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圜容较义 明 李之藻

圜容较义 明 李之藻
  欽定四庫全書     子部六
  圜容較義      天文算法類一【推步之屬】提要
  【臣】等謹案圜容較義一卷明李之藻撰亦利瑪竇之所授也前有萬歷甲寅之藻自序稱凡厥有形惟圜為大有形所受惟圜至多渾圜之體難名而平面之形易析試取同周一形以相參考等邊之形必距於不等邊形多邊之形必距於少邊之形最多邊者圜也最等邊者亦圜也析之則分杪不億是知多邊聨之則圭角全無是知等邊不多邊等邊則必不成圓惟多邊等邊故圜容最鉅昔從邢公研窮天體因論圜容拈出一義次為五界十八題借平面以推立圜設角形以徵渾體云云盖形有全體視為一面從其一面例其全體故曰借平面以測立圜面必有界界為線為邊兩線相支必有角析圜形則各為角合角形則共成圜故曰設角以徵渾體其書雖明圜容之義而各面各體比例之義胥於是見且次第相生於周髀圓出於方方出於矩之義亦多足發明焉乾隆四十六年十二月恭校上
  總纂官【臣】紀昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
  總校官【臣】陸費墀


  圜容較義序
  自造物主以大圜天包小圜地而萬形萬象錯落其中親上親下肖呈圜體大則日躔月離軌度所以循環細則雨點雪花潤澤旉於涓滴人文則有旋中規而坐抱鼓況顱骨目瞳耳竅之渾成物宜則有穀孕實而核含仁暨鳶翔魚泳虵蟠之咸若胎生卵育混沌合其最初葩發苞藏團欒于焉保合俯視漚浮水面仰觀暈合天心風滃乎蘋端湛露擎于荷蓋砂傾活永任分合以成顆鮫泣明珠撒柈杆而競走無情者飛蓬轉石斡運總屬天機有情若鼄網蟲窠經營自憑意匠若乃靈心濬發尤多規運成能壁水明堂居中而宣政敎六花八陣周衛而運正奇樂部在懸簫鼓共圜鐘迭奏軺車欲駕輪轅貫樞軸其旋戲塲有蹴鞠彈棊雅事對莆團蓮漏忽然一啑成如珠如霧之談奇謾說恒沙滿三千大千之國土至於火炎鋭上試遠矚而一點圓光水積紆迴指寥天而兩縫規合蓋天籟地籟人籟聲聲觸竅皆圜如象官象事象物粒粒浮空有爛所以龜疇蓍策用九之妙無窮羲畫文重圍圜之圖不改草玄翁之三數安樂窩之一丸先天後天此物此志云爾凡厥有形惟圜為大有形所受惟圜最多夫渾圜之體難明而平面之形易晰試取同周一形以相參考等邊之形必鉅於不等邊形多邊之形必鉅於少邊之形最多邊者圜也最等邊者亦圜也析之則分秒不億是知多邊聨之則圭角全無是知等邊不多邊等邊則必不成圜惟多邊等邊故圜容最鉅若論立圜渾成一面則夫至圜何有周邊周邊尚莫能窺容積奚復可量所以造物主之化成天地也令全覆全載則不得不從其圜而萬物之賦形天地也其成大成小亦莫不鑄形于圜即細物可推大物即物物可推不物之物天圜地圜自然必然何復疑乎第儒者不究其所以然而異學顧恣誕於必不然則有設兩小兒之争以為車蓋近而盤盂遠滄涼遠而探湯近者不知二曜附麗於乾元將旦午之近遠疇異氣行周繞于地域其厚薄以斜直殊觀初暘暎氣故暉散影巨而炎旭應微亭午籠虚則障薄光澄而曝射當烈又有造四大洲之誑以為日月遶須彌為晝夜地形較縱廣於由旬者試問須彌何物凌日與月而虧天且縱廣奚稽乃狹與彎之變相積由旬至億千萬則地徑有度金輪豈厚載所容統忉利謂三十三則象緯正圜諸天之棊絫可怪且夫極辨者方圜之體若白黑一二之難欺最精者方圜之度當微渺毫茫之必析沖虚撰模稜而侮聖釋氏騁荒忽以誣民彼曾不識圜形惡足與窺乾象夫寰穹邈矣豈排空馭氣可以縱觀乃道理躍如若指掌按圖無難坐得昔從利公研窮天體因論圜容拈出一義次為五界十八題借平面以推立圜設角形以徵渾體探原循委辨解九連之環舉一該三光映萬川之月測圜者測此者也割圜者割此者也無當于歷歷稽度數之容無當於律律窮絫黍之容存是論也庸謂迂乎譯旬日而成編名曰圜容較義殺青殺竟被命守澶時戊申十一月也柱史畢公梓之京邸近反人汪孟樸氏因校算指重付剞劂以公同志匪徒廣略異聞實亦闡著實理其於表裏祘術推演幾何合而觀之抑亦解詩之頤者也

