○四八一○四八
  四七即甲壬己分撱圓面
  積以一度之面積定率八
  七二五三九九九五二二
  九除之得六十一度六八
  七七【小餘七二】收作六十一度
  四十一分一十五秒五十
  八微即實行距最高後六
  十度時之平行度也若設
  平行求實行亦可以所得
  之平行轉相比例然必累
  求累較方得恰合【一率兩設平行
  較二率兩設實行較三率今設平行較四率今求實
  行較】法屬繁難故兹不載
  次設以積求角之法如太
  陽在辛甲辛丁分撱圓面
  積為平行距最卑後一度
  求甲角實行若干度分法
  以甲丁最卑距地心九八
  三一○○○【乙丁一千萬減甲乙兩心
  差一六九○○○餘甲丁】自乘得九六
  六四八五六一○○○○
  ○○為一率中率半徑九
  九九九二八六自乘得九
  九九八五七一八四八○
  一九一【即大徑與小徑相乘之數】為二
  率甲辛丁一度之面積八
  七二五三九九九五二二
  九為三率求得四率九○
  二六六七七四二○○三
  以一度之面積八七二五
  三九九九五二二九除之
  得一度二分四秒【小餘三○】為
  甲角度即平行距最卑後
  一度時之實行度也盖以
  甲為心以中率為半徑作
  弧將甲丁線引長至壬甲
  辛線引長至癸則甲壬甲
  癸皆為中率甲壬癸分平
  圓面積與一度之面積為
  比例即得甲角而甲辛丁
  分撱圓面與甲壬癸分平
  圓面為同式形【甲辛長於甲丁然為
  數無多故為同式形】以甲丁自乘正
  方積與甲壬自乘正方積
  之比即同於甲辛丁積與
  甲壬癸積之比【凡同式形兩面積之
  比同於相當界所作正方形之比見幾何原本八卷
  第九節】故先比例得甲壬癸
  積以一度之面積除之而
  得甲角也【捷法以甲丁自乘方積除甲壬
  自乘方積即得甲角盖以一度面積為三率與二率
  相乘又以一度面積除今省一乘則并省一除也】又如太陽在子甲子丁分
  撱圓面積為平行距最卑
  後二度求子甲丁角實行
  若干度分則先求平行距
  最卑後一度時日距地心
  之甲辛線將甲辛線引長
  至丑自丙作丙丑垂線成
  甲丑丙辛丑丙兩勾股形
  以半徑一千萬為一率甲
  角一度二分四秒【小餘三○】之
  正弦一八○五四九【小餘五五】為二率甲丙邊三三八○
  ○○為三率求得四率六
  一○二【小餘五七】為丙丑邊又
  以半徑一千萬為一率甲
  角一度二分四秒【小餘三○】之
  餘弦九九九八三七○【小餘
  一三】為二率甲丙邊為三率
  求得四率三三七九四四
  【小餘九一】為甲丑邊乃以丙丑
  為勾自乘以甲丑與丙辛
  甲辛兩邊和二千萬相加
  得二○三三七九四四【小餘
  九一】為股弦和除之得一【小餘
  八三】為股弦較與股弦和相
  加折半得一○一六八九
  七三【小餘三七】為辛丙弦與丙
  辛甲辛兩邊和二千萬相
  減餘九八三一○二六【小餘
  六三】為甲辛日距地心線次
  以甲辛子形與甲癸寅形
  為比例以甲辛邊自乘得
  九六六四九○八四五九
  九七六九為一率甲癸中
  率自乘得九九九八五七
  一八四八○一九一為二
  率甲子辛一度之面積八
  七二五三九九九五二二
  九為三率求得四率九○
  二六六二八五一七六九
  為甲癸寅分平圓面積以
  一度之面積除之得一度
  二分四秒【小餘二八】即癸甲寅
  角與先得之癸甲壬角一
  度二分四秒【小餘三○】相加得
  二度四分八秒【小餘五八】為子
  甲丁角即平行距最卑後
  二度時之實行度也此所
  求之實行用求積法反求
  之少半秒強因日距地心
  線自最卑丁以漸而長中
  距戊為適中至最高巳而
  止今所用一率微小故所
  得四率微大若每分遞算
  自得密合然須逐一先求
  日距地心線若積度多者
  則須合前法而兼用之故
  又設後法
  次設借積求積之法如平
  行距最卑後四十五度求
  實行若干度分先從本天
  心設辛乙丁角為四十五
  度則乙壬丁積即為分撱
  圓四十五度之面積三九
  二六四二九九七八五二
  九二【將撱圓全積八分之得乙壬丁積數】求
  得壬乙丁角為四十四度
  五十九分四十五秒【小餘二七
  法見前】次與乙壬平行作丙
  癸線使丙角與壬乙丁角
  等自甲至癸作甲癸線此
  甲癸線所截甲癸丁分撱
  圓面積若與乙壬丁積等
  則癸甲丁角即為平行距
  最卑後四十五度之實行
  度乃用甲丙癸三角形求
  癸甲丁角以半徑一千萬
  為一率丙角正弦七○七
  ○五六二【小餘七六】為二率甲
  丙三三八○○○為三率
  求得四率二三八九八五
  【小餘○二】為甲子垂線又以半
  徑一千萬為一率丙角餘
  弦七○七一五七二【小餘七七】為二率甲丙邊為三率求
  得四率二三九○一九【小餘
  一六】為丙子分邊次以甲子
  為勾自乘以丙子與丙癸
  甲癸兩邊和二千萬相減
  餘一九七六○九八○【小餘
  八四】為股弦和除之得二八
  九○【小餘二三】為股弦較與股
  弦和相加得一九七六三
  八七一【小餘○七】折半得九八
  八一九三五【小餘五四】為甲癸
  邊次以甲癸邊為一率甲
  子垂線為二率半徑一千
  萬為三率求得四率二四
  一八四○【小餘二九】檢正弦得
  一度二十三分八秒【小餘七九】即癸角度與丙角相加得
  四十六度二十二分五十
  四秒【小餘○六】即癸甲丁角度
  【用切線分外角法得數較捷因癸角度小比例得甲
  癸線難得確凖故用垂線法】然甲癸線
  所截甲癸丁分撱圓面積
  比所設乙壬丁四十五度
  之面積小一甲乙丑積與
  寅壬癸積等【甲癸丁積比乙壬丁積多
  一卯壬癸積少一甲乙卯積而甲乙與寅癸等甲卯
  與卯癸等乙卯與卯寅等卯壬與卯丑等故甲乙卯
  積與寅癸卯積等卯壬癸積與卯甲丑積等以多補
  少尚少一甲乙丑積與寅壬癸積相等也】乃用
  前角求積法以半徑一千
  萬為一率甲角四十六度
  二十二分五十四秒【小餘○六】之正弦七二三九五一三
  【小餘六○】為二率甲癸邊為三
  率求得四率七一五四○
  四○【小餘六七】即癸辰邊次以
  撱圓小半徑九九九八五
  七一【小餘八五】為一率大半徑
  一千萬為二率癸辰邊為
  三率求得四率七一五五
  ○六二【小餘五二】即己辰邊檢
  正弦得四十五度四十一
  分四秒【小餘九四】即巳乙丁角
  度亦即巳丁弧度次以半
  周天一百八十度化作六
  十四萬八千秒為一率半
  周率三一四一五九二六
  【小餘五】為二率巳丁弧度分
  化作一十六萬四千四百
  六十四秒【小餘九四】為三率求
  得四率七九七三四八五
  【小餘二八八三七四八】為巳丁弧線
  與半徑一千萬相乘折半
  得三九八六七四二六四
  四一八七四為乙巳丁分
  平圓面積次以撱圓大半
  徑一千萬為一率小半徑
  九九九八五七一【小餘八五】為
  二率乙巳丁分平圓面積
  為三率求得四率三九八
  六一七三二七七五三六
  七為乙癸丁分撱圓面積
  内減所設乙壬丁分撱圓
  四十五度之面積餘五九
  七四三二九九○○七五
  為乙癸壬積次以癸辰邊
  七一五四○四○【小餘六七】與
  癸寅邊一六九○○○相
  乘折半得六○四五一六
  四三六六一五為乙癸寅
  積内減乙癸壬積餘七○
  八三四四六五四○為寅
  壬癸積與甲乙丑積等即
  甲癸丁積小於乙壬丁積
  之較【或於乙癸丁積内先減甲乙癸積得甲癸
  丁積再與乙壬丁積相減得數亦同】夫甲癸
  丁積既小於乙壬丁積則
  是甲癸丁積不足四十五
  度而平行距最卑後四十
  五度時太陽必仍在癸點
  之前如午則甲癸午積與
  寅壬癸積等甲午丁為分
  撱圓四十五度之面積與
  乙壬丁積等實行午甲丁
  角比癸甲丁角尚大一午
  甲癸角乃用前積求角法
  將甲癸線引長至未甲午
  線引長至申甲未甲申皆
  為中率半徑成甲未申分
  平圓面與甲癸午為同式
  形以甲癸自乘得九七六
  五二六五○○一六七一
  五為一率甲未中率自乘
  得九九九八五七一八四
  八○一九一為二率甲癸
  午積七○八三四四六五
  四○為三率求得四率七
  二五二六八○七一六為
  甲未申積以撱圓一秒之
  面積二四二三七二二二
  一除之得二十九秒【小餘九二】為未甲申角【即癸甲午角】與癸
  甲丁角四十六度二十二
  分五十四秒【小餘○六】相加得
  四十六度二十三分二十
  三秒【小餘九八】為午甲丁角即
  平行距最卑後四十五度
  時之實行度也此法乃合
  前二法而兼用之而午甲
  癸角止三十秒甲癸甲午
  二線相差無多得數為密
  其所以先設辛乙丁角為
  四十五度乙壬丁積為四
  十五度而求壬乙丁角以
  為丙角者第借積以比其
  大小耳究之撱圓面積逐
  度皆有成數原不待求且
  先求壬乙丁角為丙角而
  求甲癸丁積又與所設之
  乙壬丁積相差不遠則併
  先求壬乙丁角亦屬可省
  詳後法
  又法逕設丙角為四十五
  度依前法求得甲癸線九
  八八一九四四【小餘二八】癸甲
  丁角四十六度二十三分
  九秒【小餘一四】甲癸丁積三九
  二六○七九四六七九三
  四八與四十五度撱圓積
  三九二六四二九九七八
  五二九二相減餘三五○
  五一○五九四四為甲癸
  丁積小於四十五度平行
  積之較即知平行四十五
  度時太陽在癸點之前如
  午乃以甲癸自乘得九七
  六五二八二二七五三○
  二五為一率中率自乘方
  九九九八五七一八四八
  ○一九一為二率積較為
  三率【即甲癸午積】求得四率三
  五八八八四一八四一為
  甲未申分平圓面積以一
  秒之面積二四二三七二
  二二一除之得一十四秒
  【小餘八一】為未甲申角【即癸甲午角】與癸甲丁角四十六度二
  十三分九秒【小餘一四】相加得
  午甲丁角為四十六度二
  十三分二十三秒【小餘九五】即
  平行距最卑後四十五度
  時之實行度此法得數與
  前同而即以平行積度為
  丙角較前法為省便也
  又如平行距最卑後九十
  度求實行若干度分則先
  設丙角為九十度作丙丑
  甲丑二線成甲丙丑勾股
  形依法求得甲丑線一○
  ○○二八五六【小餘一】丑甲
  丁角九十一度五十六分
  一十一秒【小餘○九】甲丑丁積
  七八五二八七六○一八
  三六九五與九十度撱圓
  積七八五二八五九九五
  七○五八四相減餘一六
  ○六一三一一一為甲丑
  丁積大於九十度平行積
  之較即知平行九十度時
  太陽在丑點之後如卯乃
  依中率半徑截甲卯線於
  辰截甲丑線於巳成甲辰
  巳分平圓面與甲卯丑為
  同式形以甲丑自乘得一
  ○○○五七一三○一五
  七三○七為一率中率自
  乘方九九九八五七一八
  四八○一九一為二率積
  較為三率【即丑甲卯積】求得四
  率一六○四九八四八○
  為甲辰巳分平圓面積以
  一秒之面積二四二三七
  二二二一除之得百分秒
  之六六為辰甲已角【即丑甲卯
  角】與丑甲丁角九十一度
  五十六分一十一秒【小餘○九】相減餘九十一度五十六
  分一十秒【小餘四三】為卯甲丁
  角即平行距最卑後九十
  度時之實行度也
  又如平行距最卑後一百
  二十度求實行若干度分
  則先設丙角為一百二十
  度作丙寅甲寅二線成甲
  丙寅三角形依法求得甲
  寅線一○○八六六二四
  【小餘一三】寅甲丁角一百二十
  一度三十九分四十六秒
  【小餘六九】甲寅丁積一○四七
  ○七九九○六四九五○
  六與一百二十度之撱圓
  積一○四七○四七九九
  四二七四四六相減餘三
  一九一二二二○六○為
  甲寅丁積大於一百二十
  度平行積之較即知平行
  一百二十度時太陽在寅
  點之後如辰乃依中率半
  徑截甲寅線於巳截甲辰
  線於午成甲巳午分平圓
  面與甲寅辰為同式形以
  甲寅邊自乘得一○一七
  三九九八六三三九八九
  八為一率中率自乘方九
  九九八五七一八四八○
  一九一為二率積較為三
  率【即甲寅辰積】求得四率三一
  三六一九七八九一為甲
  已午積以一秒之面積二
  四二三七二二二一除之
  得一十二秒【小餘九四】為巳甲
  午角【即寅甲辰角】與寅甲丁角
  一百二十一度三十九分
  四十六秒【小餘六九】相減餘一
  百二十一度三十九分三
  十三秒【小餘七五】為辰甲丁角
  即平行距最卑後一百二
  十度時之實行度也右借
  積求積之法最為精密而
  理亦易曉然須乘除比例
  十數次推算則屬繁難故
  又設後法
  次設借角求角之法如太
  陽平行距最卑後四十五
  度求實行若干度分先從
  本天心設丁乙辛角為四
  十五度則乙壬丁分撱圓
  面積亦為四十五度次將
  丁乙辛角加癸乙子撱圓
  差角【九十度以内大一撱圓差角九十度以外
  小一撱圓差角解見後】以撱圓小半
  徑九九九八五七一【小餘八五】為一率大半徑一千萬為
  二率所設丁乙辛角四十
  五度之正切一千萬為三
  率求得四率一○○○一
  四二八【小餘三五】為丁乙癸角
  之正切檢表得四十五度
  ○分一十四秒【小餘七三】即丁
  乙癸角度次與乙癸平行
  作丙丑線自甲作甲丑線
  則丙角與丁乙癸角等而
  甲丑丁積為分撱圓四十
  五度之面積與乙壬丁積
  等是為平行丑甲丁角即
  為實行乃將丙丑線引長
  至寅使丑寅與甲丑等則
  丙寅為二千萬【甲丑丙丑共二千萬
  丑寅既與甲丑等故丙寅亦二千萬】又自甲
  至寅作甲寅線成甲寅丙
  三角形用切線分外角法
  求得寅角四十一分三十
  四秒【小餘七四】倍之得一度二
  十三分九秒【小餘四九】即甲丙
  丑形之丑角度【甲丑寅形之丑角以
  甲丑丙角為外角與甲寅二内角等丑寅既與甲丑
  等則甲角必與寅角等故倍寅角即得甲丑丙角】與丙角四十五度○分一
  十四秒【小餘七三】相加得四十
  六度二十三分二十四秒
  【小餘二二】為丑甲丁角度【丑甲丁角
  為丑甲丙角之外角與丙丑二内角等故以丑角與
  丙角相加得丑甲丁角】即平行距最
  卑後四十五度時之實行
  度也然則何以設丙角比
  平行積度大一撱圓差角
  而甲丑丁積即與平行積
  度相等也蓋與丙丑平行
  之乙癸線截本天於卯所
  截之乙卯丁積比甲丑丁
  積多一甲乙巳形【乙卯丁積比甲
  丑丁積少一辰丑卯形多一甲乙辰形辰丑與甲辰
  等辰卯與己辰等辰丑卯積與辰甲巳積等以多補
  少尚多一甲乙巳積也】此甲乙巳形
  之積與癸午倍撱圓差乘
  乙未餘弦折半之乙癸午
  三角形積等【癸子辛壬皆撱圓差而辛
  壬微小於癸子子午又微小於辛壬然為數無多故
  謂癸午為倍差】亦即與乙卯壬積
  等【以卯癸子補子壬午弧内弧外所差無多故謂
  相等】夫乙卯丁積比乙壬丁
  積多一乙卯壬形比甲丑
  丁積多一甲乙巳形甲乙
  已積既與乙卯壬積等則
  甲丑丁積必與乙壬丁積
  等而乙壬丁為分撱圓四
  十五度之面積辛乙丁角
  為四十五度之角癸乙丁
  角比辛乙丁角原大一撱
  圓差角丑丙丁角又原與
  癸乙丁角等故設丙角比
  平行積大一撱圓差角而
  甲丑線所截撱圓積即與
  平行積相等也然則又何
  以知甲乙巳積與乙癸午
  積相等也試以乙丁大半
  徑作乙丁申酉正方形又
  以乙戊小半徑作乙戊戌
  亥正方形兩積相減餘酉
  申丁亥戌戊磬折形積與
  兩心差自乘之甲乙乾坎
  正方積等【乙丁與甲戊等為弦乙戊為股
  甲乙為勾股弦兩方相減與勾方等】斜分而
  半之則乙甲坎勾股積即
  與酉申戌戊斜尖長方積
  等而申艮倍撱圓差與酉
  申相乘折半之乙申艮三
  角積原與酉申震戊長方
  積等【乙申艮三角形與酉申震戊長方形同以
  酉申為高而申艮為申震之一倍以申艮與酉申相
  乘折半得乙申艮三角積故與酉申震戊長方積等】比酉申戌戊斜尖長方積
  僅多申震戌一小勾股積
  則借乙申艮三角積為與
  乙甲坎勾股積相等可也
  又以方為斜截丁辛弧為
  四十五度乙辛與乙丁等
  辛巽為四十五度之正弦
  辛離為四十五度之餘弦
  依乙戊小徑截乙辛線於
  坤依乙甲兩心差截乙辛
  線於兑與辛巽平行作坤
  亢兑氐二線與辛離平行
  作坤房兑尾二線所成正
  方各為前圖正方積之一
  半則於離辛巽乙正方形
  内減房坤亢乙正方形餘
  離辛巽亢坤房磬折形積
  亦與乙尾兑氐正方積等
  乙兑氐勾股積亦與離辛
  坤房斜尖長方積等而辛
  箕倍撱圓差乘辛離餘弦
  折半之乙辛箕三角積原
  與離辛壬房長方積等【辛壬
  為四十五度之撱圓差辛箕為倍差與辛離餘弦相
  乘折半得乙辛箕積故與離辛壬房長方積等】比
  離辛坤房斜尖長方積僅
  多辛壬坤一小勾股積則
  借乙辛箕三角積為與乙
  兑氐勾股積相等亦可也
  由此推之逐度之正弦餘
  弦所成之勾股雖非正方
  而斜弦不改則各數比例
  皆同試自與丙丑平行之
  乙癸線所截之癸點作癸
  未正弦癸斗餘弦又依乙
  戊小徑截乙癸線於牛作
  牛女牛虚二線又依甲乙
  兩心差截乙癸線於水作
  水火水金二線皆相平行
  則於斗癸未乙長方形内
  減去女牛虚乙長方形餘
  斗癸未虚牛女磬折形積
  亦與金水火乙長方積等
  乙水火勾股積亦與斗癸
  牛女斜尖長方積等而癸
  午倍撱圓差乘癸斗餘弦
  【與乙未等】折半之乙癸午三角
  積原與斗癸子女長方積
  等【癸子為撱圓差癸午為倍差與癸斗餘弦相乘
  折半得乙癸午積故與斗癸子女長方積等】比
  斗癸牛女斜尖長方積僅
  多癸牛子一小勾股積則
  借乙癸午積為亦與乙水
  火勾股積等而甲乙土勾
  股與乙水火勾股為相等
  形【同用一乙角土角與火角同為直角而甲乙與
  乙水等故三邊及面積皆相等】比甲乙巳
  積僅多甲巳土一小弧矢
  積其差只在微纎之間故
  謂甲乙巳積與乙癸午積
  相等也此法所得實行較
  前法多百分秒之二十四
  盖乙卯丁積比乙壬丁積
  多乙卯壬積實與甲乙土
  積等而比甲丑丁積僅多
  甲乙巳積則是甲丑丁積
  比乙壬丁四十五度積為
  稍大故所得實行丑甲丁
  角亦稍大計其所大之數
  適與甲巳土弧矢積度相
  去不遠至於以乙癸午三
  角積為與斗癸牛女斜尖
  長方積等其數微多【多癸牛子
  勾股積】以癸午為倍撱圓差
  其數微少然其多少之差
  約足相抵可不計也
  又如太陽平行距最卑後
  九十度求實行若干度分
  先從本天心設丁乙戊角
  九十度則乙戊丁分撱圓
  面積亦為九十度次與乙
  戊平行作丙癸線自甲至
  癸作甲癸線則丙角與戊
  乙丁角等而甲癸丁分撱
  圓面積即為九十度與乙
  戊丁積等【九十度無撱圓差解見後】是
  為平行癸甲丁角即為實
  行乃將丙癸線引長至子
  使癸子與甲癸等則丙子
  為二千萬又自甲至子作
  甲子線成甲丙子三角形
  求得子角五十八分五秒
  【小餘五五】倍之得一度五十六
  分一十一秒【小餘一○】即甲丙
  癸形之癸角度與丙角九
  十度相加得九十一度五
  十六分一十一秒【小餘一○】為
  癸甲丁角度即平行距最
  卑後九十度時之實行度
  也盖乙戊丁為撱圓四分
  之一其積為九十度戊乙
  丁角亦九十度【積度與角度同為一
  線故無撱圓差】丙角既與乙角等
  甲癸丁積又與乙戊丁積
  等【甲癸丁積比乙戊丁積多一丑癸戊形少一甲
  乙丑形而甲乙丑積與丑癸寅積等是丑癸戊形比
  甲乙丑形僅多癸戊寅一小弧矢積故謂丑癸戊積
  與甲乙丑積等而甲癸丁積亦謂與乙戊丁積等】故即以平行積度為丙角
  而求甲角為實行度也此
  法所得實行較前法多百
  分秒之六十七盖甲癸丁
  積比乙戊丁積多癸戊寅
  弧矢積九十度稍大故實
  行亦稍大又丙角至九十
  度則弧矢之癸寅半弦與
  甲乙兩心差相等是為最
  長積亦最大故所差最多
  過此則所差又漸少矣
  又如太陽平行距最卑後
  一百二十度求實行若干
  度分先從本天心設丁乙
  癸角一百二十度則乙子
  丁分撱圓面積亦為一百
  二十度次將丁乙癸角減
  丑乙寅撱圓差角【九十度以外小
  一撱圓差角故減】則癸乙已外角
  大一撱圓差角以撱圓小
  半徑九九九八五七一【小餘
  八五】為一率大半徑一千萬
  為二率所設癸乙已外角
  六十度之正切一七三二
  ○五○八為三率求得四
  率一七三二二九八一【小餘
  九八】為己乙寅外角之正切
  檢表得六十度○分一十
  二秒【小餘七六】即己乙寅外角
  度與一百八十度相減餘
  一百一十九度五十九分
  四十七秒【小餘二四】即寅乙丁
  内角度次與乙寅平行作
  丙卯線自甲作甲卯線則
  丙角與寅乙丁角等甲卯
  丁積為分撱圓一百二十
  度之面積與乙子丁積等
  是為平行卯甲丁角即為
  實行乃將丙卯線引長至
  辰使卯辰與甲卯等則丙
  辰為二千萬又自甲至辰
  作甲辰線成甲丙辰三角
  形求得辰角四十九分五
  十三秒【小餘四六】倍之得一度
  三十九分四十六秒【小餘九二】即甲丙卯形之卯角度與
  丙内角一百一十九度五
  十九分四十七秒【小餘二四】相
  加得一百二十一度三十
  九分三十四秒【小餘一六】為卯
  甲丁角度即平行距最卑
  後一百二十度時之實行
  度也盖與丙卯平行之乙
  寅線截本天於巳所截之
  乙巳丁積比甲卯丁積小
  一卯己午形與甲乙未形
  等【乙巳丁積比甲卯丁積少一卯己酉形多一甲
  乙酉形而甲乙酉形與卯午酉形等以多補少仍少
  一卯巳午形又將乙己線引長至未使酉未與酉巳
  等而酉甲原與酉卯等卯午原與甲乙等故作甲未
  弧則卯巳午積即與甲乙未積等】此甲乙
  未形之積與寅申倍撱圓
  差乘乙戌餘弦折半之乙
  寅申三角形積等【寅丑癸子皆撱
  圓差而癸子微小於寅丑丑申又微小於癸子然為
  數無多故謂寅申為倍差與乙戌餘弦相乘折半得
  積與甲乙亥勾股積等比甲乙未積僅小甲未亥一
  小弧矢積故借甲乙未積為與乙寅申積等】亦
  即與乙子巳積等【與前法同】夫
  乙巳丁積比乙子丁小一
  乙子巳積比甲卯丁積小
  一甲乙未積甲乙未積既
  與乙子巳積等則甲卯丁
  積必與乙子丁積等而乙
  子丁為分撱圓一百二十
  度之面積癸乙丁角為一
  百二十度之角寅乙丁角
  比癸乙丁角原小一撱圓
  差角卯丙丁角又原與寅
  乙丁角等故於平行一百
  二十度内減一撱圓差角
  為丙角其甲卯線所截撱
  圓積即與平行度相等而
  求得甲角為實行度也此
  法所得實行較之前法多
  百分秒之四十一盖乙巳
  丁積比乙子丁積少乙子
  己積僅與甲乙亥積等而
  比甲卯丁積則少甲乙未
  積是甲卯丁積比乙子丁
  一百二十度積為稍大故
  所得實行卯甲丁角亦稍
  大然所差最大者不過半
  秒有奇不為不密而法最
  為簡便故日躔求實行用
  此法也



  求均數
  均數者盈縮差也最卑前後兩象限為行盈最高前後兩象限為行縮然盈縮差自最卑最高起算最高前一象限雖行縮而實行仍大於平行故最卑後半周皆為加差最卑前一象限雖行盈而實行仍小於平行故最高後半周皆為減差上編言之詳矣今求盈縮差用前借角求角之法與不同心天之法畧同但多一撱圓差耳故先以平行求得對倍兩心差之角又以平行求得撱圓差角與對倍兩心差之角相加減而得均數加減之法具詳於左
  如圖甲為地心乙為本天
  心甲乙為兩心差甲丙為
  倍差丁戊己庚為本天辛
  壬癸子為黄道以行度言
  之太陽在最卑前後當子
  辛辛壬兩象限其本天平
  行丑甲寅丁面積未及半
  周而以黄道度計之巳見
  自子行至壬故為行盈太
  陽在最高前後當壬癸癸
  子兩象限其本天平行寅
  甲丑已面積巳過半周而
  以黄道度計之止見自壬
  行至子故為行縮以盈縮
  差言之太陽在最卑丁是
  為初宫初度當黄道之辛
  甲丁辛成一直線無盈縮
  差太陽在最高已是為六
  宫初度當黄道之癸甲癸
  己成一直線亦無盈縮差
  而自最卑後行丁寅戊巳
  半周實行皆大於平行如
  平行至寅所截甲寅丁平
  行積度畧與寅丙丁角度
  等【爭一撱圓差角故謂畧等】自地心甲
  視之巳當黄道之壬壬甲
  辛角必大於寅丙丁角又
  如平行至戊所截之甲戊
  丁平行積度畧與戊丙丁
  角度等自地心甲視之己
  當黄道之卯卯甲辛角必
  大於戊丙丁角故皆為加
  差自最高後行已庚丑丁
  半周實行皆小於平行如
  平行至庚所截甲庚已平
  行積度畧與庚丙己角度
  等自地心甲視之方當黄
  道之辰辰甲癸角必小於
  庚丙己角又如平行至丑
  所截甲丑巳平行積度畧
  與丑丙巳角度等自地心
  甲視之方當黄道之子子
  甲癸角必小於丑丙已角
  故皆為減差此盈縮之理
  與不同心天之理同至求
  盈縮差之法當先以平行
  積度加減撱圓差角【九十度以
  内大一撱圓差角則加九十度以外小一撱圓差角
  則減正九十度無差角解見前】為所設之
  丙角而求對倍差之角與
  所設之丙角相加得實行
  以平行與實行相減乃為
  均數【解見前借角求角法】然其數奇
  零不便立算故先以平行
  求得對倍差之角而後加
  減撱圓差角為尤便也如
  設太陽在己甲己丁分撱
  圓面積為平行距最卑後
  六十度知己丙甲角度比
  所設之甲己丁平行積度
  大一撱圓差角則於己丙
  甲角内減未丙午撱圓差
  角餘午丙甲角必為六十
  度而與甲巳丁平行積度
  相等故先設午丙甲角為
  六十度用甲丙午三角形
  求得對甲丙倍差之午角
  一度四十一分二十九秒
  與平行午丙甲角相加則
  得午甲丁角然太陽原在
  已當黄道之申實行申甲
  辛角【即辛申弧】比午甲丁角尚
  大一巳甲午角故又求得
  未丙午撱圓差角一十三
  秒與巳甲午角等【巳甲午角與未
  丙午角同當巳午弧而甲午線短於丙午則角畧大
  然所差甚微故為相等】與午角相加
  【九十度以内大一撱圓差角故加】得一度
  四十一分四十二秒是為
  均數為加差以加於平行
  而得實行也若太陽在酉
  當黄道之戌甲酉巳分撱
  圓面積爲平行距最高後
  一百二十度而距最卑前
  六十度則對甲丙倍差之
  亥角與午角等乾丙亥撱
  圓差角亦與未丙午角等
  但其均數爲減差以減於
  平行而得實行也
  如設太陽在亢甲亢丁分
  撱圓面積爲平行距最卑
  後一百二十度知亢丙甲
  角度比所設之甲亢丁平
  行積度小一撱圓差角則
  於亢丙甲角加房丙氐撱
  圓差角得氐丙甲角必為
  一百二十度而與甲亢丁
  平行積度相等故先設氐
  丙甲角為一百二十度用
  甲丙氐三角形求得對甲
  丙倍差之氐角一度三十
  九分四十七秒與平行氐
  丙甲角相加則得氐甲丁
  角然太陽原在亢當黄道
  之尾實行尾甲辛角【即辛尾弧】比氐甲丁角尚小一氐甲
  亢角故又求得房丙氐撱
  圓差角一十三秒與氐甲
  亢角等【氐甲亢角與房丙氐角同當亢氐弧
  而甲氐線長於丙氐則角畧小然所差甚微故為相
  等】與氐角相減【九十度以外小一撱
  圓差角故減】餘一度三十九分
  三十四秒是為均數為加
  差以加於平行而得實行
  也若太陽在斗當黄道之
  牛甲斗己分撱圓面積為
  平行距最高後六十度則
  對甲丙倍差之女角與氐
  角等女丙虛撱圓差角亦
  與房丙氐角等但其均數
  為減差以減於平行而得
  實行也用此法求得最卑
  後半周之加差即得最高
  後半周之減差列爲表此
  法與以丙爲心作不同心
  天之法畧同但多一撱圓
  差又平圓之半徑爲一千
  萬撱圓則自甲丙兩心出
  線合於圓界共爲二千萬
  耳而太陽距地高卑之差
  止及兩心差之半與均輪
  之法不謀而合故撱圓之
  法正所以合不同心天與
  本輪均輪而一之也



  御製歷象考成後編卷一
<子部,天文算法類,推步之屬,御製歷象考成後編>
  欽定四庫全書
  御製歷象考成後編卷二
  月離數理
  月離總論
  太陰本天面積随時不同
  太陰本天心距地及最高行隨時不同
  求初均數
  求一平均
  求二平均
  求三平均
  求二均數
  求三均末均
  求交均及黄白大距
  地半徑差
  月離總論
  古歷皆謂月一日行十三度十九分度之七出入日道不踰六度東漢賈逵始言月行有遲疾至劉洪列為差率元郭守敬乃定為轉分進退時各不同猶今之初均數而其出入日道之大距則仍恒為六度也新法算書初均而外又有二均三均交均蓋因朔望之行有遲疾故有初均兩弦又不同於朔望故有二均兩弦前後又不同於兩弦故有三均此經度之差也朔望交行遲而大距近兩弦交行疾而大距遠故有交均此交行之差而亦緯度之差也上編言太陰行度有九種一曰平行二曰自行三曰均輪行四曰次輪行五曰次均輪行六曰交行七曰最高行八曰距日行九曰距交行其實均輪行自行度次輪次均輪皆行月距日倍度則九種行度之中又止六種而已自西人刻白爾創為撱圓之法專主不同心天而不同心天之兩心差及太陰諸行又皆以日行與日天為消息故日行有盈縮則太陰平行最高行正交行皆因之而差名曰一平均日距月天最高有遠近則太陰本天心有進退兩心差有大小而平行面積亦因之而差名曰二平均其最高之差名曰最高均又白極繞黄極而轉移則白道度有進退而太陰之在白道亦因之而差名曰三平均此四者皆昔日之所無而刻白爾以來柰端等屢測而創獲者也夫兩心差既有大小則月距最高雖等而遲疾之差不等故分大中小三數而仍名曰初均朔望而外其差之最大者不在兩弦而在朔弦弦望之間仍名曰二均又月高距日高與月距日之共度半周内恒差而疾半周外恒差而遲仍名曰三均又朔後恒差而遲望後恒差而疾因月高距日高之遠近其差不等别名曰末均又日在交後一象限則交行疾日在交前一象限則交行遲仍名曰正交均此五者末均為昔日之所無其餘諸均亦名同而數異皆刻白爾以來噶西尼等屢測而改定者也至於黄白交角【即大距度】新法算書朔望最小兩弦最大今則謂日在交點交角大前後皆小朔望尤小日在大距交角小前後皆大兩弦尤大似皆與新法算書不同然用以推步交食則皆與實測合而與新法算書亦相去不遠計其行度一平均用日引度二平均最高均用日距月最高之倍度三平均正交均用日距正交之倍度初均仍用自行度二均仍用月距日倍度三均末均用月距日兼月高距日高度交角用日距正交兼月距日度較舊用行度多四種一曰日引二曰日距月最高三曰日距正交四曰月高距日高則其行度共行種矣今考其表中所列誠皆實測之數而要不離乎本天高卑中距四限與朔望兩弦前後參互比較而得之兹為總舉其端而各具測算之法於後庶學者知其立法所自來而推步考驗咸可通其條貫云

  太陰本天面積隨時不同
  太陰初均數生於兩心差兩心差不等則均數亦不等然於平行無與也自刻白爾以本天為撱圓以平行為面積則兩心差不等而撱圓之面積與太陰之平行亦因之不等盖兩心差大者小徑之數小而面積亦小兩心差小者小徑之數大而面積亦大故分撱圓之度數雖同而度之面積各異非先求其面積無以求度數也今取兩心差之大中小三數求其小徑及面積以定平行而後均數可得而推也
  如圖甲為地心乙為本天
  心甲乙為兩心差甲丙為
  倍差丁戊己庚撱圓為太
  陰本天乙丁為大半徑一
  千萬乙戊為小半徑甲戊
  丙戊皆與乙丁大半徑等
  以甲戊為弦甲乙為勾求
  得股即乙戊小半徑也以
  乙丁大半徑求得丁辛己
  壬平圓積以乙辛與乙戊
  為比例即撱圓全積也用
  度分秒數除之即得一度
  一分一秒之積也以庚戊
  小徑與丁己大徑相乘開
  平方折半即乙癸中率半
  徑也其理皆與日躔同惟
  兩心差隨時不同則小徑
  與面積皆各異具列於左
  最大兩心差      六六七八二○
  小徑      九九七七六七五【小餘九○】
  中率半徑    九九八八八三一【小餘七二】中率半徑方   九九七七六七五九○四一一七二撱圓全積   三一三四五七九三二八四四五六七
  九十度積    七八三六四四八三二一一一四二
  一度積       八七○七一六四八○一二四
  一分積        一四五一一九四一三三五
  一秒積          二四一八六五六八九
  中數兩心差      五五○五○五
  小徑      九九八四八三五【小餘七一】
  中率半徑    九九九二四一四【小餘九八】中率半徑方   九九八四八三五七一四四七一○撱圓全積   三一三六八二八六四九二○三九六
  九十度積    七八四二○七一六二三○○九九
  一度積       八七一三四一二九一四四六
  一分積        一四五二二三五四八五七
  一秒積          二四二○三九二四八
  最小兩心差      四三三一九○
  小徑      九九九○六一二【小餘九二】
  中率半徑    九九九五三○五【小餘三六】中率半徑方   九九九○六一二九一五三二七一撱圓全積   三一三八六四三六一○三七八六七
  九十度積    七八四六六○九○二五九四六七
  一度積       八七一八四五四四七三二七
  一分積        一四五三○七五七四五五
  一秒積          二四二一七九二九一太陰本天心距地及最高行隨時不同
  太陰之行有遲疾由于本天有高卑其說一為不同心天一為本輪與太陽同西人第谷以前定本輪半徑為本天半徑千萬分之八十七萬即不同心天之兩心差其最大遲疾差為四度五十八分二十七秒第谷用其法惟中距與實測合最高前後則失之小最卑前後則失之大因將本輪半徑三分之存其二分五十四萬為本輪半徑取其一分二十七萬為均輪半徑其高卑之數遲疾之差雖各有不同而其距地之有定數最高之有常行則一也自刻白爾創為撱圓之法專主不同心天而不同心天之兩心差及最高行又隨時不同惟日當月天中距時最大遲疾差為四度五十七分五十七秒兩心差為四三三一九○倍差即為八十六萬有奇與舊數相去不遠若日當月天最高或當月天最卑則最大遲疾差為七度三十九分三十三秒兩心差為六六七八二○日歷月天高卑而後兩心差漸小中距而後兩心差漸大日距月天高卑前後四十五度兩心差適中又日當月天高卑時最高之行常速至高卑後四十五度而止日當月天中距時最高之行常遲至中距後四十五度而止與日月之盈縮遲疾相似而周轉之數倍之是則太陰本天之心必更有一均輪以消息乎兩心差及最高行之數因以地心為心以兩心差最大最小兩數相加折半得五五○五○五為最高本輪半徑相減折半得一一七三一五為最高均輪半徑均輪心循本輪周右旋行最高平行度本天心循均輪周右旋行日距月最高之倍度用切線分外角法求得地心之角為最高均數即最高行之差求得兩心相距之邊為本天心距地數即本時之兩心差也今考其表中所載其最大遲疾差不在中距最高前後九十度多最卑前後九十度少與上編小輪之理同其求兩心差則在本天高卑之適中而亦不正九十度與本編日躔之理同而其測量諸均數則必在高卑中距或高卑中距之間其數乃整齊而易辨要之測得高卑中距之差則兩心差之數巳見而求得兩心差之數則高卑中距之差悉合矣
  如甲為地心乙為太陰本天心丙為最高丁為最卑戊己為中距【戊己乃實行之中距非平行之中距因朔望相對故借實行以明之】設日天最高當月天最高丙太陽在最高後中距戊太陰亦在戊合朔測得太陰實行比平行少四度四十五分四十一秒太陰在最高前中距己望測得太陰實行比平行多五度九分二十一秒又設太陽在最高前中距己太隂亦在己合朔測得太陰實行比平行多四度四十五分四十一秒太陰在最高後中距戊望測得太隂實行比平行少五度九分二十一秒兩測太隂在戊實行皆比平行為少太陰在己實行皆比平行為多是知太陰在最高後則減最高前則加為初均之故矣然太陽在戊則少數小多數大太陽在己則少數大多數小是必另有一均因太陽在戊而加在己而減者若不因太陽之故則太隂在戊為減在己為加其數必相等也於是以大小兩數相減折半得一十一分五十秒别為一平均以減大數加小數得四度五十七分三十一秒為日距月天最高前後九十度時月距最高前後九十度之初均數最高後為減最高前為加也
  又設日天最高當月天最高後中距戊太陽在最高戊太陰在最高後中距戊合朔測得太陰實行比平行少四度五十九分五十六秒太陰在最高前中距己望測得太陰實行比平行多四度五十五分六秒又設日天最高當月天最高前中距己太陽在最高己太陰在最高前中距己合朔測得太陰實行比平行多四度五十九分五十六秒太陰在最高後中距戊望測得太陰實行比平行少四度五十五分六秒兩測太陰在戊實行皆比平行為少太陰在己實行皆比平行為多是知太陰在最高後則減最高前則加為初均之故矣然日天最高在戊月天最高距日天最高二百七十度則少數大多數小日天最高在己月天最高距日天最高九十度則多數大少數小是必另有一均因月高距日高九十度而加二百七十度而減者於是以大小兩數相減折半得二分二十五秒别為三均以減大數加小數得四度五十七分三十一秒為日距月天最高前後九十度時月距最高前後九十度之初均數最高後為減最高前為加與前測合
  又設日天最高當月天最高丙太陽在最高丙太陰在中距戊上弦測得太陰實行比平行少七度三十五分三十四秒太陰在中距己下弦測得太陰實行比平行多七度三十五分三十四秒又設日天最高當月天最卑丁太陽在最高丁太陰在中距己上弦測得太陰實行比平行多七度四十分二十四秒太陰在中距戊下弦測得太陰實行比平行少七度四十分二十四秒兩測太陰在戊實行皆比平行為少太陰在己實行皆比平行為多是知太陰在最高後則減最高前則加為初均之故矣然上弦則少數小多數大下弦則少數大多數小是必另有一均因上弦而加下弦而減者於是以大小兩數相減折半得二分二十五秒别為三均以減大數加小數得七度三十七分五十九秒為日在月天最高最卑時月距最高前後九十度之初均數最高後為減最高前為加也
  又設日天最高在庚月天最高丙距日天最高三百一十五度太陽在庚距月天最高四十五度太陰在戊距最高九十度而距日四十五度為朔與上弦之間測得太陰實行比平行少五度五十七分四十五秒若日天最高在辛月天最高距日天最高二百二十五度太陽在辛距月天最高一百三十五度太陰仍在戊距月天最高九十度而距日三百一十五度為下弦與朔之間測得太隂實行比平行少六度五十四分四十九秒又設日天最高在壬月天最高距日天最高一百三十五度太陽在壬距月天最卑四十五度太隂在己距最高前九十度而距日四十五度為朔與上弦之間測得太隂實行比平行多六度五十四分四十九秒若日天最高在癸月天最高距日天最高四十五度太陽在癸距月天最高三百一十五度太隂仍在己距最高前九十度而距日三百一十五度為下弦與朔之間測得太隂實行比平行多五度五十七分四十五秒兩測太陰在戊實行皆比平行為少太陰在己實行皆比平行為多是知太陰在最高後則減最高前則加為初均之故矣而朔與上弦之間則少數小多數大下弦與朔之間則少數大多數小是必另有一均因朔後而加朔前而減者而所大所小之數又不及二均加減之多是必又有别均加減於其間而此特為其加減之較於是以大小兩數相減折半得二十八分三十二秒為二均與二平均末均加減之較【查朔後四十五度二均應加三十三分一十四秒而日距月天高卑後四十五度二平均應減三分三十四秒又月高距日高在四象限之正中朔後四十五度時末均應減一分八秒故以二十八分三十二秒為加減之較又查朔前四十五度二均應減三十三分一十四秒而日距月天高卑前四十五度二平均應加三分三十四秒又月高距日高在四象限之正中朔前四十五度時末均應加一分八秒故亦以二十八分三十二秒為加減之較詳後各篇】以減大數加小數得六度二十六分一十七秒為日距月天高卑前後四十五度時月距最高前後九十度之初均數最高後為減最高前為加也
  前測均數之大小皆在月距最高前後九十度時而測兩心差之大小則必在本天高卑之適中其平引【即距最高之平行度】之多於九十度與實引【即距最高之實行度】之少於九十度或平引之少於九十度與實引之多於九十度者皆適相等【見日躔求兩心差篇】如甲為地心乙為本天心甲乙為兩心差甲子為倍差丙丑丁寅撱圓為月本天丙為最高丁為最卑丑寅為中距【丑寅為本天高卑之適中丙丑甲分撱圓面積為平引九十度多丑甲丙角為實引九十度少然相去不遠故亦名中距以便與日天較算也】乙丁為大半徑一千萬乙丑為小半徑甲丑子丑皆與乙丁等設日天最高當月天最高前中距寅太陽在最高寅太陰在最高後中距丑望其丙丑甲分撱圓面積九十二度二十八分五十七秒五十八微半為平引其大於九十度之二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲乙勾股積與乙丑甲角度等【與日躔求兩心差同但日躔從最卑起算月離從最高起算耳】此時測得太陰實行在最高後八十七度三十三分二十七秒一微半減此時應加之三均二分二十五秒【此時三均應加二分二十五秒若不因三均則實行應少二分二十五秒故減】餘八十七度三十一分二秒一微半為實引其小於九十度者亦二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲卯角與乙丑甲角等亦與子丑乙角等平行實行之差四度五十七分五十五秒五十七微即甲丑子角折半得二度二十八分五十七秒五十八微半即乙丑甲角甲丑既為半徑一千萬則甲乙即乙丑甲角之正弦檢表得四三三一九○即日在月天中距時之兩心差也
  又設日天最高當月天最高丙太陽在最高丙太陰在最高後中距丑上弦其丙丑甲分撱圓面積九十三度四十九分四十五秒二微半為平引其大於九十度之三度四十九分四十五秒二微半即丑甲乙勾股積與乙丑甲角度等此時測得實行在最高後八十六度一十二分三十九秒五十七微半減此時應加之三均二分二十五秒【同前】餘八十六度一十分一十四秒五十七微半為實引其小於九十度者亦三度四十九分四十五秒二微半即丑甲卯角與乙丑甲角等亦與子丑乙角等平行實行之差七度三十九分三十秒五微即甲丑子角折半得三度四十九分四十五秒二微半即乙丑甲角檢正弦得六六七八二○即日在月天最高最卑時之兩心差也
  前測日在月天高卑兩心差大日在月天中距兩心差小又日在月天高卑最高行速日在月天中距最高行遲用小輪之法算之如甲為地心乙丙丁戊為最高本輪甲乙半徑為五五○五○五己庚辛壬為最高均輪乙己半徑為一一七三一五均輪心循本輪周右旋自乙而丙而丁而戊行最高平行度本天心循均輪周右旋自己而庚而辛而壬行日距月最高之倍度本天心在均輪上半周順輪心行故最高行速距地心遠故兩心差大本天心在均輪下半周逆輪心行故最高行遲距地心近故兩心差小日在月天最高或在月天最卑本天心皆在己甲己六六七八二○為最大兩心差日在月天兩中距本天心皆在辛甲辛四三三一九○為最小兩心差本天最高與甲乙合為一線無最高均數如日距月最高四十五度則本天心自己行九十度至庚本天最高必對甲庚線之上用甲乙庚三角形求得甲角一十二度一分四十八秒為最高均數是為最大之加差以加於最高平行而得最高實行求得甲庚邊五六二八六六為本天心距地數即本時之兩心差也【此乙角為直角可用勾股法亦可用切線分外角法若乙角非直角則用切線分外角法】如日距月最高一百三十五度則本天心自己行二百七十度至壬本天最高必對甲壬線之上用甲乙壬三角形求得甲角為最高均數與乙甲庚角等甲壬兩心差亦與甲庚等但甲角為最大之減差以減最高平行而得最高實行也既得最高實行與兩心差則以最高實行與太陰平行相減得平引而初均數可求矣