  圜容較義序
  欽定四庫全書
  圜容較義
  明 李之藻 撰
  萬形有全體目視惟一面即面可以推全體也面從界顯界從線結總曰邊線邊線之最少者為三邊形多者四邊五邊乃至千萬億邊不可數盡也三邊形等度者其容積固大於三邊形不等度者四邊以上亦然而四邊形容積恒大於三邊形多邊形容積恒大於少邊形恒以周線相等者驗之邊之多者莫如渾圜之體渾圜者多邊等邊試以周天度剖之則三百六十邊等也又剖度為分則二萬一千六百邊等也乃至秒忽毫釐不可勝算凡形愈多邊則愈大故造物者天也象天者圜也圜故無不容無不容所以為天試論其槩
  凡兩形外周等則多邊形容積恒大於少邊形容積假如有甲乙丙三角形其邊最少就底線乙丙兩平分於丁作甲丁線其甲乙甲丙兩腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等則甲丁線為乙丙之垂線【幾何原本一卷八】次作甲戊丙丁直角形而甲戊與丁丙平行戊丙與甲丁平行視前形增一角者【一卷四又三十六】既甲
  丁丙甲丁乙兩形等而甲丙戊與甲丁乙亦等【一卷三十四】則甲丁丙戊方形與甲乙丙三角形自相等矣以周論之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邊皆與乙丁相等甲丙邊為弦其線稍長試引丙戊至已引丁甲至庚皆與甲丙甲丁線等而作庚丁己丙形與甲乙丙三角形同周則贏一甲庚己戊形故知四邊形與三邊形等周者四邊形容積必大于三邊形
  凡同周四直角形其等邊者所容大於不等邊者假有直角形等邊者每邊六共二十四其中積三十六另有直角形不等邊者兩邊數十兩邊數二其周亦二十四與前形等周而其邊不等故中積只二十又設直角形其兩邊各九其兩邊各三亦與前形同周而中積二十七又設一形兩邊各八兩邊各四亦與前同周而中積三十二或設以兩邊為七以兩邊為五亦與前同周而中積三十五是知邊度漸相等則容積固漸多也
  試作直角長方形令中積三十六
  同前形之積然周得三十與前周
  二十四者迥異令以此周作四邊等形則中積必大於前形
  凡同周四角形其等邊等角者所容大於不等邊等角者設甲乙丙丁不等角形從丙丁各作垂線又設引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形【一卷三十五】與不等角形同底原相等【一卷十九又三十四】甲乙亦同戊己而乙丁
  及甲丙線則贏於己丁戊丙線是甲乙丙丁之周大於戊丙己丁之周試引丁己至辛與乙丁等引丙戊至庚與甲丙等而作庚丙辛丁形則多一庚戊辛己形因顯四等角形大於不等角形
  以上四則見方形大於長形而多邊形更大於少邊形則圜形更大於多邊形此其大略若詳論之則另立五界說及諸形十八論於左
  第一界等周形 謂兩形之周大小等
  第二界有法形 謂不拘三邊四邊及多邊但邊邊相
  等角角相等即為有法其欹邪不就
  規矩者為無法形
  第三界求各形心 但從心作圜或形内切圜或形外切
  圜皆相等者即係圜與形同心
  第四界求形面  謂周線内所容人目所見乃形之一
  面
  第五界求形體  如立方立圜三乘四乘諸形乃形之
  全體
  第一題
  凡諸三角形從底線中分作垂線與頂齊高以中分線及高線作矩内直角方形必與三角形所容等
  解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂線至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角題言直角與三角形等
  先論曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁線次從甲作戊己線與乙丙平行又作己丙戊乙二線成直角形此直角倍大于甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙角形【一卷四十一】故甲乙丙三角形與甲丁丙己形等【一卷三十六】