  求初均數
  新法算書用本輪均輪推初均數日躔月離數雖不同而其法則一也自刻白爾以平行為撱圓面積求實行用意甚精而推算無術噶西尼等立借角求角之法亦極補凑之妙矣然日天兩心差為本天半徑千萬分之一十六萬餘所差之最大者不過百分秒之六十六【見日躔撱圓角度與面積相求篇】月天兩心差之最大者為本天半徑千萬分之六十六萬餘若仍用日躔之法則其差之最大者即至四十秒雖於數不為踈而於法則猶未密故又立用兩三角形之法先以半徑為一邊兩心差為一邊太陰平引與半周相減【不及半周者與半周相減過半周者減半周】為所夾之角求得對兩心差之小角與前所夾之角相加復為所夾之角仍用半徑與兩心差為兩邊求得對半徑之大角為平圓引數次以大半徑為一率小半徑為二率平圓引數之正切線為三率求得四率查正切線得實引與平引相減餘為初均數依日躔借積求積法細推之其差之最大者不過一十秒較借角求角之法為密云
  如圖甲為地心乙為本天
  心甲乙為最大兩心差六
  六七八二○丙丁戊己為
  月本天乙丙為大半徑一
  千萬與乙庚等乙丁為小
  半徑九九七七六七五【小餘
  九○】設太陰平引距最高後
  九十度用日躔借角求角
  法依甲乙之分截乙丙線
  於辛取丙辛壬角為九十
  度自地心甲作甲壬線命
  甲壬丙分撱圓面積為九
  十度與乙丁丙面積等亦
  與丙乙丁角度等用甲辛
  壬三角形丙辛壬外角為
  平引九十度甲辛為倍兩
  心差一三三五六四○甲
  壬與辛壬共為二千萬求
  得壬角七度三十八分二
  十八秒【小餘七○】為初均數即
  得壬甲丙角八十二度二
  十一分三十一秒【小餘三○】為
  實引試依日躔借積求積
  法細推之辛壬邊為九九
  五五四○一【小餘六四】甲壬邊
  為一○○四四五九八【小餘
  三六】甲壬丙分撱圓面積為
  七八三五四五六三一八
  四七七三與最大兩心差
  之撱圓九十度積七八三
  六四四八三二一一一四
  二相減餘九九二○○二
  六三六九為甲壬癸積即
  甲壬丙積小於九十度積
  之較故知平引距最高九
  十度時太陰必在壬點之
  後如癸乃依最大兩心差
  中率半徑九九八八八三
  二截甲壬線於子截甲癸
  線於丑成甲子丑分平圓
  面與甲壬癸為同式形【甲壬
  長於甲癸然為數無多故為同式形】以甲壬
  自乘得一○○八九三九
  五六二一三七一五為一
  率甲子中率自乘方九九
  七七六七五九○四一一
  七二為二率甲壬癸積較
  為三率求得四率九八一
  ○一八二○七五為甲子
  丑分平圓面積以最大兩
  心差之一秒積二四一八
  六五六八九除之得四十
  秒【小餘五六】為子甲丑角與壬
  甲丙角相加得八十二度
  二十二分一十一秒【小餘八六】為癸甲丙角即平引距最
  高後九十度之實引與平
  引九十度相減餘七度三
  十七分四十八秒【小餘一四】即
  平引距最高後九十度時
  之初均數前用日躔借角
  求角法所得實引壬甲丙
  角比細推少四十秒蓋乙
  丁丙為撱圓面四分之一
  其積為九十度今命太隂
  在壬以甲壬丙分撱圓積
  為與乙丁丙積等其實甲
  壬丙積比乙丁丙積多一
  甲乙寅形少一寅壬丁形
  而甲乙寅積僅與寅壬卯
  積等以多補少尚少壬卯
  丁弧矢積故推得壬甲丙
  角比細推少四十秒也【日躔
  從最卑起算則推得辰甲戊角比細推為多】又
  查日天兩心差為一六九
  ○○○小矢為一四二六
  所得實引比細推差百分
  秒之六十六月天甲乙兩
  心差為六六七八二○與
  壬卯半弦等幾為日天之
  四倍卯丁小矢為二二二
  七四【乙丁内減去辛壬餘即卯丁小矢也】幾
  為日天之一十六倍則壬
  卯丁弧矢積幾為日天之
  六十四倍【四因一十六倍得六十四倍】故實引比細推差四十秒
  亦幾為日躔實引所差之
  六十四倍也
  今用兩三角形法先設丙
  乙庚角為平引九十度用
  甲乙庚三角形甲乙庚角
  為九十度乙庚為半徑一
  千萬甲乙為最大兩心差
  六六七八二○求得甲庚
  乙角三度四十九分一十
  四秒【小餘三五】又與甲庚平行
  作乙己線自甲至己作甲
  己線成甲乙己三角形己
  乙庚角與甲庚乙角等以
  己乙庚角與甲乙庚角九
  十度相加得九十三度四
  十九分一十四秒【小餘三五】為
  甲乙己角求得乙甲己角
  八十二度二十三分二秒
  【小餘四一】為平圓引數次以乙
  庚大半徑一千萬為一率
  乙丁小半徑九九七七六
  七六為二率乙甲己角之
  正切線為三率求得四率
  為乙甲午角之正切線檢
  表得八十二度二十二分
  一秒【小餘七九】為實引與平引
  九十度相減餘七度三十
  七分五十八秒【小餘二一】即最
  大兩心差平引九十度之
  初均數也此法推得實引
  比前細推所得之數仍少
  一十秒而較之日躔借角
  求角之法則為己密蓋設
  丙乙庚角為九十度則乙
  庚丙分平圓積乙丁丙分
  撱圓積皆為九十度今與
  甲庚平行作乙己線甲己
  丙面與乙庚丙面相等而
  為平圓九十度積則甲午
  丙面亦必與乙丁丙面相
  等而為撱圓九十度積夫
  甲己丙面内有乙己丙形
  與甲乙己形乙庚丙面内
  有乙己丙形與乙己庚形
  甲乙己積與乙己庚積相
  等則甲己丙積即與乙庚
  丙積相等試自己至庚作
  己庚直線則乙己庚與甲
  乙己為二平行線内同底
  同高之兩三角形其積相
  等【乙己原與甲庚平行庚未正弦與甲申垂線等
  以乙己底與庚未高相乘折半得乙己庚三角積以
  乙己底與甲申高相乘折半得甲乙己三角積庚未
  旣與甲申等故兩三角積必等也】是甲乙
  己形比乙己庚形尚少庚
  酉巳弧矢積而甲己丙分
  平圓面比乙庚丙平圓九
  十度積甲午丙分撱圓面
  比乙丁丙撱圓九十度積亦
  少庚酉已弧矢積故求得實
  引比細推少一十秒即庚酉
  巳弧矢積之度然為數無多
  非若差壬卯丁弧矢積者比
  故其法較日躔為己密也又
  以日躔之法明之日躔設太
  陰在壬其甲壬丙分撱圓面
  積比乙丁丙撱圓九十度積
  少壬卯丁弧矢積故實引壬
  甲丙角少四十秒今平引用
  乙角甲乙與乙辛等而乙庚
  長於辛壬則與甲庚平行之
  乙己線必在壬點下減巳甲
  午撱圓差角太陰午點亦必
  仍在壬點下是甲午丙積比
  甲壬丙積

  即多甲午壬積足與所少
  壬卯丁弧矢積相補故求
  得實引午甲丙角即比壬
  甲丙角大一午甲壬角以
  數計之已午畧與卯丁等
  甲戌畧與甲辛等則甲已
  午三角積為壬卯丁勾股
  積之二倍而甲午壬積約
  為甲己午積之一半故甲
  午壬積與壬卯丁勾股積
  等比壬卯丁弧矢積僅少
  壬亥丁一小弧矢積故實
  引止少一十秒且此之平
  引為九十度乃差之最大
  者九十度前後愈近最高
  最卑其差愈少故推太陰
  初均用此法也
  依前法設平引九十度甲
  乙為最小兩心差四三三
  一九○求得乙甲午角八
  十五度二分二十九秒為
  實引與平引九十度相減
  餘四度五十七分三十一
  秒為最小兩心差平引九
  十度之初均數又設甲乙
  為中數兩心差五五○五
  ○五求得乙甲午角八十
  三度四十二分一十秒為
  實引與平引九十度相減
  餘六度一十七分五十秒
  為中數兩心差平引九十
  度之初均數如設平引九
  十度日距月最高四十五
  度兩心差為五六二八六
  六求初均數則以最大兩
  心差與中數兩心差相減
  餘一一七三一五為一率最
  大兩心差之初均數與中數
  兩心差之初均數相減餘一
  度二十分八秒化作四千八
  百零八秒為二率今有之兩
  心差與中數兩心差相減餘
  一二三六一為三率求得四
  率五百零七秒收作八分二
  十七秒與中數兩心差之初
  均數相加得六度二十六分
  一十七秒為平引九十度兩
  心差五六二八六六之初均
  數盖均數因兩心差為大小
  故初均大小之差即用兩心
  差之較為比例若以甲乙兩
  心差五六二八六六用兩三
  角形法算

  之則得乙甲午角八十三度
  三十三分四十三秒為實引
  與平引九十度相減餘六度
  二十六分一十七秒為初均
  數與用兩心差之較為比例
  所得數同故初均表止列大
  中小三限為省算也餘倣此

  求一平均
  新法算書推步朔望惟用初均數若月在本天最高或在本天最卑則平行與實行合為一線並無初均數矣刻白爾以來奈端等屢加測驗謂月在最高最卑雖無初均數而日在最卑後則太陰平行常遲最高平行正交平行常速日在最高後太陰平行常速最高平行正交平行常遲因定日在中距太陰平行差一十一分五十秒最高平行差一十九分五十六秒正交平行差九分三十秒其間逐度之差皆以太陽中距之均數與太陽逐度之均數為比例名曰一平均蓋太陽平行自子正隨天左旋復至子正是為一日月距日一日順行一十二度餘最高一日順行六分餘正交一日退行三分餘皆隨太陽平行為行度故為平行而太陰二均生於月距日之倍度最高均生於日距月最高之倍度正交均生於日距正交之倍度皆以太陽實行立算太陽實行有盈縮則諸行亦隨之有進退此因太陽右旋之盈縮而差者也又太陽右旋加多一度則左旋之時刻差早一度諸行亦隨之而差早一度之行太陽右旋減少一度則左旋之時刻差遲一度諸行亦隨之而差遲一度之行此因太陽隨天左旋之遲早而差者也由是二者故有一平均之法然太陰一平均則惟因左旋時差之故最高平均與正交平均則兼左旋右旋兩差之故焉以太陰一平均言之太陰二均生於月距日之倍度而月距日之度乃置太陰實行減太陽實行而得之太陽右旋之度差而多則月距日之度反差而少太陽右旋之度差而少則月距日之度反差而多是月距日之行不隨太陽右旋之盈縮為進退也惟是太陽左旋時刻差一度倍月距日已差二度太陰又隨之差二度則平行即差四度時差行差早者應減差遲者應加然差早一度者太陽未至子正一度應加一度時差行差遲一度者太陽已過子正一度應減一度時差行是差三倍時差行也故以一小時六十分為一率一小時月距日平行一千八百二十
  八秒六二為                 【十三秒變時得七分四十】二率太陽中距均數一度【每度變為四分十五分變為一分十五秒變為一秒】五十六分一五秒為三率求得四率二百三十六秒二○用三因之得七百零八秒六○收為一十一分四十九秒為太陰一平均太陽均數加者為減減者為加是為太陽實行至子正時之太陰平行度也以最高平均與正交平均言之最高均生於日距月最高之倍度正交均生於日距正交之倍度而日距月最高與日距正交之度乃置太陽實行減月最高與正交而得之太陽右旋之度加而多則相距之度亦多太陽右旋之度減而少則相距之度亦少是最高與正交之行固隨太陽右旋之盈縮為進退也又太陽左旋之時刻差一度日距月最高與日距正交之倍度巳差二度最高與正交又隨之差二度則最高與正交即差四度時差行差早者應加差遲者應減且最高均與正交均皆隨太陽行相距之倍度太陽實行差一度則最高與正交亦隨之差一度之行太陽又加倍差一度則最高與正交又隨之差半度之行是右旋左旋之差皆為一倍有半而未至子正應加巳過子正應減之時差行又其在外者也故以一日太陽平行三千五百四十八秒三三為一率一日最高平行四百零一秒○七為二率太陽中距均數一度五十六分一十三秒為三率求得四率七百八十八秒一六加四倍時差最高行八秒用一五因之再加最高時差行二秒得一千一百九十六秒二四收作一十九分五十六秒為最高一平均又以一日太陽平行為一率一日正交平行一百九十秒六三為二率太陽中距均數為三率求得四率三百七十四秒六二加四倍時差正交行四秒用一五因之再加正交時差行一秒得五百六十八秒九三收作九分二十九秒為正交一平均最高順行故加減與太陽均數同正交退行故加減與太陽均數相反是為太陽實行至子正時之最高平行與正交平行也最高一平均與舊表合太陰一平均正交一平均皆少一秒今仍用舊數既得太陽中距之平均而逐度之平均皆由太陽均數立算故以太陽中距均數與中距平均之比即同於太陽逐度均數與逐度平均之比也測法附後
  如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己為日本天丙為最高戊為最卑丁己為中距設月天最高當日天最高丙太陽在中距丁太陰在最卑戊上弦測得太陰實行比平行多一十四分一十五秒太陰在最高丙下弦測得太陰實行比平行多九分二十五秒又設太陽在中距己太陰在最高丙上弦測得太陰實行比平行少九分二十五秒太陰在最卑戊下弦測得太陰實行比平行少一十四分一十五秒兩測太陽在丁實行皆比平行為多太陽在己實行皆比平行為少是知太陽在最高後則加在最卑後則減為一平均之故矣而上弦則多數大少數小下弦則多數小少數大是必另有一均因月距日九十度而加二百七十度而減者於是以大小兩數相減折半得二分二十五秒别為三均以減大數加小數得一十一分五十秒為太陽中距一平均最高後為加最卑後為減也
  又設太陽在丁月天最高在丁距日天最高後九十度太隂在丁合朔測得太隂實行比平行多一十四分一十五秒月天最高在己距日天最高後二百七十度太隂在己望測得太隂實行比平行多九分二十五秒又設太陽在己月天最高在己距日天最高後二百七十度太隂在己合朔測得太陰實行比平行少一十四分一十五秒月天最高在丁距日天最高後九十度太陰在丁望測得太隂實行比平行少九分二十五秒兩測太陽在丁實行皆比平行為多太陽在己實行皆比平行為少是知太陽在最高後則加在最卑後則減為一平均之故矣然月天最高在丁距日天最高後九十度則多數大少數小月天最高在己距日天最高後二百七十度則多數小少數大是必另有一均因月天最高距日天最高九十度而加二百七十度而減者於是以大小兩數相減折半得二分二十五秒别為三均以減大數加小數得一十一分五十秒為太陽中距一平均最高後為加最卑後為減也
  又設太陽在庚距最高後四十五度月天最高在庚太隂在庚合朔測得太隂實行比平行多九分五十八秒月天最高在辛太隂在辛望測得太隂實行比平行多六分三十二秒又設太陽在壬距最高前四十五度月天最高在壬太隂在壬合朔測得太隂實行比平行少九分五十八秒月天最高在癸太隂在癸望測得太隂實行比平行少六分三十二秒兩測太陽距最高前後皆四十五度而在最高後庚太隂實行皆比平行為多在最高前壬太隂實行皆比平行為少是知太陽在最高後則加在最高前則減為一平均之故矣然月天最高在庚距日天最高後四十五度則多數大月天最高在辛距日天最高後二百二十五度則多數小月天最高在壬距日天最高後三百一十五度則少數大月天最高在癸距日天最高後一百三十五度則少數小是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而減者於是以大小兩數相減折半得一分四十三秒别為三均以減大數加小數得八分一十五秒為太陽距最高前後四十五度之一平均最高後為加最高前為減也查太陽最高前後四十五度之均數為一度二十分五十七秒以太陽中距之均數一度五十六分一十三秒與中距一平均一十一分五十秒之比同於最高前後四十五度之均數一度二十分五十七秒與四十五度之一平均八分一十五秒之比是知逐度太隂一平均當以逐度太陽均數為比例也
  又設太陽在最高後中距丁月天最高在丁太隂在最卑巳望正當交點此時應無初均惟一平均應加一十一分五十秒月天最高距日天最高九十度三均應加二分二十五秒然測太隂實行比平行多一十九分一十四秒較之一平均與三均應加之數仍多四分五十九秒為最卑後三十四分一十一秒所應加之初均數夫太隂本在最卑以一平均與三均應加之數計之應在最卑後一十四分一十五秒是必最高又有減差太隂始得在最卑後三十四分一十一秒乃於三十四分一十一秒内減一平均與三均應加之一十四分一十五秒餘一十九分五十六秒為太陽在最高後中距應減之最高平均也又此時太隂正當交點應無距緯然測太陰緯度在黄道北二十六秒為太隂距正交後四分四十五秒之緯度夫太隂本在交點以一平均與三均應加之數計之則應距正交後一十四分一十五秒是必正交又有加差太隂始得在交後四分四十五秒乃於一平均與三均應加之一十四分一十五秒内減四分四十五秒餘九分三十秒為太陽在最高後中距應加之正交平均也太陽在最高前倣此
  求二平均
  前篇言太陰在本天高卑雖無初均數而太陽在本天高卑前後猶有一平均若太陽亦在本天高卑則並無一平均矣奈端以來又屢加精測謂日天最高與月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑則實行與平行合為一線無諸均數太陽雖在最高卑而在月天高卑前後則平行常遲至高卑後四十五度而止在月天中距前後則平行常速至中距後四十五度而止然積遲積速之多正在四十五度而太陽在最高與在最卑其差又有不同因定太陽在最高距月天高卑中距後四十五度之最大差為三分三十四秒太陽在最卑距月天高卑中距後四十五度之最大差為三分五十六秒高卑後為減中距後為加其間日距月最高逐度之差皆以半徑與日距月最高倍度之正弦為比例其太陽距地逐度之差又以太陽高卑距地之立方較與本日太陽距地之立方較為比例名曰二平均蓋太陰本天心循最高均輪周行日距月最高之倍度日在月天高卑則兩心差大而撱圓之面積小故平行遲也日在月天中距則兩心差小而撱圓之面積大故平行速也日距月天高卑中距四十五度則兩心差與撱圓之面積皆為適中太隂平行原以適中之數立算故其平行無遲速也然推盈縮遲疾之法皆以小輪上下二點為起算之端而以九十度處為差數之極今太隂本天心既循均輪周行日距月最高之倍度則是日在月天高卑時本天心皆在均輪上點也日在月天中距時本天心皆在均輪下點也日距月天高卑中距四十五度時本天心皆在均輪九十度處也故二平均以高卑中距分加減之限而以四十五度為最大差至其大差之數與比例之法固由測量而得亦可推算而知測算之法並設於左
  如甲為地心乙為月本天心丙丁戊己為月本天丙為最高戊為最卑丁己為中距設日天最高在庚月天最高相距三百一十五度日在最高庚距月天最高四十五度月在辛望距本天最高二百二十五度此時太隂初均應加四度四十七分四十二秒然測太隂實行僅比平行多四度四十二分二十五秒比所推實行少五分一十七秒若日天最高在辛月天最高相距一百三十五度日在最高辛距月天最卑四十五度月在庚望距本天最高四十五度此時太隂初均應減四度二十分二十四秒然測太隂實行却比平行少四度二十二分一十五秒比所推實行少一分五十一秒又設日天最高在壬月天最高相距二百二十五度日在最高壬距月天最高一百三十五度而在中距後四十五度月在癸望距本天最高三百一十五度此時太隂初均應加四度二十分二十四秒然測太隂實行却比平行多四度二十二分一十五秒比所推實行多一分五十一秒若日天最高在癸月天最高相距四十五度日在最高癸距月天最高三百一十五度而在中距後四十五度月在壬望距本天最高一百三十五度此時太隂初均應減四度四十七分四十二秒然測太隂實行僅比平行少四度四十二分二十五秒比所推實行多五分一十七秒兩測太陽同在最高前測太陽一在月天最高後四十五度一在月天最卑後四十五度實行皆比所推為少後測太陽在月天中距後四十五度實行皆比所推為多是知日在月天高卑後則減中距後則加為二平均之故矣然前測日天最高在庚月天最高相距三百一十五度則少數大日天最高在辛月天最高相距一百三十五度則少數小後測日天最高在壬月天最高相距二百二十五度則多數小日天最高在癸月天最高相距四十五度則多數大是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而減者於是以大小兩數相減折半得一分四十三秒别為三均以減大數加小數得三分三十四秒為太陽在最高時距月天高卑中距後四十五度之最大二平均高卑後為減中距後為加也
  設日天最高在庚月天最高相距三百一十五度日在最卑辛距月天最卑四十五度月在庚望距本天最高四十五度此時太陰初均應減四度二十分二十四秒然測太陰實行却比平行少四度二十六分三秒比所推實行少五分三十九秒若日天最高在辛月天最高相距一百三十五度日在最卑庚距月天最高四十五度月在辛望距本天最高二百二十五度此時太陰初均應加四度四十七分四十二秒然測太隂實行僅比平行多四度四十五分二十九秒比所推實行少二分一十三秒又設日天最高在壬月天最高相距二百二十五度日在最卑癸距月天最高三百一十五度而在中距後四十五度月在壬望距本天最高一百三十五度此時太陰初均應減四度四十七分四十二秒然測太陰實行僅比平行少四度四十五分二十九秒比所推實行多二分一十三秒若日天最高在癸月天最高相距四十五度日在最卑壬距月天最高一百三十五度而在中距後四十五度月在癸望距本天最高三百一十五度此時太陰初均應加四度二十分二十四秒然測太隂實行却比平行多四度二十六分三秒比所推實行多五分三十九秒兩測太陽同在最卑前測太陽一在月天最卑後四十五度一在月天最高後四十五度實行皆比平行為少後測太陽在月天中距後四十五度實行皆比平行為多是知日在月天高卑後則減中距後則加為二平均之故矣然前測日天最高在庚月天最高相距三百一十五度則少數大日天最高在辛月天最高相距一百三十五度則少數小後測日天最高在壬月天最高相距二百二十五度則多數小日天最高在癸月天最高相距四十五度則多數大是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而減者於是以大小兩數相減折半得一分四十三秒别為三均以減大數加小數得三分五十六秒為太陽在最卑時距月天高卑中距後四十五度之最大二平均高卑後為減中距後為加也
  設日天最高在丙與月天最高同度日在庚距月天最高四十五度距日天最高亦四十五度此時一平均應加八分一十五秒月在辛望距本天最高二百二十五度初均應加四度四十七分四十二秒實行應比平行多四度五十五分五十七秒然測太陰實行僅比平行多四度五十二分二十秒比所推實行少三分三十七秒是為日在最高後四十五度時距月天最高後四十五度應減之二平均也又設日在壬距月天最高一百三十五度而在中距後四十五度距日天最高亦一百三十五度此時一平均應加八分三十秒月在癸望距本天最高三百一十五度初均應加四度二十分二十四秒實行應比平行多四度二十八分五十四秒然測太陰實行却比平行多四度三十二分四十七秒比所推實行多三分五十三秒是為日在最高後一百三十五度時距月天中距後四十五度應加之二平均也又設日在子距月天最高二十度距日天最高亦二十度此時一平均應加三分五十八秒月在丑望距本天最高二百度初均應加二度四十四分二秒實行比平行應多二度四十八分然測太隂實行僅比平行多二度四十五分四十二秒比所推實行少二分一十八秒是為日在最高後二十度時距月天最高二十度應減之二平均也又設日在寅距月天最高一百一十度而在中距後二十度距日天最高亦一百一十度此時一平均應加一十一分一十二秒月在卯望距本天最高後二百九十度初均應加四度五十五分一十六秒實行比平行應多五度六分二十八秒然測太陰實行却比平行多五度八分五十六秒比所推實行多二分二十八秒是為日在最高後一百一十度時距月天最高一百一十度應加之二平均也以上測得諸數與本天面積比例相似如甲乙丙丁為最大兩心差之撱圓其面積小甲戊丙己為最小兩心差之撱圓其面積大甲庚丙辛為相加折半之撱圓其面積適中今以適中之面積均分之為平行在小面積必比中積為少故平行遲在大面積必比中積為多故平行速然其遲速之限止在日距月最高倍度九十度之間故其遲速之差亦至九十度而止試以最大兩心差之甲乙壬撱圓九十度積七八三六四四八三二一一一四二與最小兩心差之甲戊壬撱圓九十度積七八四六六○九○二五九四六七相減餘一○一六○七○四八三二五為甲乙戊積折半得五○八○三五二四一六二為甲乙庚積與甲庚戊積等以適中一秒積二四二○二二四九○除之得二百一十秒收為三分三十秒比日在最高之最大二平均僅少四秒今仍用舊數
  又日在最高距地遠而差數小日在最卑距地近而差數大與轉比例相似試以日在最卑距地九八三一之平方九六六四為一率日在最高距地一○一六九之平方一○三四○為二率【面積從末截去十位以便入算】日在最高距地數乘最高二平均三分三十四秒之長方為三率求得四率為日在最卑距地數乘最卑二平均之長方以最卑距地數除之得三分五十六秒強為日在最卑之二平均又法先以四率最卑距地數與一率最卑平方相乘得最卑距地之立方九五○一五二為一率以三率最高距地數與二率最高平方相乘得最高距地之立方一○五一五六二為二率【立方積從末截去十五位以便入算】即以日在最高二平均三分三十四秒為三率則得四率即為日在最卑二平均三分五十六秒與表合日距月最高逐度之二平均以半徑與日距月最高倍度之正弦為比例如甲為地心甲乙為中數兩心差甲丙為最大兩心差甲丁為最小兩心差日在月天最高月本天心在丙面積最小平行最遲自丙向戊所遲漸少迨日距月天最高四十五度則月本天心自丙行九十度至戊面積適中郎無所遲而復於平行然積遲之多正在戊故為最大之減差由戊向丁面積漸大平行漸速然因有積遲之度方以次相補迨日距月天最高九十度則月本天心自丙行一百八十度至丁平行最速而積遲之度方補足無缺故自丙至丁半周皆為減差也日在月天中距月本天心在丁面積最大平行最速自丁向己所速漸少迨日距月天最高一百三十五度則月本天心自丙行二百七十度至己面積適中即無所速而復於平行然積速之多正在己故為最大之加差由己向丙面積漸小平行漸遲然因有積速之度方以次相消迨日距月天最高後半周與月天最卑同度則月本天心自丙行一周復至丙平行最遲而積速之度始消盡無餘故自丁至丙半周皆為加差也日距月天最卑後皆倣此今以日距月最高倍度之正弦為比例自丙向戊自丁向己正弦漸大而其較漸小自戊向丁自己向丙正弦漸小而其較漸大故自戊點而後所減漸少而所少之較又漸大實即加也加至丁點而極自丁點而後為加雖所加漸多而所加之較實漸小至己則逐日所加相等是即無所加矣自己點而後所加漸少而所少之較又漸大實即減也減至丙點而極自丙點而後為減雖所減漸多而所減之較實漸小至戊則逐日所減相等是即無所減矣故太陰平行以丙點前後為遲丁點前後為速而遲速之差至戊己二點而止其間逐度之二平均皆以日距月最高倍度之正弦為比例也太陽距地逐度二平均較以太陽高卑距地之立方較與本日太陽距地之立方較為比例蓋以本日太陽距地之立方與最高距地之立方為比同於最高之二平均與本日太陽距地之二平均為比此正理也【法見前】然以此立表則不勝其繁而逐度太陽距地之立方推算亦不易且其至大之差不過二十二秒用立方較為比例其數巳自相合故先以日在最高之最大二平均三分三十四秒比例得日在最高時本日之二平均又以日在最卑之最大二平均三分五十六秒比例得日在最卑時本日之二平均兩二平均相減為高卑二平均之較乃以日在最高距地一○一六九之立方一○五一五六二與日在最卑距地九八三一之立方九五○一五二相減餘一○一四一○為高卑立方大較為一率高卑二平均之較為二率本日太陽距地之立方與最高距地之立方相減為本日之立方較為三率求得四率為本日二平均較與日在最高之二平均相加即得本日之二平均也
  求三平均
  前篇言日天最高與月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑則實行與平行合為一線無諸均數然惟太陽在兩交與大距為然若太陽在兩交後則平行又稍遲在大距後則平行又稍速其最大差為四十七秒名曰三平均蓋白極在正交均輪周新法算書謂行月距日之倍度奈端以來謂行日距正交之倍度【詳見後交均篇】故惟太陽在兩交與大距則白極與均輪心參直其平行無加減太陽在兩交後則白極在均輪心之東而白道經圈之過黄道者亦差而東其黄道舊點所當白道度即差而西故平行應減而遲也太陽在大距後則白極在均輪心之西而白道經圈之過黄道者亦差而西其黄道舊點所當白道度即差而東故平行應加而速也此其所差止在數十秒之間雖不易得之仰觀而實可稽諸儀象其法以半徑一千萬與均輪半徑切線為比同於本輪半徑與最大三平均切線為比而逐度之三平均皆以半徑與日距正交倍度之正即為比例焉
  如圖甲為黄極乙丙丁戊為
  黄道以最大黄白大距五度
  一十七分二十秒與最小黄
  白大距四度五十九分三十
  五秒相加折半得五度八分
  二十七秒半為黄白大距之
  中數以中數為半徑作己庚
  辛壬圈為白極繞黄極本輪
  又以兩大距相減折半得八
  分五十二秒半為半徑作癸
  子丑寅圈為負白極均輪均
  輪心循本輪周左旋自己向
  庚每日三分有餘為正交行
  度白極循均輪周右旋自癸
  向子每日二度四分有餘為
  日距正交之倍度日在兩交
  白極在癸

  日在大距白極在丑與均輪
  心參直成一直線故無三平
  均如日距兩交後四十五度
  則白道之北極自癸行九十
  度至子在均輪心之東而白
  道之南極郎轉在均輪心之
  西白道經圈交白道於卯當
  黄道之辰在乙點黄道度之
  東而白道經圈之過乙點者
  即當白道之己是白道度退
  矣白道度退則太隂亦隨之
  而退故白極在癸子丑半周
  三平均皆為減差也如日在
  大距後四十五度則白道之
  北極自丑行九十度至寅在
  均輪心之西而白道之南極
  即轉在均

  輪心之東白道經圈交白
  道於卯當黄道之午在乙
  點黄道度之西而白道經
  圈之過乙點者即當白道
  之未是白道度進矣白道
  度進則太陰亦隨之而進
  故白極在丑寅癸半周三
  平均皆為加差也巳卯子
  卯寅卯皆九十度巳角子
  角寅角皆直角巳子巳寅
  皆均輪半徑八分五十二
  秒半即卯角度乙卯五度
  八分二十七秒半與甲己
  本輪半徑等故以半徑一
  千萬與卯角正切線二五
  八一六為比同於乙卯弧
  之正弦八九六○六六與
  乙午或乙辰之正切線二
  三一三為比而得乙午乙
  辰弧各四十七秒為最大
  三平均若日距正交之倍
  度不及九十度或過九十
  度則巳角或鋭或鈍不得
  成直角而卯角與乙辰乙
  午三平均皆以漸而小當
  用弧線三角形法推算然
  均輪半徑不過八分餘其
  逐度之正弦即與卯角等
  故逐度之三平均即以半
  徑與日距正交倍度之正
  弦為比例也今按三平均
  係白道度當用卯巳與卯
  未弧又按推交均法將均
  輪半徑減五十秒餘巳申
  八分二秒半為小輪半徑
  則三平均又當用卯酉弧
  然以數推之卯巳弧為四十
  八秒卯酉弧為四十三秒其
  差不遠故即以均輪半徑比
  例為省算云


  求二均數
  新法算書惟太陰兩弦行度止有初均二均兩弦前後始有三均初均之最大者四度五十八分餘二均之最大者二度二十七分餘三均之最大者四十二分餘計兩弦前後最大差共八度弱噶西尼以來屢加測驗謂兩弦太陰行度止有初均三均而三均又不盡關乎兩弦之故二均之最大者不在兩弦而在朔弦弦望之間其初均之最大者七度三十九分三十四秒二均之最大者三十七分一十一秒計兩弦前後最大差共八度強則是今之二均固兼新法算書二均三均之義而其數則又不同蓋太陰去地甚近其行最著又二十七日有奇而一周天一月之中備日行四時之軌至為參錯不齊古人惟重交食故朔望而外置之弗論西人第谷始創二三均之法其門人精測不已又數十年然後改定則其數必實有所據而非為臆說也其法定日在最高朔望前後四十五度最大差為三十三分一十四秒日在最卑朔望前後四十五度最大差為三十七分一十一秒朔望後為加兩弦後為減其間月距日逐度之二均則以半徑與月距日倍度之正弦為比例其太陽距最高逐度二均之差又以日天高卑距地之立方較與本日太陽距地之立方較為比例與二平均同測算之法並設於後
  如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己為日本天丙為最高戊為最卑丁己為中距設月天最高在日天最高丙太陽在最高丙太陰在庚距最高四十五度距日亦四十五度為朔與上弦之間此時太陰初均應減五度六分一十一秒然測太陰實行則僅比平行少四度三十一分一十四秒比所推實行多三十四分五十七秒若太隂在辛距最高二百二十五度距日亦二百二十五度而在望後四十五度為望與下弦之間此時太隂初均應加五度四十四分二十九秒然測太隂實行却比平行多六度一十六分比所推實行多三十一分三十一秒又設太隂在壬距最高三百一十五度距日亦三百一十五度而在朔前四十五度為下弦與朔之間此時太隂初均應加五度六分一十一秒然測太陰實行則僅比平行多四度三十一分一十四秒比所推實行少三十四分五十七秒若太陰在癸距最高一百三十五度距日亦一百三十五度而在望前四十五度為上弦與望之間此時太隂初均應減五度四十四分二十九秒然測太隂實行却比平行少六度一十六分比所推實行少三十一分三十一秒兩測太陽同在最高前測太隂在朔望後四十五度實行皆比所推為多後測太陰在朔望前四十五度實行皆比所推為少是知太陰在朔望後則加在朔望前則減為二均之故矣然朔後則多數大望後則多數小朔前則少數大望前則少數小是必另有一均因朔後而加望後而減者於是以大小兩數相減折半得一分四十三秒别為三均以減大數加小數得三十三分一十四秒為太陽在最高時月在朔望前後四十五度之最大二均數朔望後為加兩弦後為減也
  設月天最高在日天最卑戊太陽在最卑戊太陰在辛距最高四十五度距日亦四十五度為朔與上弦之間此時太隂初均應減五度六分一十一秒然測太隂實行則僅比平行少四度二十七分一十七秒比所推實行多三十八分五十四秒若太隂在庚距最高二百二十五度距日亦二百二十五度而在望後四十五度為望與下弦之間此時太隂初均應加五度四十四分二十九秒然測太陰實行却比平行多六度一十九分五十七秒比所推實行多三十五分二十八秒又設太陰在癸距最高三百一十五度距日亦三百一十五度而在朔前四十五度為下弦與朔之間此時太陰初均應加五度六分一十一秒然測太陰實行則僅比平行多四度二十七分一十七秒比所推實行少三十八分五十四秒若太陽在壬距最高一百三十五度距日亦一百三十五度而在望前四十五度為上弦與望之間此時太陰初均應減五度四十四分二十九秒然測太陰實行却比平行少六度一十九分五十七秒比所推實行少三十五分二十八秒兩測太陽同在最卑前測太陰在朔望後四十五度實行皆比所推為多後測太陰在朔望前四十五度實行皆比所推為少是知太陰在朔望後則加在朔望前則減為二均之故矣然朔後則多數大望後則多數小朔前則少數大望前則少數小是必另有一均因朔後而加望後而減者於是以大小兩數相減折半得一分四十三秒别為三均以減大數加小數得三十七分一十一秒為太陽在最卑時月在朔望前後四十五度之最大二均數朔望後為加兩弦後為減也
  設月天最高當日天最高丙太陽在最高丙太陰在子距最高三十度距日亦三十度此時太陰初均應減三度三十三分五十七秒然測太陰實行僅比平行少三度三分五十七秒比所推實行多三十分若太陰在丑距最高二百一十度距日亦二百一十度而在望後三十度此時太陰初均應加四度七分一十三秒然測太陰實行却比平行多四度三十四分四十七秒比所推實行多二十七分三十四秒又設太隂在寅距最高三百三十度距日亦三百三十度而在朔前三十度此時太陰初均應加三度三十三分五十七秒然測太隂實行僅比平行多三度三分五十七秒比所推實行少三十分若太陰在卯距最高一百五十度距日亦一百五十度而在望前三十度此時太陰初均應減四度七分一十三秒然測太隂實行却比平行少四度三十四分四十七秒比所推實行少二十七分三十四秒兩測太陽同在最高前測太陰在朔望後三十度實行皆比所推為多後測太陰在朔望前三十度實行皆比所推為少是知太陰在朔望後則加在朔望前則減為二均之故矣然朔後則多數大望後則多數小朔前則少數大望前則少數小是必另有一均因朔後而加望後而減者於是以大小兩數相減折半得一分一十三秒别為三均以減大數加小數得二十八分四十七秒為日在最高時月距日三十度之二均數朔望後為加兩弦後為減也乃以前第一測月距日四十五度倍之得九十度其正弦即半徑一千萬為一率前第一測月距日四十五度之二均三十三分一十四秒為二率第三測月距日三十度倍之得六十度其正弦八六六○二五四為三率求得四率二十八分四十七秒與所測合故知月距日逐度之差以半徑與月距日倍度之正弦為比例也
  又設月天最高在日天最高丙太陽在辰距本天最高三十度距月天最高亦三十度太陰在己距本天最高六十度距日三十度此時一平均應加五分四十九秒二平均應減三分六秒初均應減五度五十三分二十二秒三均應加一分一十三秒實行應比平行少五度四十九分二十六秒然測太陰實行則僅比平行少五度二十分二十六秒比所推實行多二十九分是為日在日天最高後三十度時月距日三十度應加之二均數與本天高卑比例相合蓋以日在最卑距地之立方九五○一五二為一率日在最高距地之立方一○五一五六二為二率以日在最高之最大二均數三十三分一十四秒加高卑二平均較二十二秒得三十三分三十六秒為三率則得四率三十七分一十一秒為日在最卑之最大二均數以今設日距最高三十度距地一○一四五六之立方一○四四三一九為一率日在最高距地之立方一○五一五六二為二率以日在最高月距日三十度之二均數二十八分四十七秒加本日二平均較一秒【法見前求二平均篇】得二十八分四十八秒為三率則得四率二十九分為本日之二均數此正理也然列表則甚繁而入算亦不易故先以半徑為一率日在最高最大二均數三十三分一十四秒為二率月距日三十度倍之得六十度其正弦八六六○二五四為三率得四率二十八分四十七秒為日在最高月距日三十度之二均數又以半徑為一率日在最卑最大二均數三十七分一十一秒為二率月距日倍度之正弦為三率得四率三十二分一十二秒為日在最卑月距日三十度之二均數兩二均之較為三分二十五秒乃以太陽高卑立方大較一○一四一○為一率兩二均之較三分二十五秒為二率日距最高三十度距地之立方一○四四三一九與最高距地之立方一○五一五六二相減餘七二四三為本日立方較為三率求得四率一十四秒與日在最高之二均相加得二十九分一秒為日距最高三十度時月距日三十度之二均數比前法僅多一秒故太陽距最高逐度二均之差以日天高卑距地之立方較與本日太陽距地之立方較為比例也