  次論曰作甲丁垂線而第二圖丁非甲乙之平分第三圖甲在方形之外皆從甲作戊己線引長之與乙丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以丙乙平分于庚作庚辛垂線視甲丁為平行亦相等【一卷三十四】其戊己丙乙倍大
  于辛庚丙己亦即倍大于三角形何者以辛庚丙己長方形分三角形底線半故【一卷三十六】
  第二題
  凡有法六角等形自中心到其一邊之半徑線作直角形線其半徑線及以形之半周線舒作直線為矩内直角長方形亦與有法形所容等
  解曰有甲乙丙丁戊己有法形其心庚自庚至甲乙作直
  角線為庚辛另作壬癸線與庚辛
  等作癸子與甲乙丙丁線等即半
  周線也題言壬癸子丑直角形與
  甲乙丙丁戊己形之所容等
  論曰自庚到各角皆作直線皆分
  作三角形皆相等【一卷八】其甲乙庚
  三角形與甲辛辛庚二線所作矩
  内直角形等【以甲辛分甲乙之半故本篇一題】若
  以甲乙丙丁半形之周線為癸子
  線以與壬癸線共作矩内直角形
  即與有法全形等蓋此半邊三箇
  三角形照甲乙庚形作分中垂線
  其矩線内直角形俱倍本三角形
  故
  第三題
  凡有法直線形與直角三邊形並設直角形傍二線一長一短其短線與有法形半徑線等其長線與有法形周線等則有法形與三邊形正等
  解曰甲乙丙有法形其心丁從丁望甲乙作垂線又有丁戊己直角形其邊丁戊與法形丁戊有等其戊己線又與甲乙丙之周線等題言丁戊己三角之體與甲乙丙全形等
  論曰試作丁戊己庚直角形兩平
  分于壬辛作直線與丁戊平行則
  丁戊辛壬直角形與甲乙丙形相
  等【本篇二題】何者戊辛線得甲乙丙之
  半周而又在丁戊矩内即與有法
  形全體等故也其丁戊己三角形
  與丁戊壬辛直角形等則丁戊巳
  三角形與甲乙丙全形亦等
  第四題
  凡圜取半徑線及半周線作矩内直角形其體等
  解曰有甲乙丙圜其半徑為丁乙
  又有丁乙戊巳直角形兩丁乙等
  之半圜線與戊乙等題言甲乙丙
  所容與丁乙戊巳直角形所容等
  論曰試以乙戊引長到庚令庚戊
  與乙戊等則乙庚與圜周全等次
  從丁望庚作直線既丁乙庚三角形之地與全圜地相等【在圜書一題】而丁乙戊巳又與丁乙庚三角形等【本篇四又一卷四十註】則丁乙戊巳自與全圜體等
  第五題
  凡直角三邊形任將一銳角于對邊作一直線分之其對邊線之全與近直角之分之比例大於全銳角與所分内銳角之比例
  解曰有甲乙丙直角三邊形丙為直角從甲銳角望所對丙乙邊任作甲丁線題言丙乙線與丙丁線之比例大於乙甲丙角與丁甲丙角之比例
  論曰甲丁線大於甲丙而小於甲乙【一卷十九】若以甲為心以丁為界作半規必分甲己線于乙之内而透甲戊線于丙之外其甲
  乙丁三角形與甲己丁三角形之比例大於甲丁丙三角形與甲丁戊之比例何者一為甲乙丁大形與甲己丁小形比一為甲丁丙小形與甲丁戊大形比也則更之乙甲丁形與丁甲丙形之比例大於己甲丁形與丁甲戊形之比例【五卷二十七】合之則乙甲丙形與丁甲丙形即是乙丁線與丁丙線之比例【形之比例與底線之比例相等在六卷】固大於甲己戊形與甲丁戊形之比例其甲己戊圜分與甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角與丁甲戊角之比例【六卷三十三系】則乙丙線與丁丙線之比例大於乙甲丙角與丁甲丙角之比例也
  第六題
  凡直線有法形數端但周相等者多邊形必大於少邊形
  解曰設直線有法形二為甲乙丙為丁戊己其圜周等
  而甲乙丙形之邊多于丁
  戊己【不拘四邊六邊雖十邊與十一二邊皆同
  此論】題言甲乙丙之體大于