  求三均末均
  新法算書推步朔望兩弦皆無三均數而三均之最大者每在朔弦弦望之間故知三均之差生於月距日之倍度自噶西尼以來以朔弦弦望間之最大差屬之二均而月距日九十度與月高距日高九十度其差正等【見求兩心差第二第三條求一平均第一第二條】月距日四十五度與月高距日高四十五度其差又等【見求一平均第三條求二平均第一條求二均第一條】則是三均之差不專係乎月距日之故也於是取月距日與月高距日高之共為九十度時測之其差與月距日或月高距日高之獨為九十度者等又取月距日與月高距日高之共為四十五度時測之其差與月距日或月高距日高之獨為四十五度者等乃知三均之差生於月距日與月高距日高之總度半周内為加半周外為減其九十度與二百七十度之最大差為二分二十五秒其間逐度之差以半徑與總度之正弦為比例則三均之法定矣然必日月最高同度或日月同度兩者止有一相距之差則止有三均若月天最高與日天最高有距度日月又有距度則三均之外朔後又差而遲望後又差而速及至月高距日高九十度月距日亦九十度時無三均而其差反最大故知三均之外又有末均乃將月高距日高九十度分為九限各於月距日九十度時測之兩高相距九十度其差三分漸近則漸小其間月距日逐度末均之差皆以半徑與月距日之正弦為比例朔後為減望後為加而後推太隂經度之法纎悉具備今考其所測其數之小者只在秒微之間其時又數十年而不一遇然其用意細密學者苟通乎此何患推測之無術歟
  如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己為日本天丙為最高戊為最卑丁己為中距設日在最高丙月天最高在庚距日天最高四十五度日距月天最高三百一十五度月在最高庚距日四十五度與月高距日高共為九十度此時二平均應加三分三十四秒二均應加三十三分一十四秒實行應比平行多三十六分四十八秒然測太隂實行却比平行多三十八分五秒半比所推實行多一分一十七秒半若月天最高在辛距日天最高二百二十五度日距月天最高一百三十五度月在最高辛距日二百二十五度與月高距日高共為四百五十度減全周餘亦九十度此時二平均亦應加三分三十四秒二均亦應加三十三分一十四秒實行應比平行多三十六分四十八秒然測太陰實行却比平行多四十分二十秒半比所推實行多三分三十二秒半又設月天最高在壬距日天最高三百一十五度日距月天最高四十五度月在最高壬距日三百一十五度與月高距日高共六百三十度減全周餘二百七十度此時二平均應減三分三十四秒二均應減三十三分一十四秒實行應比平行少三十六分四十八秒然測太陰實行却比平行少三十八分五秒半比所推實行少一分一十七秒半若月天最高在癸距日天最高一百三十五度日距月天最高二百二十五度月在最高癸距日一百三十五度與月高距日高亦共為二百七十度此時二平均亦應減三分三十四秒二均亦應減三十三分一十四秒實行應比平行少三十六分四十八秒然測太陰實行却比平行少四十分二十秒半比所推實行少三分三十二秒半前測兩距總數共九十度實行皆比所推為多後測兩距總數共二百七十度實行皆比所推為少是知兩距之總度半周内為加半周外為減兩三均之故矣然距日半周内則多數小少數大距日半周外則多數大少數小是必另有一均因朔後而減望後而加者於是以大小兩數相減折半得一分七秒半别為末均以加小數減大數得二分二十五秒為兩距共九十度與二百七十度之三均九十度為加二百七十度為減也
  設日在最高丙月天最高在子距日天最高二十二度半日距月天最高三百三十七度半月在最高子距日二十二度半與月高距日高共為四十五度此時二平均應加二分三十一秒二均應加二十三分三十秒實行應比平行多二十六分一秒然測太陰實行却比平行多二十七分一十八秒七微半比所推實行多一分一十七秒七微半若月天最高在丑距日天最高二百零二度半日距月天最高一百五十七度半月在最高丑距日二百零二度半與月高距日高共四百零五度減全周餘亦四十五度此時二平均亦應加二分三十一秒二均亦應加二十三分三十秒實行應比平行多二十六分一秒然測太陰實行却比平行多二十八分九秒五十二微半比所推實行多二分八秒五十二微半又設月天最高在寅距日天最高三百三十七度半日距月天最高二十二度半月在最高寅距日三百三十七度半與月高距日高共六百七十五度減全周餘三百一十五度此時二平均應減二分三十一秒二均應減二十三分三十秒實行應比平行少二十六分一秒然測太陰實行却比平行少二十七分一十八秒七微半比所推實行少一分一十七秒七微半若月天最高在卯距日天最高一百五十七度半日距月天最高二百零二度半月在最高卯距日一百五十七度半與月高距日高亦共為三百一十五度此時二平均亦應減二分三十一秒二均亦應減二十三分三十秒實行應比平行少一十六分一秒然測太陰實行却比平行少二十八分九秒五十二微半比所推實行少二分八秒五十二微半前測兩距總數共四十五度實行皆比所推為多後測兩距總數共三百一十五度實行皆比所推為少是知兩距總度半周内為加半周外為減為三均之故矣然距日半周内則多數小少數大距日半周外則多數大少數小是必另有一均因朔後而減望後而加者於是以大小兩數相減折半得二十五秒五十二微半别為末均以加小數減大數得一分四十三秒為兩距共四十五度與三百一十五度之三均四十五度為加三百一十五度為減也
  前測日月同度兩高相距九十度三均差二分二十五秒【見求兩心差第二條一平均第二條】兩高同度日月相距九十度三均亦差二分二十五秒【見求兩心差第三條一平均第一條】日月同度兩高相距四十五度三均差一分四十三秒【見求二平均第二條】兩高同度日月相距四十五度三均亦差一分四十三秒【見求二均第一條】今測兩距共九十度三均亦差二分二十五秒兩距共四十五度三均亦差一分四十三秒故知三均生於兩距之總度而九十度之正弦與二分二十五秒之比同於四十五度之正弦與一分四十三秒之比故知逐度之三均以半徑與總度之正弦為比例也前測月天最高在日天高卑前後四十五度月在朔望前後四十五度末均皆為一分七秒半月天最高在日天高卑前後二十二度半月在朔望前後二十二度半末均皆為二十五秒五十二微半可見月天最高距日天高卑前後之度等則其差亦等月距朔望前後之度等則其差亦等而獨四十五度與二十二度半一分七秒半與二十五秒五十二微半無以為比例於是取月天最高距日天高卑前後九十度時按月距日逐度測之設日在最高丙正當交點月天最高在丁距日天最高後九十度月在最高丁距朔後九十度此時無一二三平均亦無初二三均然測太陰實行比平行少三分若月天最高在己距日天最高前九十度月在己距日二百七十度而距朔前九十度以測太陰實行則比平行多三分是知月天最高距日天最高前後九十度而月距日朔望前後九十度時末均為三分朔後為減望後為加又設日在最高丙月天最高在丁距日天最高後九十度月在庚距最高前六十度而在朔後三十度此時太陰初均應加四度一十分五十六秒二均應加二十八分四十七秒三均應加二分六秒實行應比平行多四度四十一分四十九秒然測太陰實行僅比平行多四度四十分一十九秒比所推實行少一分三十秒若月天最高在己距日天最高後二百七十度而距日天最高前九十度月在辛距最高前六十度距日二百一十度而距望後三十度此時太陰諸均俱與前同然以測太陰實行則比平行多四度四十三分一十九秒比所推實行多一分三十秒又設日在最高丙月天最高在丁月在壬距最高後六十度距日一百五十度而距望前三十度此時初均應減四度一十分五十六秒二均應減二十八分四十七秒三均應減二分六秒實行應比平行少四度四十一分四十九秒然測太陰實行却比平行少四度四十三分一十九秒比所推實行少一分三十秒若月天最高在己月在癸距日三百三十度而距朔前三十度此時太陰諸均俱與前同然以測太陰實行僅比平行少四度四十分一十九秒比所推實行多一分三十秒是知月天最高距日天最高前後九十度而月距日朔望前後三十度時末均為一分三十秒朔後為減望後為加又九十度之正弦一千萬與三分之比同於三十度之正弦五百萬與一分三十秒之比故知月距日逐度之末均以半徑與月距日之正弦為比例也乃用此法各於月距日九十度時測得月天最高距日天高卑前後九十度最大末均為三分八十度最大末均為二分三十九秒七十度最大末均為二分一十九秒六十度最大末均為二分五十度最大末均為一分四十三秒四十度最大末均為一分二十八秒三十度最大末均為一分一十六秒二十度最大末均為一分七秒一十度最大末均為一分一秒月天最高與日天高卑同度無末均其間月高距日高逐度之差用中比例法求得月天最高距日天高卑前後四十五度之最大末均為一分三十五秒半以半徑與月距日四十五度之正弦為比例得本時末均為一分七秒半又求得月天最高距日天高卑前後二十二度半之最大末均為一分九秒一十五微以半徑與月距日二十二度半之正弦為比例得本時末均為二十六秒二十二微半與前測合

  求交均及黄白大距
  正交之行有遲疾由於黄白大距有大小上編言之詳矣授時歷用古法黄白大距恒為六度【以周天三百六十度每度六十分約之得五度五十四分三十九秒】朔望兩弦無異故無交均新法算書測定朔望時交角【即大距度】最小為四度五十八分三十秒兩弦時交角最大為五度一十七分三十秒兩距度之較為一十九分交均之最大者為一度四十六分零八秒自奈端噶西尼以來謂日在兩交時交角最大為五度一十七分二十秒日距交九十度時交角最小為四度五十九分三十五秒兩距度之較為一十七分四十五秒朔望而後交角又有加分因日距交與月距日之漸遠以漸而大至日距交九十度月距日亦九十度時加三分四十三秒交均之最大者為一度二十九分四十二秒皆與新法算書不同然歷家測黄白大距必於月距交九十度時夫月距交九十度而值朔望則日距交亦九十度是今之謂日距交九十度交角小猶與朔望交角小之義同也月距交九十度而值兩弦則日必在兩交是今之謂日在兩交交角大猶與兩弦交角大之義同也惟日在兩交而又值朔望則交角關乎食分之淺深日距交九十度而又值兩弦則加分關乎距緯之遠近是必驗諸實測古今確有不同之處參稽經緯以成一家之言而非輕為改定也至其推算之法以五十九為邊總五十六為邊較求得黄極之角為交均以日距交月距日之餘弦比例得加分與最小之交角相加為大距亦與新法算書不同則是作者務出新奇而又取其易於入算故近日西士皆從之稱為新學今並悉其根源具詳圖說於左
  如圖甲為黄極乙丙丁為
  黄道以最大距限【距限即大距度
  因大距又有大小故名距限以别之】五度一
  十七分二十秒與最小距
  限四度五十九分三十五
  秒相加折半得五度八分
  二十七秒半為距限中數
  以中數為半徑作戊己庚
  辛圈為白極繞黄極本輪
  又以兩距限相減折半得
  八分五十二秒半為半徑
  作壬癸子丑圈為負白極
  均輪均輪心循本輪周左
  旋自戊向己每日三分有
  餘為正交行度白極循均
  輪周右旋自壬向癸每日
  二度四分有餘為日距正
  交之倍度如均輪心在戊
  日在兩交時白極在壬正
  交在乙中交在丁寅丙弧
  為最大距限五度一十七
  分二十秒與壬甲弧等日
  距交九十度時白極在子
  正交亦在乙中交亦在丁
  卯丙弧為最小距限四度
  五十九分三十五秒與子
  甲弧等惟此二時白極與
  輪心同在一線故無交均
  日歷兩交而後白極從壬
  向癸距限漸小交行漸遲
  交均俱為加差日距交九
  十度而後白極從子向丑
  距限漸大交行漸疾交均
  俱為減差【正交逆行故加為遲減為疾也】此即上編求交均大距之
  法惟白極行日距正交之
  倍度與月距日倍度不同
  耳然用是以推交均則與
  今表不合設日距交四十
  五度白極自壬行九十度
  至癸交均戊甲癸角當為
  一度三十九分一秒今表
  則為一度二十九分四十
  秒其法以五十九為一率
  五十六為二率日距正交之
  正切線為三率求得四率為
  正切線檢表與日距正交相
  減得交均盖弧線三角形之
  小者可作直線算而甲戊癸
  三角形知甲戊戊癸二邊及
  壬戊癸外角當用切線分外
  角法日距正交之度即半外
  角也則五十九必邊總也五
  十六必邊較也以數推之戊
  辰當為四百八十二秒半辰
  癸當為五十秒用約分比例
  甲戊一萬八千五百零七秒
  半為五十七分半則戊辰四
  百八十二秒半為一分四九
  九若以甲戊正弦八九六○
  六六為五

  十七分半則戊辰正弦二三
  三九二為一分五○一折中
  而取之為一分半故相加得
  五十九分為邊總相減得五
  十六分為邊較此其為立法
  所自來斷如矣然用是以求
  大距則又與今表不合盖均
  輪之内仍有一小輪試將壬
  子均輪全徑一千零六十五
  秒五分之得二百一十三秒
  除一百六十三秒為加分小
  輪全徑餘五十秒即為交均
  小輪全徑與均輪全徑相減
  餘一千零一十五秒為負小
  輪全徑小輪心循負小輪周
  右旋行日距正交之倍度白
  極自小輪

  最遠點左旋行輪心之倍度
  如日在兩交無距度則小輪
  心在己白極在壬無交均仍
  以壬甲弧為距限也日距交
  九十度則小輪心自己行一
  百八十度至午白極自最遠
  子行三百六十度仍至子無
  交均仍以子甲為距限也如
  日距交四十五度則小輪心
  自己行九十度至未白極自
  最遠癸行一百八十度至辰
  戊甲辰角一度二十九分四
  十秒為交均辰甲五度八分
  三十四秒為距限也如日距
  交三十度則小輪心自己行
  六十度至申白極自最遠酉
  行一百二

  十度至戌戊甲戌角一度
  一十六分三十七秒為交
  均【表多二秒】戌甲五度一十二
  分五十八秒為距限也【先用
  戊酉斗三角形求得酉斗邊七分四十一秒一六斗
  戊邊四分二十六秒二五則斗甲為五度一十二分
  五十三秒七五次求得酉戌通弦四十三秒三○與
  酉斗相減餘六分五十七秒八六為斗戌邊然後用
  斗甲戌直角形求甲角及甲戌邊餘倣此】如日
  距交六十度則小輪心自
  巳行一百二十度至亥白
  極自最遠亢行二百四十
  度至氐戊甲氐角一度一
  十八分五十秒為交均【表少
  九秒】氐甲五度四分六秒為
  距限也如此則交均距限
  理數皆極精密而推算則
  屬繁難且交均用小輪與
  去一小輪全徑作小均輪
  其角度相去不遠【見前】距限
  用弦與用股其邊度亦相
  去不遠【見後】故將戊癸均輪
  半徑五百三十二秒半減
  癸辰小輪全徑五十秒餘
  戊辰四百八十二秒半作
  小均輪半徑則甲戊與戊
  辰之比常如五十七分半
  與一分半之比用切線分
  外角法即得逐度之交均
  以半徑一千萬為一率日
  距正交倍度之正矢為二
  率【過九十度則用大矢】仍以均輪壬
  戊半徑五百三十二秒半
  為三率【酉斗癸戊亢牛等線皆為均輪正弦
  壬斗壬戊壬牛等線皆為均輪正矢故仍以均輪半
  徑為比例】求得四率為距交減
  分【如壬斗壬戊壬牛之類】與壬甲最
  大距限五度一十七分二
  十秒相減即得逐度之距
  限也【斗甲為五度一十二分五十四秒比戊甲
  少四秒戊甲為五度八分二十八秒比辰甲少六秒
  牛甲為五度四分一秒比氐甲少五秒故日相去不
  遠】然此又惟朔望為然朔
  望而後交角又有加分因
  日距交與月距日之漸遠
  以漸而大至日距交九十
  度月距日亦九十度時交
  角比朔望大二分四十三
  秒蓋白道之上又有小輪
  其周之下點與白道相切
  日距交漸遠其徑漸大至
  日距交九十度時最大全
  徑為二分四十三秒其逐
  度之小輪全徑與最大小
  輪日距正交倍度之正矢
  等是為距交加差朔望而
  後白道以漸而張與白道
  小輪月距日倍度之正矢
  等【凡正矢過九十度俱用大矢後倣此】是為
  距日加分如白極在壬無
  日距交度則無白道小輪
  即無距交加差如白極在
  子日距交倍度為一百八
  十度則白道小輪女卯全
  徑為二分四十三秒即距
  交加差【一百八十度之大矢即全徑故小輪
  全徑最大】設兩弦時月距日倍
  度為一百八十度則白道
  自卯張至女女卯小輪全
  徑即為距日加分【一百八十度之
  大矢即全徑故交角加分即與小輪全徑等】與
  卯丙距限相加【卯丙與子甲等】得
  女丙為黄白大距設月距
  日倍度為六十度則白道
  張至危以半徑一千萬為
  一率六十度之正矢五百
  萬為二率【半徑與餘弦相減為正矢】小
  輪半徑一分二十一秒半
  為三率求得四率危卯四
  十一秒為距日加分與卯
  丙距限相加得危丙為黄
  白大距又如白極在辰日
  距交倍度為九十度則白
  道小輪乾坎全徑一分二
  十一秒半為女卯最大小
  輪全徑之一半是為距交
  加差【九十度之正矢與半徑等故白道小輪全
  徑與最大小輪半徑等】設月距日倍
  度為一百二十度則白道
  張至艮以半徑一千萬為
  一率一百二十度之大矢
  一千五百萬為二率【半徑與餘
  弦相加為大矢】小輪半徑四十秒
  七五為三率求得四率坎
  艮一分一秒為距日加分
  與坎震距限相加【坎震與辰甲等】得艮震為黄白大距其數
  悉與今表相合而表之立
  算則不用距交減分而總
  用加分其法以半徑一千
  萬為一率日距正交倍度
  之餘弦為二率壬戊均輪
  半徑八分五十二秒半為
  三率求得四率如斗戊與
  戊牛之類日距正交倍度
  九十度以内者與戊子半
  徑相加得數如斗子之類
  日距正交倍度九十度以
  外者與戊子半徑相減得數
  如牛子之類是為距交加分
  蓋前以壬斗壬牛等類之距
  交減分與壬甲最大距限相
  減此以斗子牛子等類之距
  交加分與子甲最小距限相
  加其得數同也至求距日加
  分則又用兩加差為比例先
  以半徑一千萬為一率日距
  正交倍度之正矢為二率最
  大加分二分四十三秒折半
  得一分二十一秒半為三率
  求得四率為距交加差次以
  半徑一千萬為一率月距日
  倍度之正矢為二率仍以最
  大加分之半數一分二十一
  秒半為三

  率求得四率為距日加差
  乃以最大加分二分四十
  三秒為一率距交加差為
  二率距日加差為三率求
  得四率為距日加分蓋距
  交加差即白道小輪全徑
  用其半徑與月距日倍度
  之正矢為比例即得距日
  加分今距日加差與距交
  加差同列一表仍以最大
  加分為全徑立算則其所
  得距日加差乃差之最大
  者故以最大加分【即最大小輪全
  徑也】與距交加差之比【即本時小
  輪全徑也】同於最大距日加差
  【最大小輪全徑所生】與本時距日加
  分之比也【本時小輪全徑所生】以距
  日加分與距交加分相加
  為交角加分與最小距限
  相加即為黄白大距蓋以
  距交加分加於最小距限
  與以距交減分減於最大
  距限其得數旣同而得距
  限之後再加距日加分與
  先以距日加分與距交加
  分相加而後加於最小距
  限其得數亦同也論法則
  用交角減分為明列表則
  用交角加分為便故推月
  離之法則兩載之實並行
  而不相悖也

  地半徑差
  太陰地半徑差以太陰距地平及距地心之遠近為大小上編言之詳矣顧舊法高卑距地心有定數而推距地平逐度之視差則皆用三角形立表易而推算難故自五十三倍地半徑至六十二倍地半徑列為十表今法高卑距地心無定數太陰之自行雖同度而距地心之遠近常不同至推距地平逐度之視差則即以距天頂之正弦與地平最大差為比例【見本編日躔地半徑差篇】立表難而推算易故以最大兩心差與最小兩心差各求太陰自高至卑逐度之地平最大差合為一表若兩心差在大小之間者則用中比例求之【法見本表】其求太陰自高至卑逐度地平最大差之法則先求得兩心差最大時最高距地心一○六六七八二○為六十三倍地半徑又百分之七十七最卑距地心九三三二一八○為五十五倍地半徑又百分之七十九兩心差最小時最高距地心一○四三三一九○為六十二倍地半徑又百分之三十七最卑距地心九五六六八一○為五十七倍地半徑又百分之一十九中距距地心一千萬為五十九倍地半徑又百分之七十八【測算之法並同上編】依法求得太陰自高至卑逐度距地心線與地半徑之比例及地平最大差列為表因其為推交食之用故表入交食焉

  御製歷象考成後編卷二
<子部,天文算法類,推步之屬,御製歷象考成後編>
  欽定四庫全書
  御製歷象考成後編卷三
  交食數理
  交食總論
  用日躔月離求實朔望
  用兩經斜距求日月食甚時刻及兩心實相距求月食初虧復圓時刻【食既生光附】
  求日月實徑與地徑之比例【視徑附】
  求影半徑及影差
  求黄道高弧交角
  求月食初虧復圓併徑黄道交角【即緯差角】求白經高弧交角
  求高下差
  求日食食甚真時及兩心視相距
  求日食初虧復圓時刻【方位附】
  求日食帶食
  交食總論
  日月相會為朔相對為望朔而同度同道則月掩日而日為之食望而同度同道則月亢日而月為之食【朔望日月皆東西同度而南北不皆同道同道則食】顧推步之法月食猶易而日食最難以月在日下人在地面隨時隨處所見常不同也自大衍以至授時其法寖備我朝用西法推驗尤請上編言之詳矣近日西人噶西尼等益復精求立為新表其理不越乎昔人之範圍而其用意細密又有出於昔人所未及者如求實朔實望用前後二時日月實行為比例昔之用平朔平望實距弧者未之及也日月兩心相距最近為食甚兩周初切為初虧初離為復圓皆用兩經斜距為比例昔之用月距日實行者未之及也日食用圖算月之視行不與白道平行帶食日在地平視差即圓之半徑月之視距即見食之淺深昔之言視差者亦未之及也雖其數所差無多而其法實屬可取其他或因屢測而小有變更或因屢算而益求簡捷則又考驗之常規而推步所當從也各為之說如左
  用日躔月離求實朔望
  從來求實朔望有二法一用本日次日兩子正日月黄道實行度比例其相會之時刻為實朔相對之時刻為實望推逐月朔望用之【見下編推合朔弦望法】以巳有本年逐日之日躔月離故也一用本年首朔先求本月平朔望之時刻然後求其平行實行之差比例加減而得實朔望之時刻推交食用之【見上編朔望有平實之殊篇及下編推日食月食法】因上考往古下推將來不必逐日悉推其躔離而即可逕求其朔望故也斯二法誠不可偏廢但從前交食求平行實行之差太隂惟用初均故甚整齊簡易今求太隂初均又有諸平均之加減旣屬繁難而黄白大距又時時不同非推月離不得其凖故今交食推實朔望合二法而兼用之先推平朔望以求其入交之月次推本日次日兩子正之日躔月離以求其實朔望之時又推本時次時兩日躔月離以比例其時刻較之舊法似為紆遠然太隂之行甚速因遲疾差之故一日之内行度時時不同且平行實行之差大者至八九度則平朔望與實朔望之相距即至十有餘時今以前後兩時相比例較之止用兩子正實行度相比例者固為精密即較之以距時為比例者亦又加詳矣