  丁戊己之體
  論曰試於兩形外各作一圜而從心望一邊作庚壬作辛癸兩垂線平分乙丙于壬分戊己于癸【三卷三】其甲乙丙形多邊者與丁戊己形少邊者外周既等而以乙丙求周六而徧以戊己求周四而徧則乙丙邊固小于戊己邊而乙壬半線亦小于戊癸半邊矣兹截癸子與壬乙等而作辛子線又作辛戊辛己及庚丙庚乙諸線次第論之其己丁戊圜内各切線等即勻分各邊俱等而全形邊所倍于戊己一邊數與全圜切分所倍于戊己切分地亦等則甲乙丙内形全邊所倍于乙丙一邊與其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分與戊丁己全圜之切分若戊辛己角之與全形四直角【六卷三十三題之系】則以平理推之移戊己邊于甲乙丙全邊亦若戊辛己角之於四直角也而甲乙丙内形周與乙
  丙一邊猶甲乙丙諸切圜與乙丙界之一切圜亦猶四直角之與庚乙丙角也【六卷三十三之二系】則又以平理推戊己與乙丙即戊癸與乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己角與乙庚丙角亦若戊辛癸之與乙庚壬也【五卷十五】夫戊癸與癸子之比例原大於戊辛癸角與子辛癸角之比例【本篇五】則戊辛癸與乙庚壬之比例大于癸辛戊與癸辛子之比例【五卷十三】而癸辛子角大于壬庚乙角【五卷十】其辛癸子與庚壬乙皆係直角而辛子癸角明小于庚乙壬角【一卷三十二】令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角則其線必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬與乙兩角等于丑癸子三角形之癸子兩角而乙壬邊亦等于子癸邊則丑癸線亦等于庚壬線而庚壬實贏于辛癸【一卷二十六】令取庚壬線及甲乙丙半周線作矩内直角形必大於辛癸線及丁戊己半周線所作矩内
  直角形也【本篇二】然則多邊直線形之所容豈不大于等周少邊直線形之所容乎
  第七題
  有三角形其邊不等于一邊之上另作兩邊等三角形與先形等周
  解曰有甲乙丙三角形其甲乙大於丙乙兩邊不等欲於甲丙上另作三角形與甲乙丙周等兩邊又等其法作丁戊線與甲乙乙丙合線等兩平分於己甲乙乙丙兩邊併既大于甲丙邊【一卷十】則丁己己戊兩邊併亦大于甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣【一卷三十二】以作甲庚丙得所求蓋庚甲庚丙自相等而甲丙同邊則二形之周等而甲
  庚丙與甲乙丙為兩邊等之三角形【此庚點必在甲乙線外若在甲乙邊上過辛則辛丙線小于辛乙乙丙合線即不得同周】
  第八題
  有三角形二等周等底其一兩邊等其一兩邊不等其等邊所容必多於不等邊所容
  解曰有甲乙丙形其甲乙邊大於乙
  丙令於甲丙上更作甲丁丙三角形
  與甲乙丙等周【本篇上】而丁甲丁丙兩
  腰等亦與甲乙乙丙合線等題言甲丁丙角形大於甲乙丙
  論曰試引甲丁至戊令丁戊與丁甲等亦與丁丙等又作丁乙乙戊線夫甲乙乙戊合線既大於甲戊即大於甲丁丁丙合線亦大於甲乙乙丙合線此兩率者令減一甲乙則乙戊大於乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙兩邊與丁丙乙三角形之丁丙丁乙兩邊等其乙戊底大於乙丙底則戊丁乙角大於丙丁乙角而戊丁乙角踰戊丁丙角之半【一卷三十二】令别作戊丁己角與丁甲丙角等則丁己線在丁乙之上而與甲丙平行【一卷廿八】又令引長丁己與甲乙相遇而作己丙線聨之其甲丁丙甲己丙既在兩平行之内又同底是三角形相等也【六卷
  一】因顯甲己丙大於甲乙丙而甲丁
  丙兩邊等三角形必大於等周之甲


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