  用兩經斜距求日月食甚時刻及兩心實相距
  新法算書以實朔用時即為日食食甚用時以實望用時即為月食食甚時刻皆黄白同經【太隂自道度與太陽黄道度相等為黄白同經】上編以此時兩心斜距猶遠惟自白極過太陽作經圈與白道成直角太隂臨此直角之點兩心相距最近始為食甚故以白道升度差為食甚距弧以一小時月距日實行比例得時分與實朔望用時相加減方為食甚時刻【月食即食甚時刻日食為食甚用時】其法較前為加密矣【見月食五限時刻日食三限時刻篇】近日西法用日躔月離比例求實朔望是為黄道同經較之新法算書去食甚為尤遠而其求食甚之法則亦以兩心相距最近為食甚實緯以實朔望太隂距最近點之度為食甚距弧又以黄白二道原非平行而日月兩經常相斜距若以太陽為不動則太隂如由斜距線行故求兩心相距最近之線不與白道成直角而與斜距線成直角其距弧變時亦不以月距日實行度為比例而以斜距度為比例較之上編為尤近焉雖度分時刻所差無多而其理更為細密圖說詳著於左如圖甲乙為黄道丙乙為白道乙角為中交新法算書以日心在甲月心在丙為實朔影心在甲月心在丙為實望甲乙與丙乙等是為黄白同經無另求食甚之法上編以月行至丁為食甚甲丁距緯與白道成直角較甲丙為近故丙丁為食甚距弧以月距日實行比例得時分加於丙點實朔望之時刻方為食甚時刻今用日躔月離黄道度算則以日心在甲月心在戊為實朔影心在甲月心在戊為實望甲戊距緯與黄道成直角是為黄道同經戊之去丁較丙丁為尤遠按上編之法當以甲乙黄道度求丁乙白道升度與戊乙太隂距交白道度相減餘戊丁為食甚距弧而仍以甲丁距緯為食甚兩心實相距夫日月各有行分日在甲月既在戊逮月由戊行至丁則日亦不在甲而顧謂甲丁為食甚兩心實相距戊丁為食甚距弧者蓋月由戊行至己則日由甲行至庚庚己與甲丁平行甲庚與辛已等庚己與甲辛等丁己與辛己甲丁與庚己皆相差無多故借甲丁為與庚己等為兩心實相距借丁己為與辛己等為日行【月食為影心行與日行等】而戊己原為月行則戊丁即為月距日之行故即以戊丁為距弧以一小時月距日實行為比例即得食甚距時也今求食甚之法以戊乙與甲乙原非平行日月兩經常相斜距己點固為直角相對之時而其相距尤近必猶在己點之後試與甲乙平行作戊壬線為黄道距等圈取一小時日實行甲癸之分截之於子取一小時月實行截白道於丑則子丑為一小時兩經斜距又與戊子平行作丑寅線與子丑平行作戊寅線則寅丑與戊子等亦為一小時日實行戊寅與子丑等亦為一小時兩經斜距戊寅丑與戊辛己為同式形月行為戊丑則日行為寅丑【與甲癸等】斜距為戊寅月行為戊己則日行為辛己【與甲庚等】斜距為戊辛是日月二道原非平行而兩經斜距則常為一線若以日心為不動將庚點合於甲則月心己點必合於辛將癸點合於甲則月心丑點必合於寅是月在戊丑白道上行即如在戊寅斜距線上行矣乃自甲點與戊寅斜距成直角作甲卯線與丑寅平行作卯辰線與甲卯平行作辰巳線則甲己與卯辰等為實朔至食甚之日實行戊辰為實朔至食甚之月實行辰巳與甲卯等即食甚兩心實相距甲卯相距之近尤近於甲辛【甲卯為股甲辛為弦股必短於弦也】是月心臨於辰點方為食甚其實行在己點後也若以日心為不動將己點合於甲則月心辰點必合於卯故戊卯為食甚距弧求之之法先用戊丑寅三角形寅丑邊為一小時日實行戊丑邊為一小時月實行丑角與乙角等即本時黄白交角用切線分外角法求得戊角為斜距交角差【斜距交角差者乃斜距黄道交角與黄白交角之差此本係弧線三角形因其形甚小故作直線算以從簡易】並求得戊寅邊為一小時兩經斜距次用甲戊卯三角形以丑戊寅角與丑戊壬黄白交角相加【戊壬寅丑二線皆與甲乙線平行故丑角戊角皆與乙角等】得寅戊壬角為斜距黄道交角即與卯甲戊角等【甲戊午與甲卯戊及戊卯午皆為同式三角形故寅戊壬角與卯甲戊角等】乃以半徑與甲角餘弦之比同於甲戊與甲卯之比【此亦作直線算】而得甲卯為食甚兩心實相距又以半徑與甲角正弦之比同於甲戊與戊卯之比而得戊卯為食甚距弧然後以戊寅一小時兩經斜距為一率一小時為二率戊卯食甚距弧為三率求得四率為食甚距時蓋月行為戊辰日行為卯辰斜距為戊卯戊卯辰三角形與戊寅丑三角形為同式比例也今設乙角為四度五十八分三十秒【丁甲戊角戊丑寅角丑戊壬角皆與乙角等】甲乙為實朔太隂黄道距中交前十度戊甲為太隂距黄道北五十一分五十七秒六五寅丑為一小時日實行二分二十七秒八五戊丑為一小時月實行三十二分五十六秒四六舊法用甲乙戊三角形求得甲丁兩心實相距為五十一分四十五秒九○戊丁距弧為四分三十秒三五以日月二實行相減得一小時月距日實行為三十分二十八秒六一此例食甚距時得八分五十二秒二四今法先用戊丑寅三角形求得丑戊寅角二十四分五秒八二與丑戊壬角相加得五度二十二分三十五秒八二為斜距黄道交角與卯甲戊角等又求得戊寅邊三十分二十九秒一九為一小時兩經斜距次用甲卯戊三角形求得甲卯兩心實相距為五十一分四十三秒九三比甲丁近二秒戊卯距弧為四分五十二秒一三以戊寅兩經斜距比例食甚距時得九分三十四秒九四比戊丁距時遲四十三秒是為兩心相距最近之時若實朔望在交後則日由乙向甲月由乙向戊兩心以漸而遠食甚在實朔望前距時比舊為早其【法並同】



  求月食初虧復圓時刻【食既生光附】
  月食求初虧復圓時刻以食甚實緯為一邊併徑為一邊以實緯交白道之角為直角用正弧三角形法求得初虧復圓距食甚之弧以一小時月距日實行比例得時分與食甚時刻相加減即得初虧復圓時刻【初虧減復圓加】上編言之詳矣【見月食五限時刻篇】今以弧線可作直線算故用勾弦求股之法即得距弧至以距弧變時則以一小時兩經斜距為比例蓋食甚兩心實相距既與斜距成直角則初虧復圓之併徑亦與斜距成勾股故仍以斜距比例時分也圖說并著於左如圖甲乙為黄道丙乙為白道乙角為黄白交角實望時地影心在甲月心在丙食甚時地影心在丁月心在戊戊丁為食甚兩心實相距與甲己等丙己為食甚距弧初虧時地影心在庚月心在辛辛戊為初虧至食甚之月實行庚丁為初虧至食甚之日實行與壬戊等辛壬為初虧至食甚日月兩行之斜距與癸巳等即初虧距弧【理與食甚同】庚壬卽食甚兩心實相距與甲己等庚辛為併徑與甲癸等復圓時地影心在子月心在丑戊丑為食甚至復圓之月實行丁子為食甚至復圓之日實行與戊寅等寅丑為食甚至復圓日月兩行之斜距與巳卯等即復圓距弧子寅即食甚兩心實相距與甲己等子丑為併徑與甲卯等辛壬庚癸己甲丑寅子卯巳甲為相等四股勾形若以地影心為不動以食甚影心丁點合於甲則月心戊點合於巳以初虧影心庚點合於甲則壬點合於巳而月心辛點合於癸以復圓影心子點合於甲則寅點合於巳而月心丑點合於卯初虧復圓距弧即與癸卯斜距合為一線矣故今求初虧復圓距弧即用癸己甲勾股形以己甲為勾癸甲為弦求得癸己股與巳卯等為初虧復圓距弧夫癸己與己卯二弧既皆為兩經斜距則以二弧變時亦當與斜距為比例故以一小時兩經斜距與一小時之比同於癸己或己卯初虧復圓距弧與初虧復圓距時之比也若食既生光則甲癸甲卯二線為月半徑與影半徑相減之較其法并與初虧復圓同


  求日月實徑與地徑之比例【八十四】
  從來算家謂日月之在天其實徑原為一定之數而視徑之大小則因距地有遠近而時時不同然所謂實徑者仍以視徑之大小距地之遠近比例而得今日月本天心之距地心數皆與舊不同則日月距地之遠近亦因之而各異且視徑之大小古今所測相差惟在分秒之間在器只争毫釐而在數已差千百則實徑究亦未有一定之數也新法算書載日實徑為地徑之五倍有餘中距日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百四十二月實徑為地徑百分之二十七強中距朔望時月天半徑與地半徑之比例為一與五十六又百分之七十二上編仍之以推最高日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百六十二最卑日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百二十一【今監臣戴進視徑附】最高朔望時月天半徑與地半徑之比例為一與五十八又百分之一十六最卑
  朔望時月天半徑                 【見日躔地半徑差篇】與地半徑之比例為一與五十【見交食日月距地與地半徑之比例篇】四又百分之賢等據西人近年所測日天半徑與地半徑之比例最高為一與二萬零九百七十五中距為一與二萬零六百二十六最卑為一與二萬零二百七十七月天半徑與地半徑之比例最高為一與六十三又百分之七十七中距為一與五十九又百分之七十八最卑為一與五十五又百分之七十九【詳本編曰躔月離地半徑差篇】又用遠鏡儀【西人默爵所製以遠鏡加衡為窺管】測得日視徑最高為三十一分四十秒中距為三十二分一十二秒最卑為三十二分四十五秒月視徑最高為二十九分二十三秒中距為三十一分二十一秒最卑為三十三分三十六秒用此數推算日實徑為地徑之九十六倍又十分之六月實徑為地徑百分之二十七小餘二六強夫月實徑與舊大致相符而日實徑差至十九倍者蓋今所測日距地數比舊原大十八倍餘則日實徑比舊大十九倍止為大十八分之一故今之日視徑亦比舊大十八分之一是則視徑之大小固各得之實測要亦合諸推算以成一家之言至於日體純陽其光恒溢於常徑之外新法算書謂周圍皆大一分今說謂大一十五秒故推日食之法必於併徑内減去太陽光分一十五秒餘與視緯相較方為受食之分而日之本徑則仍帶光分算其理固應爾也測算之法並見上編


  求影半徑及影差
  地影半徑之大小由於太陽距地有遠近及太隂距地有高卑故先以太陽在最高所生之大影為率求得太隂從高及卑所當地影之濶為影半徑又以太陽從高及卑所生各影小於大影之較為影差與影半徑相減乃為實影半徑上編言之詳矣【見地影半徑篇】今以三角形之理考之日月兩地半徑差相併即與日半徑影半徑相併之數等而日月地半徑差及日半徑皆推交食所必用之數且又皆由距地之高卑遠近而生故近日西法皆不用另求影半徑惟以日月兩地半徑差相加内減去日半徑餘即為實影半徑以影差已在其中也此外又有視影之說蓋以地上有蒙氣差能映小為大則太陽實徑必小於視徑實徑小則影大矣又月食時日在地下蒙氣轉蔽日光則地影視徑必尤大於實徑計其所大之分約為太隂地半徑差六十九分之一故又以此為影差與實影半徑相加為視影半徑則所謂影差者名雖同而義實異也總之算家立說古今不必相同然測驗皆期於合天而推步必歸於有據舊說謂太陽有光分能侵地影使小今說謂地周有蒙氣能障地影使大此亦極不同之致矣然最大影半徑舊為四十六分四十八秒今為四十六分五十一秒相差不過三秒最小影半徑舊為四十二分三十八秒今為三十八分二十八秒相差四分有餘蓋地影之大小固由於太陽距地之遠近及太隂距地之高卑而太隂所關為尤重查最卑太隂距地今昔相差不過百分地半徑之九十五最高太隂距地則相差至百分地半徑之五百六十一夫月之距地既因兩心差而不同則月徑與影徑遂亦因之而各異要皆據一時之所測設法推步以求合而非為臆說也圖說詳著於左如圖甲乙為地半徑甲丙為日天半
  徑丙丁為日半徑從丁切乙作光線與丙甲線交於戊甲戊為地影之長

  甲己為月天半徑庚己辛為月行所當地影之濶己甲辛角為影半徑分【詳上編地影半徑篇】試觀甲丁辛三角形丁辛
  二内角與壬甲辛一外角等而丁角即太陽地半徑差辛角即太隂地半徑差【甲丁線畧與甲丙日天半徑等甲辛線畧與甲巳月天半徑等而其角皆與甲乙地半徑相當故其角即為地半徑差角】壬甲巳角與丙甲丁角為對角即日半徑故以丁角太陽地半徑差與辛角太隂

  地半徑差相加即得壬甲辛角内減日半徑壬甲己角餘己甲辛角即實影半徑蓋日月地半徑差及日半徑

  既因日月距地之高卑遠近而時時不同故所得影半徑即為本時之實影半徑不復有影差也又蒙氣映小
  為大丙丁為太陽視半徑丙癸為太陽實半徑從癸切乙作光線與丙甲線交於子則月行所當地影半徑為己丑而己丑之分必大於己辛且地球外蒙氣之厚如乙寅從丁切寅作光線與丙甲線交於卯則月行所當
  地影半徑為己辰而己辰之分必尤大於己辛矣此辛辰之分當辛甲辰角約為甲辛乙角六十九分之一故又以此為影差與實影半徑己甲辛角相加得己甲辰角為視影半徑也


  求黄道高弧交角
  求交食方位及日食三差皆用黄道高弧交角上編月食方位求交角之法與日食三差之求交角者微有不同而畧為簡易蓋各圈相交皆成弧線三角形轉換相求法可相通而理實一致彼此互相發也近日西法又以黄道赤經交角與赤經高弧交角相加減而得黄道高弧交角用以求月食方位繁簡大槪相同而用以求日食三差則甚為省便蓋黄道隨天西轉其象時時不同而黄道赤經交角無異不須逐時推算也因著其法於左
  如圖甲為天頂甲乙丙為
  子午圈乙丙為地平丁為
  赤極戊己庚為赤道辛為
  黄極壬癸子丑為黄道己
  為春分丑為黄道交西地
  平之點壬為黄平象限距
  丑九十度癸為正午壬癸
  為黄平象限距正午之度
  壬寅為黄平象限距地平
  之度即丑角度子為太隂
  實行經度【日食即為太陽經度月食為太
  陽對衝地影之經度】子已為太隂距
  春分後之經度子壬為太
  隂距黄平象限之度甲子
  卯為高弧丁子辰為赤道
  經圈辰巳為赤道同升度
  戊辰為太陰距正午赤道
  度【日食即太陽距午正赤道度月食為太陽距子
  正赤道度】丑子卯角為黄道高
  弧交角求之之法先用戊
  己弧求癸己癸戊二弧及
  癸角次求癸丑弧及丑角
  以求子角者日食三差之
  法也先用己庚弧求己丑
  弧及丑角以求子角者月
  食方位之法也今按己子
  辰角即黄道赤經交角甲子
  丁角與辰子卯角為對角即
  赤經高弧交角兩角相減即
  得丑子卯黄道高弧交角夫
  黄道交地平之丑角時時不
  同而己子辰黄道赤經交角
  則初虧與復圓無異然則先
  求得黄道赤經交角至求黄
  道高弧交角則惟求一赤經
  高弧交角與之加減而己其
  加減之法以太陰在夏至前
  後各六宫與距正午之東西
  為定試以甲為天頂作乙庚
  丙己地平圈乙甲丙為子午
  經圈庚甲己為東西經圈庚
  戊己為赤道丑己未為黄道
  己為春分

  當黄平象限丑為冬至當西
  地平未為夏至當東地平是
  為夏至前六宫在地平上癸
  為黄道當正午之度己癸為
  黄平象限距午東之度設太
  隂子點在正午之西甲子卯
  為高弧丁辰子為過赤極經
  圈己子辰角為黄道赤經交
  角甲子丁角為赤經高弧交
  角丑子卯角為黄道高弧交
  角與甲子癸角等是以甲子
  丁赤經高弧交角與己子辰
  黄道赤經交角相減餘甲子
  癸角即黄道高弧交角也設
  太隂申點在正午之東甲申
  酉為高弧丁申戌為過赤極
  經圈巳申

  戌角為黄道赤經交角與丁
  申未角等甲申丁角為赤經
  高弧交角酉申未角為黄道
  高弧交角乃甲申未角之外
  角是以甲申丁赤經高弧交
  角與丁申未黄道赤經交角
  相加得甲申未角與半周相
  減餘酉申未角即黄道高弧
  交角也若己為秋分當黄平
  象限未為夏至當西地平丑
  為冬至當東地平是為夏至
  後六宫在地平上癸為黄道
  當正午之度己癸為黄平象
  限距午西之度設太隂子點
  在正午之西甲子卯為高弧
  丁子辰為過赤極經圈己子
  辰角為黄

  道赤經交角與丁子未角等
  甲子丁角為赤經高弧交角
  卯子未角為黄道高弧交角
  乃甲子未角之外角是以甲
  子丁赤經高弧交角與丁子
  未黄道赤經交角相加得甲
  子未角與半周相減餘卯子
  未角即黄道高弧交角也設
  太隂申點在正午之東甲申
  酉為高弧丁戌申為過赤極
  經圈己申戌角為黄道赤經
  交角甲申丁角為赤經高弧
  交角丑申酉角為黄道高弧
  交角與甲申癸角等是以甲
  申丁赤經高弧交角與己申
  戌黄道赤經交角相減餘甲
  申癸角即

  黄道高弧交角也此太隂在
  午東而亦在限東太隂在午
  西而亦在限西之常法也若
  太隂在夏至前六宫而在正
  午之東如乾以己乾亥黄道
  赤經交角與甲乾丁赤經高
  弧交角相加得己乾甲角不
  足九十度與酉乾丑角等則
  不與半周相減即以酉乾丑
  角為黄道高弧交角乃知太
  隂乾點在黄平象限巳點之
  西也蓋惟正當黄平象限高
  弧與黄道成直角在限西者
  則高弧與限西之黄道成銳
  角在限東者則高弧與限東
  之黄道成銳角今己乾甲角
  既不及九

  十度故知乾點在黄平象
  限己點之西而乾酉高弧
  乃與限西之乾丑黄道相
  交成銳角也太隂在午西
  而在限東者倣此【左圖以二至當
  地平乃黄平象限偏午東午西之極大者如二分當
  地平則黄平象限當正午加減之法並同】至求
  赤經高弧交角之法則以
  北極距天頂為一邊影距
  北極為一邊影距正午赤
  道度【日食則為日距正午赤道度】為所
  夾之角用弧三角法算之
  如太隂在申甲申丁三角
  形申角為赤經高弧交角
  甲丁為北極距天頂申丁
  為影距北極丁角當戊戌
  弧為影距正午赤道度因
  丁角為銳角則自天頂甲
  作甲坎垂弧於形内使坎角
  成直角求得甲坎丁坎二邊
  以丁坎與丁申相減即得坎
  申邊用之與甲坎邊求申角
  也如太隂在艮甲丁艮角當
  戊己弧適足九十度成直角
  則甲丁即為垂弧即用甲丁
  艮正弧三角形以求艮角也
  如太隂在震甲丁震角當戊
  巽弧過於九十度成鈍角則
  自天頂甲作甲離垂弧於形
  外使離角成直角求得甲離
  離丁二邊以離丁與丁震相
  加即得離震邊用之與甲離
  邊求震角也又如黄道在天
  頂北太隂在坤甲坤丁赤經
  高弧交角

  大於九十度則自天頂甲作
  垂弧至兌而所求之丁兌距
  極分邊反大於丁坤影距北
  極則以坤兌甲兌二邊求坤
  角之外角即知甲坤丁角為
  鈍角也若所求距極分邊與
  影距北極等即知赤經高弧
  交角為直角不待求也至於
  赤經高弧交角有與黄道赤
  經交角相等者亦有與黄道
  赤經交角共為一百八十度
  者有反大于黄道赤經交角
  而不足減者亦有與黄道赤
  經交角相加大于半周而又
  減去半周者如北極出地二
  十三度二十九分以下夏至
  前後黄道

  正當天頂太隂子點在夏至
  未點之前而在正午之西當
  以赤經高弧交角與黄道赤
  經交角相減為黄道高弧交
  角今甲子丁赤經高弧交角
  與己子辰黄道赤經交角相
  等兩角相減無餘即知黄道
  與高弧合無交角也又如太
  隂申點在夏至未點之前而
  在正午之東當以赤經高弧
  交角與黄道赤經交角相加
  為黄道高弧交角今甲申丁
  赤經高弧交角與巳申戌黄
  道赤經交角相加共一百八
  十度亦如黄道與高弧合無
  交角也又如北極出地在二
  十三度以

  下夏至前後黄道在天頂北
  太隂子點在夏至未點之前
  而在正午之西當於黄道赤
  經交角内減赤經高弧交角
  為黄道高弧交角今甲子丁
  赤經高弧交角與辰子卯角
  等反大於巳子辰黄道赤經
  交角則於辰子卯赤經高弧
  交角内反減巳子辰黄道赤
  經交角餘巳子卯角為黄道
  高弧交角即知黄平象限在
  天頂北也又如太隂申點在
  夏至未點之前而在正午之
  東當以赤經高弧交角與黄
  道赤經交角相加為黄道高
  弧交角今甲申丁赤經高弧
  交角與戌

  申酉角等與巳申戌黄道赤
  經交角相加大於一百八十
  度則減去巳申戌角及戌申
  未角共一百八十度餘未申
  酉角為黄道高弧交角亦如
  黄平象限在天頂北也總之
  黄道出入於赤道之内外隨
  天左旋其高低斜正旣隨時
  不同又以人所居之南北異
  地改觀益多變換然定之以
  數自無遁形或從地平立算
  或從子午圈立算或從赤道
  經圈立算法雖不同理實一
  致合而觀之益見弧線三角
  之用至通變矣

  求月食初虧復圓併徑黄道交角【即緯差角】
  定月食方位月當黄道無距緯即用黄道高弧交角為定交角若月在交前後有距緯則又求緯差角與黄道高弧交角相加減為定交角上編言之詳矣【見月食方位篇】然求緯差角之法必先用初虧復圓交周各求距緯今初虧復圓距弧皆斜距之度須復以斜距與白道為比例方得交周頗為費算且前已有斜距黄道交角與九十度相加減即黄道交實緯角則求得併徑交實緯角與之相減餘併徑交黄道之角即緯差角甚為簡便故質名之曰併徑黄道交角至其與黄道高弧交角相加減之法並同上編兹不復載如圖甲乙為黄道丙乙為白道丙丁為黄道距等圈戊己為日月兩經斜距甲為地影心食甚時月心在庚初虧時月心在戊復圓時月心在己戊甲辛角為初虧併徑黄道交角即初虧緯差角己甲乙角為復圓併徑黄道交角即復圓緯差角求之之法先以丙甲庚斜距黄道交角【丙甲庚角與庚丙丁角等】與九十度相加得庚甲辛角為初虧黄道交食甚實緯角【甲庚為食甚兩心相距不係經圈以其為南北之度故借名實緯】以丙甲庚斜距黄道交角與九十度相減餘庚甲乙角為復圓黄道交食甚實緯角【此論在交前地影由甲向乙月由丙向乙故戊為初虧己為復圓若在交後地影由乙向甲月由乙向丙則己為初虧其角與九十度相減戊為復圓其角與九十度相加】次求得庚甲戊角與庚甲己角等為併徑交食甚實緯角初虧則與庚甲辛角相減餘戊甲辛角即初虧併徑黄道交角復圓則與庚甲乙角相減餘己甲乙角即復圓併徑黄道交角也乃視併徑交實緯角小於黄道交實緯角則初虧復圓在黄道之南北與食甚同若併徑交實緯角轉大於黄道交實緯角則南北與食甚相反蓋太隂近交初虧復圓一在交前一在交後則距緯之南北必變如乙為中交食甚地影心在甲月心在庚甲庚為食甚實緯在黄道北初虧庚甲壬併徑交實緯角小於庚甲辛黄道交實緯角則初虧亦為緯北與食甚同復圓庚甲癸併徑交實緯角大於庚甲乙黄道交實緯角則復圓變為緯南與食甚相反也食甚實緯在黄道南及食甚在交後者皆倣此旣知初虧復圓併徑黄道交角及其在黄道之南北則與黄道高弧交角相加減為定交角其理并與上編同

  求白經高弧交角
  日食三差之法以黄白二道交角與黄道高弧交角相加減得白道高弧交角白道與高弧及白道經圈相交成正弧三角形直角對高下差交角對南北差餘角對東西差上編言之詳矣今以黄赤二經交角加減黄白二經交角得赤白二經交角與赤經高弧交角相加減得白經高弧交角對東西差餘角對南北差蓋白道與白道經圈相交其角必九十度白經高弧交角即白道高弧交角之餘【凡弧角與九十度相減所餘為餘餘角】是用白經高弧交角與用白道高弧交角等且以赤經高弧交角與黄道赤經交角相加減得黄道高弧交角【見前篇】又加減黄白二道交角為白道高弧交角須加減二次而黄赤二經交角即黄道赤經交角之餘交食時日必近交黄白二經交角又即與黄白二道交角等故以黄赤二經交角與黄白二經交角相加減得赤白二經交角則為初虧食甚復圓同用之數至求三限白經高弧交角止與赤經高弧交角一加減而得之其法尤為省便也二經交角加減之法以黄道之二至白道之二交為定蓋惟冬夏二至黄經與赤經合無交角冬至後黄道自南而北黄經必在赤經西夏至後黄道自北而南黄經必在赤經東交周初宫十一宫在正交前後白道自南而北白經必在黄經西【猶黄道冬至後】交周五宫六宫在中交前後白道自北而南白經必在黄經東【猶黄道夏至後】乃視黄經在赤經西白經又在黄經西或黄經在赤經東白經又在黄經東則相加得赤白二經交角東仍為東西仍為西若黄經在赤經西而白經在黄經東或黄經在赤經東而白經在黄經西則相減得赤白二經交角黄赤二經交角大則從黄經之向黄白二經交角大則從白經之向若兩角相等而減盡無餘則白經與赤經合無交角也其與赤經高弧交角加減之法則以日距正午之東西為定蓋惟日當正午則赤經與高弧合無交角午前赤經必在高弧東午後赤經必在高弧西乃視赤經在高弧西白經又在赤經西或赤經在高弧東白經又在赤經東則相加得白經高弧交角午東亦為限東午西亦為限西若赤經在高弧東而白經在赤經西或赤經在高弧西而白經在赤經東則相減為白經高弧交角赤白交角小則午東仍為限東午西仍為限西赤白交角大則午東變為限西午西變為限東若兩角相等而減盡無餘則白經與高弧合無交角即知太陽正當白平象限上若兩角相加適足九十度則白道在天頂與高弧合若兩角相加過九十度則與半周相減用其餘即知白平象限在天頂北也是法也不用求黄道高弧交角而逕求白經高弧交角入算甚簡而理亦無遺新法用簡平儀繪圖尤為明顯列圖如左
  如圖甲為天頂乙丙丁戊
  為地平圈丙己戊為赤道
  庚己辛為黄道己為春分
  庚為冬至辛為夏至癸為
  赤極【即北極】壬為黄極庚壬
  癸辛為過二至經圈即過
  二極經圈冬至日行在庚
  黄赤二經合為一線無交
  角冬至後日行自南而北黄
  經必在赤經西漸遠則角漸
  大至春分而止如日行在子
  壬子黄經在癸子赤經西壬
  子癸角為黄赤二經交角即
  癸子己黄道赤經交角之餘
  春分日行在己【己子壬角九十度】壬己黄經在癸己赤經西壬
  己癸角為黄赤二經交角與
  戊己辛二道交角等是為最
  大過此又漸小【壬己辛角戊己癸角
  皆九十度】夏至日行在辛則黄
  赤二經又合為一線無交角
  夏至後日行自北而南黄經
  必在赤經東漸遠則角又漸
  大至秋分而止如日行在丑
  壬丑黄經在癸丑己子壬角
  九十度壬己辛角戊己癸角
  赤經東壬丑癸角為黄赤
  二經交角即癸丑辛黄道
  赤經交角之餘【癸丑辛角與寅丑卯
  角等】秋分日行在寅壬寅黄
  經在癸寅赤經東壬寅癸
  角為黄赤二經交角與丙
  寅辛二道交角等過此又
  漸小至冬至乃復合為一
  線也至白道之交於黄道
  亦如黄道之交於赤道但
  其行度自正交起算交食
  時日月又必近交故其南
  北東西及兩經交角惟以
  兩交為定設白極在辰正
  交在午白道自南而北【猶黄
  道之春分】日行在正交點如午
  或正交前如子正交後如
  巳白經皆在黄經西黄白
  二經交角皆與黄白二道
  交角為相等【惟日在正交午點其壬午
  辰黄白二經交角與庚午未黄白二道交角等若在
  交前如子交後如巳其壬子辰與壬巳辰黄白二經
  交角皆微小於二道交角然所差無多故為相等與
  上編捷法同】此黄經在赤經西
  白經又在黄經西則以黄
  白二經交角與黄赤二經
  交角相加為赤白二經交
  角也設白極在申中交在
  酉白道自北而南【猶黄道之秋分】日行在中交點如酉或中
  交前如子中交後如已白
  經皆在黄經東黄白二經
  交角亦與黄白二道交角
  為相等此黄經在赤經西
  而白經在黄經東則以黄
  白二經交角與黄赤二經
  交角相減為赤白二經交
  角黄赤二經交角大則從
  黄經之向白經亦在赤經
  西也設黄經在赤經西而
  中交近二至經圈如戌亥
  戌白經在壬戌黄經東壬
  戌亥黄白二經交角反大
  於壬戌癸黄赤二經交角
  相減餘癸戌亥角為赤白
  二經交角則從白經之向
  白經轉在赤經東也旣得
  赤白二經交角是為初虧
  食甚復圓同用之數【初虧至復
  圓太陽行度無幾故二經交角不改】隨時求
  得赤經高弧交角與之加
  減即得各時白經高弧交
  角如日行在子是為午後
  甲子癸角為赤經高弧交
  角辰子癸角為赤白二經交
  角此赤經在高弧西白經又
  在赤經西則相加得辰子甲
  角為白經高弧交角白經更
  在高弧西是知太陽在白平
  象限西也又如日行在己是
  為午前甲己癸角為赤經高
  弧交角辰己癸角為赤白二
  經交角此赤經在高弧東白
  經在赤經西則相減餘甲己
  辰角為白經高弧交角赤白
  二經交角大白經為在高弧
  西是知太陽雖在午東而却
  在白平象限西也蓋惟太陽
  正當白平象限則白道經圈
  過天頂與高弧合為一線限
  東者白經

  必在高弧東限西者白經必
  在高弧西是定白經之東西
  與白平象限一理也又與白
  道平行作乾坎線則辰子坎
  角為九十度甲子坎角為白
  道高弧交角與乾子艮角等
  甲子辰白經高弧交角即甲
  子坎角之餘是用白經高弧
  交角與用白道高弧交角一
  理也又如癸丁北極出地二
  十八度赤道距天頂之甲震
  弧亦二十八度春分巳點在
  午西夏至前巽點當正午震
  巽距赤道北二十三度餘正
  交在離巽甲距黄道北又四
  度餘則白道在天頂與高弧
  合日行在

  離甲離癸赤經高弧交角與
  癸離坤赤白二經交角相加
  得甲離坤白經高弧交角適
  足九十度蓋白經與白道相
  交其角必九十度白道既與
  高弧合故白經高弧交角亦
  九十度也過此以往北極愈
  低則白道極北入地平下南
  出地平上白道即在天頂北
  白經高弧交角即大於九十
  度而成鈍角則與半周相減
  餘為白道南之經圈與高弧
  相交之角是不求限距地高
  而白平象限在天頂之南北
  俱以白經高弧交角為定也
  白經在赤經東者倣此
  求高下差
  高下差者日月高下之視差也日食食甚用時乃從地心立算人在地面視之則有地半徑差而太陽地半徑差恒小太隂地半徑差恒大故於太隂地半徑差内減去太陽地半徑差始為高下差焉【見上編日食三差及日月地半徑差篇】如日月實高本係同度而太陽以地半徑差之故視高比實高低五秒太隂以地半徑差之故視高比實高低三十分則人之視太隂必比太陽低二十九分五十五秒也然求兩地半徑差而後相減其法甚繁今按半徑一千萬與日月距天頂正弦之比既皆同於地平地半徑差與本時地半徑差之比【見本編日躔地半徑差篇】而全與全之比又原同於較與較之比則以半徑一千萬與日距天頂之正弦之比【交食時日月高弧畧相等故即以日高弧為月高弧】必亦同於地平高下差與本時高下差之比矣故今求高下差唯以本時太隂距地數求得太隂地平地半徑差内減太陽地平地半徑差十秒餘為地平高下差初虧食甚復圓各以其時日距天頂之正弦為比例其法甚為省便也
  如圖甲為地心乙為地面丙
  丁為日天戊己為月天假如
  日在庚實距天頂為丙甲庚
  角視距天頂為丙乙庚角與
  丙甲丁角等其差庚甲丁角
  即地平太陽地半徑差與甲
  庚乙角等甲乙地半徑即其
  角之正弦與庚辛等又如日
  在壬實高為壬甲丁角視高
  為壬乙庚角與癸甲丁角等
  其差壬甲癸角即本時太陽
  地半徑差與甲壬乙角等將
  壬乙線引長作甲子垂線即
  其角之正弦與壬丑等甲乙
  子勾股形子角為直角乙角
  與丙乙壬角為對角即太陽
  視距天頂

  之度甲乙即地平太陽地半
  徑差之正弦甲子即本時太
  陽地半徑差之正弦因其邊
  度甚小正弦與弧線可以相
  為比例則甲乙即為地平太
  陽地半徑差與庚丁弧等甲
  子即為本時太陽地半徑差
  與壬癸弧等故以子直角正
  弦與乙角正弦之比即同於
  地平太陽地半徑差甲乙與
  本時太陽地半徑差甲子之
  比也假如太隂在寅實距天
  頂為寅甲戊角視距天頂為
  寅乙戊角與已甲戊角等其
  差寅甲巳角即地平太隂地
  半徑差與甲寅乙角等甲乙
  地半徑亦

  其角之正弦【甲乙同為地半徑甲庚日
  天半徑大故角小甲寅月天半徑小故角大】與
  寅卯等又如月在辰實高為
  辰甲己角視高為辰乙寅角
  與巳甲己角等其差辰甲巳
  角即本時太隂地半徑差與
  甲辰子角等甲子亦其角之
  正弦與辰午等因以正弦作
  弧度則甲乙即地平太隂地
  半徑差與寅己弦等甲子即
  本時太隂地半徑差與辰巳
  弧等故以子直角正弦與乙
  角太隂視距天頂正弦之比
  亦同於地平太隂地半徑差
  甲乙與本時太隂地半徑差
  甲子之比也試以日天半徑
  與月天半徑為甲乙同為地
  半徑甲庚日天半徑大故角
  相等而比較之【日天月天半徑不等
  故地半徑雖等而差角不等今以日天半徑與月天
  為相等則差角之不等者其正弦亦不等乃可相較
  也】自地平太陽實高線割
  月天之未點與乙庚視高
  線平行作未申線則甲未
  申角與甲庚乙角等甲申
  即地平太陽地半徑差【甲申
  本係甲未申角之正弦因以正弦作弧度則甲申正
  弦與未已弧等而月天之未已弧與日天之庚丁弧
  同當庚甲丁角其度相等故甲申即為地平太陽地
  半徑差】與甲乙地平太隂地
  半徑差相減餘申乙即地
  平高下差【甲乙當寅已弧甲申當未巳弧
  乙申當寅未弧】自本時太陽實高
  線割月天之酉點與乙壬
  視高線平行作酉申線引
  長至戌則甲酉戌角與甲
  壬乙角等甲戌即本時太
  陽地半徑差與甲子本時
  太隂地半徑差相減餘戌
  子即本時高下差與申亥
  等【甲子當辰巳弧甲戌當酉巳弧子戌當辰酉弧】申乙亥與甲乙子為同式
  形故以亥直角正弦與乙
  角日距天頂正弦之比亦
  即同於地平高下差申乙
  與本時高下差申亥之比
  也
  右求高下差以半徑與太
  陽視距天頂之正弦為比
  例今日食所推太陽高弧
  乃實距天頂之度而即以
  其正弦比例高下差者蓋
  實高與視高所差無多故
  借用之自來實高視高相
  求皆同一地半徑差加減互
  用不列二表也如細辨之地
  平太陽實高在丁太隂實高
  在已丁乙庚角為地平太陽
  地半徑差與甲丁乙角等甲
  乙地半徑為其角之切線當
  庚丁弧巳乙辛角為地平太
  隂地半徑差與甲己乙角等
  亦以甲乙地半徑為其角之
  切線當辛巳弧前以地半徑
  為其角之正弦此以地半徑
  為其角之切線其角度雖有
  微差然最大者不過半秒愈
  高則愈小故亦以弧度為比
  例而甲乙即為地平太陽地
  半徑差亦即為地平太隂地
  半徑差也

  本時太陽實高在壬太隂在
  癸壬乙子角為本時太陽地
  半徑差與甲壬乙角等乙丑
  為其角之垂線當子壬弧癸
  乙寅角為本時太隂地半徑
  差與甲癸乙角等亦以乙丑
  為其角之垂線當寅癸弧丑
  壬之長小於甲壬丑癸之長
  小於甲癸則角度必較弧度
  為稍大蓋視高低於實高其
  大固宜然所差甚微故亦以
  弧度為比例而乙丑即為本
  時太陽地半徑差亦即為本
  時太隂地半徑差也試自地
  平太陽視高線割月天之卯
  點與甲丁實高線平行作卯
  辰線則乙

  卯辰角與甲丁乙角等乙辰
  當辛卯弧即地平太陽地半
  徑差以乙辰與地平太隂地
  半徑差甲乙相減餘甲辰當
  卯已弧即地平高下差自本
  時太陽視高線割月天之巳
  點與甲壬實高線平行作巳
  辰線則乙巳辰角與甲壬乙
  角等乙午當寅巳弧即本時
  太陽地半徑差以乙午與本
  時太隂地半徑差乙丑相減
  餘午丑與辰未等當巳癸弧
  即本時高下差甲乙丑與甲
  辰未為同式形丑未二角為
  直角甲角為日月實距天頂
  之度故以直角正弦與實距
  天頂正弦

  之比同於地平地半徑差甲
  乙與本時地半徑差乙丑之
  比亦同於地平高下差甲辰
  與本時高下差辰未之比也
  今日食用簡平儀法求地面
  日影心之所在皆用實高比
  例高下差設日實高在丁則
  正射地心照至地面酉點之
  影當月天巳點之度照至地
  面乙點之影當月天卯點之
  度是酉乙地面上應日天實
  距天頂之丙丁弧而其當月
  天之度則為卯巳高下差也
  設日實高在壬則正射地心
  照至地面申點之影當月天
  癸點之度照至地面乙點之
  影當月天

  巳點之度是乙申地面上
  應日天實距天頂之丙壬
  弧而其當月天之度則為
  巳癸高下差也若以地平
  高下差為半徑作地面平
  圓則甲乙即卯巳之度為
  地平               【等】高下差當乙酉地
  【以地球為平面則地面之弧與正弦等甲乙為乙酉
  弧之正弦故甲乙當乙酉弧】面與日天
  之丙丁弧等乙丑即巳癸
  之度為本時高下差當乙
  申地【乙丑為乙申弧之正弦故乙丑當乙申弧】面與日天之丙壬弧等由
  此推之時時實距天頂之
  度在地面皆與本時高下
  差【實距天頂之度原與地面之弧度等簡平儀以
  地球為平面則地面之弧又與地面之正弦等今地
  面之正弦既為高下差故實距天頂之度即與高下
  差等】故隨高弧之所向以高下
  差之度自圓心取之即日影
  心之所在隨白經之所向以
  實緯之度自圓心取之即月
  影心之所在此所以用實高
  為比例於視差之理尤為顯
  而易明也差等

  求日食食甚真時及兩心視相距
  日食求食甚真時及食甚視緯新法算書用渾天儀法以食甚用時之東西差與食甚近時之東西差相較得視行以用時之東西差比例得時分與食甚用時相加減【限西加限東減】而得食甚真時以真時之南北差與食甚實緯相加減【白平象限在天頂南緯南則加緯北則減白平象限在天頂北緯南則減緯北則加】而得食甚視緯上編言之詳矣【見日食三限時刻及求食甚真時食甚視緯篇】然其求真時也必求太隂視行正當實緯之度乃以視行之道與白道為平行故與實緯成直角而視緯與實緯必合為一線也夫近時之東西差與用時之東西差既不等【因白道高弧交角及高下差不同之故】則南北差亦不等而視行即不與白道平行視行既不與白道平行則實緯即不與視行成直角而日月兩心相距最近之線亦不與實緯合為一線矣近日西法用簡平儀繪圖算【渾儀從上視如觀平面是為簡平儀】以本日地平高下差【本日地平日月兩地半徑差相減餘為本日地平高下差】為半徑作平圓【即地徑當月天之度】即地受日照之半面上應渾天半周圓心即日射地面至地心之點以人視日則人所處之地面即日影心以日照月則月所當之地面即月影心假令人所處之地面正在圓心則必見日當天頂又正當子午圈而月之實緯即日月兩心視相距外此則日影心之所在隨時隨地不同若日影心與月影心同點則必見日全食若日影心與月影心之相距大於併徑則不見食故先以食甚用時求其兩心視相距復設一時【限西向後設限東向前設】亦求其兩心視相距以此兩視距線及所夾之角求其對邊為視行自日影心至視行作垂線與視行成直角是為兩心相距最近之處月影心臨此直角之點即為食甚真時因垂線不與實緯合故不曰視緯而曰兩心視相距然後以所得真時復考其兩心視相距果與所求垂線合則食甚真時即為定真時不然則又作垂線求之蓋太隂視差時時不同其視行之道既不與白道平行又不能自成直線其兩心視相距最近之線不與白道成直角而與視行成直角【兩心實相距不與白道成直角而與斜距成直角兩心視相距又不與斜距成直角而與視行成直角今法與舊法之不同在此】故反覆推求務得太隂正當視行直角之點斯為兩心最近之處而食甚乃為確凖也是法也可以圖代算可以一圖而知各地見食之不同新奇精巧與舊法迥殊然其理無不可以相通蓋舊法以渾測渾可實指其東西南北之差而視行之法甚簡新法寫渾於平可實稽其實距視距之異而視差之理尤精今以新法合舊名義參觀而詳解之則理之確者以並觀而並明法之奇者因相較而益顯庶觀者由舊徑以適新途不致有捍格之勢而算者取新規以合舊範更坐收密合之方矣
  如雍正八年庚戌六月戊
  戌朔日食太隂實引初宫
  八度四十七分三十一秒
  四○地平地半徑差五十
  三分五十九秒九○内減
  太陽地平地半徑差十秒
  餘五十三分四十九秒九
  ○為本日地平高下差以
  此為乾坎半徑作坎艮震
  巽平圓【以五十三分作五寸三分以四十九
  秒九○通作八釐三毫繪圖用四分之一後倣此】即地球受日照之半面上
  應渾天半周而其當月天
  之度則為五十三分五十
  秒【四十九秒九○進為五十秒入算仍用小餘他
  倣此】故以地球上應渾天之
  度而論則乾為日照地面
  之正中距圓界各九十度
  【以地球為平面則地面之弧與正弦等半徑為九十
  度之正弦故半徑即九十度】假令人在
  圓心乾則見日當天頂又
  當正午坎震赤道徑圈即
  其地之子午圈艮巽即其
  地之卯酉圈坎為北震為
  南艮為東巽為西若人在
  圓界則見日當地平在坎
  震線之西者見日為午前
  在坎震線之東者見日為午
  後自是以外則見日之高下
  隨地不同要以人所處之地
  面為日影心上應本處天頂
  人距日照地面正中之度即
  日距天頂之度而以地面所
  當月天之度而論則地之半
  徑與地平高下差等人距日
  照地面正中之度與本時高
  下差等故隨高弧之所向以
  本時【見前高下差篇】高下差之度
  自圓心取之即人所處之地
  面亦即本時之日影心隨白
  經之所向以月實緯之度自
  圓心取之即本時之月影心
  夫月影心當月天之度即太
  隂之實緯度見前高下差篇

  而日影心當月天之度不
  為太陽之實高度而為太
  陽之視高度則地面日月
  兩影心之相距因高下差
  而殊而食甚之早晚食分
  之淺深所以因視差而變
  者皆可按圖而稽矣乃以
  本時日距赤道北二十一
  度三十八分一十二秒○
  二取艮離巽坤之分【即離乾艮
  角與坤乾巽角等】作離坤線截赤
  道經圈於兌作艮兌巽弧
  為赤道則兌乾即日距赤
  道北之緯度又作甲乾乙
  弧為赤道距等圈即太陽
  隨天西轉之軌又以坎艮
  九十度之分自離截圓界
  於丁自坤截圓界於丙作
  丙丁線截子午圈於戊則
  戊點為北極戊兌為九十
  度戊乾為日距北極六十
  八度二十一分四十七秒
  九八又以本時黄赤二經
  交角九度二十一分二十
  秒五七取坎乾己角【本時日在
  夏至後黄經在赤經東故向東取】作己庚
  線為黄道經圈自乾與己
  庚線取直角作辛乾線為
  黄道辛為秋分乾辛為日
  距秋分前六十七度四十
  二分五十四秒四三是時
  京師食甚用時為午正二
  刻九分五十八秒九五日
  距午西赤道度為九度五
  十九分四十四秒二五則
  京師地面必在坎震線之
  東故以用時赤經高弧交
  角二十二度四十三分八
  秒三九取戊乾壬角以用
  時日距天頂二十度九分
  四十八秒二七之高下差
  一十八分三十三秒三四
  取壬乾之分作壬乾線自
  戊向壬作戊壬癸弧則壬
  點為京師之地面即用時
  之日影心上應京師天頂
  壬乾為用時日距天頂之
  高弧在地則與用時高下
  差等戊壬癸為京師子午
  圈戊壬為京師北極距天
  頂五十度五分戊角為用
  時日距午西赤道度【戊乾壬角
  及乾壬弧俱用戊乾壬三角形求之而得】又以
  斜距黄道交角五度四十
  四分五十五秒二九取已乾
  子角作【白二經交角本時月在中交前白經
  在黄經】丑寅線為白道經圈
  以【東故向東取】月實緯距黄道
  北二十三分二十八秒四五
  自乾向北截之於子與丑寅
  線取直角作卯辰線為白道
  則子點為【即斜距經圈】用時月
  影心壬子即用時日月兩影
  心視相距乃用乾壬子三角
  形乾子為食甚用時日月兩
  心實相距乾壬為用時高下
  差以己乾丑黄白二經交角
  與坎乾己黄赤二經交角相
  加得坎乾丑角一十五度六
  分一十五秒八六為赤白二
  經交角本時【即兩經斜距】月在中交前【黄經在赤經東白經又在】
  【未初初刻為設】與坎乾壬赤經高
  弧交角相減餘丑乾壬角
  七度三十六分五十二秒
  五三為用時白經高弧交
  角即用時對兩心視相距
  角【時黄經東故相加赤經在高弧西白經在赤經
  東故相減赤白交角小】用切線分外
  角法求得壬角一百四十
  六度三十四分二秒○七
  為用時對兩心實相距角
  又求得壬子邊五分三十
  八秒七四為用時日月兩
  影心視相距此時白經實
  距在高弧西月影心必在
  日影心之西則食甚用時
  尚在食甚前也次向後取
  【白經仍在高弧西白經在高弧西
  月影心差而西用時尚在食甚前故向後設若白經
  在高弧東月影心差而東用時已過食甚後則向前
  設】以設時赤經高弧交角
  三十一度三十三分一秒
  七三取戊乾己角以設時
  日距天頂二十二度一十
  七分四十二秒二六之高
  下差二十分二十五秒三
  五取乾己之分作乾己線
  自戊向已作戊己弧則己
  點為設時日影心乾己為
  設時日距天頂之高弧在
  地則與設時高下差等戊
  己即京師北極距天頂五
  十度五分與戊壬等【太陽本隨
  距等圈西轉今以太陽為不動則影向東移亦與赤
  道成距等圈其距北極皆相等】己戊乾角
  即設時日距午西一十五
  度【戊乾己角及乾巳弧俱用戊乾巳三角形求之
  而得】次以設時距用時二十分
  一秒○五與一小時兩經斜
  距二十七分一十六秒五六
  為比例得用時至設時之月
  實行為九分六秒自子向東
  截之於午則午點為設時月
  影心午子為設時距弧午乾
  子角為設時【月由白道東行設時在用
  時後故距弧向東取】對距弧角二十
  一度一十一分二十秒九九
  午乾為設時兩心實相距二
  十五分一十秒五八己午為
  設時日月兩影心視【午乾子角及午
  乾弧俱用午乾子三角形求之而得】相距乃
  用己乾午三角形以坎乾己
  設時赤經高弧交角與坎乾
  丑赤白二經交角而得月由
  白道東行設時在用時後故
  相減餘丑乾己角一十六
  度二十六分四十五秒八
  七為設時白經高弧交角
  【加減之理與用時白經高弧交角同】與午乾
  子對距弧角相減餘巳乾
  午角四度四十四度三十
  五秒一二即設時對兩心
  視相距角【月在黄道北白經在高弧西對
  距弧角大則實距在高弧東對距弧角小則實距在
  高弧西白經在高弧東者倣此】用切線分
  外角法求得巳角一百五
  十五度五十七分四十六
  秒四○為設時對兩心實
  相距角又求得己午邊五
  分六秒六五為設時兩心
  視相距此時實距在高弧
  東月影心必在日影心之
  東則設時巳過食甚後而
  食甚真時之月實行必在子
  午二點之間矣於是與巳午
  線平行作壬未線與巳午等
  為設時兩心視相距又與巳
  乾平行作壬申線為設時高
  弧則未壬申角與午巳乾角
  等以丑乾壬用時白經高弧
  交角與丑乾巳設時白徑高
  弧交角相減餘壬乾巳角八
  度四十九分五十三秒三四
  為兩白經高弧交角較與乾
  壬申角等與乾壬子用時對
  兩心實相距角相減餘申壬
  子角一百三十七度四十四
  分八秒七三為設時高弧交
  用時視距角與未壬申角相
  加未壬申角與午【角相加未壬申角與午】
  【巳乾角等即對設時兩心實相距角】得二百
  九十三度四十一分五十
  五秒一三與三百六十度
  相減餘未壬子角六十六
  度一十八分四秒八七為
  對設時視行角【用時實距在高弧西
  設時實距在高弧東兩角與高弧相背故相加若同
  在高弧之一邊則相減又用時設時兩月影心俱在
  日影心之北兩角與兩視距相背俱為鈍角故相加
  即過一百八十度與全周相減方為兩視距所夾之
  角】乃用未壬子三角形壬
  子為用時兩心視相距壬
  未為設時兩心視相距未
  壬子角為所夾之角用切
  線分外角法求得子角五
  十二度二十九分四十五
  秒六九為對設時視距角
  又求得子未邊五分五十
  三秒九五為設時視行次
  自壬作壬酉垂線與子未
  視行成直角則壬酉相距
  為最近故用壬子酉直角
  形求得子酉分邊三分二
  十六秒二三為真時視行
  以子未設時視行與設時
  距分二十分一秒○五之
  比即同於子酉真時視行
  與真時距分一十一分三
  十九秒八○之比與食甚
  用時相加得午正三刻六
  分三十九秒為食甚真時
  【食甚用時白經在高弧西月影視在西真時在用時
  後故加若白經在高孤東月影視在東真時在用時
  前則減】又求得壬酉垂線四
  分二十九秒即食甚真時
  兩心視相距也夫京師之
  地面一也旣以人所處之地
  面為日影心而用時日影心
  在壬設時日影心在已其故
  何也蓋人之【此圖用三分之一】所
  處原有定在而太陽隨天西
  轉其所照之地面時時不同
  設時太陽旣轉而西人在壬
  視之則乾點亦移而西矣今
  仍就原乾點立算則人之視
  日如在己視乾是非人所處
  之地面改也日之所照者改
  也若就一壬點立算則設時
  日照地面正中之點隨距等
  圈西轉至申白道經圈西轉
  至戌戊申為太陽距北極與
  戊乾等申戌為距緯與子乾
  等戊申戌角此圖用三分之
  一
  為赤白二經交角與戊乾丑
  角等戊壬為京師北極距天
  頂與戊巳等申戊壬角為設
  時日距午西赤道度與乾戊
  巳角等戊申壬角為設時赤
  經高弧交角與戊乾巳角等
  申壬為設時太陽距天頂即
  設時高下差與乾已等戌申
  壬角為設時白經高弧交角
  與子乾巳角等戌未為設時
  距弧與子午等未申戌角為
  設時對距弧角與午乾子角
  等壬申未角為設時對兩心
  視相距角與巳乾午角等人
  在壬視之則日影心總在壬
  而用時則見月影心在子設
  時則見月

  影心在未是自用時至設時
  見月影心循子未線行故子
  未為設時視行夫子未視行
  線既不與白道平行則壬酉
  兩心相距最近之線即不與
  白道成直角而與視行成直
  角故以月影心臨於酉點為
  食甚真時以壬酉垂線為食
  甚兩心視相距也然則與舊
  法之可以相通者何也蓋舊
  法從太隂取高下差今從日
  影心當月天之度取高下差
  形象雖殊理數則一試與白
  道平行作壬亥水線與白經
  平行作壬火木線及未土線
  則壬亥即用時東西差乾亥
  即用時南

  北差與乾子相減餘亥子
  用壬亥子勾股形亦可求
  壬子邊壬水即設時東西
  差申水即設時南北差以
  申水與申戌相減餘壬火
  【壬火與水戌等】以壬水與戌未距
  弧相減餘火未用壬火未
  勾股形亦可求壬未邊壬
  亥與火未相加得子土【壬亥
  與子木等火未與木土等】壬火與亥子
  相減餘未土【亥子與壬木等火木與未
  土等】用子未土勾股形亦可
  求子未邊既得三邊則用
  壬子未三角形亦可求中
  垂線矣是則與舊法之可
  以相通者然也然則與舊
  法之所以異者何也按舊
  法當以壬水設時東西差
  與戌未設時距弧相減【舊法
  以用時東西差為距弧故即以兩東西差相減】餘
  火未與子木用時東西差
  相加【火未與木土等子木與壬亥等】得子
  土為設時視行乃以白道
  度算故以太隂視行經度
  臨於白道木點為食甚真
  時壬木線與白道成直角
  今以子未為設時視行不
  以白道度算故以月影心
  臨於酉點為食甚真時壬
  酉線不與白道成直角而
  與子未視行成直角是則
  與舊法之所以異者然也
  然則設時與近時之不同
  何也蓋舊法以木點為白
  道當太陽之度故先求實
  行至木點之時刻為近時
  而近時視行又不正當木點
  故又以近時視行與近時距
  分為比例而得食甚真時今
  以實行至未點之時刻為設
  時故以設時視行與設時距
  分為比例而得食甚真時其
  所不同者惟在視行與白道
  平行不平行之殊若均以視
  行為不與白道平行立算則
  或用設時或用近時其所得
  真時正自相同也然則簡平
  與渾天之同異何也蓋渾天
  以仰觀立算故以太隂當日
  天之度為視差簡平以俯視
  立算故以太陽當月天之度
  為視差今乾申二點之影自
  日心正射

  地心乃太陽實高當月天
  之度壬點之影自日心照
  至地面乃太陽視高當月
  天之度【見前高下差篇】故壬乾壬
  申皆為高下差夫太陽視
  高旣當月天壬點而用時
  月心原在月天子點設時
  月心原在月天未點故壬
  子壬未即皆為日月兩心
  視相距是以日天當月天
  之度算也若以月天當日
  天之度而論則用時月天
  壬點之度當日天之乾而
  太隂子點即當日天之亢
  故子亢為用時高下差與
  乾壬等乾亢為用時兩心
  視相距與壬子等設時月
  天己點之度當日天之乾
  而太隂午點即當日天之
  氐故午氐為設時高下差
  與乾己等乾氐為設時兩
  心視相距與己午等亦與
  壬未等而亢氐亦與子未
  等是簡平與渾天本屬一
  理但自圓外觀耳如以圓
  内仰觀立算則上為北下
  為南東西猶舊【此以白平象限在天
  頂南而論如白平象限在天頂北則上為南下為北
  東西相反】用時日心在乾月心
  實高在子視高在亢子亢
  為用時高下差一十八分
  三十三秒三四【此圖用全分】乾
  子亢角為用時白經高弧
  交角七度三十六分五十
  二秒五三與子亢房角等
  子房為用時東西差二分
  二十七秒五三與亢斗等
  房亢為用時南北差一十
  八分二十三秒五二與子
  斗等以子斗與子乾二十
  三分二十八秒四五相減
  餘斗乾五分四秒九三用
  乾斗亢勾股形求得乾亢
  弦五分三十八秒七四為
  用時兩心視相距設時日
  心仍在乾月心實高在午
  視高在氐午氐為設時高
  下差二十分二十五秒三
  五午氐牛角為設時白經
  高弧交角一十六度二十
  六分四十五秒八七牛午
  為設時東西差五分四十
  六秒九一牛氐為設時南
  北差一十九分三十五秒
  二二與子女等以牛午與
  子午設時實距弧九分六
  秒相減餘子牛三分一十
  九秒○九為設時視距弧
  與女氐等以子女與子乾
  相減餘女乾三分五十三
  秒二三用乾女氐勾股形
  求得乾氐弦五分六秒六
  五為設時兩心視相距次
  以女氐設時視距弧與亢
  斗用時東西差相加【女氐與斗
  虚等】得亢虚五分四十六秒
  六二為用設二時視距和
  以房亢用時南北差與牛
  氐設時南北差相減餘虚
  氐一分一十一秒七○為
  用設二時緯差較用亢氐
  虚勾股形求得亢氐弦五
  分五十三秒九六為設時
  視行次用乾亢氐三角形
  求中垂線分為兩勾股法
  求得亢危分邊三分二十
  六秒二四為真時視行乾
  危垂線四分二十九秒為
  真時兩心視相距【乾亢乾氐兩腰
  各自乘相減以亢氐勾和除之得勾較與勾和相加
  折半得亢危大勾勾弦求股得乾危垂線】其數
  皆與前同是東西南北差
  與實距視距一理也如用
  近時之法算之先以子房
  用時東西差二分二十七
  秒五三取子甲之分為近
  時實距弧以一小時兩經
  斜距二十七分一十六秒
  五六為比例而得近時距
  分五分二十四秒五二為
  太隂行子甲弧之時分【即近
  時距用時之時分】與食甚用時午
  正二刻九分五十八秒九
  五相加【用時月在白平象限西視經度差而
  西近時在用時後故加若月在白平象限東視經度
  差而東近時在用時前則減】得午正三
  刻零二十三秒四七為食
  甚近時即太隂行至甲點
  之時刻惟時太隂實高在
  甲視高在乙甲乙為近時
  高下差一十九分零百分
  秒之三十七按法求得甲
  乙丙角一十度一十二分
  一秒九二為近時白經高
  弧交角甲丙為近時東西
  差三分二十一秒九五丙
  乙為近時南北差一十八
  分四十二秒三五與子丁
  等以子甲近時實距弧與
  甲丙近時東西差相減餘
  子丙五十四秒四二為近
  時視距弧在實緯西【即近時視
  行距實緯之弧月在白平象限西視經度差而西而
  東西差大於實距弧故為緯西若小於實距弧則為
  緯東月在限東反是】與乙丁等以子
  丁近時南北差與子乾實
  緯二十三分二十八秒四
  五相減與丁乾四分四十
  六秒一○用乾丁乙勾股
  形求得乾乙弦四分五十
  一秒二三為近時兩心視
  相距次以子丙近時視距
  弧與子房用時東西差相
  減餘丙房一分三十三秒
  一一與亢戊等為用近二
  時視距較【用時東西差與近時視距弧同
  在緯西故相減為視距較若一東一西則相加為視
  距和】以房亢用時南北差與
  丙乙近時南北差相減【房亢
  與丙戊等】餘戊乙一十八秒八
  三為用近二時緯差較用
  亢戊乙勾股形求得亢乙
  弦一分三十四秒九九為
  近時視行【即近時距用時之視行】次
  用乾亢乙三角形求形外
  垂線補成兩勾股法求得
  亢已分邊三分二十五秒
  ○三為真時視行【即真時距用時
  之視行】以亢乙近時視行與
  近時距分五分二十四秒
  五二之比同於亢已真時
  視行與真時距分一十一
  分四十秒四六之比【即真時距
  用時之時分】與食甚用時相加
  【限西故加限東則減與近時同】得午正三
  刻六分三十九秒為食甚
  真時又求得乾己垂線四
  分二十九秒為真時兩心
  視相距【乾亢乾乙兩腰各自乘相減以亢乙
  為法除之得數大於亢乙則所得為兩勾和而亢乙
  為兩勾較故知垂線在形外若有得之數小於除之
  之數則所得之數為兩勾較而除之之數為兩勾和
  即知垂線在形内若除得之數與除之之數等則知
  小腰即係垂線成直角也】其數與用設
  時所得同是用近時與用
  設時一理也乃以真時午
  正三刻六分三十九秒按
  前法求其實高在庚視高
  在辛乾辛兩心視相距果
  為四分二十九秒與前所
  求垂線合而辛角猶未為
  直角故又求得乙辛邊一
  分五十秒四九為考真時
  視行乙壬邊五十一秒○
  二為定真時視行乾壬垂
  線仍為四分二十九秒為
  定真時兩心視相距以乙
  辛與考真時距分六分一
  十五秒五三之比【即真時距近時
  之時分】同於乙壬與定真時
  距分六分一十七秒三二
  之比與近時相加得午正
  三刻六分四十秒七九【進為
  四十一秒】始為食甚定真時焉
  蓋食甚時兩心視相距之
  線與視行成直角故前後
  數秒之間其相距皆相等
  若秒下加小餘細考之則
  午正三刻六分四十一秒
  之時相距為四分二十九
  秒二三八九其三十九秒
  之時則相距猶為四分二
  十九秒二三九九至四十
  三秒之時則相距又為四
  分二十九秒二三九一故
  以四十一秒之時為相距
  尤近然測候之際至分巳
  密故推算之法總以三十
  秒進一分秒下之小餘原
  可不計今考之又考者第
  以求其確凖耳若用新數
  而以視行與白道為平行
  算之則早三分有奇故今
  推視行之法尤為精密至
  求近時則猶求設時之法
  也求視差則猶求視距之
  法也理無殊塗法歸一致
  庶幾質諸往昔而無疑用
  【之推步而不忒矣】



  求日食初虧復圓時刻【一時為】
  日食求初虧復圓時刻先以食甚視緯為一邊併徑為一邊以視緯交白道之角為直角用正弧三角形法求得初虧復圓距食甚之弧以一小時月距日實行比例得時分與食甚真時相加減為初虧復圓用時次以初虧復圓用時各求其東西差與食甚真時之東西差相較得初虧復圓視行與初虧復圓距弧比例得時分與食甚真時相加減為初虧復圓真時上編言之詳矣【前設時求其兩心視相距方位附見食食三限】今食甚真時兩心視相距與視行成直角初虧復圓距食甚之弧亦即視行之度則求初虧復圓用時以食甚視行為比例較之以月距日實行為比例者必為近之且初虧復圓用時之東西差旣不與食甚真時等則南北差亦不等雖以初虧復圓視行比例得時分而其時之兩心視相距亦未必與併徑等然則即以視行比例之時分與食甚真時相加減猶未必即為初虧復圓真時也近日西【時刻及求初虧復圓用時真時篇】法初虧復圓各設【太隂在限西食甚真時在用時後如食甚用時兩心視相距與併徑相去不遠則以食甚用時為初虧前設時小則向前設大則向後設太隂在限東食甚真時在用時前如食甚用時兩心視相距與併徑相去不遠則以食甚用時為復圓前設時小則向後設大則向前設】又設一時為後設時亦各求其兩心視相距【前設時兩心視相距小於併徑初虧向前設復圓向後設大於併徑初虧向後設復圓向前設】乃以兩視距之較為一率兩設時之較為二率後設時兩心視相距與併徑之較為三率求得四率為初虧復圓真時距分與初虧復圓後設時相加減得初虧復圓真時【前設時兩心視相距小於併徑初虧減復圓加大於併徑初虧加復圓減】然後又以真時各考其兩心視相距果與併徑等方為定真時焉蓋初虧兩周初切復圓兩周初離日月兩心視相距必與併徑等故務求其恰合而初虧復圓乃為確準也雖其數比舊法所差無多而其理甚為細密至於設時之法則亦猶食甚用時近時之義耳今亦如食甚之次第先求初虧復圓用時【即前設時】次求初虧復圓近時【即後設時】俾學者知設時之準而其求兩心視相距與以兩視距比例時分則猶是設時之法也旣得初虧復圓兩心視相距與併徑等則求得併徑與高弧相交之角即為方位角圖說並詳於左
  如雍正八年六月戊戌朔
  日食日月實併徑三十分
  一十八秒六五食甚用時
  午正二刻九分五十八秒
  九五乾甲兩心實相距在
  黄道北二十三分二十八
  秒四五甲乙兩心視相距
  五分三十八秒七四小於
  併徑遠甚故向前取午初
  初刻四分為初虧前設時
  與食甚用時相減餘一時
  三十五分五十八秒九五
  與一小時兩經斜距二十
  七分一十六秒五六為比
  例得四十三分


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